TA4b Taloudellinen kasvu Harjoitus 2 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 2017 Tehtävä 1. Tarkastellaan teknologiaa ja talouskasvua yhden maan mallilla (kirja, luku 8.3; luontomuistiinpanot, luku 8). Oletetaan, että L = 1, µ = 5, γ A = 0,5. Laske työntekijää kohden lasketun tuotoksen kasvuvauhti. Oletetaan, että γ A nousee arvoon 0,75. Kuinka monen vuoden kuluttua työntekijää kohden laskettu tuotos palaa sille tasolle, jonka se olisi saavuttanut, mikäli γ A olisi pysynyt arvossa 0,3? Vastaus: Muuttujat on syystä tai toisesta annettu vain symbolein (joiden valinnat ovat väistämättä jossain määrin mielivaltaisia). Niiden määritykset täytynee päätellä siitä samasta materiaalista annetusta laskukaavasta, johon ne tulee sijoittaa: 1. ŷ = γ A µ L = 1 20 Merkitään alkutuottavuutta A:lla, alkuhetken tuotosta y 01 :lla (tuotos ennen tuotekehittelypanostusta) ja y 02 :lla, aikaa t:llä ja kasvuvauhteja alkutilanteessa (γ A = 0,3) ŷ 1 :lla ja tuotekehittelypanosten noustessa ŷ 2 :lla. Kysymystä vastaa nyt yhtälö: ŷ 1 = 3/10 5 L = 3 50, ŷ 2 = 3/4 5 L = 3 20, y 01 = (1 γ A1 )A = 7 10 A, y 02 = (1 γ A2 )A = 1 4 A, y 01 (1 + ŷ 1 ) t = y 02 (1 + ŷ 2 ) t ( ) t 1 + ŷ1 = y 02 1 + ŷ 2 y 01 t log 1 + ŷ 1 1 + ŷ 2 = log y 02 t = y 01 log y 02 log y 01 log 1/4 log 7/10 = log(1 + ŷ 1 ) log(1 + ŷ 2 ) log 53/50 log 23/20 12,6 Tehtävä 2. Tarkastellaan nyt kahden maan mallia (luku 8). Oletetaan, että γ A,1 > γ A,2 ja että molemmat maat ovat vakaassa tilassa. Oletetaan, että maa 1 nostaa R&D-työtä tekevien työntekijöiden osuutta. Piirrä kuvio, joka osoittaa, kuinka maiden 1 ja 2 kasvuasteet kehittyvät noston jälkeen. Vastaus: Merkitään: 2. γ A,1, γ A,2 ovat maissa tuotekehittelyn osuudet työvoimasta 1
L 1, L 2 ovat työvoiman kokonaismäärät maissa, oletetaan että nämä ovat samat eli L = L 1 = L 2 µ i on johtajan tuottavuuden parantamisen (innovoinnin) yksikkökohtainen kustannus (oletetaan likimain vakioksi) ja µ c seuraajan kopioinnin kustannus, ovat tuottavuudet maissa ja Â1 = γ A,1 µ i L, Â 2 = γ A,2 µ c L niiden kasvunopeudet Kopioinnin kustannus on käänteisessä suhteessa jälkeenjääneisyyteen: µ c c < 0 = c( A1 ), missä L y 1 = A Y,1 (1 γ 1 L = A A,1 )L 1 L = (1 γ A,1 ), y 2 = (1 γ A,2 ) ovat työntekijäkohtaiset tuotannot Vakaassa tilassa tuottavuuksien välinen suhde sekä tuottavuuksien kasvuvauhdit (ja siten talouksien kasvuvauhdit) pysyvät samoina yli ajan (suhdeluku ei tyypillisesti ole luku 1, kuten luentomoniste antaisi ymmärtää): Â 1 = Â2 γ A,1 L = γ A,2 L µ i µ c Johtajamaan kasvunopeus kehittyy samalla tavalla kuin tehtävässä 1: sinä vuonna, kun tuotekehittelyssä työskentelevän työvoiman osuutta nostetaan (tasomuutos), kasvunopeus voi muuttua jopa negatiiviseksi (tuotannollisen työvoiman osuuden Y L /L = (1 γ A,1 ) vähenemisen vaikutus tuotantoon on suurempaa kuin