3. Differen/aalilaskenta

3. Differen/aalilaskenta Differen/aali "hyvin pieni muutos" Keskeinen käsite: derivaaba (kuvaa muutosnopeuba). Ennen derivaatan käsibelyä tarvitaan tärkeä työkalu: raja- arvo eli limes (merkitään lim ). Funk/on raja- arvo kuvaa funk/on käybäytymistä kun se lähestyy /ebyä pistebä (tai äärentöntä). Yhden muubujan funk/on f(x) raja- arvo kun x lähestyy arvoa k merkintään: lim x k f (x) Jos funk/olla f(x) on hyvin määritelty arvo pisteessä x=k, on raja- arvon laskeminen sangen helppoa. Esim: lim x 2 x2 = 2 2 = 4 lim x e ln(x) = ln(e) = Usein ollaan kuitenkin kiinnostuneita raja- arvoista sellaisten pisteiden kohdalla joissa funk/on arvo on määribelemätön, tyypillises/ nollalla jakamisen tai äärebömyyden takia. Esim: lim x 2 x 2

Raja- arvojen yhteydessä esiintyy usein ääretön, merkitään. Joskus halutaan /etää miten funk/o käybäytyy kun sen muubujaa kasvatetaan äärebömän suureksi. Esim: lim x x = 0 koska mitä suuremmaksi x kasvaa, sitä lähemmäksi nollaa funk/on /x arvo menee. Myös raja- arvo voi olla ääretön, esim: lim x 0 x 2 = koska mitä lähempänä nollaa x on, sitä suuremman arvon /x 2 saa. (/x on hankalampi tapaus koska sen raja- arvo on - jos nollaa lähestytään vasemmalta ja + jos nollaa lähestytään oikealta.) Matemaa/kot ovat kehibäneet suuren määrän työkaluja, joilla voidaan laskea funk/oiden raja- arvoja sellaisissa pisteissä missä funk/ot ovat määribelemäbömiä. Luonnon/eteissä yleisimmät määribelemäbömyyden tapaukset ovat 0/0, / tai -. Joskus raja- arvo voidaan laskea yksinkertaisella murtolausekkeen sievennyksellä: lim x x 2 x = lim x (x )(x +) x = lim x (x +) =+= 2 2

Vaikeammissa tapauksissa tarvitaan järeämpiä matemaazsia työkaluja (esim. L'Hôpitalin sääntö missä derivoidaan murtolausekkeen molemmat puolet), muba niitä ei tällä kurssilla käsitellä. Oleellisempaa on ymmärtää itse raja- arvon käsite. Käytännössä raja- arvoa voi yribää arvioida laskemalla (laskimella tai /etokoneella) arvoja yhä lähempänä kiinnostuksen kohteena olevaa pistebä. Tämä ei /etys/ kelpaa matemaazseksi todistukseksi raja- arvolle, muba on kemis/lle usein kätevää. Luonnon/eteellisissä sovelluksissa raja- arvot usein lasketaan sovi*amalla ja ekstrapoloimalla. Kemiallinen esimerkki (kiitos Lauri Partanen) Ideaalikaasulaki pv=nrt lienee tubu. Ideaalikaasulaki on vain likimääräinen kuvaus kaasun käytöksestä, ja pätee tarkas/ vain silloin kun paine on äärebömän pieni. Tätä /etoa käybäen voidaan periaabeessa määribää yleisen kaasuvakion R tarkka arvo: R = lim p 0 pv nt Voitaisiin siis obaa tunnebu ainemäärä n mitä tahansa kaasua, pitää se vakiolämpö/lassa T, laskea paineba p ja mitata kaasun /lavuus V kullakin paineen arvolla. 3

Mahdollinen koejärjestely Kammio jossa säädeltävä paine p ja vakiolämpö/la T p = 00 kpa Ilmapallo jossa n mol kaasua V = 0.70 L AGA N 2 Mahdollinen koejärjestely psssshh p = 00 kpa V = 0.70 L AGA N 2 4

Mahdollinen koejärjestely psssshh p = 90 kpa V = 0.78 L AGA N 2 Mahdollinen koejärjestely psssshh p = 80 kpa V = 0.88 L AGA N 2 5

Mahdollinen koejärjestely psssshh p = 70 kpa V = 0.99 L AGA N 2 Mahdollinen koejärjestely psssshh p = 60 kpa V =.7 L AGA N 2 6

