Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on mikäli kaikilla R < 0 löytyy sellainen δ > 0 että Näitä merkitään f (x) < R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. lim f (x) = + ja lim f (x) =. x x 0 + x x 0 + Vasemmanpuoleiset raja-arvot määritellään vastaavasti. Jos toispuoleiset raja-arvot ovat samat, niin puhutaan yksinkertaisesti raja-arvosta. Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 153 / 184
Asymptootit Määritelmä Suoraa y = c kutsutaan funktion f horisontaaliseksi asymptootiksi jos lim f (x) = c tai lim f (x) = c. x x + Vastaavasti suoraa x = c kutsutaan funktion f vertikaaliseksi asymptootiksi jos lim f (x) = + tai lim f (x) = tai x c x c lim f (x) = + tai lim f (x) =. x c+ x c+ Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 154 / 184
Sinin ja kosinin geometrinen määritelmä Olkoon α suorakulmaisen kolmion terävä kulma, k 1 kulmaa α vastakkaisen kateetin pituus ja k 2 viereisen kateetin pituus. Olkoon vielä h hypotenuusan pituus. h k 1 α k 2 Kulman α sini on ja kosini sin α = k 1 h cos α = k 2 h. Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 155 / 184
Sini- ja kosinifunktioiden määritelmä yksikköympyrän avulla Yksikköympyrän keskipiste on (0,0) ja säde 1. Kehän pituus on 2π. ( 1,0) (0,1) (x,y) sin θ θ (0,0) cos θ (x,0) (1,0) θ Pisteestä (1,0) kuljetaan ympyrän kehää pitkin vastapäivään θ pituinen matka pisteeseen (x,y). Asetetaan kaikilla θ R sin θ = y (0, 1) ja cos θ = x. Geogebra linkki: https://www.geogebra.org/m/cb2jwups Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 156 / 184
Huomioita sinin ja kosinin määritelmästä Sinin ja kosinin määritelmä yksikköympyrän avulla yhtyy aiempaan kun 0 < θ < π/2 (radiaania). Tämän voi nähdä piirtämällä kolmio jonka kärkipisteet ovat (0,0), (x,0) ja (x,y). Tulkitaan määritelmää siten, että negatiivisillä luvuilla θ < 0 käännetään kiertosuunta myötäpäivään ja kuljetaan θ pituinen matka. Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 157 / 184
Sinin ja kosinin ominaisuuksia Sinin ja kosinin määritelmästä yksikköympyrän avulla saadaan seuraavat ominaisuudet: 1 sin(θ + 2π) = sin(θ) ja cos(θ + 2π) = cos(θ) 2 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 (huomautus merkinnästä: sin 2 θ = (sin(θ)) 2 ) 3 sin θ 1 ja cos θ 1. Tehtävä: perustele väitteet yksikköympyrän avulla. Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 158 / 184
Sinifunktion kuvaaja Geogebralla Sinifunktion kuvaajan yhteyttä yksikköympyrään voidaan havainnollistaa Geogebra sovelluksella: https://www.geogebra.org/m/s2gmrkbd (Varoitus: sovellus käyttää kulmanyksikkönä asteita.) Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 159 / 184
Sinin ja kosinin kuvaajat 1 sin x cos x π 2 0 1 π 2 π Sini on pariton funktio: sin( x) = sin x. Kosini on parillinen funktio: cos( x) = cos x. sin(x + π/2) = cos(x) sin(π x) = sin x Tehtävä: Miten yllä olevat kaavat näkyvät sinin ja kosinin kuvaajissa? Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 160 / 184
Valikoituja trigonometrisia kaavoja 1 sin( x) = sin x. 2 cos( x) = cos x. 3 sin(x + π/2) = cos(x) 4 cos(x + π/2) = sin(x) 5 sin(π x) = sin x 6 cos(π x) = cos x 7 sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y 8 cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y 9 sin(2x) = 2 sin x cos x 10 cos(2x) = cos 2 x sin 2 x = 1 2 sin 2 x = 2 cos 2 1 11 sin x + sin y = 2 sin ( x+y ) ( 2 cos x y ) 2 12 cos x + cos y = 2 cos ( x+y ) ( 2 cos x y ) 2 Lisää löytyy esim. Wikipediasta, Trigonometric identities. Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 161 / 184
Kaavan sin(x + π/2) = cos(x) perustelu yksikköympyrällä b = sin(x + π 2 ) x π 2 x a x a b = cos x Yksikköympyrän perusteella sin(x + π/2) = cos(x) kun 0 x π/2. Loput tapaukset vastaavalla tavalla. Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 162 / 184
Tangentti ja kotangentti Tangenttifunktio määritellään asettamalla tan z = sin z, kun cos z 0, eli z π/2 + nπ, n Z. cos z Vastaavasti kotangentti määritellään asettamalla cot z = cos z, kun sin z 0, eli z nπ, n Z. sin z Geometrinen tulkinta: h k 1 α k 2 tan α = sin α cos α = k 1 k 2 ja cot α = 1 tan α = cos α sin α = k 2 k 1. Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 163 / 184
Tangentti ja kotangentti yksikköympyrällä cot z z tan z z ( 1,0) (0,0) 1 Geogebra linkki: https://www.geogebra.org/m/cb2jwups Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 164 / 184
Tangentin ja kotangentin kuvaajat tan x π 2 0 π 2 π cot x Geogebra linkki: https://www.geogebra.org/m/cf6kyjeb Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 165 / 184
Sinin käänteisfunktio Sinifunktio ei ole injektio vaan esimerkiksi sin(x + 2π) = sin x kaikilla x R. Rajoitettuna välille [ π/2,π/2] saadaan aidosti kasvava funktio ja sin: [ π/2,π/2] R sin([ π/2,π/2]) = [ 1,1]. Tällä rajoituksella sinille saadaan käänteisfunktio arkussini arcsin: [ 1,1] [ π/2,π/2], joka on myös aidosti kasvava. Joskus tätä kutsutaan arkussinin päähaaraksi ja merkitään arcsin, koska yhtälailla sinifunktio olisi voitu rajoittaa vaikka välille [π/2,3π/2]. Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 166 / 184
Arkussinin kuvaaja (0,1) π 2 arcsin x arcsin x = θ x = sin θ 1 0 1 (0,0) (1,0) π 2 (0, 1) Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 167 / 184
Esimerkki Esimerkki Laske arcsin(sin 2π). Pekka Salmi FUNK 18. lokakuuta 2017 168 / 184
Trigonometrinen epäyhtälö Millä x:n arvoilla pätee sin x 1 2? 1 2