5. lukujonot ja sarjat. Lukujono on järjeste1y joukko lukuja x 1, x 2, x 3,..., x N Kun jonon alkiot lasketaan yhteen, saadaan summa: N x i = x 1 + x 2 + x 3 +...+ x N i=1 Jos lukujono on ääre1ömän pitkä (eli N = ) sanotaan summaa sarjaksi (tai joskus sarjan summaksi). Äärellinen lukujonon jäsenten summan voi aina laskea. Jos N on ääretön, sarjan summa voi lähestyä jotain lukua (siis muuta kuin ± ) tai olla lähestymä1ä.
Suppeneminen Jos sarjan summa lähestyy jotain lukua, sanotaan, e1ä sarja suppenee (engl. "the series converges"). Jos sarjan summa ei lähesty mitään lukua, sanotaan, e1ä sarja hajaantuu tai divergoi (engl. "the series diverges"). Tällä kurssilla käsitellään aritmeejsta, geometrista ja Taylorin sarjaa.
AritmeeJnen lukujono ja summa a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + 2d) +... + (a 1 + (n -1)d) d = vakio n a 2 a 3 = a 1 + (N 1)d N=1 [ ] a n = n a 1 + a n 2 Esim: 1+ 2 + 3+... +100 =100 1+100 2 = 5050 Kun n, summa on ääretön (paitsi triviaalissa tapauksessa a 1 = d = 0). Aritmee.nen sarja (aritmee.sen sarjan summa) siis hajaantuu aina.
Geometrinen lukujono ja summa a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q 3 +... + a 1 q n-1 q = vakio n-1 N=0 =! " a 1 q N a 2 # $ = a 1(1 q n ) 1 q Kahden peräkkäisen termin suhde on aina a n+1 a n = a 1q n+1 a 1 q n = q a 3 a 4 a n Tätä käytetään tespnä sille onko jokin "tuntematon lukujono tai sarja geometrinen vai ei.
Geometrisen sarjan suppeneminen Kun n, summa on äärellinen vain jos q < 1. Tällöin geometrinen sarja siis suppenee, muuten se hajaantuu. Suppenevan geometrisen sarjan summa on: Esim:!a " 1 q N # $ = N=0 lim N a 1 (1 q N ) 1 q = a 1 1 q ( q <1) 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 +... suhdeluku 1 2 suppenee 1+ 2 + 4 + 8 +16 +... suhdeluku 2 hajaantuu 1+1+1+1+1+1+... suhdeluku 1 hajaantuu
Taylorin sarja Jos funkponlla f(x) on kaikki derivaatat pisteessä x 0 (eli sen voi derivoida kuinka monta kertaa tahansa) niin funkpon voi esi1ää Taylorin sarjana pisteessä x 0. f(x) = f(x 0 ) + f'(x 0)(x x 0 ) 1 + f'''(x 0 )(x x 0 )3 3! 1! +... = + f''(x 0)(x x 0 ) 2 2! f n (x 0 )(x x 0 ) n Käytännössä jos sarja suppenee, tarvitaan vain muutama termi. (Muista: 0! = 1). n=0 n!
Esimerkki: alkeisfunkpoiden Taylorin sarjoja Esitä e x ja sin(x) Taylorin sarjoina pisteen x 0 = 0 läheisyydessä. Laske sarjan neljä ensimmäistä termiä. Ratkaisu: Lasketaan ensin tarvi1avat derivaatat: d dx d dx (ex ) = e x, d2 dx 2 (ex ) = e x, d3 dx 3 (ex ) = e x d2 d3 (sin(x))=cos(x), (sin(x))= sin(x), 2 dx dx 3 (ex )= cos(x) Taylorin sarjan 4 ensimmäistä termiä ovat: f(x) f(x 0 ) + f'(x 0 )(x x 0 )1 1! + f''(x 0 )(x x 0 )2 2! + f'''(x 0 )(x x 0 )3 3!
f(x) f(x 0 ) + f'(x 0 )(x x 0 )1 1! + f''(x 0 )(x x 0 )2 2! + f'''(x 0 )(x x 0 )3 3! Saadaan siis: e x e 0 + e0 (x 0) 1 1! =1+ x + x2 2 + x3 6 + e0 (x 0) 2 2! + e0 (x 0) 3 3! sin(x) sin(0) + cos(0)(x 0)1 1! + -sin(0)(x 0)2 2! + -cos(0)(x 0)3 3! = x x3 6
x - x3 6 sin(x)
Taylorin sarja hyöty Taylorin sarjalla voidaan mikä tahansa analyyjnen (eli ääre1ömän monta kertaa derivoituva) funkpo ilmaista "lokaalisp" (jonkin pisteen läheisyydessä) likimääräisesp polynomina. Tämä helpo1aa usein laskemista huoma1avasp, koska polynomeja on helpompi käsitellä kuin esim trigonometrisia funkpoita. Taylorin sarjakehitelmät ovat usein hyödyllisiä erilaisten raja- arvojen ja likimääräisten arvojen selvi1ämisessä.
Taylorin sarja kemiassa: esim 1 Sähkökentän voimakkuus E etäisyydellä r sähköisestä varauksesta q on (k = vakio): E = kq r 2 Tarkastellaan kahta vierekkäistä saman suuruista mu1a vastakkaismerkkistä varausta (esim atomeja). Olkoon varausten välinen etäisyys 2d. Halutaan Petää sähkökentän voimakkuus, kun ollaan etäisyyden r päässä varausten keskikohdasta (yksinkertaisuuden vuoksi 1 ulo1uvuudessa): E = kq (r d) 2 kq 2d (r + d) 2 r +q q
Muokataan hieman: E = = kq (r d) 2 kq (r + d) 2 kq r 2 (1 d r )2 kq r 2 (1+ d = kq # r 2 (1 d r ) 2 (1+ d $ % r ) 2 r )2 r & '( q 2d +q Lasketaan sähkökentän voimakkuudelle raja- arvo joka pätee kun r >> d, eli d/r 0. Kehitetään (1+d/r) 2 ja (1 d/r) 2 sarjoiksi muu1ujan d/r suhteen. (1+x) 2 :n Taylorin sarja x = 0:n ympärillä: (1+ x) 2 (x 0) (1+ 0) 2 + 2(1+ 0) 3 1! =1 2x + 3x 2 +... 1 2x (x - 0) + 2 3 (1+ 0) 4 2! (x - 0) 2 +...
Äsken saapin: (1+ x) 2 1 2x (kun x 0) r q 2d +q Jolloin (1+ d r ) 2 1 2d r Ja edelleen ja (1 d r ) 2 1+ 2d r E = kq # r 2 (1 d r ) 2 (1+ d & $ % r ) 2 '( kq 2d (1+ 2 r r = 4kqd r 3 (1-2d r )) Eli dipolin sähkökentän voimakkuus on kääntäen verrannollinen etäisyyden kolmanteen potenssiin. (Tämä on tärkeää molekyylien välisiä vuorovaikutuksia käsiteltäessä.)
Taylorin sarja kemiassa: esim 2 Mustan kappaleen säteilyjakauma (säteilyintensiteej aallonpituudella λ kappaaleen lämpöplan ollessa T): p(λ)= 8πhc (e λ 5 hc λkt 1) 1 Miltä p(λ) näy1ää, kun aallonpituus on suuri (λ )? Ratkaisu: merkitään esin x = hc/λkt. Kun λ lähestyy ääretöntä, x lähestyy nollaa. Kehitetään ekspontenjfunkpo Taylorin sarjaksi x = 0 lähistöllä. 8πhc (e λ 5 hc λkt 1) 1 = 8πhc λ 5 (e x 1) 1 8πhc (e 0 + e0 (x 0) + e0 (x 0) 2 λ 5 1! 2! +... 1) 1
8πhc (e λ 5 hc λkt 1) 1 = 8πhc λ 5 (e x 1) 1 8πhc (e 0 + e0 (x 0) + e0 (x 0) 2 λ 5 1! 2! = 8πhc λ 5 +... 1) 1 (1+x+ x2 2 +... 1) 1 = 8πhc (x+ x2 λ 5 2 +...) 1 Jos x on rii1ävän pieni, x 2, x 3 jne ovat paljon paljon pienempiä kuin x: voidaan siis unohtaa kaikki korkeammat termit Taylorin sarjasta ja jä1ää vain lineaarinen termi p(λ)= 8πhc λ 5 (x) 1 = 8πhc λ 5 λkt hc = 8πkT λ 4, mikä sa1uu olemaan klassisen fysiikan mukainen tulos
6. Vektorit Vektori on n- dimensioinen olio (useimmissa sovelluksissa = 2 tai 3), jolla on suunta ja pituus. Vektoria kuvataan usein nuolella, joka kulkee kahden pisteen välillä. B( 1,5, 3) A(2,3,4) vektori AB = (-1-2)i + (5-3)j + (-3-4)k = -3i + 2j - 7k missä i, j ja k ovat yksikkövektoreita
Yksikkövektorit
Vektorin pituus Vektorin pituus lasketaan Pyhtagoran lauseen perusteella. Äskeiselle esimerkkivektorille: vektorin AB = -3 i+2j-7k pituus: AB = ( 3) 2 + (2) 2 + ( 7) 2 = 62 7,9 YleisesP mille tahansa vektorille pätee: X = a 2 + b 2 + c 2 X = ai + bj + ck Vastaavanlainen kaava pätee myös ulo1uvuuksien määrän ollessa pienempi tai suurempi kuin 3.
