1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila noin 250 C. Vastaus: 10 C ja 250 C. 2. Kuvaajasta nähdään, että 10 kilometrin matkalla lämpötila nousee noin 170 10 = 160, joten sadan kilometrin matkalla lämpötila nousee 10 160 = 1600 jolloin lämpötila on 10 + 1600 = 1610. Vastaus: 1610 C 1.1 Lineaarinen riippuvuus ALOITA PERUSTEISTA 101. a) Kuvaajasta havaitaan, että 50 kg:n painoa vastaa lääkkeen määrä 150 mg. Vastaus: 150 mg. b) Kuvaajasta havaitaan, että lääkeannosta 90 mg vastaa paino 30 kg. Vastaus: 30 kg. c) Ei. Kuvaajasta havaitaan, että lääkettä olisi pitänyt antaa 120 mg, kun paino on 40 kg. Vastaus: Ei.
102. a) Kuvaajasta havaitaan, että, x-koordinaatin arvoa 2 vastaa y- koordinaatin arvo 2. Vastaavasti katsotaan taulukon muut lukuparit. Vastaus: x y 2 2 1 4 2,5 3 0,5 3 b) Suora leikkaa x-akselin pisteessä (1, 0) ja y-akselin pisteessä (0, 2) Vastaus: x-akselin pisteessä (1, 0) ja y-akselin pisteessä (0, 2). 103. a) Lasketaan funktion arvot sijoittamalla muuttujan x arvot funktion lausekkeeseen. Vastaus: x f(x) = x + 2 (x, y) 0 0 + 2 = 2 (0, 2) 1 1+ 2 = 3 (1, 3) 2 2 + 2 = 4 (2, 4) 3 3 + 2 = 5 (3, 5) b)
c) Kuvaajasta havaitaan, että piste ( 1, 3) ei ole kuvaajalla. Tarkistetaan laskemalla funktion arvo, kun x = 1. f( 1) = 1 + 2 = 1, joka on eri suuri kuin 3. Vastaus: Ei ole. d) Kuvaajasta havaitaan, että funktion kuvaaja leikkaa x-akselin, kun x 2, joten funktion f nollakohta on x 2. Tarkistetaan laskemalla funktion arvo, kun x = 2. f( 2) = 2 + 2 = 0, joten 2 on nollakohta. Vastaus: x 2. 104. a) Kun 1 kerrotaan luvulla 3, saadaan 3 ja kun siihen lisätään 2, saadaan 5, joten taulukon ensimmäisen rivin funktion arvo on 5. Vastaavasti saadaan taulukon muut arvot. Vastaus: x f(x) 1 5 0 2 1 1 2 4 b) Kun valitaan muuttujaksi x ja kirjoitetaan sanalliset toimenpiteet matematiikan symboleilla, saadaan funktion lausekkeeksi f(x) = 3x + 2. Vastaus: f(x) = 3x + 2. c) Lasketaan funktion arvo, kun x = 0,5. f(0,5) = 3 0,5 + 2 = 1,5 + 2 = 0,5. Koska funktion arvoksi ei tullut 0, ei x = 0,5 ole funktion f nollakohta. Vastaus: Ei ole.
105. A Kuva 2, koska alussa maksu on 0 ja 2 kk:n eli 60 päivän hinta on 100 ja 60 1,60 = 100. Vastaus: 2 B Kuva 1, koska alussa maksu on noin 60 ja 8 kk:n eli 240 päivän hinta on 300 ja 240 1 = 300. Vastaus: 1 C Kuva 3, koska maksu on koko ajan 500. Vastaus: 3 106. a) Koska f(4) = 2 4 + 6 = 2, on väite epätosi. b) Koska f(3) = 2 3 + 6 = 0, on väite tosi. c) Koska funktion f lauseke on suoran yhtälön muotoa kx + b, on väite tosi. d) Koska f(5) = 2 5 + 6 = 4, on väite epätosi. e) Koska f(6) = 2 6 + 6 = 6, on väite tosi. f) Koska f(7) = 2 7 + 6 = 8, on väite epätosi.