Mahdollinen koejärjestely psssshh p = 50 kpa V =.4 L AGA N 2 Mitä tapahtuisi kun p = 0? AGA N 2 7

Täydellistä tyhjiötä ei voida tuobaa. Lisäksi ilmapallon /lavuus lähestyisi tällöin ääretöntä, ja äärebömän kokoiset mibauskammiot ovat kalliita. Kaasvuvakio R joudutaan siis määribelemään raja- arvon avulla. Mitataan siis p,v pareja aina matalammassa ja matalammassa paineessa, ja katsotaan mitä arvoa pv/nt lähestyy, kun p lähestyy nollaa. Tarkka arvo R:lle voidaan laskea esimerkiksi sovibamalla dataan suora (tai muu sopiva funk/o), ja ekstrapoloimalla pv/nt lausekkeen arvo kun p = 0. gramman näybeelle happikaasua (O 2 ) lämpö/lassa T = 273,5 K mitazin kuvatunkaltaisella koejärjestelyllä seuraavat /lavuudet: Paine, kpa 25,33 50,66 75,99 0,3 V, dm 3 2,803,4003 0,93335 0,69998 O 2 :n moolimassa on 3,999 g/mol, joten ainemäärä n = (/3,999) mol = 0,0325 mol. nt on siis 8.53620 mol K. Lasketaan jokaista paineba vastaava pv/nt - arvo: Paine, kpa 25,33 50,66 75,99 0,3 pv/nt, J/K mol 8,325 8,304 8,3088 8,3067 Huomataan ebä paineen laskiessa lähestytään oikeaksi /edebyä R:n arvoa 8

Suoran sovitus ja ekstrapoloin/ (kuva: Lauri Partanen) DerivaaBa DerivaaBa kuvaa funk/on muutosnopeuba Esim. kertaluvun kemiallinen reak/o A B Reak/on nopeus on A:n tai B:n konsentraa/on muutosnopeus. Reak/on hetkellinen nopeus on v = d[ A] = d[ B] dt dt Muita derivaatan merkintätapoja: df(x) = f'(x) = f () (x) = D x f(x) = Df(x) 9

df(x) = f'(x) = f () (x) = D x f(x) = Df(x) Kaikissa näissä derivoidaan x:n suhteen. Jos funk/o f riippuu myös muista muubujista, ja halutaan erikseen korostaa ebä derivoidaan (vain ja ainoastaan) x:n suhteen, käytetään osibaisderivaatan merkintää: f(x) x = ( f(x) x ) y,z,... nämä pidetään vakiona osibaisderivaabaa laskebaessa Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h 0

Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h 0/0 tyyppinen raja- arvo f(x) f(x+h) h Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h

Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h 2

Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x+h) f'(x) h Derivaatan graafinen tulkinta Δf (x) Δx Muodollinen määritelmä: kun Δx hyvin pieni. = lim f (x + h) f (x) h 0 h f'(x) 6

DerivaaBa kohdassa x = funk/on kulmakerroin, voidaan kuvata tangenzviivalla Esim: Vetyjodidin hajoamisreaak/o 2HI(g) H 2 (g) + I 2 (g) Etenemistä voi seurata mibaamalla HI:n konsentraa/ota ajan funk/ona. MiBaustulokset 50 C lämpö/lassa: [HI],mol/L 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 50 00 50 200 t,s Mikä on vetyjodidin hetkellinen hajoamisnopeus kun t = 70 s? 7

Ratkaisu: piirretään tangenz t = 70 s kohdalle [HI],mol/L 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 50 00 50 200 t,s Ratkaisu: piirretään tangenz t = 70 s kohdalle [HI],mol/L 0.8 0.6 Δ[HI] 0.4 0.2 Δt 0 0 50 00 50 200 t,s 8

Ratkaisu: piirretään tangenz t = 70 s Kohdalle [HI],mol/L 0.8 0.6 Δ[HI] 0.4 0.2 Δt Nyt voidaan arvioida muutosnopeus 0 0 50 00 50 200 t,s d [ HI] dt Δ [ HI ] 0,24 mol/l 0,0033 mol/ls Δt 72 s Alkeisfunk/oiden derivaatat Vakio D x a = 0 Esim D x 8 = 0 Potenssifunk/o D x x n = nx n Esim. D x x 7 = 7x 7 = 7x 6 D x x 2 = 2x 3 D x x = D x x = x 0 = D x (/x 3 ) = D x x 3 = 3x 4 D y y ab+2 = (ab+2)y ab+ 9