tuottavuuden kasvu). Tämän jälkeen kasvu on kuitenkin aiempaa suurempaa: γ A,1 oletetaan jälleen vakioksi ja kasvun määrää Â1, joka riippui positiivisesti tk-osuudesta eli γ A,1 :sta. Seuraajamaan kasvu riippuu ainoastaan tuottavuudesta, koska γ A,2 oletetaan vakioksi. Sen kehitys on sitä nopeampaa, mitä pienempi µ c on. µ c vuorostaan on sitä pienempi, mitä suurempi on jälkeenjääneisyys /. Kun kasvaa aiempaa nopeammin, myös seuraajamaan tuottavuus (ja siten sen talous) kasvaa aiempaa nopeammin. Tilanne jatkuu, kunnes on saavutettu uusi tasapainotila, jossa seuraajamaa on saanut kasvatettua kasvunopeutensa johtajamaan uudelle kasvutasolle: γ A,1 Â 1 = Â 2 L = γ A,2 µ i µ L c µ c = γ A,2 γa,1 µ i Jos µ i voidaan olettaa vakioksi, uudessa tasapainotilassa µ c:n täytyy olla pienempi kuin vanhassa µ c, koska uusi γa,1 on suurempi kuin vanha γ A,1. Koska µ c oli toisaalta sitä pienempi, mitä suurempi suhdeluku A1 oli, voidaan päätellä, että :n etumatka on uudessa tasapainossa suurempi. Tuotanto: 2
log y y 1 y 2 t t 0 t 1 Tuottavuuden kasvu: Â Â 2 Â 1 Â 1 ss ss / Tehtävä 3. Tarkastellaan edelleen kahden maan mallia. Oletetaan, että kopiointikustannukset µ c ovat ( ) β A1 µ c = µ i, missä 0 < β < 1. Oletetaan, että maiden työvoima on samansuuruinen. a) Ratkaisen johtajamaan ja seuraajamaan teknologioiden suhde ( A1 ) ja osoita, että tämä suhde riippuu termistä β. 3
Tulkitse tuloksesi. b) Oletetaan, että β = 1 2, µ i = 10, γ A,1 = 0,2, γ A,2 = 0,1. Laske teknologioiden suhde ( A1 ) vakaassa tilassa. 3. Vastaus: a) ( ) β A1 µ c = µ i = ( µc µ i ) 1/β = ( ) 1/β µi µ c Kirjoittamalla ensin kopiointikustannukset β:n funktiona saadaan: ( µ c (β) = µ i exp β log A ) ( 1 = µ i exp ( ) ( A2 D β µ c (β) = µ }{{} i log exp β log A ) 2, >0 } {{ } >0 β log ) joten tutkittaessa, miten kopiointikustannukset muuttuvat β:n funktiona: D β µ c (β) < 0 ( ) A2 log < 0 < 1, eli kopiointikustannukset ovat mallissa β:n suhteen vähenevä funktio, kun kyseessä on seuraajamaa (oletuksen mukaan / < 1). Jos β on lähellä nollaa, kopiointikustannukset ovat kullakin teknologiakuilun tasolla pienemmät (ja teknologiakuilun kurominen umpeen helpompaa) kuin jos β on lähellä ykköstä. Tässä mielessä β:n voi ajatella kertovan kopioimisen suhteellisesta vaikeudesta. Erityisesti eksponenttifunktiomuodosta on myös helppoa nähdä, että koska β > 0 ja log A2 < 1, niin µ c /µ i < 1 eli kopiointikustannukset ovat mallissa pienemmät kuin innovointikustannukset. Vastaavasti kirjoittamalla teknologinen edelläkävijyys β:n funktiona saadaan: (β) = ( µi µ c D β (β) = β 2 }{{} <0 ) ( 1/β ( ) ) 1/β µi = exp log log µ i µ c }{{} >1 µ c ( 1 exp β log µ ) i, µ c }{{} >0 ( = exp β 1 log µ ) i µ c joten myös edelläkävijyys voidaan nähdä mallissa β:n suhteen väheneväksi funktioksi, kuten jo aiemmin pääteltiin. Kun muut muuttujat kiinnitetään, pienellä β:lla edelläkävijäasema jää pienemmäksi kuin suurella β:n arvolla. 4
