M : S N { }, S : S N.

Æ ¹Ð ÒØ ÙÒ Ú Ö Ð ÙÙ Æ ËÙÙØ Ö Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù Ñ Ø Ñ Ø ÌÙÖÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ¾¼¼

Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ¾ ½ ÓÖÑ Ð Ø Ò ÐØ Ò Ø ÓÖ Ò ØØ Ø ØÙÐÓ ½º½ ÅÙÐØ ÓÙ ÓØ Ö Ð Ø ÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ë Ò Ø Ð Ø ÑÓÖ Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑ Ø Ø ÓÒÓ ÓÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½º Ä ØØ ÚÙÙ ÙÒ Ú Ö Ð ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Æ ÓÖÑ Ð Ø Ò ÐØ Ò Ø ÓÖ Ò Ò ÙÐÑ Ø ¾ ¾º½ Æ ¹ÑÓÐ ÝÝÐ Ò ØÝ ÒÓ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÐÓ Ø Ô Ð Ò ÖÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Æ ¹ Ó ÖØ Ò Ý Ø Ý TS¹ RTS¹ Ð Ò º º º º º º º ¾º ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÙ Ò Ð ÒØ ÚÓ Ñ º º º º º º º º º º º º º H¹ Ý Ø Ñ Ø º½ Ë ÐÑÙ Ó ÒØ ÓÔ Ö Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ä ÒÒ ØØÙ Ò H¹ Ý Ø Ñ Ò Ò ÖÓ ÒØ ÚÓ Ñ º º º º º º º º º ¼ º Ä ÒÒ ØÙØ mh¹ Ý Ø Ñ Ø Ò Ò ÙÒ Ú Ö Ð ÙÙ º º º º º º Î ØØ Ø ½

ÂÓ ÒØÓ Æ ¹Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ð ÓÖ ØÑ Ø ÓÒ ÐÑ ÒÖ Ø Ù Æ ¹ÑÓÐ ÝÝ¹ Ð Ò Ò Ò Ó Ø ØØ Ú Ò Ö Ø Ó Ò ÚÙÐÐ º Ë Ò ØÙØ ÑÙ Ø ÑÓØ ÚÓ Ú Ø Æ ¹ÑÓÐ ÝÝÐ Ò ÙÓØÙ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒÒÙ ÑÙÓØÓÒ ÑÓÐ ÝÝÐ Ò ÚÐ Ø Ò Ö Ø Ó Ò Ñ Ò ÙÙ Ó ÚÓ Ñ ÓÐÐ Ø ÒÓ¹ Ô Ò Ö ÒÒ Ð ÒÒ Òº ÌÙØ ÑÙ Ð Ò Æ ¹Ð ÒØ ÓÒ Ó ÙÙÒØ Ù Ø Ó Ø ÐÙÓÒÒÓ ÒØÝÚ ÔÖÓ Ý ÝÒØÚ Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ÝÒ¹ Ñ Ò ÓÐ ØØÒÝØ Ó ÚÙÓÒÒ ½ ¼ Ò ÓÑÓÐ ÝÝÐ ÐÐ Ð Ñ Ø ÑÙØ¹ Ø ÒÝØØ Ó¹ Ø Ø Ö ÑÑ Ò ÓØØ Ò Æ ¹Ð ÒÒ Ò Ñ ÓÐÐ Ø ÝØÒ¹ Ò Ò ØÓØ ÙØØ ÚÙÙ Ø Ø Ò Ò ÑÑ Ò ÖÖ Ò ÚÙÓÒÒ ½ ÓÐÐÓ Ò ¹ Ð Ñ Ò ½ ÙÓÖ ØØ Ó Ò Ó Ò Ö Ø ÙÔÔ Ñ Ø Ù Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ò Ó ÔÙØ Æ Ø Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÑ Ò Ø ÐÑ ÝØØ Òº ÃÓ ÓÐ ØÝ Ð Ø Ö ÒØ Ó Ø ÓÒ ÐÑ Ó Ø Ý Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ú Ñ Ò Ñ ÓÒ ØÙØ ØØÙ Ý ÝÑÝ Ø ÚÓ Ò Ó Ö ÒØ Ó ÐÑÓ ¹ Ø Ú Æ ¹Ø ØÓ ÓÒ Ð ÒØ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÓÓ ØÙÚ Æ ¹ÑÓÐ ÝÝÐ Ð¹ Ð ÓÔ ÖÓ ÒØ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ñ Ò Ñ Ó ÔÝ ØÝÝ ÙÓÖ ØØ Ñ Ò Ñ Ø Ø Ò¹ ÒÒ ØØÙ Ð ÓÖ ØÑ º Ì ÓÖ ØØ ÐÐ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÓÒ ØÖÙÓ ØÙ Ù Ø Æ ¹ Ø ØÓ ÓÒ Ò ÐÐÝØØÑ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ð ÒØ ÚÓ Ñ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ ÙÒ ¹ Ú Ö Ð Ñ ÐÐ º ÍÒ Ú Ö Ð ÙÙ ÓÒ Ð ÒØ Ñ ÐÐ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ù Ø Ñ ÒØÝÝÔÔ Ò Ð ÒØ Ñ ÐÐ Ò Ó Ø Ö Ó ØØ ØØ Ý ÐÐ Ð ÒØ ¹ Ñ ÐÐ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÙÐÓ Ñ Ø Ø Ò Ñ ÒØÝÝÔÔ Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º Ì ØÝ ØÓ Ø Ø Ò Ö ÐÐ ÙÙØØ ÝØØ Ò ØØ Ð ÒÒ ØÙ mh¹ Ý Ø Ñ ÙØ ÙØØÙ Æ ¹Ð ÒÒ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ð ÒØ ÚÓ Ñ ÐØ Ò Ú Ú ¹ Ð ÒØØ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ð ÒÒ ØØÙ Ò mh¹ Ý Ø Ñ Ò Ù Ø Ò ÙÒ Ú Ö Ð Ð ÒÒ ØØÙ mh¹ Ý Ø Ñ º Ä ÒÒ ØÙØ mh¹ Ý Ø Ñ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø ÐÑÙ Ó ÒØ ÓÔ Ö Ø ÓÓÒ ÓÒ ÐÓ À ÚÙÓÒÒ ½ Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ý Ø ÐÙÓÒÒÓÒ Ò ØØ Ò Ñ Ø Ö Ð Ò ÑÙÙÒØ ÐÙÑ Ò Ñ Ó Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ò Ô Ð ÓÑ Ø Æ ¹ÑÓÐ ÝÝÐ Ø Ý ØÝÚØ Ö Ø Òº Ä ¹ ÒÒ ØÙ H¹ Ý Ø Ñ ÙØ ÙØÙÒ Ð ÒÒ ØØÙ mh¹ Ý Ø Ñ Ô Ð ¹ Ø ØÝÑÑÒ Ñ ÐÐ Ò Ó Ó Ø Ø Ò ÚÙØØ Ú Ò ÓÖ ÒØ Ò Ö ÐÐ Ø Ò ÙØÓÑ Ø¹ Ø Ò Ð ÒØ ÚÓ Ñ Òº Ä Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÙØØ Ð Æ Ò ÒÙ Ð ÓØ Ò Ô Ö ÙØÙÑ Ø Ó Ú ÒØ Ó ÐÙÓÒÒÓ Ñ ÓÐÐ Ø Ô ¹ Ö ÑÒ ÒØÙÑ Ò Ó Ó Ø Ø Ò ØØ ÓÒÓ ÓÒ Ò Ð ØÙÐÓ Ø Ñ Ò ÔÝ ¹ ØÝÚ Ò Ö ÐÐ Ø Ò ÙØÓÑ ØØ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÙ Ò ÚÙÐÐ ÚÙØ Ø Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ð ÒØ ÚÓ Ñ º ÌÐÐ Ò Ù Ø Ò Ò Ô Ø ÒØ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÓÓ ØÙÚ Ò Ñ ÐÐ Ò ÙØ Ò Ð ÒÒ ØÙ ÐÐ mh¹ Ý Ø Ñ ÐÐº ÌÓ ÐØ ØÐÐ ØÙÐÓ ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ø Ñ Ð Ò ÒØÓ Ó Æ ¹Ð Ò¹ Ò Ò Ñ ÐÐ Ø Ý ÝÒØÚØ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÙØØ ÓÐÐ Ò Ø Ú ÐÐ ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ö ÙÙ ØØ ÓÐÐ ØÓØ ÙØ ØØ Ú ÓÐÐ Ò ÑÙÙÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò Æ ¹ ÑÓÐ ÝÝÐ Ò ÚÙÐÐ º Ñ Ö ÊÆ ¹ÑÓÐ ÝÝÐ ÐÐ ÓÒ Ú Ø Ú ÓÑÔÐ Ñ Ò¹ ¾

