Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z = (, y) koordinaatteja. Tavalliseen tapaan -akseli voidaan tulkita reaalilukujen joukoksi R. Tällöin -akselia kutsutaan reaaliakseliksi ja sitä voidaan tarvittaessa merkitä symbolilla R. Pistettä z = (, 0) kutsutaan reaaliluvuksi. Tällöin voidaan merkitä z = R. Algebrallisesti R on kunta. Reaaliluvuilla on määritelty yhteenlasku ja kertolasku siten, että tavalliset laskukaavat ovat voimassa. Erityisen mielenkiintoisia ovat tulon merkkisäännöt: kertojan merkki kerrottavan merkki tulon merkki + + + + - - - + - - - + Hämmästyttävää on, että myös negatiivisen luvun neliö on positiivinen. Eräs selitys löydetään laajentamalla R:n laskutoimitukset koko tasoon.
Reaalilukujen yhteenlaskun laajentaminen reaaliakselilta koko tasoon on helppoa. Jos z = (, y ) ja = (, y ) ovat kaksi pistettä, niin summaksi kelpaa tavallinen vektorisumma. z + = ( +, y + y ) y y + y z + y y + Kuva : Lukuparien (, y ) ja (, y ) summa Jos y = y = 0 eli pisteet ovat reaaliakselilla (ts. ovat reaalilukuja), niin z + on tavallinen reaalilukujen summa. (Merkitään z =, kun z = (, 0).) Kertolaskun laajentaminen ei ole yhtä helppoa, sillä valmiina ei ole sopivaa vektorituloa. Kertolaskun laajentamista varten esitetään tason pisteet z = (, y) (0, 0) napakoordinaattien r ja ϕ avulla: { = r cos ϕ Merkitään z = (r, ϕ). Tulo on nyt määriteltävissä yksinkertaisella kaavalla y = r sin ϕ z = (r r, ϕ + ϕ ). Siis: Pisteiden z ja etäisyydet origosta kerrotaan keskenään sekä vaihekulmat lasketaan yhteen. Erikoisesti on z = 0 aina ja vain kun z = 0 tai = 0.
z = (, y) r ϕ y Kuva 3: Lukuparin (, y) napakoordinaattiesitys z = (r r, ϕ + ϕ ) y = (r, ϕ ) ϕ ϕ z = (r, ϕ ) ϕ Kuva 4: Lukuparien tulo napakoordinaateissa y z = (r, ϕ) z = (r, ϕ) ϕ = π + nπ ϕ = 0 + nπ Kuva 5: Reaaliluvut 3
Tarkastellaan reaalilukujen kertolaskua tämän uuden kertolaskun valossa. Olkoon z = (r, ϕ) reaaliluku. Tällöin aina z = r. Lisäksi z = r > 0 ϕ = 0 + nπ z = r < 0 ϕ = π + nπ Jos nyt z = (r, ϕ ) ja = (r, ϕ ) ovat kaksi reaalilukua, niin z = (r r, ϕ + ϕ ), joten z > 0 ϕ + ϕ = 0 + nπ { { ϕ = 0 + n π ϕ = π + n tai π ϕ = 0 + n π ϕ = π + n π z > 0 ja > 0 tai z < 0 ja < 0. Reaalilukujen tulon merkkisäännöt ja uuden kertolaskun määritelmä liittyvät toisiinsa kauniilla tavalla.. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa Muodostetaan kertolaskun lauseke y-koordinaateissa. Olkoot Silloin Jos merkitään niin r = r r ja ϕ = ϕ + ϕ. Siis z = (, y ), = (, y ). = r cos ϕ, y = r sin ϕ = r cos ϕ, y = r sin ϕ. z = (, y) = (r cos ϕ, r sin ϕ), = r r cos(ϕ + ϕ ) = r r cos ϕ cos ϕ r r sin ϕ sin ϕ = (r cos ϕ )(r cos ϕ ) (r sin ϕ )(r sin ϕ ) = y y, y = r r sin(ϕ + ϕ ) = r r sin ϕ cos ϕ + r r cos ϕ sin ϕ = (r cos ϕ )(r sin ϕ ) + (r cos ϕ )(r sin ϕ ) = y + y. 4
Algebrasta tuttu kaava z = ( y )(, y ) = ( y y, y + y ) seuraa siis kertolaskun (geometrisesta) määritelmästä. Algebrassa on tästä kaavasta lähtemällä voitu helposti todistaa, että (R, +, ) on kunta. Sille käytetään merkintää C ja sen alkioita kutsutaan kompleksiluvuiksi. Yhtälöllä = ei ole tulon merkkisääntöjen nojalla ratkaisua reaalilukujen kunnassa R. Tutkitaan, onko sillä ratkaisua kompleksilukujen kunnassa C. Koska 0 = 0, riittää tarkastella kompleksilukuja z 0. Olkoon z:lla napakoordinaattiesitys z = (r, ϕ). Silloin = (r, ϕ) ja = (, π), joten = { r = ϕ = π + nπ { r = ϕ = π/ + nπ y z Kuva 6: Yhtälön = ratkaisut Yhtälöllä = on siis kaksi ratkaisua { z = (0, ) (n = 0,, 4,...) = (0, ) (n =, 3, 5,...), 5