VAHVISTA OSAAMISTA 107. Oheisessa kuvakaappauksessa on näytetty kuinka b-kohdan vastaus luetaan. Vastaavasti saadaan muut vastaukset. a) 30 pistettä b) 26 pisteellä c) Arvosana 5- vastaa desimaalilukua 4,75 ja kuvaajasta nähdään, että arvosanan saa 9 pisteellä. d) arvosanaa 6,5 e) Esimerkiksi, jos 30 pisteestä pisteet putoavat 26 pisteeseen, arvosana muuttuu 10:sta 9:ään. Arvosana laskee yhden numeron verran. Sama tapahtuu muillakin pistemäärillä eli arvosana laskee aina yhden numeron verran.
108. a) Sijoitetaan pisteen (2,3) x-koordinaatti x = 2 suoran yhtälöön ja tutkitaan saadaanko y-koordinaatiksi luku 3. y = 4 2 5 = 3 Koska y:n arvoksi saatiin 3, on piste (2, 3) suoralla y = 4x 5. Vastaus: On. b) Sijoittamalla funktion lausekkeeseen x = 2 saadaan f(2) = 5 2 + 6 = 10 + 6 = 4. Koska funktion arvoksi ei saatu lukua 3, piste (2, 3) ei ole funktion f(x) = 5x + 6 kuvaajalla. Vastaus: Ei ole. 109. Taulukoidaan funktioiden arvoja ja piirretään kuvaajat. x f(x) = 4x + 8 1 4 1 + 8 = 4 2 4 2 + 8 = 0 x 0 3 g(x) = 1 x 2 3 1 g ( 0) = 0 2 = 2 3 1 g ( 3) = 3 2 = 1 3 Kuvaajan perusteella funktion f nollakohta on x = 2. Tarkistus: f(2) = 4 2 + 8 = 0 Kuvaajan perusteella funktion g nollakohta on x = 6. 1 Tarkistus: g ( 6) = 6 2= 0. 3 Vastaus: x = 2 ja x = 6.
110. A II, koska f(3) = 3 2 = 9 III, koska f(0) = 0 2 = 0 V, koska f(2) = 2 2 = 4 B I, koska funktion asteluku on 1 III, koska f(0) = 2 0 = 0 V, koska f(2) = 2 2 = 4 C I, koska funktion asteluku on 1 IV, koska f(1) = 1 + 2 = 3 V, koska f(2) = 2 + 2 = 4 D I, koska funktion asteluku on 1 E I, koska funktion asteluku on 1
111. a) Valmistuksen aloittaminen maksaa noin 40 000, koska kustannukset ovat kuvaajan mukaan noin 40 000, kun tuotteita on 0 kpl. Vastaus: noin 40 000. b) 1 000 tuotteen valmistuskustannukset ovat noin 70 000. Vastaus: noin 70 000.
c) Voitolle päästään, kun myyntitulot ylittävät valmistuskustannukset. Tuotteita pitää tällöin myydä noin 2 500 kappaletta. Vastaus: noin 2 500 tuotetta. d) Voitto saadaan, kun myyntitulosta vähennetään valmistuskustannukset. Myyntitulot 5 000 tuotteen myynnistä ovat noin 230 000 ja valmistuskustannukset ovat tällöin noin 190 000. Voittoa saadaan siis 230 000 190 000 = 40 000. Vastaus: noin 40 000. 112. a) Jäsen maksaa jäsenmaksun, vaikkei kävisi yhdelläkään tunnilla. Kuvasta nähdään, että jäsenmaksu on 30, koska hinta on 30, kun tuntien määrä on 0 kpl. Vastaus: Noin 30. b) Jos ei-jäsen käy esimerkiksi viidellä tunnilla, niin hinta on 30. Yhden tunnin hinnaksi tulee 30 5 = 6. Vastaus: Noin 6. c) Jos jäsen käy esimerkiksi viidellä tanssitunnilla, niin hinta on 50. Hintaan sisältyvät jäsenmaksu 30 ja tanssituntien maksut. Yhden 50 30 tunnin hinta on tällöin = 20 5 5 = 4. Vastaus: Noin 4. d) Kuvasta nähdään, että jäsenmaksun maksaminen kannattaa, jos käy vähintään 16 tanssitunnilla, koska sen jälkeen jäsenen (sininen suora) maksut ovat pienemmät kuin ei-jäsenen (punainen suora). Vastaus: Vähintään 16 tunnilla.
