JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Matemaatiikan historia Ratkaisut 8 / 0 Esseet. Muistetaan, että Pythagoraan kolmikko on (a, b, c) N 3 siten, että a + b = c. a) Jos kompleksiluvun z = x + iy reaali- ja imaginaariosa x ja y ovat molemmat rationaalisia, siis x = a ja y = c, niin luvulle n = bd N pätee, että luku b d nz = bdz = bdx + bdyi = bd a b + bd c i = ba + dc d on Gaussin kokonaisluku sen reaali- ja imaginaariosa ovat kokonaislukuja. Jos taas oletetaan, että z = x + iy C, n N ja nz on Gaussin kokonaisluku, niin nx ja ny ovat kokonaislukuja ja siis x = nx ny ja y = ovat rationaalilukuja. n n b) Jos z =, niin x + y =. Jos x ja y lisäksi ovat molemmat rationaalisia, siis x = a ja y = c, niin luvulle n = bd N pätee, että b d (nx) + (ny) = n (x + y ) = n ja a)-kohdan mukaan nx ja ny ovat kokonaislukuja.. Arvioi (tai jopa laske!) kuinka monta Gaussin kokonaislukua on kompleksitasossa origokeskisen 0-säteisen ympyrän sisällä. Entä kehällä? Aika tarkan arvion saa seuraavalla päättelyllä: (0 )-säteinen 0-keskinen ympyrä sisältää kaikki ne Gaussinlukukulmaiset nöt, jotka leikkaavat (0 )-säteistä 0-keskistä ympyrää, joten niitä on vähintään π (0 ) kpl, koska ne peittävät pikkuympyrän pinta-alan. Näiden
nöiden vasemmat alakulmat ovat keskimmäiseen tutkittavaan ympyrään kuuluvia eri Gaussinlukuja, joten niitä on vähintään π (0 ) kpl. Itse asiassa sarakkeiden ylimpien nöiden vasemmat yläkulmatkin ovat tutkittavaan ympyrään kuuluvia eri Gaussinlukuja, näitä on vähintään (009) kpl, samoin oikeanpuoleisten ruutujen oikeita alakulmia, jotka nekin ovat eri lukuja. Saatiin alaraja π (0 ) + 4 009=69553. Vastaavalla tavalla nöt, jotka ollenkaan leikkaavat tutkittvaa ympyrää, sisältyvät isoimpaan (0 + )-säteiseen ympyrään, mistä saadaan pinta-ala-arviona yläraja, jota voi hiukan tarkentaa sarakkeita ja rivejä tutkimalla. Suoraan tietokoneella laskien on harjoituksissa eistelty tarkka arvo 6878. Onkohan tietokone ottanut aivan tarkasti kaikki ihan lähelle reunaa osuneet pisteet? Aivan tarkkaa arviota yleistä kaavaa Gaussin pisteiden määrälle mivaltaisessa ympyrässä ei tunneta. Kehällä ovat tietenkin Gaussin pisteet 0, 0i, 0 ja 0i. Muita ei ole, sillä c = 0 ei ole minkään Pythagoraan kolmikon suurin kokonaisluku, koska kaikki Pythagoraan kolmikot a + b = c saadaan Eukleideen kaavasta a = (p q )r, b = qpr, ja erityisesti c = (p + q )r, mutta 0 on alkukokonaisluku, joten olisi r = ja 0 = p + q, mutta katsomalla nökokonaislukutaulukosta (riittää tutkia luvut, p, joiden nö on alle 006, p =,... 3) huomaa, että tämä ei toteudu millekään kokonaisluvuille p, q. Taulukon sijasta voi laskea vaikka Exllä luvut 0 p ja todeta, ettei yksikään ole kokonaiskokonaisluku. 