S-114.45, Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta.11.4 1. välikokeen alue 1. Osoita, että hyvin alhaisissa lämpötiloissa elektronin FD systeemin energia on U = (3/ 5) ε F. Opastus: oleta, että kaikki tilat ovat täynnä fermienergiaan saakka. Sisäenergia on määritelmän mukaan i i (1) i U = n E = g( E) f( E) EdE 1 missä FE = sillä matalissa lämpötiloissa µ E ( E EF )/ k e F. Huomataan, että kun FE = 1, + 1 kun E EF ja F( E ) = kun E > EF. Yhtälö (1) voidaan siis kirjoittaa E F U = g( E) EdE () Sijoittamalla tilatiheys 3/ m g( E) = 1/ 3 E 1/ saadaan E F 3/ 1/ 3/ m 3/ m 5/ 1/ 3 3 F 5 U = E de == E (3) Hiukkasmäärä voidaan lausua Fermienergian avulla seuraavasti: E F 1/ 3/ 1/ 3/ m 1/ m 3/ 3 3 F 3 = g E f E de = E de = E (4) Yhtälöstä (4) saadaan 1/ 3/ m 3 = E 3 3/ F Sijoittamalla tämä lauseke (3):n saadaan 3 U = E F. 5. Systeemissä on hiukkasta joiden mahdolliset energiatilat ovat ε ja ε. Olettaen, että systeemin kokonaisenergia on U osoita, että lämpötila voidaan esittää sisäenergian avulla muodossa 1 k U / ε = ln. ε + U / ε otea, että lämpötila on positiivinen (negatiivinen) jos sisäenergia on negatiivinen (positiivinen). : Partitiofunktioksi saadaan ε / k ε / k Z = e + e
Derivoimalla ε k d ε e e ln Z = d ε k k e + e / ε / k / ε / k joten sisäenergiaksi saadaan ε / k ε / k d e e x 1 U = k ln Z = ε = ε d ε / k ε / k e + e x + 1 / k e ε missä merkittiin x=. Ratkaistaan x U / ε x =. + U / ε Sijoittamalla x ja ottamalla logaritmi saadaan 1 k / ln U ε =. ε + U / ε Josta havaitaan, että < kun U> ja päinvastoin. egatiiviset lämpötilat ovat yleisesti mahdollisia systeemille, jossa energiatasot ovat ylhäältä rajoitettuja. (Esim. kaasumolekyylin energiat eivät ole - yksittäisellä molekyylillä voi olla kuinka korkea energia tahansa). 3. Ulkoisessa magneettikentässä systeemin elektroneilla on kaksi mahdollista energiatasoa E1 = µ, E =+ µ, missä µ on ohrin magnetoni. Systeemi on termisessä tasapainossa lämpötilan ollessa. Olettaen, että elektronien magneettisten alitilojen miehittyminen noudattaa M statistiikkaa a) osoita, että partitiofunktio on µ cosh Z = k ja b) johda lauseke suureille U, S ja M (magnetoituma). Esitä energiatasojen miehitysluvut lämpötilan ja kenttävoimakkuuden funktiona käyttäen Maxwell oltzmann jakaumaa. a) Merkitään ε = µ. Alemman tilan energia on siis E1 = ε ja ylemmän E = ε Partitiofunktio lasketaan tavalliseen tapaan: ε / k ε / k µ Z e e cosh ( ε / k) cosh = + = = k. (1) b) Sisäenergia : d sinh ( ε / k ) U = k ( ln Z) = ε = ε tanh ( ε / k) () d cosh ε / k Huomataan, että sisäenergia voitaisiin laskea myös lausekkeesta: + ε / k ε / k U = n1e1+ ne = ( ε) e + ( ε) e = ε tanh ( ε / k). (3) Z Z Magnetoituminen (lasketaan positiiviseksi magneettikentän suuntaan) M = n1µ nµ = µ ( n1 n) = µ tanh ( ε / k) (4) utkimalla eksponenttifunktion käyttäytymistä :n funktiona pitämällä vakiona huomataan, että kun U ε ja M µ ts. kaikki magneettiset momentit asettuvat kentän suuntaan alhaisissa