Missä sin(x) muubuu nopeiten? Entä vähiten? Missä cos(x) muubuu nopeiten ja vähiten? cos(x) sin(x) Alkeisfunk/oiden derivaatat Trigonometriset funk/ot D x sin x = cos x D x cos x = sin x EksponenZfunk/o D x e x = e x Logaritmifunk/o D x ln x = /x 20

Derivoin/säännöt Vakiokertoimen käsibely (tässä k = vakio) D x k = 0 D x [kf(x)] = kd x f(x) =kf'(x) Esim. D x (5e x ) = 5D x e x = 5e x Summa ja erotus D x [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x) Esim. D x [3x 2 4x +2] = D x 3x 2 + D x ( 4x) + D x (2) = 3 2x 2 + 4 x + 0 = 6x 4 Derivoin/säännöt Tulo D x [f(x) g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) Esim. D x [x sin(x)] = D x (x) sin x + x D x (sin x) = sin x + x cos x = sin x + x cos x Esim. D x [(x 2 )e x cos(x)] = 2x e x cos(x) +(x 2 )e x cos(x) (x 2 )e x sin(x) 2

Osamäärä Esim. D x f(x) g(x) Derivoin/säännöt = f'(x)g(x) f(x)g'(x) g(x) [ ] 2 d e x d x x = D x (ex ) x - e x D x (x) x 2 = xex e x x 2 Toinen tapa: d e x d x x = d (e x x ) = D x (e x ) x + e x D x (x ) d x = e x x + e x ( x 2 ) = e x (x x 2 ) = ex x ex x 2 = xex e x x 2 Osamäärä Esim. D x f(x) g(x) Derivoin/säännöt = f'(x)g(x) f(x)g'(x) g(x) [ ] 2 d x d x x + = D x(x ) (x+) D x (x+)(x ) (x +) 2 = (x+) (x ) x+ x+ 2 = = (x +) 2 (x +) 2 (x +) 2 22

Yhdistetyn funk/on derivaaba Funk/o f jossa muubujana on funk/o g: f(g(x)) Esim f(x) = e x ulkofunk/o g(x) = x 2 sisäfunk/o f(g(x)) = e x2 yhdisteby funk/o D x f(g(x)) = df(u) du dg(x) u=g(x) D x e x2 = deu 2 du u=x 2 = e u u=x 2 2x = e x2 2x Ketjusääntö ( chain rule ) Äsken näh/in tulos D x f(g(x)) = df(u) du Tämä on esimerkki yleisemmästä ns. ketjusäännöstä: df = df du du dg(x) u=g(x) Esimerkissä u = g(x), muba sääntö pätee yleises/ mille tahansa muubujalle u. Säännön avulla saadaan helpos/ johdebua monia derivaaboja. 23

Tavallisia esimerkkejä yhdistetyistä funk/oista : D x [f(x) n ] = n f(x) n f'(x) Esim. D x (sin 3 x) = D x (sin x) 3 = 3 sin 2 x cos x D x cos[f(x)] = sin[f(x)] f'(x) D x sin[f(x)] = cos[f(x)] f'(x) Esim. D x [cos(2x)] = sin(2x) 2 D x [sin(x 2 )] = cos(x 2 ) 2x D x [e f(x) ] = e f(x) f'(x) Esim. D x (e x2 ) = e x2 2x Tavallisia esimerkkejä yhdistetyistä funk/oista 2: D x ln[ f(x) ] = f'(x) f'(x) = f(x) f(x) Esim D x ln(x+) Esim D x ln(cos(x)) = /(x+) D x (x+) = /(x+) = /(x+) = /(cos(x)) D x cos(x) = /(cos(x)) sin(x) = sin(x)/cos(x) = tan(x) 24