3. Gaussin kokonaiskokonaislukujen summa, erotus ja ja tulo ovat Gaussin kokonaiskokonaislukuja, (ts. Gaussin kokonaisluvut muodostavat alirenkaan C, erityisesti renkaan.) Miten määrittsit Gaussin alkuluvun käsitteen? Sovitaan, että Gaussin kokonaisluku g on jaollinen Gaussin luvulla h, jos g on h Gaussin kokonaisluku. Huomataan, että jokainen Gaussin kokonaisluku g on jaollinen luvilla,, i, i, g, g, ig ja ig. Jos ei muilla, niin jaoton. Huomaa, että gh:n aidot tekijät ovat itseisarvoltaan pienempiä kuin gh. Siksi tekijöihinjako loppuu, joten Gaussin kokonaisluku hajoaa alkutekijöihin. Jako vaikuttaa kokeiltaessa yksikäsitteiseltä, ja todella onkin, mutta todistus on eptriviaali. Kysyä voisi, missä määrin tavallisia lukuteorian alkeita voi jäljitellä tässä. Huomaa myös, että tavallinen alkuluku voi olla jaollinen tässä mielessä, esim. 5 = ( + i)( i).) Lisää löytyy mm wikipediasta ja mathworldista. 4. Diofantos tiesi, että yhtälöllä x 3 3x + 3x + = y on rationaalilukuratkaisu x =, y = 7. Todennäköisesti hän keksi sen konstruoimalla käyrälle tangentin 4 8 ilmeiseen rationaalipisteeseen ja katsomalla, missä se leikkaa käyrän. Tee perässä! Ilmeinen piste on (0,). Voi tietenkin piirtää kuvaajan ja sille tangentin, jolloin saa piirroksesta likimääräisen tuloksen. Lasketaan nyt kuitenkin: a) Kulmakertoimen määrääminen: Helpointa lienee nykyihmisen derivoida funktio f(x, y) = x 3 3x + 3x + y implisiittisesti: f = x 3x 6x + 3, siis pisteessä (0, ) arvo on 3. f = y siis pisteessä (0, ) arvo on. Kulmakerroin on siis y 3 ja tangentin yhtälö y = 3 x +. Tangentin leikkauspisteet käyrän kanssa saadaan
3 yhtälöparista { y = 3 x + y = x 3 3x + 3x + { y = ( 3 x + ) = 9 4 x + 3x + y = x 3 3x + 3x +, siis 9 4 x + 3x + = x 3 3x + 3x +, 9 4 x = x 3 3x, josta x = 0 (kaksoisjuuri tangentin kohdalla!) tai x =, jolloin y = 7. 4 8 Mitenpä olisimme pärjänneet derivoimatta eihän Diofantoskaan derivoinut. Varmaankin jokseenkin näin: Tangentin kulmakerroin k on tuntematon, joten tangentin yhtälö on y = kx +. Lasketaan oleellisesti kuten yllä ja saadaan yhtälöpari { y = (kx + ) = k x + kx + y = x 3 3x + 3x +, siis k x + kx + = x 3 3x + 3x +, 0 = x 3 3x kx + 3x kx, josta x = 0 (käyrän ja suoran yhteinen piste (0,)) tai 0 = x 3x k x + 3 k, jolla myös on oltava juuri kohdassa x = 0, jotta suora olisi tangentti kohdassa 0. Sijoitetaan x = 0 ja saadaan 0 = 3 k, k = 3. 5. Onko yhtälöllä x 3 + y 3 = rationaalilukuratkaisu? Entä yhtälöllä x 4 + y 4 =? Keiden matemaatikoiden nimiin liittyvät vastaukset näihin kysymyksiin? Ei kummallakaan epätriviaaleja ( 0) ratkaisuja. Tehtävän nojalla nimittäin toinen näistä antaisi kokonaisluvut, joilla a 3 + b 3 = c 3 ja toinen a 4 + b 4 = c 4. Mutta jo Fermat todisti, että jälkimmäisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja ja Euler kumosi edellisen. Vrt. Wilesin lause / Fermat n suuri lause. 6. Lausu ellipsin kaaren pituus elliptisenä integraalina. Valitaan koordinaatisto siten, että isompi puoliaks on x-akslla jana origosta ykköseen, jolloin ellipsin yhtälö on x + ( y b ) = ja siis sen ylempi kaari y = b x, josta y = bx, x