113. Koska 0 celsiusastetta vastaa 273 kelvinastetta, saadaan piste (0,273). Sataa celsiusastetta vastaa 100 + 273 = 373 kelvinastetta, joten saadaan toinen suoran piste (100,273). Piirretään niiden kautta suora. 114. Merkitään kirjaimella x puheaikaa minuutteina ja kirjaimella y kuukausittaisen puhelinlaskun suuruutta. Liittymä A x y=0,10x 0 0,10 0 = 0 100 0,10 100 = 10 Liittymä B x y=8 + 0,05x 0 8 + 0,05 0 = 8 100 8 + 0,05 100 =13
Liittymä C x y = 20 0 20 100 20 a) Kuvaajista nähdään, että liittymä A on edullisin (n. 10 ), kun puhuu alle 100 minuuttia. Vastaus: Liittymä A. b) Kuvaajista havaitaan, että liittymän B kuvaaja kulkee alimpana, kun puheaika on yli 160 minuuttia, mutta alle 240 minuuttia. Tällöin liittymä B on edullisin. Vastaus: Kun puheaika on yli 160 minuuttia, mutta alle 240 minuuttia.
115. a) Jos riippuvuutta voi kuvata suoralla, on kyseessä lineaarinen riippuvuus. Esim. ostettaessa kilohinnalla ostosten paino ja kokonaishinta riippuvat toisistaan lineaarisesti. b) Funktio, jonka lausekkeena on 1. asteen polynomi. Esim. f(x) = 3x +12. c) Nollakohta on se muuttujan arvo, jolla funktion arvo on nolla. Esim. x = 4 on funktion f(x) = 3x +12 nollakohta, koska f( 4) = 3 ( 4 + 12 = 0. SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 116. Koska valokiila laskee 5 metrin matkalla 5 cm, niin 1 metrin matkalla se laskee 1 cm. Jotta valokiila laskisi 60 cm, on matkan oltava 60 m. Vastaus: 60 metrin päähän.. 117. Alussa A:n ja B:n etäisyys on 5 km. A ja B polkevat vastakkaisiin suuntiin ja kohtaavat toisensa kun aikaa on kulunut 0,2 h = 0,2 60 min = 12 min. Tällöin A on polkenut 2 km ja B 3 km.
118. a) Merkitään vaaka-akselille varjon pituus ja pystyakselille kohteen korkeus. Jos varjon pituus on 0 cm, on pylvään korkeuskin 0 cm, joten suora kulkee origon (0,0) kautta. Jos varjon pituus on 140 cm, on pylvään korkeus 210 cm, joten suora kulkee pisteen (140,210) kautta. b) Kuvan perusteella puun korkeus on noin 8,1 m.
119. a) Elokuvalipun hintaa kuvaava suora kulkee pisteiden (2005; 8,5) ja (2015, 11) kautta. Keskituntipalkkaa kuvaava suora kulkee pisteiden (2005; 15) ja (2015, 19,5) kautta. b) Vuonna 2025 mallin mukaan elokuvalipun hinta on 13,50 ja keskituntipalkka on 24. Vastaus: Elokuvalippu maksaa n. 13,50 ja keskituntipalkka on n. 24.
