Diracin spinorit. Määritelmiä Diracin yhtälö Björkenin ja Drellin formulaation mukaan on γ µ (i µ ea µ ψ = mψ, ψ C 4, missä matriisit γ µ ovat ( γ = γ = I I, γ k = γ k = ( σ k σ k missä edelleen I on 2 2-yksikkömatriisi ja σ k ovat Paulin matriisit ( ( ( i σ =, σ 2 =, σ 3 = i Yleensä ψ C 4 on pystyvektorispinori, mutta se voidaan käsittää myös 4 4- matriisiksi, jossa vain ensimmäinen sarake on nollasta eroava, ts. ψ C (4 f, missä f on primitiivi-idempotentti f = 2 ( + γ 2 ( + iγ γ 2 =. Siispä Diracin spinori voidaan esittää joko pystyvektorispinorina tai neliömatriisispinorina ψ ψ ψ 2 ψ = ψ 3 ψ 2 C4 tai ψ = C (4 f, ψ 3 ψ 4 ψ 4 missä ψ k C. Jälkimmäisessä tapauksessa ψ = ψ f + ψ 2 f 2 + ψ 3 f 3 + ψ 4 f 4, missä kompleksisen lineaarisen spinoriavaruuden kanta on f = 4 ( + γ + iγ 2 + iγ 2 = f, f 2 = 4 ( γ 3 + iγ 23 γ 3 + iγ 23 = γ 3 f, f 3 = 4 (γ 3 iγ 3 + γ 23 iγ 23 = γ 3 f, f 4 = 4 (γ iγ 2 γ + iγ 2 = γ f..
.2 Matriisialgebran ja aika-avaruusalgebran erot Vaikka voimmekin samaistaa algebrat C Cl,3 C R (4, kompleksikonjugaatti ei ole sama algebrassa C Cl,3 kuin algebrassa C R (4 C (4. Matriisialgebrassa ( C (4 otetaan kompleksikonjugaatteja matriisialkioista, siis u = (u jk = u jk, kun taas kompleksisessa Cliffordin algebrassa C Cl,3 kompleksikonjugaatti ei vaikuta reaaliosaan Cl,3, vaan lasketaan u = (a + ib = a ib, missä a, b Cl,3. Asiaa voi selventää seuraava vastaavuustaulukko: C Cl,3 C (4 kompleksikonjugaatti u γ 3 u γ3 γ 3 u γ3 u kompleksikonjugaatti pääinvoluutio û γ 23 uγ23 reversio ũ γ 3 u γ3 Clifford-konjugaatti ū γ 2 u γ2 γ 3 ũγ3 u transpoosi γ ũ γ u = u Hermiten konjugaatti ũ γ u γ Diracin adjungaatti Mielivaltaiselle alkiolle u = u + u + u 2 + u 3 + u 4 u k k R,3, involuutiot ovat seuraavat: Cl,3, missä û = u u + u 2 u 3 + u 4 ũ = u + u u 2 u 3 + u 4 ū = u u u 2 + u 3 + u 4 pääinvoluutio reversio Clifford-konjugaatti missä reversio ja konjugointi ovat antiautomorfismeja eli ũv = ṽũ, uv = vū ja pääinvoluutio on automorfismi, ûv = ûˆv. Nämä involuutiot laajennetaan algebraan C Cl,3 kompleksisina lineaarikuvauksina siten, että skalaarille λ C ja alkiolle u Cl,3 ovat voimassa (λu = λû, (λu = λũ ja (λu = λū, kun taas kompleksikonjugointi on epälineaarinen (λu = λ u. Pystyvektorispinorille ψ C 4 Diracin adjungaatti on rivimatriisi ( ψ γ = ψ ψ2 ψ3 ψ4 ja neliömatriisispinorin ψ C (4 f Diracin adjungaatti on neliömatriisi ψ γ = γ ψ γ, jossa ainoastaan ensimmäinen rivi on nollasta eroava. Huomaa, että Diracin spinorin reaaliosa ja kompleksikonjugaatti riippuvat käytettävästä algebrasta. 2
Kun ψ C (4 f: Re ψ = Re ψ Re ψ 2 Re ψ 3 Re ψ 4, ψ = Kun ψ (C Cl,3 f (matriisiksi tulkittuna: Re ψ = 2 ψ ψ2 ψ 2 ψ ψ 3 ψ4 ψ 4 ψ3, ψ = ψ ψ2 ψ3 ψ4 ψ2 ψ ψ4 ψ3 Toisin sanoen Diracin spinori ψ voi esiintyä pystyvektorispinorina ψ C 4, neliömatriisispinorina ψ C (4 f tai (Clifford- algebrallisena spinorina ψ (C Cl,3 f missä kaksi viimeistä ovat toisistaan eroavia rakenteita. Huomaa, että algebrassa C Cl,3 reaaliosa Re ψ sisältää myös alkuperäisen Diracin spinorin ψ C 4 (toisin kuin Re ψ algebrassa C (4 f....3 