Derivoimiskaavoja Näitä löytyy MAOLin taulukoista, muista taulukkokirjoista, ne/stä, jnpp... Useimmat kaavat johdebavissa melko helpos/ edellä esitebyjen sääntöjen perusteella, kunhan alkeisfunk/oiden derivaatat muistaa Esim D x (tan x) = D x (sin x / cos x) = (cos x cos x sin x sin x)/(cos 2 x) = (cos 2 x + sin 2 x )/cos 2 x = /cos 2 x OpeBele ymmärtämään ja käybämään; älä opebele ulkoa pitkää listaa kaavoja... d DERIVATIVE RULES n n#! x " $ nx! sin x" $ cos x! cos x" d a a d d d $# sin x x x 2 2! " $ ln %a! tan x" $ sec x! cot x" $# csc! f ( x) % g( x) " $ f( x) % g& ( x) ' g( x) % f& ( x)! sec x" $ sec x tan x! " d d d d csc x $# csc xcot x x d ( f( x) ) g( x) % f& ( x) # f( x) % g& ( x) * + $, g( x) - gx ( )! " 2 d! arcsin x" $ 2 # x d $ ' x! arctan x" 2 d d d x x #! f ( gx ( ))" $ f& ( gx ( ))% g& ( x)! arcsec x" $ 2 x! ln x" $! sinh x" $ cosh x! cosh x" d d $ sinh x 25

Esimerkki: d/dt[e t t 2 + (2t cos(3t) ) 8 e t ] =D t [e t t 2 ] + D t [(2t cos(3t) ) 8 e t ] =D t (e t ) t 2 + e t D t [t 2 ] + D t [(2t cos(3t) ) 8 ] e t + (2t cos(3t) ) 8 D t (e t ) = e t t 2 + e t 2 t + 8 (2t cos(3t) ) 7 D t [2t cos(3t) ] e t + (2t cos(3t) ) 8 e t = t 2 e t + 2te t + 8 (2t cos(3t) ) 7 (D t [2t cos(3t)] D t ()) e t + (2t cos(3t) ) 8 e t = t 2 e t + 2te t + (2t cos(3t) ) 8 e t + 8 (2t cos(3t) ) 7 [D t (2t) cos(3t) + 2t D t (cos(3t)) 0)] e t = t 2 e t + 2te t + (2t cos(3t) ) 8 e t + 8 (2t cos(3t) ) 7 [2cos(3t) + 2t 3 sin(3t)] e t = t 2 e t + 2te t + (2t cos(3t) ) 8 e t + 8 (2t cos(3t) ) 7 (2cos(3t) 6tsin(3t)) e t 26

Derivaatan käybö kemiassa Muutosnopeuden laskeminen Esim. reak/onopeus = konsentraa/on muutosnopeus Minimi- ja maksimiarvojen löytäminen Jatkuva funk/on saavubaa minimi- ja maksimiarvonsa joko määribelyalueen rajoilla tai derivaatan nollakohdissa. Jos funk/o ei ole jatkuva, ääriarvo voi löytyä myös yksibäisestä pisteestä (näitä tapauksia ei käsitellä tässä). KvanZkemian operaaboreissa usein mukana derivaaba Tarvitaan esim. aaltofunk/oiden ratkaisemiseen. Esimerkki: Hückelin approksimaa/on avulla kuvataan konjugoituneen hiiliketjun (muotoa - C=C- C=C- C=) omaavan molekyylin orbitaalienergioita. Teorian mukaan eteenin C 2 H 4 pi- elektronien orbitaalienergiat (ε) ovat ε = α + 2c( c 2 ) 0.5 β α ja β ovat Hückelin parametrit ja c on muubuja. Sta/onääririssä pisteissä dε/dc = 0. Laske ε:n mahdolliset arvot. Ratkaisu: aloitetaan laskemalla ne c:n arvot joilla dε/dc = 0. dε & dc = 0 + 2β D c( c( c2 ) '(,. & = 2β - D c (c) ( c 2 ) 2 + c D c (( c 2 ) /. '( 2 ) + * + 2 ) 0. + * + 2. 27

% ' = 2β ( c 2 ) 2 + c 2 ( c2 ) ) & 2 ' ( 2c)) * (' +' % ' = 2β &( c 2 ) ' ( 2 c 2 ( c 2 ) 2 ) ' * ' + dε dc = 0 ( c2 ) ( c 2 ) - c 2 = 0 2c 2 = 0 2 c 2 2 ( c 2 ) = 0 ( c) 2 c = ± 2 = ± 2 Sijoitetaan nyt lasketut c:n arvot alkuperäiseen yhtälöön: c = + 2 ε = α + 2 2 (- ( 2 )2 ) 2 β = α + 2 2 (- 2 ) 2 β = α + 2 2 2 β = α + β c = 2 ε = α + 2-2 (- ( 2 )2 ) = α - 2 2 (- 2 ) 2 β 2 β = α - 2 2 2 β = α β 28