lämpötiloissa. astaavasti kun huomataan, että U ja M. Lämpöliike tuhoaa ulkoisen kentän luoman orientaatio efektin. Entropiaa laskettaessa on huomattava entropian jakautuminen värähtelyliikkeen ja hiukkasen sisäisen liikkeen entropioiksi. Ks. Opetusmoniste 5.8.4. oisin kuin molekyyleissä värähtelyliike ei ole sisäinen energialaji, sillä värähtely liittyy tässä kiteen mikroskooppisen osan liikkeeseen kokonaisuutena. Kokonaisentropia saadaan yhtälöstä U Z S = kln k + + (5) Sijoittamalla tähän U U U U = vib + int + ja vib int Z = Z Z Z, missä vib ja int ja viittaavat värähtelyyn, sisäisiin sähköisiin energiamuotoihin ja magneettiseen vuorovaikutukseen ulkoisen kentän kanssa vastaavasti. Sijoittamalla partitiofunktio yhtälöön (5) huomaamme, että myös entropia jakautuu kolmeen osaan partitiofunktio on verrannollinen ainemäärään. ärähtelyn entropia on vib S = S + S + S. Ainoastaan värähtelyn int Uvib Zvib Svib = kln k + +. (6) ätä olemme käsitelleet edellä esimerkissä. Magneettinen vuorovaikutus on sisäinen liikelaji, joten siihen liittyvä entropia lasketaan yhtälöstä U S = + kln Z. (7) Sijoittamalla saadaan entropiaksi ε S = tanh ( ε / k) + kln ( cosh ( ε / k) ). (8) ilojen miehitysluvuiksi saamme = e = e Z cosh / ja + ε / k ε / k ( ε k) = e e Z cosh / ε / k ε / k ( ε k). (9). välikokeen alue 4. Osoita, että van der Waalsin kaasun entropia moolia kohden voidaan esittää muodossa S = c ln + Rln b + vakio. m m
Ks Opetusmoniste Luku 1: Osoitamme aluksi, että c ei riipu kaasun ominaistilavuudesta. Ensimmäisen pääsäännön perusteella du pd d p ds + ν c d = = + (1) Entropian ristiderivaattojen pitää olla riippumattomia derivointijärjestyksestä, joten νc p c p = = m m () an der Waalsin kaasun tilanyhtälöstä a p + ( ) m b = R m (3) saamme p m =, (4) sillä vakiotilavuudessa van der Waalsin kaasun paine riippuu lämpötilasta lineaarisesti. Yhtälöistä () ja (4) seuraa, että c on riippumaton tilavuudesta. ilanyhtälöstä saamme edelleen p νr =. (5) νb' Sijoittamalla yhtälö (5) yhtälöön (1) huomaamme, että entropian differentiaali separoituu lämpötilasta ja tilavuudesta riippuviin osiin. Integroimalla yhtälö (3) referenssipisteestä p,, pisteeseen p,, saamme c S S = ν d + R ν. (6) ( b ) d m integroimalla ja sijoittamalla referenssipisteeseen liittyvät vakiotermit yhteen saadaan S = c ln + Rln b + vakio. (7) m m Yhtälössä (7) esiintyvä vakio S c ln Rln ( b ) =. Kokonaisentropia saadaan kertomalla yhtälö m m (7) moolimäärällä. Huomattakoon, että myös entropian lausekkeessa (7) esiintyvä vakio tulee tällöin verrannolliseksi moolimäärään, muuten entropian ekstensiivisyysvaatimus ei toteudu. 5. Kappale (1), jossa on ν 1 moolia ainetta lämpötilassa 1 saatetaan kontaktiin kappaleen () kanssa, jossa on ν moolia ainetta lämpötilassa. asapainon muodostuminen tapahtuu vakiopaineessa lämpökapasiteettien ollessa cp1 ja c p vastaavasti. Laske (a) tasapainolämpötila, (b) entropian muutos ja (c) osoita, että entropian muutos on positiivinen.