b) Vakaassa tilassa ja kehittyvät samaa tahtia, eli muutosvauhdeille pätee  1 = Â2 L γ A,1 = L γ A,2 µ i µ c ol. mukaan L 1 = L 2 = L ( ) γa,2 µ c = µ i γ A,1 ( ) β ( ) A1 γa,2 µ i = µ i γ A,1 ( ) 1/β γa,2 = = γ A,1 ( ) 1 0,2 12 = = 2 2 = 4 0,1 ( ) 1/β γa,1 γ A,2 ( mallioletus: µ A1 c = µ i Huomattakoon, että tässä laskussa ei tarvinnut olettaa luvusta µ i muuta kuin että se on nollasta poikkeava reaaliluku. ) β Tehtävä 4. Vuosien 10 000 ekr 0 aikana maailman väestö kasvoi 4 miljoonasta noin 170 miljoonaan. Samaan aikaan henkeä kohti laskettu tulo säilyi vakiona. Oletetaan, että sekä inhimillinen että fyysinen pääoma säilyivät vakiona tämän periodin kuluessa ja että maan eksponentti tuotantofunktiossa on 1/3. Laske tuottavuuden kokonaiskasvu tämän periodin kuluessa. Mikä oli tuottavuuden vuotuinen kasvuprosentti? (Kirja, luku 1 s. 30 ja luku 9.) Vastaus: Tulkitaan, että tuotantofunktio on muotoa Y (A, K, L) = AK β L 1 β, 4. missä β = 1 3, A on tuottavuuskerroin, L on työvoiman määrä ja K on fyysinen pääoma. (Tuotantofunktiossa voisi olla mukana myös maa, X, mutta koska sen määrä oletetaan vakioksi, tällä ei ole lopulta merkitystä. Vastaavasti, koska inhimillinen pääoma oletettiin vakioksi, joten tehokkuuskerroin häviää muutostarkastelussa.) Oletetaan ensin, että tulo henkeä kohden on osapuilleen sama kuin Y/L kunakin vuonna (riittää, että työvoiman osuus väestöstä on osapuilleen vakio): Y (A, K, L) L ( ) β merk. K = y(a, X, L) = AK β L 1 β 1 = A L Nyt, kun merkitään M = miljoonaa työntekijää, kysymystä vastaa yhtälö 1 = y(a t 1, K 0, 170M) = A ( K0 ) β t 1 170M y(a t0, K 0, 4M) ( A K0 ) β = A ( ) β t 1 4 t0 A t0 170 4M ( ) 1/3 A t1 85 = 3,490 A t0 2 Lasketaan vuotuinen kasvuprosentti logaritmin ja differentiaalikehitelmän avulla. Ensin työvoiman kasvu: (1 + ˆL) 103 L 0 = 170 4 L 0 10 3 log(1 + ˆL) = log 170 log 4 10 3 ˆL log 170 log 4 log 170 log 4 ˆL 10 3 3,7495 10 3. 5
Sitten tuottavuuden kasvu: ŷ }{{} ol. mukaan 0 y(t) = A(t) ( ) β K(t) L(t) = Â + β }{{} ˆK β ˆL ol. mukaan 0 Â β ˆL 1 3 3,7495 10 3 1,2498 10 3 1,3 10 3 Tarkistus vahvistaa laskun: (1 + Â)103 A 0 3,49A 0, joka on sama tulos kuin aiemmin. Aputulokset. Differentiaalikehitelmää hyödynnettiin työvoiman vuotuista kasvua laskettaessa seuraavasti: f(x) = log(x) f(x + h) = f(x) + f (x)h + ɛ(h) h f(x) + f (x)h f(1 + h) f(1) + f (x)h = log(1) + 1 1 h = h, kun h on riittävän pieni (jolloin myös virhetermi ɛ(h) on pieni). Tuottavuuden vuotuista kasvua laskettaessa todettiin, että pienillä h ja differentioituvilla positiiviarvoisilla funktioilla s pätee: g(t) merk. = log s(t) g(t + h) = g(t) + g (t)h + ɛ(h) h g(t) + g (t)h log s(t + h) log s(t) + s (t) s(t) h log s(t + h) s(t) s(t + h) s(t) s (t) s(t) h s (t) s(t) h, s(t + h) ol. s(t) 1 ja esimerkiksi tässä tapauksessa: s(t) = y(t) = A(t) log y(t) = log A(t) + β log K(t) β log L(t) y(t + h) y(t) ( ) β K(t) L(t) D t (log A(t) + β log K(t) β log L(t))h = A (t) A(t) h + β K (t) K(t) h β L (t) L(t) h A(t + h) A(t) K(t + h) L(t + h) + β β K(t) L(t) 6