4 ja siis käyrän pituus ( + (y ) dx = + bx ) dx = x = x + b x x dx = + b x x dx x ( x + b x )( x ) dx, jossa juuren alla on 4. asteen polynomi ja lauseke siis on elliptinen integraali. 7. Eulerin ζ-funktio on Euler, Gauss, Riemann ζ(s) = n= n s Tiedät, että sarja hajaantuu, kun s. Osoita, että ζ() = ( ) ( 3 ) ( 5 ) ( 7 ) ζ() = p P (, p ) missä tulo on otettu yli kaikkien alkulukujen joukon P. Vihje: Geometrisena sarjana (... ) ( = + p ) p + ( p ) + ( p )3 + = + p + p + p +... 3 Käsittele Eulerin tyyliin kuin polynomia! Ratkaisu: Ottamalla geometristen sarjojen tuloon termin kerrallaan huomaa, että saadaan kaikkien kokonaislukujen käänteiset korotettuna toiseen potenssin, sillä jokaisessa termissä on alkulukujen tulo ja kaikki tulot käydään läpi. 8. Suomelan tehtävä sivulta 8ja 90 : Gaussin Disquisitiones Artihmeticae (80) on yksi matemaatisen kirjallisuuden idearikkaimpia teoksia, lukuteorian klassikko. Pienenä sivujuonena Gauss esittää siinä lauseen, jonka mukaan säännöllinen n-kulmio voidaan konstruida harpilla ja viivaimella, mikäli n = m p p... p k, missä n:n parittomat alkutekijät p j ovat eri Fermat n alkulukuja, siis sekä jaottomia että Fermat n lukuja. Ensimmäiset Fermat n luvut ovat F n = (n) +. ( {3, 5, 7, 57, 65537, 49496797, 84467440737095567,... }, näistä 5 ensimmäistä ovat alkulukuja muita Fermat n alkulukuja ei tunneta. Vuonna 837 Laurent Wantzel todisti, että Gaussin ehto on myös välttämätön. Todista Wantzn lauseen seurauksena, että on olemassa kulma, jonka jakaminen kolmeen yhtä suureen osaan harpilla ja viivoittimella on mahdotonta. Ratkaisu: Säännöllisen kolmion konstruointi on tunnetusti mahdollista itse asiassa ensimmäinen asia mikä tehdään Eukleideen alkeet -kirjassa. Jos kulman kolmijako olisi mahdollista, voisi siitä konstruoida säännöllisen 9-kulmion. Muta se on Laurent Wantzn lauseen mukaan mahdotonta, koska kaavassa n = m p p... p k muut
alkuluvut kuin eivät saa esiintyä kuin kerran. Siis kulman 0 kolmijako ei ole mahdollista. 9. Vertaa lukua n pienempien alkulukujen lukumäärää lukuun n, kun n = 00 ja log n suuremmillakin n, jos jaksat tai käytössäsi on tarvittavaa tekniikkaa. (Riemann!) π(n) n/ log n Alkulukulause (prime number theorem) sanoo, että lim n =, missä π(n) on lukua n pienempien alkulukujen määrä. Kokeilemalla tai Eratostheneen seulalla huomaa, että π(00) = 5 ja laskimesta 99, 7, mikä on jo tuntumassa. Paljon log 00 lisää tietoa saa jo verkosta. 0. Bonus. Leivo pullataikinasta torus ja vähintään sen 4 ensimmäistä yleistystä ja paista. Tarjoa demoissa kavereillesi tätä pullaa ja stä ja laske mikä on kunkin pinnan genus. Voit koristella pullat esim geodeettisin käyrin tai perysryhmän alkioin. Ratkaisu on katsottu ja syöty. (Kiitos nam.) 5