DerivaaBa ja ääriarvot Funk/on derivaabaa /etyssä pisteessä kuvataan tangenzviivalla. DerivaaBa ja ääriarvot Funk/on derivaabaa /etyssä pisteessä kuvataan tangenzviivalla. 29

DerivaaBa ja ääriarvot Funk/on derivaabaa /etyssä pisteessä kuvataan tangenzviivalla. Missä kohdissa derivaaba (tangen/n kulmakerroin) on nolla? DerivaaBa ja ääriarvot Funk/on derivaabaa /etyssä pisteessä kuvataan tangenzviivalla. Missä kohdissa derivaaba (tangen/n kulmakerroin) on nolla? Vastaus: funk/on ääriarvokohdissa 30

Derivaatan nollakohdat f'(x) = 0 voi merkitä f(x):n maksimia f'(x) = 0 f(x):n minimiä ei kumpaakaan (engl. saddle point") f'(x) = 0 f'(x) = 0 Derivaatan etumerkki Jos f'(x) > 0, funk/o on kasvava Jos f'(x) < 0, funk/o on pienenevä f'(x)=0: kasvuvauh/ on nolla f'(x) = 0 f'(x) = 0 f'(x) > 0 funk/o kasvaa f'(x) < 0 funk/o pienenee f'(x) > 0 funk/o kasvaa 3

Ääriarvotehtävät Funk/on ääriarvokohdat voivat löytyä: Derivaatan nollakohdista MääriBelyalueen rajoilta Derivaatan nollakohdan luonne (maksimi, minimi vai ei kumpaakaan) selviää tarkastelemalla derivaatan etumerkkiä nollakohdan molemmin puolin f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0 Funk/on maksimikohdassa derivaatan f'(x) etumerkki on posi/ivinen sen nollakohdan vasemmalla (pienempi x) puolella ja nega/ivinen sen oikealla (suurempi x puolella) Funk/on minimikohdassa derivaatan f'(x) etumerkki on nega/ivinen sen nollakohdan vasemmalla (pienempi x) puolella ja posii/ivinen sen oikealla (suurempi x puolella) Jos derivaatan etumerkki on sama nollakohdan molemmin puolin, kyseessä ei ole funk/on minimi- tai maksimikohta. f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0 32

Toimintastrategia ääriarvotehtävissä ("löydä funk/on pienin/suurin arvo") ) Selvitä f(x) määribelyjoukko Joskus tämä on selkeäs/ annebu tehtävässä, joskus taas se täytyy itse päätellä. Kemialliset ja fysikaaliset perustelut käyvät hyvin, esim "konsentraa/o tai massa ei voi olla nega/ivinen => yksi raja on c=0 tai m=0". 2) Derivoi f(x) 3)Etsi derivaatan f'(x) nollakohdat 4)Selvitä f'(x):n etumerkin avulla onko kyseessä minimi vai maksimi 5)Laske f(x) arvo derivaatan nollakohdissa sekä määribelyalueen rajoilla Esim: mikä on funk/on f(x) = x 2 3x + 2 suurin ja pienin arvo välillä [ 5,+5]? Ratkaisu: )MääriBelyjoukko on annebu; välillä [ 5,+5] 2)f'(x) = 2x 3 3)f'(x)=0 => 2x 3 = 0 => x = 3/2 =,5 4) kyseessä on minimi f'(x) + 5) f( 5) = 42 f(.5) = 0,25 f(5) = 2 esim. f () = x=,5 è pienin arvo on 0,25 ja suurin arvo 42. esim. f (2) = 33

Esimerkki: Lennard- Jones - poten/aali Molekyylien välistä poten/aalienergiaa V(r) kuvataan usein Lennard Jones poten/aalienergiafunk/olla! V(r) = 4ε ( δ r )2 - ( δ $ " # r )6 % & missä r on molekyylien etäisyys toisistaan, ε on vuorovaikutuksen voimakkuuba kuvaava parametri ja δ on etäisyys jolla V(r) = 0. Selvitä poten/aalienergiafunk/on minimin paikka ja arvo. 34