c) Kymmenessä vuodessa keskituntipalkka nousi 15 eurosta 19,5 euroon, joten keskituntipalkka nousi vuodessa 19,5 15 10 = 4,5 10 = 0,45 Kymmenessä vuodessa elokuvalipun hinta nousi 8,5 eurosta 11 euroon, joten elokuvalipun hinta nousi vuodessa 11 8,5 10 = 2,5 10 = 0,25. Vastaus: Elokuvalipun hinta nousee n. 0,25 vuodessa ja keskituntipalkka nousee n. 0,45 vuodessa, d) Tämän mallin mukaan elokuvalippu ja keskituntipalkka ovat olleet yhtä suuria noin vuoden 1973 aikoihin, koska suorat näyttävät leikkaavan noin vuoden 1973 kohdalla. Vastaus: On olemassa, noin vuonna 1973. 120. Piirretään mallikuva Tie A kulkee pisteiden (0,0) ja (8,6) kautta. Tie B kulkee pitkin x-akselia. Tie C x f(x) = 7 x 0 7 0 = 7 7 7 7 = 0
a) Tiet B ja C risteävät kuvan perusteella pisteessä (7, 0). Vastaus: Pisteessä (7, 0). b) 7 km, koska tie A alkaa origosta ja risteys on pisteessä (7,0). Vastaus: 7 km:n päässä. c) Tiet A ja C risteävät pisteessä (4, 3). Vastaus: Pisteessä (4,3). d) Pisteen (4, 3) etäisyys x-akselista on y-koordinaatin 3 suuruinen, joten lyhin etäisyys tielle B on 3 km. Vastaus: 3 km:n päässä. e) Lasketaan pisteen (4, 3) etäisyys tien A alkupisteestä Pythagoraan lauseen avulla. Merkitään etäisyyttä muuttujalla x. Tällöin x 2 = 4 2 + 3 2 x 2 = 16 + 9 x 2 = 25 x =± 25 =± 5 Negatiivinen ratkaisu voidaan hylätä, joten kysytty etäisyys on 5 km. Vastaus: 5 km:n päässä.
121. Valitaan vaaka-akseliksi aika (min) ja pystyakseliksi matka (km). Aseman etäisyyttä lähtöpaikasta ei ole annettu eikä sillä ole tuloksen kannalta merkitystä. Valitaan aseman etäisyydeksi 2,4 km lähtöpaikalta. Pauliina lähtee ajanhetkellä 0 min ja on perillä 30 min kuluttua. Piirretään Pauliinan kulkua kuvaava suora pisteiden (0,0) ja (30;2.4) kautta. Eveliinan kulkua kuvaava suora kulkee silloin pisteiden (4,0) ja (4+24;2,4) eli ((28;2,4) kautta. Kohtaaminen tapahtuu, kun Eveliina on kävellyt 16 min.
1.2 Suoran yhtälö ALOITA PERUSTEISTA 122. a) Laskevia ovat suorat b, c ja f. b) Suora a on nouseva. c) Yhdensuuntaisia suoria ovat suorat b ja c. 123. A kuva 2, koska kuvan suoran ja y-akselin leikkauspiste on (0, 3) ja suoran kulmakerroin on 2. B kuva 4, koska kuvan suoran ja y-akselin leikkauspiste on (0; 1,5) ja suoran kulmakerroin on 0,5. C kuva 3, koska kuvan suoran ja y-akselin leikkauspiste on (0, 3) ja suoran kulmakerroin on 0. D kuva 1, koska kuvan suoran kaikkien pisteiden x-koordinaatti on 1. 124. a) Kulmakerroin on 4 ja vakiotermi on 1, joten suora kulkee pisteen (0, 1) kautta. Toinen piste saadaan liikkumalla 1 ruutu oikealle ja 4 ruutua ylös pisteeseen (1,3). Vastaus: k = 4, b = 1.
b) Kulmakerroin on 3 ja vakiotermi on 6, joten suora kulkee pisteen (0,6) kautta. Toinen piste saadaan liikkumalla 1 ruutu oikealle ja 3 ruutua alas pisteeseen (1,3). Vastaus: k = 3, b = 6. c) Kulmakerroin on 1 ja vakiotermi on 0, joten suora kulkee pisteen (0,0) kautta. Toinen piste saadaan liikkumalla 1 ruutu oikealle ja 1 ruutu alas pisteeseen (1, 1). Vastaus: k = 1, b = 0.