Ø Ö ÙÙ ÓÑ Ò ÙÙ º Ì Ö Ø ÐÙØ ÙÓÖ Ø Ø Ò ÓÖÑ Ð Ø Ò ÐØ Ò Ø ÓÖ Ò ÔÙ ØØ º ÄÙ ÙÙÒ ½ ÓÒ ÓÓØØÙ ÐÙÚÙ ¾ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ÓÖÑ Ð Ø Ò ÐØ Ò Ø ÓÖ Ò ØØ Ø ØÙÐÓ Ø ÝØØ Ò Ð Ø Ò Ô ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø ØØ Ö Ó ¾ ½¼ ½ º ÈÝ Ð ¾º½ Æ ¹ÑÓÐ ÝÝÐ Ø ØÖ Ó Ò ÒÓ ÑÖ Ø Ð¹ ÐÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÙ ÑÓÖ Ñ Ò ÝØØ Ò Ð Ø Ò Ö ½¾ ÖØ ¹ Ð ½ º ÈÝ Ð ¾º¾ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÖØ Ð Ò ½ ÔÓ ÐØ ÓÐÓ Ô ¹ Ð Ò ÖÓÑ ÙØ ÙØØÙ ÒÓ ÓØ Ð ØØÝÚØ Ù Ò Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ò ØÓ Ñ ÒØ Òº ÈÝ Ð ¾º Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ó ØÙ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ¹ Ö ÙÙ ÑÓÖ Ñ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØÙÒ Ó ØÓÒ ÚÙÐÐ ÑÖ Ø ÐØÚ Ò TS¹ RTS¹ ÐØ Ò Æ ¹ÑÓÐ ÝÝÐ Ò ÚÐ Ø Ý Ø ÝØØ ÝØØ Ò Ð Ø Ò Ö ½¾ º ÈÝ Ð ¾º½ Ó Ó Ø Ø Ò Ö Ó Ò ½ ½¾ ØÝ Ø ÙÖ Ø Ò ØØ ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔ ÐÐ Ð Ú Ú Ð ÒØ Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÚ ÓÐ Ú Ø Ð Ø ÚÓ Ò ØØ TS¹ ØØ RTS¹ Ð Ò ÓÒÓ ÓÒ Ò ÚÙÐÐ º ÈÝ Ð º½ ØÖ Ó Ò Ø ØÝÐÐ Ø Ú ÐÐ Ý Ø Ò ÓÔ Ú Ò Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ò Ô Ð ¹ ÓÑ Ò Æ ¹ÑÓÐ ÝÝÐ Ò Ö Ø ÒÝ ØÝÑ Ò Ò ÒÓ Ò ÚÐ ÐÑÙ Ó ÒØ Ó¹ Ô Ö Ø Ó º ÈÝ Ð º¾ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÑÙ Ó ÒØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Æ ¹ ÑÓÐ ÝÝÐ Ò ÓÙ Ó ÐÐ ÓÔ ÖÓ Ú ÔÝ Ð º½ Ø ØÝÐÐ Ø Ú ÐÐ Ý Ø Ò ÓÔ ¹ Ú Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ñ ÐÐ ÒØ Ú Ð ÒÒ ØÙ H¹ Ý Ø Ñ ÙØ ÙØØÙ ÓÖÑ Ð Ò Ð Ò Ò ÖÓ ÒØ Ñ Ò Ñ ØÓ Ø Ø Ò ÖØ Ð Ò ½ ÔÓ Ù¹ ØÙ Ò ØØ Ð ÒÒ ØØÙ H¹ Ý Ø Ñ ÚÓ Ò ÑÙÐÓ Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓ¹ Ñ Ø ÐÐ º ÈÝ Ð º Ð ØÒ Ð ÒÒ ØØÙ Ò H¹ Ý Ø Ñ Ò ÑÙÐØ ÓÙ ¹ Ó Ò ÚÙÐÐ Ý Ý Ñ ÐÐ ÒØ ÑÓÐ ÝÝÐ Ó Ø ÓÒ Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ ØÓ Ø Ø Ò ÖØ Ð Ò ØÝ Ø ÙÖ Ø Ò ØØ Ò Ò Ù ÐÐ Ð ÒÒ ØÙ ÐÐ mh¹ Ý Ø Ñ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÙÐÓ Ñ Ø Ø Ò ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔÔ ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ð ÒÒ ØØÙ mh¹ Ý Ø Ñ ÓÐÐ ÚÓ Ò ÑÙÐÓ Ñ Ø Ø Ò¹ Ð ÒÒ ØØÙ mh¹ Ý Ø Ñ º ÃÝ ÝÑÝ ÓÒ Ô ÙÓÖ ÑÙÐÓ ÒØ Ó Ø ÖÚ Ø Ò ÙÖ Ò¹ÌÙÖ Ò Ò Ø Ö ½¼ ØÓ Ø ØØÙ ØÙÐÓ Ø ÓÒ ÑÙ Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÚÓ Ò ÑÙÐÓ ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔ ÐÐ Ö ¹ ½¾ ØÓ Ø ØØÙ ØÙÐÓ Ø ÓÒ ÑÙ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ú Ö Ð ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔÔ º ÓÐÓ Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ú Ð ÒÒ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÚÙ ØÓ º

½ ÓÖÑ Ð Ø Ò ÐØ Ò Ø ÓÖ Ò ØØ Ø ØÙ¹ ÐÓ Ì Ò ÐÙ ÙÙÒ ÓÒ ÓÓØØÙ ÐÙÚÙ ¾ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ÓÖÑ Ð Ø Ò ÐØ Ò Ø Ó¹ Ö Ò ØØ Ø ØÙÐÓ Ø Ó Ø Ò ÓÙ Ó¹ÓÔ Ò ØØ Øº Ç ØÙÐÓ Ø ØÓ Ø Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ØÙÐÓ Ø ÓÒ Ð Ø ØØÝ Ú Ò Ò Ò ØÓ ØÙ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ÓÒ ØÖÙ Ø ÓØ Ø Ú ØØ Ù Ö ÐÐ ÙÙ Ø Ð ÝØÝÚÒ ØÓ ØÙ Òº ÌÝ Ø ÓÙ Ó Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ ÓÙ ÓÒ S ÔÓØ Ò ÓÙ Ó Ø Ð ÓÙ ÓÒ S Ó ÓÙ Ó Ò ÓÙ Ó Ø ÑÙ ÒÐÙ Ò ØÝ ÓÙ Ó ÝØ ØÒ Ñ Ö¹ ÒØ P(S) ÓÙ ÓÒ S Ð Ó Ò ÐÙ ÙÑÖ Ø Ñ Ö ÒØ card(s)º ÄÙÓÒ¹ ÒÓÐÐ Ø Ò ÐÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ N ÓÐ Ø Ø Ò ÐØÚÒ ÒÓÐÐ Òº ½º½ ÅÙÐØ ÓÙ ÓØ Ö Ð Ø ÓØ ÅÙÐØ ÓÙ Ó M ÝÐ ÓÙ ÓÒ S ÓÒ ÙÒ Ø Ó M : S N { }, Ó Ð ØØ Ó Ò ÓÙ ÓÒ S Ð ÓÓÒ x Ð Ó Ò x ÐÙ ÙÑÖÒº ÂÓ Ñ Ö ¹ ØÒ ÙÒ Ø ÓØ M Ñ ÐÐ Ö Ñ ÐÐ Ù Ò ÓÙ Ó S Ò Ò ÑÙÐØ ÓÙ Ó S ÝÐ ÓÙ ÓÒ S ÓÒ ÙÒ Ø Ó S : S N. ÅÙÐØ ÓÙ ÓÒ S ÝÐ ÓÙ ÓÒ S Ð ÓØ Ó Ø ÓÒ Ú ÒØÒ Ý ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÓÙ ÓÒ S Ó ÓÙ ÓÒ supp(s) = {x S S(x) > 0}. ÂÓ card(supp(s)) < Ý ÝÑÝ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÑÙÐØ ÓÙ Óº Ö ÐÐ Ò Ò ÑÙÐØ ÓÙ Ó S ÝÐ ÓÙ ÓÒ S ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó {(x,s(x)) x supp(s)}. ÂÓ M 1 M 2 ÓÚ Ø ÑÙÐØ ÓÙ Ó ÝÐ ÓÙ ÓÒ S Ò Ò ÑÙÐØ ÓÙ Ó Ò M 1 M 2 ÙÒ ÓÒ M 1 M 2 ÓÒ ÑÙÐØ ÓÙ Ó ÝÐ ÓÙ ÓÒ S Ó ÑÖÝØÝÝ Ó Ø (M 1 M 2 )(x) = M 1 (x) + M 2 (x) x S. ÂÓ ÑÙÐØ ÓÙ ÓØ M 1 M 2 ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÒ M 1 (x) M 2 (x) x S, Ò Ò ÑÙÐØ ÓÙ Ó Ò M 1 M 2 ÖÓØÙ M 1 M 2 ÓÒ ÑÙÐØ ÓÙ Ó ÝÐ ÓÙ ÓÒ S Ó ÑÖÝØÝÝ Ó Ø (M 1 M 2 )(x) = M 1 (x) M 2 (x) x S.