Bilineaarikovariantit ja Fierzin identiteetit Pystyvektorispinorilla ψ C 4 on todennäköisyystiheys ψ ψ (> kun ψ (kvanttifysiikassa hiukkasen esiintymistodennäköisyys yksikköväliä kohti ja todennäköisyysvirran tiheys J k = ψ γ γ k ψ (k =, 2, 3 (kvanttifysiikassa todennäköisyysvirta tarkoittaa todennäköisyyttä, jolla hiukkanen ohittaa tarkastelupaikan aikayksikköä kohti, jotka voidaan yhdistää vektoriksi J = J µ γ µ, jonka komponentit ovat J µ = ψ γ γ µ ψ (jolloin J = ψ ψ. Eri muodoissaan ne ovat seuraavia J µ = ψ γ γ µ ψ ψ C 4 = tr ( ψ γ γ µ ψ ψ C (4 f = tr ( γ µ ψψ γ = 4 γµ ψψ γ = 4 γ µ ψ ψ ψ (C Cl,3 f Tässä kerroin 4 ilmaantui siksi, että f = 4 ( + γ + iγ 2 + iγ 2, 3
jonka skalaariosa on 4, eli f = 4, mutta tr (f =. Siis todennäköisyysvirtavektori on J = J µ γ µ = γ µ 4 γ µ ψψ γ ψ C (4 f = γ µ γ µ (4ψψ γ = γµ γ µ, 4ψψ γ = 4ψψ γ koska J µ = γ µ J = 4ψ ψ ψ (C Cl,3 f Bivektori S taas muodostetaan seuraavasti: S µν = ψ γ iγ µν ψ, jolle S µν = γ µν S ja S = 2 S µνγ µν. Eri muodoissa saadaan S µν = ψ γ iγ µν ψ ψ C 4 = tr ( ψ γ iγ µν ψ ψ C (4 f = tr ( iγ µν ψψ γ = 4 iγµν ψψ γ = 4 iγ µν ψ ψ ψ (C Cl,3 f S = 2 γµν S µν = 2 γµν 4 iγ µν ψψ γ = γ µν iγ µν (4ψψ γ = γ µν iγ µν, 4ψψ γ = i4ψψ γ = i 4ψψ γ 2 2 = i 4ψ ψ 2 ψ C (4 f ψ (C Cl,3 f Vektori J ja bivektori S ovat esimerkkejä bilineaarikovarianteista, joista alla lista pystyvektorispinorille ψ C 4 ja algebralliselle spinorille ψ (C Cl,3 f. σ = ψ γ ψ = 4 ψ ψ J µ = ψ γ γ µ ψ = 4 ψ γ µ ψ S µν = ψ γ iγ µν ψ = 4 ψ iγ µν ψ K µ = ψ γ iγ 23 γ µ ψ = 4 ψ iγ 23 γ µ ψ ω = ψ γ γ 23 ψ = 4 ψ γ 23 ψ (K = K µ γ µ Kaikki bilineaarikovariantit ovat reaalisia. Bilineaarikovariantit toteuttavat seuraavat kvadraattiset yhtälöt, joita kutsutaan Fierzin identiteeteiksi. J 2 = σ 2 + ω 2 K 2 = J 2 J K = J K = (ω + γ 23 σ S 4
Koordinaattimuodossa ne näyttävät seuraavilta: J µ J µ = σ 2 + ω 2 J µ J µ = K µ K µ J µ K µ = J µ K ν K µ J ν = ωs µν + σ (S µν missä (S µν = 2 ε µναβs αβ (ε 23 = tai S = Sγ 23..4 Spinorin esitys bilineaarikovarianttiensa avulla Olkoot σ, J, S, K, ω Diracin spinorin ψ bilineaarikovariantit. Olkoon η sellainen spinori, jolle η ψ algebrassa C Cl,3 tai vastaavasti η γ ψ algebrassa C (4. Tällöin spinori ψ on muotoa ψ = czη, missä Z = σ + J + is + iγ 23 K + γ 23 ω ja c C. Alkuperäinen ψ saadaan selville algoritmilla N = η Zη = η γ Zη 2 e iα = 4 N η ψ = N η γ ψ ψ = 4N e iα Zη, missä lukua e iα sanotaan vaihekertoimeksi. Erityisesti, jos valitaan η = f, saadaan N = Zf = 2 σ + J γ S γ 2 K γ 3 e iα = ψ ψ Siis spinori ψ voidaan vaihekerrointa e iα vaille määrätä bilineaarikovarianttiensa σ, J, S, K, ω avulla. Voidaan myös todistaa, että jos mielivaltaiset σ, J, S, K, ω toteuttavat Fierzin identiteetit (sekä J > ja 4 η Zη = η γ Zη >, niin ne ovat jonkun spinorin ψ bilineaarikovariantit..5 Äitispinori ja spinorioperaattori Määritellään algebralliselle spinorille ψ (C Cl,3 f äitispinori ψ ψ2 ψ 2 ψ Φ = 4 Re ψ = 2 ψ 3 ψ4 ψ 4 ψ3 5