d) Kulmakerroin on 0 ja vakiotermi on 2, joten suora kulkee pisteen (0,2) kautta ja on x-akselin suuntainen. Vastaus: k = 0, b = 2. 125. a) Suora kulkee pisteen (0,4) kautta, joten sen vakiotermi b on 4. Suoran kulmakerroin k on 2, joten suoran yhtälö on y = kx + b = 2x + 4. Vastaus: y = 2x + 4. b) Suora kulkee pisteen (0, 5) kautta, joten suoran vakiotermi on 5. Suoran kulmakerroin on 3, joten suoran yhtälö on y = 3x 5. Vastaus: y = 3x 5. c) Suora saa kahdessa pisteessä saman y-koordinaatin arvon 1, joten sen täytyy olla x-akselin suuntainen suora. Suoran yhtälö on y = 1. Vastaus: y = 1. d) Suora saa kahdessa pisteessä saman x-koordinaatin arvon 3, joten sen täytyy olla y-akselin suuntainen suora. Suoran yhtälö on x = 3. Vastaus: x = 3.
126. a) Nollakohta on x 2. b) y = 2x + 4 VAHVISTA OSAAMISTA 127. a) Kulmakerroin lasketaan jakamalla y-koordinaattien erotus x- koordinaattien erotuksella. b) Laskevan suoran kulmakerroin negatiivinen. c) Yhdensuuntaisten suorien kulmakertoimet ovat yhtä suuret. 128. a) Nousevia suoria (kulmakerroin positiivinen) ovat 1, 4, 6, 7 ja 8. b) Laskevia suoria (kulmakerroin negatiivinen) ovat 2, 3, 5 ja 9. c) Keskenään yhdensuuntaisia suoria (sama kulmakerroin) ovat 1 ja 4; 2 ja 3; 5 ja 9; 7 ja 8.
129. a) x-akseli on suora, jonka kulmakerroin ja vakiotermi ovat 0, joten x- akselin yhtälö on y = 0. b) y-akseli on pystysuora suora, jonka kaikkien pisteiden x-koordinaatti on 0, joten y-akselin yhtälö on x = 0. 130. Suora a leikkaa y-akselin pisteessä (0,3) ja sen kulmakerroin 1, joten vakiotermi b = 3 ja kulmakerroin k = 1. Suoran a yhtälö on y = x + 3. Suora b leikkaa y-akselin pisteessä (0,0) ja sen kulmakerroin 3, joten b = 0 ja k = 3. Suoran b yhtälö on y = 3x. Suora on pystysuora ja kaikkien pisteiden x-koordinaatti on 3. Suoran c yhtälö on x = 3. Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, 3) ja sen kulmakerroin 1, joten b = 3 ja k = 1. Suoran d yhtälö on y = x 3. Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, 3) ja sen kulmakerroin on 0, joten b = 3 ja k = 0. Suoran e yhtälö on y = 3. Vastaus: a: y = x + 3, b: y = 3x, c: x = 3 d: y = x 3, e: y = 3 131. Piirretään suorat sopivalla ohjelmalla.
132. Piirretään pisteet (1,1) ja (4,7) koordinaatistoon ja piirretään niiden kautta kulkeva suora. a) Lasketaan x-koordinaattien erotus 4 1 = 3. b) Lasketaan y-koordinaattien erotus 7 1 = 6. c) Jaetaan y-koordinaattien erotus x-koordinaattien erotuksella 6/3 = 2. d) Suoran kulmakerroin laskettiin c-kohdassa, joten k = 2. e) Suoran kulmakerroin on 2 ja vakiotermi on 1, koska suora leikkaa y- akselin pisteessä (0, 1), joten suoran yhtälö on y = 2x 1. 133. a) Täydennetään taulukko, kun tiedetään, että lämpötila on aluksi 20 C ja se nousi 15 astetta minuutissa. aikaa kulunut lämpötila ( C) (min) 0 20 1 35 2 50
b) Valitaan vaaka-akseliksi aika minuutteina. Valitaan taulukosta kaksi pistettä ja piirretään suora sopivalla ohjelmalla. c) Kun vettä oli lämmitetty 4 minuuttia, niin veden lämpötila oli 80 C. d) Vesi kiehui, kun aikaa oli kulunut noin 5,3 minuuttia. e) Suora leikkaa y-akselin noin pisteessä (0,20), joten suoran vakiotermi on 20. Minuutissa veden lämpötila nousee 15 astetta, joten suoran kulmakerroin on 15. Suoran yhtälö on y = 15x + 20. f) Tarkistetaan suoran yhtälön avulla lämpötila, kun aikaa on kulunut 4 minuuttia. Sijoitetaan suoran yhtälöön x = 4. y = 15 4 + 20 = 80 eli sama tulos kuin kuvaajalta luettu. Tarkistetaan suoran yhtälön avulla kuinka paljon aikaa on kulunut, kun lämpötila on 100. Sijoitetaan suoran yhtälöön y = 100. 100 = 15 x + 20 80 = 15 x :15 x = 5,333 5,3 eli sama tulos kuin kuvaajalta luettu.