Otetaan toinen vektori joka kulkee pisteestä A pisteeseen C. C(2,4,5) B( 1,5, 3) θ A(2,3,4) vektori AC = (2-2) i+(4-3)j+(5-4)k=j+k AC = 0 2 +1 2 +1 2 = 2 1, 4 Olkoon vektorien AB ja AC välinen kulma θ. Kulman voi laskea pistetulon avulla. AB AC = AB AC cos(θ) cos(θ) = AB AC AB AC
Pistetulo Kahden vektorin pistetulo lasketaan seuraavasp: olkoon P = a p i + b p j + c p k ja Q = a q i + b q j + c q k P Q = a p a q + b p b q + c p c q Äskeisille esimerkkivektoreille siis AB = 3i + 2j - 7k ja AC = j + k AB AC = (-3) 0 + 2 1+ (-7) 1 = -5 cos(θ) = θ = arccos( 5 AB AC = 5 62 2 ) 117 5 62 2
Esimerkki Ammoniakin NH 3 atomien karteesisiksi koordinaateksi on laskennallisen kemian ohjelmalla saatu (yksikkönä Ångström): N 0.0000 0.0000 0.1166 H 1 0.0010 0.9399 0.2721 H 2 0.8135 0.4708 0.2721 H 3 0.8144 0.4691 0.2721 Laske H 1 N H 2 sidoskulma. Ratkaisu: muodostetaan vektorit NH 1 ja NH 2. vektori NH 1 = ( 0,0010 0,0) i + (0,9399 0,0)j + (0,2721 0,1166)k = 0,0010 i + 0,9399j + 0,3887k vektori NH 2 = ( 0,8315 0,0) i + ( 0,4708 0,0)j + (0,2721 0,1166)k = 0,8135 i 0,4708j + 0.3887k
Sidoskulma saadaan nyt pistetulon avulla: cos(θ)= NH 1 NH2 NH 1 NH2 = 0,0010 0,8135 + 0,9399 0,4708 + 0,3887 0,887 (0,0010 2 + 0,9399 2 +0,3887 2 ) (0,8135 2 +0,4708 2 +0,3887 2 ) = 0, 28096 θ = arccos( 0, 28096) 106,3, mikä on noin puolitoista aste1a pienempi kuin todellinen mita1u sidoskulma.
7. Kompleksiluvut Yhtälöllä x 2 = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjeste1y "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus i 2 = i i = 1 x = kompleksiluvun reaaliosa, Re(z) y = kompleksiluvun imaginääriosa, Im(z) Huom: älä sekoita imaginääriyksikköä i ja yksikkövektoria i
Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim: x 2 2x + 5 = 0 x = 2 ± ( 2)2 4 1 5 2 1 = 2 ± 1 4 2 = 2 ± 4i 2 = 2 ± 16 2 =1± 2i Merkitään juuria Z 1 = 1 + 2i, Z 2 = 1 2i Re(Z 1 ) = 1 Re(Z 2 ) = 1 Im(Z 1 ) = 2 Im(Z 2 ) = 2
Kompleksilukujen laskutoimitukset Olkoon Z 1 = x 1 + y 1 i, Z 2 = x 2 + y 2 i Yhteenlasku: Z 1 + Z 2 = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 )i Kertolasku: Z 1 Z 2 = (x 1 + y 1 i)(x 2 + y 2 i) = x 1 x 2 + x 1 y 2 i + x 2 y 1 i + y 1 y 2 i 2 = x 1 x 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i y 1 y 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i
Kompleksiluvun lii:oluku eli kompleksikonjugaa. Merkitään Z* tai Z = x + yi Z* = x yi Z Huomaa e1ä kompleksiluku kerro1una lii1oluvullaan antaa reaaliluvun: Z Z* = x 2 + y 2 Kompleksiluvun jakolasku Z 1 = x + y i 1 1 Z 2 x 2 + y 2 i = (x + y i)(x y i) 1 1 2 2 (x 2 + y 2 i)(x 2 y 2 i) Kerrotaan molemmat puolet Z 2 *:lla = (x 1 x 2 x 1 y 2 i + x 2 y 1 i y 1 y 2 i2 ) x 2 2 + x 2 y 2 i x 2 y 2 i - y 2 2 i 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + (x 2 y 1 - x 1 y 2 )i x 2 2 + y 2 2