missä = z. Merkitään i = (0, ). Silloin i =. Lukua i kutsutaan imaginaariyksiköksi, ja y-akselia imaginaariakseliksi. Muotoa z = (0, y) = iy olevia kompleksilukuja kutsutaan puhtaasti imaginaarisiksi. Muistamme, että muotoa z = (, 0) = olevia kompleksilukuja kutsutaan reaalisiksi. Jos niin on z:n reaaliosa ja z = (, y) = (, 0) + y(0, ) = + yi = + iy, = Re z y = Im z on z:n imaginaariosa. Molemmat luvut ja y ovat siis reaalisia, joten Lukua z = Re z + iim z. z = (, y) = iy kutsutaan z:n liittoluvuksi eli kompleksikonjugaatiksi. Määritelmistä seuraa, että (z + ) = z + z = z (z) = z z + z = Re z z z = iim z. Jos z = (r, ϕ), niin z = (r, ϕ). Kuvaus z z on peilaus -akselissa. Oliko edellä tehty merkintä z = +iy täysin perusteltu? Olkoon z = (, y) kompleksiluku ja t = (t, 0) reaalinen kompleksiluku. Silloin tz = (t, 0)(, y) = (t 0y, ty + 0) = (t, ty). Jos t 0, on z t = t z. Kompleksiluku kerrotaan (ja jaetaan) reaaliluvulla siis samalla tavalla kuin lineaarialgebrassa vektori kerrotaan (ja jaetaan) reaaliluvulla. Lineaarialgebran tapaan R :ssa käytetään nyt kantaa e = = (, 0), e = i = (0, ) ja laskut todellakin on luvallista suorittaa tavallisten algebran kaavojen mukaisesti: z = (, y) = (, 0) + (0, y) = (, 0) + y(0, ) = + y i = + iy. 6
Tavallinen algebra sujuu näillä lausekkeilla samoilla säännöillä kuin reaalilukujen algebra. Ainoa ero on, että i = i 3 = i i 4 = i 5 = i i 6 = i 7 = i i 8 = jne. (Lisäksi on i 0 = ja i = i). Kompleksiluvun z = + iy itseisarvolla eli modulilla z tarkoitetaan vektorin (, y) pituutta z = + y. Jos t > 0, niin tz = t z. Lause z = zz (= z ). Todistus. zz = ( + iy)( iy) = (iy) = + y = z. Kompleksiluvun z 0 vaihekulmaa ϕ kutsutaan sen argumentiksi arg z. Näin ollen arg z = arg z = z cos(arg z) y = z sin(arg z) z = z (cos(arg z) + i sin(arg z)) Usein merkitään r = z ja ϕ = arg z. Silloin z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Kertolaskun geometrisen määritelmän perusteella z = z arg(z ) = arg z + arg. Täydellisen induktion periaatteesta seuraa, että z z n = z z n arg(z z n ) = arg z + arg + + arg z n z z n = r r r n (cos(ϕ + ϕ + ϕ n ) + i sin(ϕ + ϕ + + ϕ n )). 7
y i z arg z i z Kuva 7: Kompleksiluvun argumentti ja liittoluku.3 Käänteisluku ja jakolasku. Olkoon z 0. Silloin = z z z = + y i y + y z = z = + y y i( y y ) + y = z = z. Jakolaskussa lukujen hajottaminen reaali- ja imaginaariosiin pidentää lausekkeita huomattavasti. Kaavoista seuraa z = z z = z z = z z = z z = z z = z arg z ( ) = arg z z = arg + arg z = 0 arg z = arg z z ( ) z = arg z + arg = arg z arg arg z = arg Kahden kompleksiluvun z 0 ja 0 osamäärä muodostetaan jakamalla itseisarvot keskenään ja vähentämällä nimittäjän argumentti osoittajan argumentista. Kyseessä on siis myös geometrisesti kertolaskulle käänteinen laskutoimitus. 8
.4 Esimerkkejä.. Suorita jakolasku +i +i, ts. jaa reaali- ja imaginaariosiin. i i Tehtävä ratkaistaan poistamalla i nimittäjästä. Jos lavennetaan nimittäjän liittoluvulla, nimittäjään tulee i, joka on reaalinen: + i i = ( + i)( + i) ( i)( + i) = + 3i 5 = 5 + 3 5 i = ( + i)( + i) (i) = + 3i 5. Vastaavasti a) = i = i i i( i) Re = 0, Im = i i b) 3+i i = (3+i)(+i) ( i)(+i) = 3 +5i = + i 5. 3. Olkoon z i. Laske z i +iz Ratkaisu: z i + iz = z i ( ) z i + iz = z i + iz + iz z + i iz = z + + i(z z) + z + i(z z) = Toinen tapa: joten z i + iz = z i i( i + z) = i = i, z i + iz =. 4. Olkoon z = + iy ja = + iy. Silloin z = iy = iy. Siis z + = z +. 9
Koska on z = y y + i( y + y ), z = z. Koska on z = + y y i( y y ) + y ( z ) = z. 5. Kolmioepäyhtälö Olkoot a ja b kompleksilukuja. Silloin Vastaavasti a + b = (a + b)(a + b) = a + b + ab + ab = a + b + ab + (ab) = a + b + Re ab. a b = (a b)(a b) = a + b ab ab Laskemalla yhteen saadaan kaava = a + b Re ab. a + b + a b = ( a + b ) eli suunnikkaan lävistäjien neliöiden summa on kaksi kertaa sivujen neliöiden summa. Koska a = (Re a) + (Im a), on a Re a a, a Im a a. Koska kertolaskun geometrisen määritelmän mukaan ab = ab, on ab Re ab ab, joten a + b a + b + a b = ( a + b ) a + b a + b a b = ( a b ). 0
Tuloksena on tavallinen kolmioepäyhtälö: a b a + b a + b, joka nyt on voimassa myös kompleksiluvuille. Soveltamalla kolmioepäyhtälöä esitykseen z = + iy saadaan y z + y.