Suoralla laskulla olisi saatu: (1 + x) 103 A t0 = ( ) 1/3 85 A t0 2 10 3 log(1 + x) = 1 log 85 log 2 3 log 85 log 2 log(1 + x) = 3 10 3 ( ) log 85 log 2 1 + x = exp 3 10 3 ( ) log 85 log 2 x = exp 3 10 3 1 1,2506 10 3 1,3 10 3 Tehtävä 5. Tarkastellaan edelleen naisten koulutusta. Käytetty aineisto on aina hyvä esitellä (ns. deskriptiivinen statiikka). Esittele naisten keskimääräistä koulutusta (W SCHOOL) seuraavilla tavoilla: a. Laske naisten koulutuksen keskiarvo, keskihajonta, mediaani, minimi ja maksimi (Data, data analysis, tunnusluvut). Luokittele aineisto neljään luokkaan ja esitä luokkafrekvenssejä kuvaava histogrammi. (Luokkarajat lasketaan itse. Data, data analysis, histogrammi). b. Hyödynnä aineiston esittelyssä kurssidatan luokittelumuuttujia. Minkälainen koulutus oli OECD-maissa ja muissa maissa? (Formulas, Insert function, AVARAGEIFS). Piirrä pylväsdiagrammi (Insert, Column). c. Tehd eään vielä luokittelua, joka valmistaa seuraavaan tehtävään: hyödynnä tuloryhmittäisiä luokittelumuuttujia kurssidatasta. Vastaus: a. Pyydetyt tunnusluvut: summary(dada$wschool) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.565 3.486 6.264 6.397 9.581 13.200 Histogrammi: 7
Naisten koulutus eri maaryhmissä Frequency 0 5 10 15 20 25 30 0 2 4 6 8 10 12 14 Koulutus vuosissa Kuva 1: Maiden jakautuminen naisten koulutuksen pituuden mukaan b. Naisten koulutusvuodet keskimäärin OECD-maissa ja muualla: # OECD-maat summary(dada$wschool[which(dada$oecd == 1)]) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.630 9.953 10.810 10.020 11.600 13.200 # Muut summary(dada$wschool[which(dada$oecd == 0)]) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.565 2.548 4.925 4.987 6.999 11.280 8
OECD maat Muut 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 Kuva 2: Naisten koulutus ja maan kuuluminen OECD:hen c. Koulutusvuodet keskimäärin maan tulotason mukaan: # Matalan summary(dada$wschool[which(dada$low == 1)]) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.565 1.283 2.186 2.816 3.574 8.922 # Alemman keskitason summary(dada$wschool[which(dada$lower.middle == 1)]) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 1.480 3.108 4.799 4.499 5.413 8.662 # Korkeamman keskitason summary(dada$wschool[which(dada$upper.middle == 1)]) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 3.795 5.985 7.059 7.099 7.826 10.560 9
