Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä luvun n arvolla 1 Tällöin 4 n 1 = 4 1 = 15, joka on jaollinen viidellätoista Väite on siis tosi kun n = 1 Tehdään sitten induktio-oletus: Väite on tosi jollakin positiivisella kokonaisluvulla n, toisin sanoen 15 jakaa luvun 4 n 1 jollakin positiivisella kokonaisluvulla n Tämä voidaan yhtäpitävästi ilmaista sanomalla, että jollakin positiivisella kokonaisluvulla n voidaan kirjoittaa 4 n 1 = 15k, missä k Z + Induktioväitteen mukaan väite on tällöin tosi myös arvolla n + 1, toisin sanoen 15 jakaa myös luvun 4 (n+1) 1 Todistetaan tämä: 4 (n+1) 1 = 4 4 n 1 = 1 (15k + 1) 1 = 1 15k + 15 = 15 (1k + 1), siis myös luku 4 (n+1) 1 on jaollinen luvulla 15 Induktioperiaatteen nojalla väite on tosi kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n Osoita induktiolla, että n (k 1) = n(4n 1) kaikilla luonnollisilla luvuilla n 1 Vihje: Induktioväitteen todistamiseksi kannattaa purkaa auki osamäärä (n+1)(4(n+1) 1) Alkuaskel Tapaus n = 1: Yhtälön vasen puoli= ( 1 1) = 1 ja toisaalta oikea puoli= 1 (4 1 1) = = 1 Induktioaskel Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1 Induktioväite: n+1 (k 1) = (n+1)(4(n+1) 1) Induktioväitteen todistus: Sievennetään ensin yhtälön vasen puoli induktio-oletuksen avulla Nyt
n+1 (k 1) = n (k 1) + ((n + 1) 1) io = n(4n 1) + ((n + 1) 1) = n(4n 1) + (n + 1) = 4n n + 1n + 1n + = 4n + 1n + 11n + Yhtälön oikea puoli sievennettynä taas on = 4n n + (n + 1) (n + 1)(4(n + 1) 1) = (n + 1)(4(n + n + 1) 1) = 4n + 1n + 11n + = (n + 1)(4n + 8n + 4 1) Siis induktioväitteen summakaava pätee ja induktioperiaatteen nojalla tehtävän väite pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla n 1 Laske jonon a) (k + 5) 17 summa b) (1, 5, 9, 1, 17, ) kahdentoista ensimmäisen termin summa c) (5 k 1 ) summa a) Kyseessä on 17 termin aritmeettinen jono, jonka ensimmäinen termi a 1 = 1+5 = 8 ja viimeinen termi a 17 = 17+5 = 5 Aritmeettisen jonon summakaavalla saadaan 17 (k + 5) = 17 a1 + a 17 = 17 8 + 5 = 544 b) Kyseessä on luvusta a 1 = 1 alkava aritmeettinen jono, jonka peräkkäisten termien erotus d = 4 Aritmeettisen jonon summakaavalla saadaan 1 (a 1 + (k 1)d) = 1 a 1 + 1 11 d = 1 + 4 = 7
c) Kyseessä on kuusiterminen geometrinen jono, jonka ensimmäinen termi on 5 ja peräkkäisten termien suhde Siis geometrisen jonon summakaavan nojalla 5 k 1 = 5 1 1 = 5 1 79 = 180 4 a) Kulhoon mahtuu 5000 lasihelmeä Kulhoa täytetään helmillä panemalla sinne ensin helmeä ja sitten lisäämällä helmiä, joka kerralla 10 helmeä enemmän kuin edellisellä Monennellako kerralla kulho täyttyy? b) Maailman tunnetut öljyvarat riittävät erään arvion mukaan tämänvuotisella kulutuksella vielä 40 vuotta (tämä vuosi mukaanluettuna) Kauanko ne kestäisivät, jos kulutus kasvaisi 5% joka vuosi? Vinkki: Käytä tehtävissä laskinta selvittääksesi tarvitut likiarvot a) Huomataan, että kulhoon laitettavien helmien lukumäärä muodostaa aritmeettisen jonon (, 110, 10, ), jolla a 1 = ja d = 10 Käyttämällä aritmeettisen jonon summakaavaa nähdään, että n:nnen lisäyksen jälkeen helmiä on kulhossa (n 1)n n + 10 = 5n(19 + n) kappaletta Koska kulhoon mahtuu 5000 helmeä, päädymme tarkastelemaan yhtälöä 5n(19 + n) = 5000 n + 19n 0 = 0, josta ratkaisukaavaa käyttäen saamme ratkaisut n = 19 ± 19 + 4000 Vain positiivinen ratkaisu n = 41 19, 5 kelpaa, eli