ja spinorioperaattori Ψ = 2 ψ ψ2 ψ 3 ψ4 ψ 2 ψ ψ 4 ψ3 ψ 3 ψ4 ψ ψ2 ψ 4 ψ3 ψ 2 ψ. Äitispinorista Φ Cl,3 2 ( + γ saadaan alkuperäinen Diracin spinori tällöin seuraavasti: ψ = Φ 4 ( + iγ 2 (C Cl,3 f (saatava spinori on neliömatriisimuodossa ja spinorioperaattorista Ψ saadaan äitispinori Φ = Ψ ( + γ ja edelleen alkuperäinen Diracin spinori ψ = Ψ 2 ( + γ 2 ( + iγ 2 = Ψf. Spinorioperaattorin Ψ avulla saadaan esitettyä bilineaarikovarientit seuraavasti: Ψ Ψ = σ + γ 23 ω Ψγ Ψ = J Ψγ 2 Ψ = S Ψγ 3 Ψ = K 2 Fysikaalinen lähestymistapa spinoreihin 2. Aika-avaruusalgebra Cliffordin algebraa Cl,3 kutsutaan (kvanttifyysikoiden keskuudessa yleisemmin aika-avaruusalgebraksi (STA, koska sen generoi Minkowskin aika-avaruusmetriikka. STA:lle määritellään kantavektoreiden γ µ, µ =,, 2, 3 avulla, jotka toteuttavat yhtälön γ µ γ ν = η µν =. Aika-avaruusalgebran kantana on tällöin, {γ µ }, {σ k, γ 23 σ k }, {γ 23 γ µ }, γ 23, 6
missä σ k = γ k γ, k =, 2, 3. Huomaa, että fyysikot käyttävät yleensä pseudoskalaarista (γ 23 merkintää i ja imaginääriyksiköstä j. Koska bivektorit σ k toteuttavat kaavan 2 (σ jσ k + σ k σ j = 2 (γ jγ k + γ k γ j = δ jk, ne generoivat kolmiulotteisen euklidisen avaruuden geometrisen algebran. kantana on, {σ k }, {γ 23 σ k }, γ 23, Sen joka voidaan myös samaistaa STA:n parillisen alialgebran kanssa. Tällä tavalla jaetaan kuusi aika-avaruuden bivektoria relatiivivektoreihin ja relatiivibivektoreihin, esim. Faradayn bivektori F voidaan esittää muodossa F = E + γ 23 B, missä E = 2 (F γ F γ, γ 23 B = 2 (F + γ F γ. 2.2 Spinorit Edellä esitetyt Paulin matriisit ovat kvanttifysiikassa operaattoreita, joilla operoidaan kompleksisia spinoreita. Jotta ne paremmin muistettaisiin matriisialgebran alkioiksi, niitä merkitään hattumerkinnällä ˆσ k ja aika-avaruuden bivektoreita σ k. Spinorit kuvaavat kvanttitiloja ja siksi niille annetaan matriisialgebrassa erikoismerkinnät bra- ja ket-operaattoreiden avulla, esim. ket ( ψ = erottamaan niitä aika-avaruuden multivektoreista. Ketit ψ muodostavat kaksiulotteisen kompleksisen vektoriavaruuden. Jotta kvanttitiloja voitaisiin kuvata aika-avaruudessa, esitetään ne yleensä STA:n parillisen alialgebran alkioina ψ = γ ψγ siten, että ( a + ia 3 ψ = a 2 + ia ψ = a + a k γ 23 σ k. ψ ψ 2, 7
Erityisen mielenkiinnon kohteena ovat tietenkin tilat spin-ylös ja spin-alas: (, ( γ 23 σ 2. Kvanttioperaattoreiden ˆσ k ja i operaatioita vastaavat nyt seuraavat aika-avaruuden operaatiot: ˆσ k ψ σ k ψσ 3 (k =, 2, 3 i ψ ψγ 23 σ 3. Paulin spinorien laskentakoneisto laajenee helposti Diracin spinoreille. Diracin pystyvektorispinorin ψ ja STA:n välillä on yhteys ψ = a + ia 3 a 2 + ia b + ib 3 b 2 + ib ja operaattoreille ˆγ µ ja i saadaan ψ = a + a k γ 23 σ k + ( b + b k γ 23 σ k σ3 ˆγ µ ψ γ µ ψγ (µ =,, 2, 3 i ψ ψγ 23 σ 3. Lähteet [] Lounesto, P., Clifford Algebras and Spinor Operators, Clifford (Geometric Algebras, Birkhäuser, Boston, Basel, Berlin, 996 [2] Lounesto, P., Clifford Algebras and Spinors, London Mathematical Society Lecture Notes Series 239, Cambridge University Press, 997 [3] Gull, A., Doran, C., Lasenby, A., Electron Physics I, Clifford (Geometric Algebras, Birkhäuser, Boston, Basel, Berlin, 996 8