Kompleksiluvun pituus ja argumenj Kompleksiluku voidaan esi1ää vektorina ns. kompleksitasossa. Im(Z) Z = x + iy (x,y) y (x,y) x Re(Z)
Kompleksiluvun pituus ja argumenj Kompleksiluku voidaan esi1ää vektorina ns. kompleksitasossa. Im(Z) y Z = x + iy (x,y) r θ (x,y) r: pisteen etäisyys origosta θ: vektorin ja Re(Z) akselin välinen kulma x Re(Z)
Im(Z) r θ (x,y) Re(Z) Olkon Z = x + iy. Tällöin Re(Z) = x ja Im(Z) = y. r = kompleksiluvun pituus (= moduli, itseisarvo), merkitään Z. Lasketaan pythagoraan kaavalla: Z = r = Re(Z) 2 + Im(Z) 2 = x 2 + y 2 θ = kompleksiluvun argumenj, merkitään Arg(Z): arctan( Im(Z) ) jos Re(Z) > 0 Re(Z) Arg(Z) = θ = { arctan( Im(Z) ) + π jos Re(Z) < 0 Re(Z)
Yhteys napakoordinaa1eihin Im(Z) r θ (x,y) Re(Z) Re(Z) = r cos(θ) Im(Z) = r sin(θ) Z = r (cos(θ) + i sin(θ))
Im(Z) r θ (x,y) Re(Z) Olkon Z = x + iy. Tällöin Re(Z) = x ja Im(Z) = y. θ = kompleksiluvun argumenj, merkitään Arg(Z): arctan( Im(Z) ) jos Re(Z) > 0 Re(Z) Arg(Z) = θ = { arctan( Im(Z) ) + π jos Re(Z) < 0 Re(Z) Re(Z) on vaaka- akseli, eli π (= 180 ) lisätään silloin kun ollaan pystyakselin vasemmalla puolella.
ArkustangenJfunkPon käytös +90 Arctan(x) x 90
Yksikköympyrä kompleksitasossa y=im(z) r=1 θ x=re(z)
ArkustangenJfunkPon käytös ArkustangenJ palau1aa kulmia 90 ja +90 asteen ( π/2 ja π/2 radiaanin) väliltä. Halutaan kuitenkin yleensä antaa argumenj kulmana 0 ja 360 väliltä! Jos y/x < 0, arctan(y/x) antaa tuloksena negapivisen kulman Jos y/x > 0, arctan(y/x) antaa tuloksena posipivisen kulman
Minkä merkkinen Im(Z)/Re(Z) on? [0...90 ] y posipivinen arctan(y/x) x Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) Arctan antaa oikean kulman.
Minkä merkkinen Im(Z)/Re(Z) on? [90...180 ] negapivinen y x arctan(y/x) Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) +180 Arctan antaa negapivisen & väärän kulman, pitää lisätä 180.
Minkä merkkinen Im(Z)/Re(Z) on? x arctan(y/x) [180...270 ] posipivinen Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) +180 y Arctan antaa posipivisen mu1a väärän kulman, pitää lisätä 180.
Minkä merkkinen Im(Z)/Re(Z) on? Arctan antaa negapivisen joskin sinänsä oikean kulman. Jos halutaan rajata kulma 0...360 välille, pitää lisätä 360. x y negapivinen arctan(y/x) Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) (+360 ) [270...360 ]
Esimerkki Etsi kompleksiluvun pituus ja argumenj ja piirrä kompleksilukuvektori. a) Z = 1 + i Ratkaisu: Z = Re(Z) 2 + Im(Z) 2 = 1 2 +1 2 = 2 Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) = arctan(1 1 ) = 45 2 45
b) Z = 0.5 ( 3/2)i Ratkaisu: Z = Re(Z) 2 + Im(Z) 2 = (- 1 3 2 )2 + (- 2 )2 =1 3 Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) +180 = arctan( 2 ) +180 = 240 1 2 240 1
Eulerin kaava Z =Re(Z) + Im(Z) i = r cos(θ) + r sin(θ) i = r (cos(θ) + i sin(θ)) = re iθ Z = r(cosθ + isinθ) = re iθ Eulerin kaava kytkee yhteen eksponen.funkeon ja trigonometriset funkeot, ja on hyvin hyödyllinen työkalu.
