MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi II Harjoitus Ratkaisuhdotuksia Aapo Tvanlinna. Lask sivun 4 simrkin tapaan sllainn likiarvo luvull, ttä virhn itsisarvo on pinmpi kuin 5. Huomataan nsin, ttä funktioll f() = pät f C (R) ja f (n) = kaikilla R ja n N. Näin olln asttamalla = saadaan kaikilla R funktioll f sitys Taylorin kaavasta f() = T (; ) + R n (; ), missä R n (; ) = f (n) (ξ) ( ) n on Lagrangn jäännöstrmi ja ξ on lukujn ja välissä. Sijoittaan nyt =, jolloin äskisstä saadaan = f() = T (; ) + R n (; ) T (; ) = R n (; ) = T (; ) = R n (; ). Etsitään sittn sllainn n N, ttä R n (; ) < 5 : R n (; ) = f (n) (ξ) ( ) n = ξ n < < 3 <, 85 5 < 5, kun n 9. Näin olln siis T 8 (; ) arvioi lukua halutun tarkasti ja sn arvo voidaan laska: T 8 (; ) = f() + 8 f (k) () ( ) k = + 8 = + /! + /! + + /8! = 96 43 =, 78787.., jossa virh <, 85 5. Kun luku pyöristtään kuudn dsimaalin tarkkuutn on pyöristysvirh <, 5 5, jolloin kokonaisvirh < (, 85 +, 5) 5 < 5, joka tarkoittaa, ttä, 7879 on riittävä arvio.. Lask sivun simrkin tapaan sllainn likiarvo intgraalill 3 d, ttä virhn itsisarvo on pinmpi kuin,.
Taylorin kaavasta saadaan y = T (y; ) + R n (y; ) = + y + y! + + y (n )! + ξ yn, missä luku ξ on lukujn ja y välissä. Sijoittamalla y = 3 saadaan 3 = T ( 3 ; ) + R n ( 3 ; ) = + 3 + 6! + + 3() (n )! + ξ 3n, < ξ < 3 Nyt < = < ξ < 3 = R n ( 3 ; ) = ξ (3 ) n 3n, jotn virhtrmin intgraalill saadaan arvio R n ( 3 ; )d 3n d = <, 9 <, n 4. Näin olln hatuksi likiarvoksi intgraalill klpaa / 3n+ 3n + = (3n + ) T 3 ( 3 ; )d = ( + 3 + 6! + 9 3! )d = + 4 + 4 + 6 = 4496 =, 33895.., 336 joka voidaan pyöristää kolmn dsimaalin tarkkuutn, sillä silloin kokonaisvirh < (, 5 +, 9) <,. Arvioksi intgraalill klpaa siis, 338. 3. Muodosta funktioll f() = ln Taylorin polynomi T (; ) ja slvitä sn avulla ln ( ). Osaatko slvittää myös raja-arvon ln ( )? Kun > on f () () =, f () =, f (3) = 3 T (; ) = + ja f() =. Tällöin f (k) () ( ) k = + ( ) ( )
ja R 3 (; ) = f (3) (ξ) ( ) 3 = 3! ξ 3 ( )3 3! jollain lukujn ja välissä olvalla luvulla ξ. Haluttu raja-arvo on siis ln ( ) (T (; ) + R 3 (; )) ( ) T (; ) R 3 (; ) ( ) ( ) ( + ( ) ( ) ) ( ) ξ 3 3! ( )3 ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ξ 3 3! =. ( ) ( ) Toinn raja-arvo ratkaa dllisstä huomaamalla, ttä ln ( ) = ( ln ( ) ) = =. 4. Muodosta funktioll f() = Taylorin polynomi T (; ) ja slvitä sn avulla ( ). Edtään kutn dllisssä thtävässä: ja T (; ) = f() + f (k) () ( ) k = + ( ) + ( ) R 3 (; ) = f (3) (ξ) ( ) 3 = ξ 3! 6 ( )3, 3