a) Kaksiosainen systeemi on lämpöeristetty muusta ympäristöstä ja prosessiin ei liity työtä. oisen kappaleen luovuttama lämpö = toisen saama lämpö: ν1cp1( 1) = νcp( ) νcp11 + νcp =. ν c + ν c 1 p1 p Koska tasapainon muodostuminen on kvasistaattinen prosessi, saadaan entropian muutokset yhtälöstä δq δq d ds = δq = νc d S = = νc ; p p 1 1 (1) () b) Lasketaan entropian muutokset erikseen molemmille kappaleille (käytetään lyhyyden vuoksi kokonaislämpökapasiteetteja C1 = ν1cp1; C = ν cp ). 1 d S = C = C ln 1 1 1 1 d S = C = C ln Entropian kokonaismuutos on siis (3) C1 C 1 S = S + S = C1ln + Cln = ln. 1 1 c) Osoitetaan lopuksi, että S >. Oletetaan 1 < < ja merkitään x= / 1 > 1. Lisätään ja vähennetään termi C ln 1 S = C ln + C ln + C ln C ln. 1 1 1 1 Ryhmittelemällä 1 S = ( C1+ C)ln + Cln (4) 1 Yhtälöstä (1) saadaan 1 C1 C1 C C1 C1 C + + x x = = 1 1 C C sijoittamalla yhtälöön (4) saadaan C1 C1 C S + C1+ C ln x ln x x S =. Jotta > vaaditaan, C C C C C1+ C C 1 1 C C + C C 1 C C1 että x x x + > = x. (5) C C C
a Koska x> 1, a> 1 pätee x > 1 + a( x 1) (aylorin sarja potenssifunktiolle - tämä yhtälö kertoo sen, että a funktion x kuvaaja on aina sille pisteeseen x = 1 piirretyn tangentin yläpuolella). Joten C + C 1 C C + C C + C C C C C + C C x > 1 + ( x 1) = x + = x C C C C C S siis > ja S >. C 1 1 1 1 1, 6. ermodynamiikan toinen pääsääntö voidaan esittää mm. seuraavissa vaihtoehtoisissa muodoissa: Lämpöä ei siirry ilman ulkoista apua kylmemmästä kappaleesta lämpimämpään kappaleeseen (Clausius), tai Ei voida rakentaa termodynaamista konetta, jossa yhdestä lämpövarastosta otettu lämpö tekisi, ilman ulkoista apua, mekaanista työtä (Kelvin ja Planck). Osoita, että (1) jos Clausiuksen väittämä on epätosi, niin sitä on myös Kelvinin ja Planckin väittämä ja vastaavasti () jos Kelvinin ja Planckin väittämä on epätosi, niin silloin on myös Clausiuksen väittämä epätosi. (ästä seuraa, että jos toinen väittämistä on tosi, niin molemmat ovat tosia.) Clausius (C) epätosi Kelvin-Planck (K) epätosi. Määrittelemme termodynaamisen koneen A, joka toteuttaa kiertoprosessia, jolla on seuraavat ominaisuudet: a) kone absorboi lämpöä määrän Q > lämpövarastosta. b) kone luovuttaa lämpömäärän Q 1 > lämpövarastoon 1 ( 1 < ). c) kone tekee työtä määrän W >. Oletetaan, että C on epätosi. oimme siis ottaa lämpömäärän Q lämpövarastosta 1 ja siirtää sen lämpövarastoon > 1 ilman ulkopuolista apua. Käytetään seuraavaksi konetta A lämpövarastojen ja 1 välissä siten että lämpövarastosta otettu lämpömäärä on juuri Q. Koska kone tekee työtä määrän W >, lämpövarastoon 1 luovutettu lämpömäärä < Q1 < Q. Olemme siis ottaneet lämpövarastosta 1 lämpöä määrän Q Q1 ja muuttaneet sen mekaaniseksi työksi ilman muita seurauksia, joten K on epätosi. Kelvin-Planck epätosi Clausius epätosi. Oletetaan, että K on epätosi. ällöin voimme ottaa varastosta 1 lämpöä ja muuttaa sen kokonaisuudessaan työksi. äin saatu mekaaninen työ voidaan aina siirtää lämmöksi lämpövarastoon ( > 1 ). Mekaanisella energialla voidaan esimerkiksi pyörittää generaattoria, jonka tuottama sähköenergia muutetaan lämmöksi. Olemme siis siirtäneet alemmasta lämpövarastosta lämpöä ylempään lämpövarastoon ilman ulkoista apua, joten C on epätosi. AKIOIA 31 7 7 7 e = p = n = = m 9,191 1 kg m 1, 675 1 kg m 1, 6748 1 kg amu 1, 665 1 kg 19 8 34 4 1 e= 1, 61 1 C c =, 9979 1 m/s ħ = 1, 545 1 Js µ = 9, 73 1 J 1-1 - 6 = 8,8544 1 C m Ke = 1/ 4 = 1, 566 1 mkgc Km = / 4 11 3 1-1 -1-3 1 γ = 6, 67 1 m kg A = 6, 5 1 mol R = 8, 3143 JK mol k=1,385 1 JK ε πε µ µ π