# Korkean summary(dada$wschool[which(dada$high == 1)]) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.630 9.949 10.810 10.090 11.550 13.200 Matala tulotaso Alempi keskitaso 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 2 3 4 5 6 7 8 Ylempi keskitaso Korkea 2 4 6 8 10 12 Kuva 3: Naisten koulutus ja maan tulotaso Tehtävä 6. Tarkastellaan henkeä kohti laskettujen tulojen ja naisten koulutuksen yhteyttä kirjan kuvion 6.12 ehdottamalla tavalla. Tarkoitus on vertailla kunkin maan koulutusta ja tuloa suhteessa USA:n vastaaviin arvoihin. Kirjan teoreettinen malli ennustaa, että maiden steady statetulotasojen suhde on suoraan verrannollinen maiden koulutuksen suhteeseen (s. 192). a. Ota kurssidatasta vuotta 2009 koskevat naisten koulutustiedot ja BKTpc-tiedot ja yhdistä ne maittain. Laske maan koulutuksen suhde USA:n koulutukseen. Teoreettisen mallin mukaan tämä on ennustettu BKTpc suhteessa USA:n (kuvio 6.12). Laske maan todellinen BKTpc per USA:n BKTpc. Piirrä kirjan kuviota vastaava kuvio. b. Tarkastele piirtämääsi kuviota: 10
i. Esitä perustulkinta. ii. Tarkastele outliereita. (Laske erotukset ja järjestä aineisto DATA, sort.) Käytä piirustusohjelmaa/exceliä ja merkitse kiinnostavimmat kuvioon. Tulkitse. c. Tulkitse saamiasi tuloksia suhteessa teoriaan ja mahdollisiin puuttuviin muuttujiin. Vastaus: a. Lineaarinen, määrityksen mukainen sovite: rownames(dada) <- dada$maa dada$bktpc2009vsusa <- dada$bktpc2009 / dada['united States','BKTpc2009']*100 dada$wschool2009vsusa <- dada$wschool2009 / dada['united States','WSCHOOL2009']*100 fit <- lm(formula = BKTpc2009vsUSA ~ WSCHOOL2009vsUSA, data = dada) summary(fit) Call: lm(formula = BKTpc2009vsUSA ~ WSCHOOL2009vsUSA, data = dada) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -45.744-18.157-1.839 13.875 125.132 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) -26.06153 6.31601-4.126 7.74e-05 *** WSCHOOL2009vsUSA 0.88092 0.09126 9.653 6.87e-16 *** --- Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 25.08 on 98 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.4874,Adjusted R-squared: 0.4821 F-statistic: 93.17 on 1 and 98 DF, p-value: 6.871e-16 confint(fit, level=0.95) 2.5 % 97.5 % (Intercept) -38.5954396-13.527617 WSCHOOL2009vsUSA 0.6998119 1.062026 outliertest(fit) rstudent unadjusted p-value Bonferonni p Luxembourg 5.821302 7.5501e-08 7.5501e-06 dada$residuaalit <- residuals(fit) summary(dada$residuaalit) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. -45.740-18.160-1.839 0.000 13.880 125.100 kiinnostavat <- subset(dada, (Maa == 'United States' Maa == 'Finland' abs(residuaalit) > Kuvaajia: 11
150 BKTpc2009vsUSA 100 50 0 30 60 90 WSCHOOL2009vsUSA Kuva 4: Residuaalikuvio 12
Residuals vs Fitted Normal Q Q Luxembourg Luxembourg Residuals 50 0 50 100 Chile Singapore Standardized residuals 2 0 2 4 Singapore Chile 20 0 20 40 60 Fitted values 2 1 0 1 2 Theoretical Quantiles Standardized residuals 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Chile Scale Location Singapore Luxembourg Standardized residuals 2 0 2 4 Residuals vs Leverage Luxembourg Norway Chile Cook's distance 0.5 20 0 20 40 60 Fitted values 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Leverage Kuva 5: Mallin peruskuvailua (R:n vakiokuvaajat) 13