jollain luvulla ξ, joka on lukujn ja välissä. Raja-arvo voidaan nyt laska: ( ) T (; ) + R 3 (; ) ( ) T (; ) R 3 (; ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ξ 6 ( )3 ( ) + ( ) =. ( ) ( ) + ξ ( ) 6 5. Muodosta funktioll f() = Taylorin polynomi T (; 4) ja slvitä sn avulla raja-arvo 4 ( + 4) 4 ( 4). Edtään jälln samaan tyyliin. f () () =, f () () = 4 3 ja f (3) () = 3 8 5, jotn ja T (; 4) = f(4) + f (k) (4) ( 4) k = + 4 ( 4) 4 4 3 ( 4) = + 4 ( 4) ( 4) 64 R 3 (; 4) = 3 8 ξ 5 ( 4) 3 = ξ 5 3! 6 ( 4)3, 4
jollain luvulla ξ, joka on lukujn 4 ja välillä. Lasktaan sittn raja-arvo 4 ( + 4) 4(T (; 4) + R 3 (; 4)) ( + 4) 4 ( 4) 4 ( 4) 4T (; 4) ( + 4) 4R 3 (; 4) 4 ( 4) + 4 ( 4) 4 4( + 4 ( 4) 64 ( 4) ) ( + 4) ( 4) 4( ξ 5 6 + ( 4)3 ) 4 ( 4) 4 8 + 4 6 ( 4) ) 4 ( 4) + = 6 6. Funktioidn cos ja cosh kuvaajat kulkvat lähllä toisiaan kun on lähllä kohtaa =. (Piirrä jos mahdollista näidn kuvaajat sim. välillä [ /, /].) Yritä slittää ilmiö tutkimalla Taylorin polynomin avulla rotusfunktiota f() = cos ( cosh ). Tutkitaan funktion h : R R, h() = cosh ja g : R R, g() = cos Taylorin kaavoja khityskskukslla. Tunntusti D cosh = sinh ja D sinh = cosh, jotn T(; h ) + Rn(; h ) = h() + = + h (k) () a k k + h(n) (ξ ) n, ( ) k + h(n) (ξ ) n missä krtoimt a k vastaavat jonon (a k ) = ( sinh, cosh, sinh,...) = (,,,,,,...) jäsniä, ja luku ξ on lukujn ja välissä. Kosinill on myös sitys Taylorin kaavana T g (; ) + Rg n(; ) = g() + = + b k g (k) () k + g(n) (ξ ) n, ( ) k + g(n) (ξ ) n missä krtoimt b k arvot vastaavat jonon (b k ) = (,,,,,,...) jäsniä ja ξ on lukujn ja välissä. 5
Tutkitaan suraavaksi rotusfunktiota f() = g() h() Taylorin kaavoilla T g (; ) + Rg n(; ) T h (; ) R h n(; ) = (T g (; ) T h (; )) + (R g n(; ) R h n(; )) b k a k = ( + k ( + k )) + (Rn(; g ) Rn(; h )) = b k a k k + (R g n(; ) Rn(; h )). Huomataan, ttä b k = a k, kun k = 4, 8,,... ja b k = a k muulloin. Jos nyt simrkiksi n = 6 saadaan äskisll kohtalaisn hyvä arvio 6 b k a k k +(R g 6 (; ) Rh 6 (; )) = 4! 4 + ( g(6) (ξ ). = 4! 4 + ( cos ξ 6 cosh ξ 6 ) = 4 + cos ξ + cosh ξ 6 = 4 + cos ξ + cosh ξ 6 Olttaan nyt lisäksi, ttä <, jolloin 4 + cos ξ + cosh ξ 6 4 + + ξ + ξ 6 4 + + 3+ 6 = 4 + 4 6 = 4 + 88 6. 6 h(6) (ξ ) 6 ) Eli thtävän funktio f kulk nollan ja polynomin 4 + 88 6 välillä, kun <. Jääköön lukijall tsittäväksi parmpia arvioita (niitä nimittäin löytyy kunhan vain kasvattaa n:ää), mikäli milnkiintoa tähän aikaan vuodsta vilä riittää :-) HYVÄÄ KESÄÄ KAIKILLE! 6