.. Ympäristön ja raja-arvon käsite Matematiikan opintojen tässä vaiheessa aletaan olla kiinnostavimpien sisältöjen laidassa. Tähänastiset pitkän matematiikan opinnot ovat olleet kuin valmistelua, jatkossa tarvittavien työkalujen käytön opettelua. Tulet myös huomaamaan, että merkitsee erittäin paljon, jos hallitset hyvin tähänastisten kurssien asiat, joskaan todennäköisyys - tai vektorilaskennan tietoja ei tässä kurssissa juurikaan sivuta, mutta erittäin keskeistä on hallita hyvin yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisutekniikat. Kursseissa MAA7, MAA8 ja MAA0 käsiteltäviä asioita nimitettiin ennen differentiaali- ja integraalilaskennaksi. Nykyään puhutaan analyysistä. Matematiikan tämän osa-alueen keskeisin ja perustavin elementti on raja-arvo, jonka varaan rakentuu oikeastaan kaikki muu. Raja-arvo on kuin perustus, jonka päälle aletaan kasata. Funktion jatkuvuus määritellään raja-arvon avulla. Kun mennään derivaattaan, voidaan heti ensimmäiseksi virkkeeksi kirjoittaa: Derivaatta on eräs raja-arvo. Aivan vastaavansisältöinen virke koskee myös määrättyä integraalia. Pisteen d-säteinen ympäristö Koordinaatiston x-akselin avointa väliä x d < x < x + d { x R x x d} o o o < sanotaan pisteen x o d-ympäristöksi. Tällainen ympäristö voidaan konkretisoida niin, että seistään pisteessä x o ja isketään kuokalla (varren pituus d) oikealle ja vasemmalle, jolloin kuokka katkaisee x-akselin pisteissä xo d ja xo + d. Kun puhutaan avoimesta välistä, niin on huomattava, että välin päätepisteet eivät kuulu tähän väliin. Jos saattaa opintojensa myöhemmässä vaiheessa käsitellä kahden (kolmen, useammankin) muuttujan funktioita. Tällöin d-ympäristö -ulotteisessa avaruudessa on piste ( xo, yo ) keskipisteenä ja d säteenä piirretty ympyrä, jonka reuna ei kuulu kyseiseen ympäristöön. Kolmiulotteisessa avaruudessa pisteen ympäristö on d- säteinen pallo, jonka pinta ei ympäristöön kuulu. Tässä kurssissa pysytellään kuitenkin yksiulotteisessa avaruudessa. Jos pisteen d- ympäristöstä poistetaan itse piste x o, mutta muut pisteet jäävät jäljelle, on kyseessä pisteen aito d-ympäristö. Tehdään sopimus:
MÄÄRITELMÄ : Merkintä U(xo,d) { x R x xo < d} ja U (x,d) { x R 0 < x x d} tarkoittaa pisteen x o d-ympäristöä o o < pisteen x o aitoa d-ympäristöä. Esim. Merkintä U(3,½) tarkoittaa avointa väliä ½ < x < 3½, 3. Tämä on lukujoukko, jonka jokainen piste toteuttaa ehdon x 3 < ½. Joukon U (3,½) jokainen piste toteuttaa ehdon 0 < x 3 < ½. Raja-arvon analyyttinen ja täsmällinen käsite on erittäin vaikeaksi osoittautunut asia. Takavuosina se tuli vastaan ensimmäistä kertaa yliopisto-opinnoissa, ja kun eräillä valituilla opiskelijoilla oli oikeus aloittaa matematiikan opinnot suoraan cum laudesta, raja-arvon käsitteen ymmärtäminen tai paremminkin sen puute oli sellainen tekijä, joka katkaisi matematiikan opinnot, aiheutti lievemmissä tapauksissa pääaineen vaihdon tai pahimmillaan siirtymisen vähemmän ymmärrystä vaativille koulutusaloille tahi suoraan käytäntöön lapion varteen. Ken asian kykeni (tai monessa tapauksessa halusi nähdä vähän vaivaa oppiakseen) sisäistämään, oli kykynsä mittauttanut sellaisella asteikolla, että saattoi melko luotettavasti ennustaa sen hepun suorittavan myös loppututkinnon. Tutustutaan nyt aluksi asiaan kuitenkin hyvin konkreettisesti erään esimerkin avulla. 3x x Esim. Tarkastellaan funktiota f(x). Tämän funktion arvo missä + x tahansa pisteessä yhtä poikkeusta lukuun ottamatta lasketaan sijoittamalla pisteen x-koordinaatin arvo funktion lausekkeeseen. Siten on esimerkiksi 3 f (). + Kaikilla lienee tiedossa, että luvulla nolla ei saa jakaa. Siten f( ) ei ole lainkaan olemassa. Joku hätäisempi saattaa pian tehdä teräviä huomioita ja moittia esimerkin keinotekoisuutta, mutta kunhan
ehditään derivaattaan saakka, muuttaa luultavasti mielensä, mitä esimerkin keinotekoisuuteen tulee. Katsotaan laskennallisesti, miten funktion arvot käyttäytyvät, kun x saa arvoja yhä lähempää ja lähempää lukua. Lasketaan arvoja vaikkapa taulukkoon: x f(x) x f(x) -,5 6-3 -, 5, -,5 4 -,05 5, -,9 4,8 -,0 5,0 -,99 4,98 -,00 5,00 -,999 4,998 Näyttää siltä, että funktion arvot lähestyvät lukua 5, kun x lähestyy lukua. Oleellista tässä on, ovatko funktion arvot sitä lähempänä lukua 5, mitä lähempänä x on lukua. Jos voitaisiin olla tästä asiasta 3x x varmat, voitaisiin sanoa, että funktiolla f: f(x) on + x pisteessä x raja-arvo 5, ja tätä merkittäisiin 3x x limf (x) lim ( ) 5. x x + x Oleellinen asia tässä esimerkissä ja pisteen x ympäristössä pyörimisessä on, riippuuko funktion arvojen poikkeaminen luvusta 5 jollakin tavoin siitä, miten x poikkeaa luvusta. Arvioidaan erotusta f (x), itseisarvona sen vuoksi, että funktion arvot saattavat olla yhtä hyvin viitosta suurempia kuin tätä pienempiäkin. f (x) 5 3x x + x 5 3x x 0 5x + x 3x x + x 5( + x) + x x 8x 8 + x x + 4x + 4 (x + ) x + x ( ) x + x +
Suoritetusta arviosta näkyy, että erotus f (x) 5 saadaan kuinka pieneksi tahansa, kunhan vain x poikkeaa luvusta riittävän vähän. Jos esimerkiksi vaaditaan, että funktion arvot poikkeavat viitosesta enintään kymmenestuhannesosan, niin tämä toteutuu silloin, kun toteutuu epäyhtälö f (x) 5... x ( ) < x ( ) <. 0000 0000 Jos siis x:n arvot ovat enintään kahden kymmenestuhannesosan etäisyydellä luvusta, niin funktion arvot pysyvät jokaisella tähän joukkoon (aitoon ympäristöön) kuuluvalla x:n arvolla enintään kymmenestuhannesosan päässä luvusta 5. Lyhyesti: x U (, ) f (x) U(5, ). 0000 0000 MÄÄRITELMÄ : Olkoon funktio f määritelty eräässä pisteen x o ympäristössä U, mutta ei välttämättä itse pisteessä x o. Funktiolla f on pisteessä x o raja-arvo A, jos jokaista ( ) positiivilukua p kohti on olemassa ( ) niin ikään positiiviluku d siten, että aina kun x kuuluu pisteen x o aitoon d ympäristöön U ( x o,d) (joka puolestaan sisältyy ympäristöön U), niin funktion f kaikki arvot sisältyvät pisteen A p-ympäristöön. Toisin sanoen funktiolla f on pisteessä x o raja-arvo A, jos p > 0 d > 0 siten, että 0 < x x0 < d f (x) A < p. Tätä raja-arvon olemassaoloa merkitään lim f (x) x x o A.
Esim. 3: Todista, että lim(4x 5) 3. x Arvioidaan ensin erotusta f (x) 3, kun merkitään f(x) 4x 5: f (x) 3 4x 3 5 4x 8 4 x. Olkoon pieni positiiviluku annettu. Ei siis erikoisesti tuhannesosa tai miljoonasosa, vaan yksinkertaisesti p voi olla mitkä tahansa pieni positiivinen kokonaisluku. Valitaan d p/4. Tällöin: p 0 < x < d f (x) 3 4 x < 4 p. 4 Muille kuin ensiasteisille polynomifunktioille on raja-arvon määrittäminen määritelmän. nojalla varsin hankalaa. Tämän vuoksi todistetaan (tai oikeastaan lähes annetaan) eräitä lauseita, joihin nojautuen raja-arvon määrittäminen on melko rutiininomaista puuhaa. Todistusten taitamista ei vaadita, mutta asiasta kiinnostuneille tarjotaan mahdollisuus tutustua niihin. Mainittakoon lopuksi, että aikoinaan sangen laadukkaita oppikirjoja laatinut Kalle Väisälä määritteli lukion algebran kurssissa raja-arvon seuraavasti: Funktiolla on kohdassa x o raja-arvo A, jos funktion arvot lähestyvät rajattomasti arvoa A aina kun x lähestyy rajattomasti arvoa x o. Tälläkin määritelmällä on maailmassa toimeen tultu, näiden rivien kirjoittajakin lukio-opintojensa ajan, ja kirjoittajan ei-matemaattiselle aloille suuntautuneet luokkakaverit koko loppuelämänsä. Huom. Raja-arvon olemassaolo merkitsee sitä, että epäyhtälö f (x) A < p ratkeaa aina, olipa p miten pieni positiiviluku hyvänsä. Epäyhtälön ratkaisujoukkona on useimmiten jokin pisteen x o d-ympäristö.