134. a) Suorat ovat sama suora, jos niillä on sama kulmakerroin ja sama vakiotermi. Tässä tapauksessa suorat ovat yksi ja sama suora, kun k = 5 ja b = 4. 135. b) Suorat eivät leikkaa, kun niillä on yhtä suuret kulmakertoimet ja erisuuret vakiotermit. Tehtävän suorat eivät leikkaa, kun k = 5 ja b 4. a) Kuvaajalta nähdään, että 10 km taksimatka maksaa noin 21,40. b) Kuvaajalta nähdään, että 50 eurolla pääsee noin 28 km. c) Koska taksimatkan hinta on 5,90, vaikkei matkustettaisi yhtään kilometriä, on taksin lähtömaksu 5,90. Koska lausekkeen muuttujan kerroin on 1,55, kasvaa maksu jokaista kilometriä x kohden 1,55, joten luku 1,55 tarkoittaa kilometrimaksua 1,55 /km.
136. a) Paine merenpinnan tasolla on 1 bar ja 11 km syvyydessä 1086 bar. Paine kasvaa kilometrin matkalla siis 1086 1 = 1085 = 98,636... 98,6 baaria. 11 11 Vastaus: 98,6 bar. b) a-kohdassa saatu paineen muutos kilometriä kohden on painetta kuvaavan suoran kulmakerroin. Suoran vakiotermi on 1, koska paine on 1, kun h = 0. Paineen lauseke on siten P(h) = 98,6h + 1. Vastaus: P(h) = 98,6h + 1.
137. a) Lämpötila merenpinnan tasolla on +15 astetta ja 11 km korkeudella 56 astetta. Lämpötilan muutos kilometrin matkalla on siis 56 15 71 = = 6,454... 6,5 astetta, joten ilma jäähtyy 6,5 11 11 astetta, kun noustaan 5,0 kilometrin korkeudelta 1,0 kilometriä ylöspäin. Vastaus: 6,5 astetta. b) a-kohdassa saatu lämpötilan muutos kilometriä kohden on lämpötilaa kuvaavan suoran kulmakerroin. Suoran vakiotermi on 15, koska lämpötila on 15, kun h = 0. Lämpötilan lauseke on siten T(h) = 6,5h + 15. Vastaus: T(h) = 6,5h + 15.
SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 138. Piirretään funktion f(x) = 50 27x kuvaaja. a) Muutetaan aika desimaaliluvuksi 1 h 15 min = 75 min = 75/60 h = 1,25 h. Kuvaajalta havaitaan, että polttoainetta on jäljellä noin 16 l. Vastaus: n. 16 l. b) Muutetaan a-kohdan aika minuuteiksi 1 h 15 min = 75 min. Koska 75 minuutissa polttoainetta kului 50 16 = 34 litraa, minuutissa polttoainetta kului 34 0,4533... 0,45 75 = litraa. Vastaus: n. 0,45 l c) Kuvan perusteella polttoainetta on jäljellä 13 litraa noin 1,4 h = 1 h + 0,4 h = 1 h + 0,4 60 min = 1 h 24 min 1 h 25 min jälkeen. Vastaus: n. 1 h 25 min
d) Koska varatankissa on polttoainetta 8,8 l, katsotaan ajoaika kohdasta, jossa polttoaineen määrä on 8,8 l. Havaitaan, että vesiskootterilla voi enintään ajaa noin 2,2 h 2 h 10 min. Vastaus: n. 2 h 10 min e) c-kohta: f(1,4) = 50 27 1,4 = 12,2 d-kohta: f(2,2) = 50 27 2,2 = 9,4 139. a) 2x + 3y = 12 3y = 2x + 12 :3 2 y = x+ 4 3 Saatu yhtälö on suoran yhtälö, joten kyseessä on lineaarinen riippuvuus. Vastaus: On.