kulho tulee täyteen 4 lisäyskerralla b) Merkitsemme a:lla nykyistä vuosikulutusta ja m:llä tunnettujen öljyesiintymien arvioitua kokonaissisältöä, jolloin siis m = 40 Oletamme, että kulutus kasvaa 5% a vuodessa Tänä vuonna kulutus on a, ensi vuonna 105 105 a, ja sitä seuraavana ( ) a ja niin edelleen Vuosittainen kulutus muodostaa siis geometrisen jonon suhdelukunaan 105 Öljyä kuluu n:n vuoden aikana (tämä vuosi mukaanluettuna) a + 105 ( 105 ) a ( 105 1a a + + + Geometrisen summan kaavan nojalla n:n vuoden kulutukselle saadaan lauseke a 1 ( 105 )n 1 105 = 0a 1 ( 1 ( 0 0 1 1 = 0a 1 ( 1 0 1 0 ) = 0a 1 ( 1 0 (( 1 = 0a 0 0 0 1 0 1 )
Haluamme löytää pienimmän n:n arvon, jolle pätee (( 1 ) ( 1 m 0a 1 m 0 0 0a + 1 = Kokeilemalla laskimella huomaamme, että ( 1 0 ), 9 ja ( 1 0 ), 07 Öljyvarat kestäisivät siis vuotta (tämä vuosi mukaanlukien) 5 a Kauppamatkustaja on päättänyt vierailla Jyväskylässä, Vaasassa, Helsingissä ja Joensuussa Hän voi valita mistä näistä kaupungeista matkansa aloittaa, kunhan matka päättyy tähän samaan kaupunkiin Piirrä ongelmasta graafi ja etsi lyhin reitti! Kaupunkien väliset etäisyydet Vaasa - Joensuu 494 km Jyväskylä - Vaasa 8 km Helsinki - Joensuu 48 km Jyväskylä - Helsinki 7 km Vaasa - Helsinki 419 km Jyväskylä - Joensuu 45 km b Todista Bernoullin epäyhtälö (1 + x 1 + nx, x R, x 1, n N Vihje: Muista, että x 0 kaikilla x R! a Ongelmaa kuvaa täydellinen graafi K 4 painottettuna kaupunkien välisillä etäisyyksillä: Tarkasteltavia kierroksia on 1 1 = kappaletta Jos kierros päätetään aloittaa ja lopettaa Helsinkiin, ovat reittimahdollisuudet pituuksineen (km) seuraavat: (H, V, JO, JY, H) : 419 + 494 + 45 + 7 = 140 (H, V, JY, JO, H) : 419 + 8 + 45 + 48 = 184 (H, JY, V, JO, H) : 7 + 8 + 494 + 48 = 148 4
Lyhin reitti on siis Helsinki - Vaasa - Jyväskylä - Joensuu - Helsinki b Alkuaskel Näytetään, että väite pätee, kun n = 1 (Voisi näyttää myös kun n = 0) (1 + x) 1 = 1 + x 1 + x Induktioaskel Induktio-oletus: Väite pätee jollain n 1, eli (1 + x 1 + nx kaikilla x R Todistetaan induktioväite (1 + x+1 1 + (n + 1)x : Nyt (1 + x+1 = (1 + x)(1 + x io (1 + x)(1 + nx) = 1 + nx + x + nx = 1 + (n + 1)x + nx 1 + (n + 1)x + 0 = 1 + (n + 1)x Eli induktioväite pätee ja induktioperiaatteen nojalla tehtävän väite on tosi kaikilla n 1, n N! Osoita, että n +5n on kokonaisluku, kun n 1, n N Alkuaskel Tapaus n = 1: Luku 1 +5 1 = = 1 on kokonaisluku Induktioaskel Oletetaan, että n +5n on kokonaisluku jollakin luonnollisella luvulla n 1 ja todistetaan, että tällöin myös (n+1) +5(n+1) on kokonaisluku Tämä taas on yhtäpitävää sen kanssa, että luku (n + 1) + 5(n + 1) on jaollinen :lla (n + 1) + 5(n + 1) = (n + 1)(n + 1) + 5n + 5 = (n + 1)(n + n + 1) + 5n + 5 = n + n + n + n + n + 1 + 5n + 5 = (n + 5n) + n + n + = (n + 5n) + ( n + n + 1 ) Induktio-oletuksen nojalla n +5n on kokonaisluku, ts n + 5n on jaollinen :lla Lisäksi ( n +n + 1 ) on jaollinen :lla, jos vain n +n on kokonaisluku (millä tahansa n Z + ) Jos n on pariton, niin n + n on parillinen ja siten n +n on kokonaisluku Samoin, jos Jos n on parillinen, niin n +n on parillinen, joten n +n on kokonaisluku Siispä n +n + 1 on kokonaisluku Koska (n + 1) + 5(n + 1) voidaan esittää kahden luvulla jaollisen luvun summana, niin (n + 1) + 5(n + 1) on jaollinen :lla Induktioperiaatteen nojalla tehtävän väite pätee 5