150 BKTpc2009vsUSA 100 OECD 50 0 Non OECD 20 40 60 80 100 WSCHOOL2009vsUSA Kuva 6: Naisten koulutuksen ja BKT:n suhde, jako OECD:hen kuulumisen mukaan 14
BKTpc2009vsUSA 0 50 100 150 20 40 60 80 100 WSCHOOL2009vsUSA Kuva 7: Hajontakuvio 15
Luxembourg Bruttokansantuote per henki 2009 (USA = 100) 0 50 100 150 Chile Singapore Jamaica Jordan Ethiopia Switzerland United States Finland Norway 20 40 60 80 100 Naisten koulutus 2009 (USA = 100) Kuva 8: Hajontakuvio, regressiosuora ja 45 asteen ennustesuora b. i. Teorian mukainen riippuvuussuhde vaikuttaisi olevan olemassa, mutta se ei ole likimainkaan yhtä suoraviivainen kuin teoria antaisi ymmärtää. Regressiosuora asettuu selvästi alemmaksi kuin suora ennuste, eli selkeässä enemmistössä maita koulutus kasvattaa tuotantoa vähemmän lineaarisesti kuin teoria ennustaa. Vertailukohtana Yhdysvallat voi olla itsessään outlier verrattuna useimpiin muihin maihin. ii. Luxembourgissa, Singaporessa ja Chilessä bruttokansantuote on selkeästi ennustettua suurempaa. Luxembourgissa ja osin Singaporessa tilannetta selittää mittava finanssisektori, Chilessä muut talousreformit. Kiinassa BKT on huikeista kasvulukemista huolimatta edelleen paljon heikompi kuin pelkkä koulutus ennustaa. Euroopan maista Romania on selkeä harmillinen poikkeus. Kaaviosta löytyy myös erittäin köyhiä maita, joissa koulutustilastojen mukaan naisten koulutus on korkealla tasolla (Etiopia, Jamaica, Filippiinit, Kongo). c. Tulokset antavat tukea teorialle, jonka mukaan naisten koulutus korreloi BKT:n kasvun kanssa. Mallin selitysaste on korkea ja todennäköisyys saada näin voimakkaasti korreloiva aineisto, jossa todellista korrelaatiota ei ole, on erittäin pieni (p-arvo n. 6,9 10 16 ). 95 %:n luottamusväli korrelaatiokertoimelle on n. 0,7 1,0. Erityisesti korkeasti koulutetut maat tyypillisesti ovat myös tuotantotasoltaan kehittyneitä. Todennäköisesti vaikutussuhde on kuitenkin molemminpuolista, ja tämä analyysi ei vielä 16
anna kovin järeitä välineitä tarkistella kausaliteetin suuntaa tai sellaisia muuttujia, jotka tuottaisivat sekä koulutuksen pitenemistä että talouskasvua. Aineiston laatu selittänee ainakin osan ennusteen ja havaintojen eroista: koulutusvuosien tilastoitu määrä ei välttämättä kaikissa maissa kerro paljoa siitä, paljonko koulutusta on todella saatu (onko esimerkiksi opettaja ollut edes paikalla koulussa). Keskeisiä tuotannon tason tekijöitä, joita tässä ennusteessa ei ole edes yritetty selittää, ovat esimerkiksi muut instituutiot (esim. markkinoiden sääntely), fyysinen tuotannollinen pääoma ja terveystaso. 17