Ratkaisu: )MääriBelyjoukkoa ei ole erikseen annebu, muba etäisyys ei voi olla nega/ivinen: määribelyjoukko on siis ]0, [ 2)Derivoidaan:! V(r) = 4ε ( δ r )2 - ( δ $ " # r )6 % & = 4ε(δ2 r 2 δ 6 r 6 ) V '(r) = 4ε(δ 2 ( 2) r 3 δ 6 ( 6) r 7 ) = 4ε( 2δ 2 r 3 + 6δ 6 r 7 ) 3)Lasketaan derivaatan nollakohdat: V '(r) = 4ε( 2δ 2 r 3 + 6δ 6 r 7 ) = 0 2δ 2 r 3 + 6δ 6 r 7 = 0 2δ 6 r 3 + r 7 = 0 2δ 6 r 3 + r 7 = 0 2δ 6 r 6 += 0 2δ 6 r 6 = r 6 = r 6 = 2δ 6 r 6 = 2δ 6 6 r = 2δ 4)Onko kyseessä minimi vai maksimi? V'(r) + esim. V (δ) = 24εδ r=(2) /6 δ Huom: :edetään e?ä ε,δ > 0. esim. V (2δ) =24ε(2 7 2 2 ) δ 0.8εδ 35

5)Lasketaan V((2) /6 δ)! V(r) = 4ε ( δ 6 2δ )2 - ( δ $ 6 " # 2δ )6 % &! δ 2 = 4ε ( )-( δ 6 $ # )& 2 6 # " 2 6 δ 2 2 6 & δ 6 %! = 4ε ( " # 4 )-( 2 ) $ % & = 4ε 4 = ε V(0) ei ole määritelty (tosin helpos/ huomataan ebä V(r) kun r 0, ja V(r) 0 kun r ). LöydeBy derivaatan nollakohta r = (2) /6 δ on siis poten/aalienergian minimikohta, jonka arvo on ε. V(r) V=0 r=(2) /6 δ V= ε 36

Esimerkki: Maxwell- Boltzmann jakauma Todennäköisyys ebä m- massaisen hiukkasen nopeus lämpö/lassa T on v saadaan Maxwell Boltzmannin jakaumasta: 3 m f (v) = 4π ( 2πkT ) 2 v 2 e 2 mv2 kt missä k on Boltzmannin vakio. Määritä molekyylin todennäköisin nopeus. Ratkaisu: )MääriBelyjoukkoa ei ole erikseen annebu, muba nopeus ei voi olla nega/ivinen: määribelyjoykko on siis ]0, [ 2)Derivoidaan: 3 m f '(v) = 4π ( 2πkT ) 2 D v (v 2 e mv2 2 kt ) 3 m = 4π ( 2πkT ) 2 # D v (v 2 ) e 2 mv2 kt + v 2 D v (e 2 mv2 kt $% ) & '( 3 m = 4π ( 2πkT ) 2 # 2v e 2 mv2 kt + v 2 e 2 mv2 kt D ( v mv2 ) & 2kT $% '( 3 m = 4π ( 2πkT ) 3 m = 4π ( 2πkT ) # 2 kt 2v + v 2 2mv & $ % 2kT ' ( 2 e mv2 2 e mv2 2 kt v(2 mv2 kt ) 37

3)Lasketaan derivaatan nollakohdat: 3 m 4π ( 2πkT ) 2 e mv2 2 kt v(2 mv2 kt ) = 0 tulo on nolla jos joku sen tekijöistä on nolla, eli e mv 2 2 kt = 0 tai v=0 tai (2 mv2 kt ) = 0 v = ± 2kT m EksponenZfunk/o on aina nollaa suurempi, ja nega/ivinen nopeus (2kT/m) 0.5 on määribelyalueen ulkopuolella. Jää siis kaksi nollakohtaa: v=0 ja v=(2kt/m) 0.5 4) Tarkastellaan f'(v) etumerkkiä: f'(v) + 3 m f '(v) = 4π ( 2πkT ) v=0 v=(2kt/m) 0.5 2 e mv2 2 kt v(2 mv2 kt ) = 0 Huom: koska vakio ja eksponenzosa ovat aina > 0, ja määribelyjoukko on v > 0, etumerkin laskemiseksi tarvitsee laskea ainoastaan tekijän (2 mv 2 /kt) etumerkki. 5) v = (2kT/m) 0.5 vastaa siis f(v) maksimiarvoa, ja vastaus on: molekyylin todennäköisin nopeus on (2kT/m) 0.5 (huom: f(v) arvoa ei kysy?y joten sitä ei tarvitse laskea) 38