x y b) = 20 3 4 y = x + 20 ( 4) 4 3 y= 4 x 80 3 Saatu yhtälö on suoran yhtälö, joten kyseessä on lineaarinen riippuvuus. Vastaus: On.
c) 2 y 10 x 6 = y = 2 + 10 ( 6) 6 x y = 12 60 x Saatu yhtälö ei ole suoran yhtälö, koska muuttuja x on nimittäjässä, joten ei ole lineaarinen riippuvuus. Vastaus: Ei ole.
d) 8 4 = 7 y x x y 8y 4x= 7xy 8y 7xy= 4x (8 7 xy ) = 4x y = 4x 8 7x Saatu yhtälö ei ole suoran yhtälö, koska muuttuja x on nimittäjässä, joten ei ole lineaarinen riippuvuus. Vastaus: Ei ole.
140. a) Valitaan vaaka-akseliksi aika minuutteina ja pystyakseliksi energiankulutus (kcal). Kaikki suorat kulkevat origon kautta, koska 0 minuutin liikunta kuluttaa energiaa 0 kcal. Suoran toisen pisteen saa tehtävän tiedoista. Eri liikuntamuotojen suorien pisteet: Juoksu (54,540) Uinti (81,540) Kävely (130,540) b) Valitaan vaaka-akseliksi aika minuutteina ja pystyakseliksi energiankulutus (kcal). Kaikki suorat kulkevat pisteen (0,540) kautta, koska alussa kukutettavaan energiaa on 540 kcal. Suoran toisen pisteen saa tehtävän tiedoista. Eri liikuntamuotojen suorien pisteet: Juoksu (54,0) Uinti (81,0) Kävely (130,0)
141. Suorilla ei ole leikkauspisteitä, kun ne ovat yhdensuuntaiset eivätkä ole sama suora. Jos k ja b ovat toistensa vastalukuja ja b on erisuuri kuin 1, suorilla on sama kulmakerroin, mutta eri vakiotermi. Tällaisia lukupareja ovat esimerkiksi (0, 0), (2, 2) ja (3, 3). Vastaus: (0, 0), (2, 2) ja (3, 3) 142. Lentokone kuluttaa tunnissa polttoainetta 2,39l 297 100km 900 km = 6388,47 litraa. h Lentokoneen paino vähenee tunnissa 0,8 kg 6388 l = 5110,78 kg tämä on suoran kulmakerroin. l kg Suoran yhtälön vakiotermi saadaan, kun tiedetään, että paino on alussa 275 000 kg. Lentokoneen paino ajan suhteen on y = 275000 5100x, missä y on paino ja x on aika tunteina. Vastaus: y = 275000 5100x 143. Lasketaan x- ja y-koordinaattien arvoja antamalla t:lle eri arvoja. t x = t +1 y = t + 2 0 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 Havaitaan, että pisteet ovat samalla suoralla. Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0,1), joten suoran vakiotermi on 1. Suoran kulmakerroin on 1, joten pisteet muodostavat suoran y = x + 1.
ALOITUSAUKEAMAAN LIITTYVIÄ TEHTÄVIÄ 1. Kuvaajalta nähdään, että lämpötilan pitäisi 2,5 km syvyydellä olla noin 50, joten mitattu arvo ei ole kuvaajalla. Vastaus: Ei ole. 2. Lasketaan ensin suoran kulmakerroin, joka kertoo kuinka monta astetta lämpötila nousee kilometrin matkalla. 120 10 k = = 15,71... / km 16 / km 7 km Suoran yhtälön vakiotermi b = 10, joten suoran yhtälö on y = 16x + 10, jossa y on lämpötila ja x on syvyys kilometreinä. Vastaus: y = 16x + 10.