Eulerin kaavan sovelluksia Z = r(cosθ + isinθ) = re iθ KonjugaaJ: Z* = re iθ = r(cos(-θ) + isin(-θ)) = r(cos θ - isin θ) Kertolasku Z 1 = r 1 e iθ 1, Z 2 = r 2 eiθ 2 Z 1 Z 2 = r 1 e iθ 1 r 2 eiθ 2 = r 1 r 2 eiθ 1+iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) Jakolasku Z 1 Z 2 = r 1e iθ1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 )
Eulerin kaava helpo1aa kompleksilukujen kertolaskua (ja jakolaskua) huoma1avasp Z 1 Z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) Tulon itseisarvo: Z 1 Z 2 = r 1 r 2 Tulon argumenj: Arg(Z 1 Z 2 ) =θ 1 +θ 2
Kompleksilukujen tulo graafisesp pituudet kerrotaan, kulmat summataan Z 1 Z 2 r 1 r 2 θ 1 θ 2 Z 1 Z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) r 1 r 2 θ 1 +θ 2
Huomautus Seuraavat 7 kalvoa (joiden otsikossa on * - merkki) ovat kemispllekin hyödyllisiä tuloksia ja työkaluja, mu1a ne eivät ole väl1ämä1ömiä tämän kurssin suori1amiselle. TenPssä saa1aa tulla vastaan yhtälöitä tai integraaleja joiden laskeminen on helpompaa Eulerin kaavan avulla, mu1a ne onnistuvat myös muilla menetelmillä. * - merkityt kalvot ovat tässä mielessä ekstraa.
Eulerin kaavan sovelluksia* Kompleksiluvun potenssi: Z n = (re iθ ) n = r n e inθ = r n (cos(nθ)+ isin(nθ)) = r n (cos θ + isin θ) n Tämä tunnetaan De Moivren kaavana, ja se on hyödyllinen paitsi kompleksilukujen potenssien laskemisessa, myös trigonometristen funkpoiden potenssien ja moninkertaisten tai murtolukukulmien idenpteejen laskemisessa.
Trigonometristen idenpteejen johtaminen Eulerin & de Moivren avulla* Äsken saapin: r n (cos(nθ)+ isin(nθ)) = r n (cos θ + isin θ) n Olkoon r = 1 ja n = 2. Saadaan: cos(2θ)+ isin(2θ) = (cos θ + isin θ) 2 Lasketaan oikea puoli auki: cos(2θ)+ isin(2θ) = (cosθ + isinθ)(cosθ + isinθ) cos(2θ)+ isin(2θ) = cos 2 θ + 2cosθ isinθ + i 2 sin 2 θ cos(2θ)+ isin(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ + 2icosθ sinθ Jo1a yhtälö voi päteä, reaali ja imaginääriosien tulee olla yhtä suuret, ts: cos(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ ja sin(2θ) = 2cosθ sinθ
Eulerin kaavan sovelluksia* Trigonometristen funkpoiden ilmaiseminen eksponenjfunkpoiden avulla: e iθ = cos θ + isin θ (1) e iθ = cos θ isin θ (2) lasketaan yhtälöt 1 ja 2 yhteen: e iθ + e iθ = 2cos θ cos θ = eiθ + e iθ 2 vähennetään yhtälö 2 yhtälöstä 1: e iθ e iθ = isin θ isin θ sin θ = eiθ e iθ 2i
Eulerin kaava & integroinptehtävät* Esimerkki: laske cos(2θ)sin 2 (3θ)dθ Ratkaisu: käytetään Eulerin kaavasta johde1ua lauseke1a sini- ja kosinifunkpoille: cos(2θ)sin 2 (3θ)dθ = ( ei2θ + e i2θ )( ei3θ e i3θ ) 2 dθ 2 2i = 1 8 (ei2θ + e i2θ )(e i3θ e i3θ )(e i3θ e i3θ )dθ = 1 8 (ei2θ + e i2θ )(e i6θ 2e iθ (3 3) + e i6θ ) dθ = 1 8 (ei8θ 2e i2θ + e i4θ + e i4θ 2e i2θ + e i8θ ) dθ
cos(2θ)sin 2 (3θ)dθ = 1 8 (ei8θ 2e i2θ + e i4θ + e i4θ 2e i2θ + e i8θ ) dθ = 1 8 ((ei8θ + e i8θ )+ (e i4θ + e i4θ ) 2(e i2θ + e i2θ ) dθ = 1 8 2cos(8θ)+ 2cos(4θ) 4cos(2θ)) dθ = 1 8 (2sin(8θ) 8 = sin(8θ) 32 sin(4θ) 16 + 2sin(4θ) 4 + sin(2θ) 4 4sin(2θ) )+ C 2 + C
Missä kompleksiluvut ovat parempia kuin tavalliset vektorit?* Mitä kompleksiluvulle tapahtuu, kun se kerrotaan imaginääriyksiköllä (a + bi)i = ai + bi 2 = b + ai a + bi vastaa tason vektoria (a,b) b + ai vastaa tason vektoria ( b,a) Lasketaan vektorien välinen kulma: cos(θ) = (a,b) ( b,a) (a,b) (b,a) = -ab + ba (a,b) (b,a) = 0 θ = 90
Missä kompleksiluvut ovat parempia kuin tavalliset vektorit?* Im(Z) a b Imaginääriluvulle kertominen on helppo tapa kiertää kompleksivektoria 90. Kiertoja on muutenkin helpompi kuvata kompleksiluvuilla. a + bi b a Re(Z)
Kompleksiluvut kemiassa Imaginääriluku i esiintyy usein kvanjkemian operaa1oreissa, näistä on jo tava1u esim: - Liikemäärän operaa1ori: ˆp x = -i d dx = i d dx - ImpulssimomenJoperaa1ori: (huom: saman näköiset!) Ĵ z = i φ Myös aaltofunkpoissa on usein kompleksilukutermejä.
Esimerkki: kvanjmekaaninen pyörimisliike Massat m 1 ja m 2, vastakkaisilla puolilla origoa ja etäisyyksien r 1 ja r 2 päässä siitä, pyörivät origon ympäri. Merkitään kulmaa θ:lla. m 1 r 2 m 2 r 1 θ Systeemin Schrödingerin yhtälö: m 2 d 2 ψ I = 1 m 2 (r 2I dθ 2 = Eψ 1 + r 2 ) 2 m 1 +m 2 (hitausmomen0)
Edellä annetun schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu on ψ(θ) = Ce iaθ a R Ratkaisun reunaehdot saadaan vaapmalla e1ä aaltofunkpo on sama kulmalle θ ja θ + 2π: ψ(θ) = ψ(θ + 2π ) Ce iaθ = Ce ia(θ+2π ) = e ia2π Ce iaθ, mistä nähdään e1ä a:n on oltava kokonaisuluku: a = {0, ±1, ±2...}. Ratkaistaan seuraavaksi energia operoimalla Hamiltonin operaa1orilla anne1uun funkpoon: 2 2I d 2 ψ(θ) dθ 2 = 2 d 2 2I dθ 2 Ceiaθ = 2 d 2I dθ Ceiaθ ia = 2 2I Ceiaθ (ia) 2 = 2 a 2 2I Ceiaθ
Äsken saapin 2 d 2 ψ(θ) = 2 a 2 2I dθ 2 2I Ceiaθ = 2 a 2 2I ψ(θ) Vertaamalla tätä alkuperäiseen Schrödingerin yhtälöön 2 d 2 ψ 2I dθ = Eψ 2 nähdään hep e1ä E = 2 a 2 2I missä edelleen a = {0, ±1, ±2...}. (Vain Petyt a:n kokonaislukuarvoja vastaavat energiaplat ovat siis mahdollisia; sanotaan e1ä pyörivän kappaleen energiaplat ovat kvan34uneet.)
Esimerkki: vetyatomin aaltofunkpon kulmaosat Vetyatomin aaltofunkpossa on kolme ns kvanjlukua, n l ja m. r ψ n,l,m (r,θ,ϕ) = N n,l,m e na 0 ( 2r )L 2l+1 n l 1 ( 2r )Y m l (θ,ϕ) na 0 na 0 Kun sivukvanjluku l = 1 ja magneejnen kvanjluku m = ± 1, kulmaosa, joka kuvaa elektronin suuntaa vetyatomin ypmestä, on palloharmoninen funkpo johon sisältyy kompleksiarvoinen eksponenj: Y ±1 1 (θ,ϕ) = ( 3 1 8π ) 2 sin(θ)e ±iϕ Voidaan jakaa reaali- ja imaginääriosiin Eulerin kaavalla.