ÂÓÙ ÓÒ S ÒÖ Ö Ð Ø Ó R Ø ÐÝ Ý Ø Ö Ð Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÓÒ S S = {(a,b) a,b S} Ó ÓÙ Óº ÂÓÙ ÓÒ S Ð ÓØ a b ÓÚ Ø Ú ÖØ ÐØ Ú Ö Ð Ø ÓÒ R Ù Ø Ò Ó ÂÓ Ö Ð Ø Ó R ÓÒ Ö Ú Ò Òº ÂÓ (a,b) R tai (b,a) R. (a,a) R aina, kun a S, (a,c) R aina, kun (a,b) R ja (b,c) R, Ò Ò Ö Ð Ø Ó R ÓÒ ØÖ Ò Ø Ú Ò Òº Ê Ð Ø ÓÒ R Ö Ú Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Ò ÙÐ ÙÑ ÓÒ ÓÙ Ó Ò ÐØÝÑ Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ø Ò Ô Ò Ò ÓÙ ÓÒ S Ö Ð Ø Ó Ó ÓÒ Ö Ð Ø Ó R ÐØÝÝ Ó ÓÒ Ö Ú Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò Òº ½º¾ Ë Ò Ø Ð Ø ÑÓÖ Ñ Ø Ó ØÓ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÔØÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ð Ó Ø ÒÓØ Ò Ö Ñ Ø ÝÑ ÓÐ º Ë Ò ÝÐ Ó ØÓÒ Σ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÒÓ Ó ØÓÒ Σ Ö¹ Ñ Ó Ñ Ö Ò ÚÓ ØÓ ØÙ Ù ÑÑ Ò ÖÖ Òº ÆÓÐÐ Ò Ö Ñ Ò ÓÒÓ ÒÓØ Ò ØÝ Ò Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ λº Ã Ö ÒØ Ò ÐÙ ÙÑÖ Ø Ò w ÙÒ Ö ÒØ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ù ÑÔ ÖØ Ø Ò¹ ØÝÑØ ÓØ Ø Ò ÙÓÑ ÓÓÒ Ð Ò Ò w Ô ØÙÙ Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ w Ö ÒØ Ò a ÐÙ ÙÑÖ Ø Ò w Ñ Ö ÒØ w a º Ó ØÓÒ Σ ÝÐ ÑÙÓ¹ Ó Ø ØØÙ Ò ÒÓ Ò ÓÙ Ó Ø ÑÙ ÒÐÙ Ò ØÝ Ò ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ Σ Ó ØÓÒ Σ ÝÐ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ò ØÝ Ø ÖÓ Ú Ò ÒÓ Ò ÓÙ Ó Ø Ñ Ö ÒØ Σ + º ÌÐÐ Ò Σ + = Σ \{λ}. ÂÓ u v ÓÚ Ø ÓÙ ÓÓÒ Σ ÙÙÐÙÚ ÒÓ Ò Ò Ò Ø u v Ô Ö Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÙ Ò uv ÙÙÐÙÙ ÓÙ ÓÓÒ Σ º ÌØ ÓÔ Ö Ø ÓØ ÒÓØ Ò Ø ÒÓ ÒÒ ØÝ Ò ÓÒ Ò Ù Ø Ò ÒØ Ø ØØ Ð Ó Ð wλ = λw = w w Σ. Ã Ø ÒÓ ÒØ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒ Ð Ó Ø Ú Ò Ò Ð u(vw) = (uv)w u,v,w Σ,

ÓØ Ò ÓÙ Ó Σ ÓÒ Ø ÒÓ ÒÒ Ò Ù Ø Ò ÑÓÒÓ º Ë Ò Ò w Ø ÒÓ ÒØ Ø Ò Ò ÚÓ Ò ØØ ÝØØ Ò ÔÓØ Ò Ñ Ö ÒØ w 0 = λ w n = ww n 1 = w n 1 w, Ñ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ã Ø ÒÓ Ñ ÐÐ ØÝ Ø ÖÓ Ú Ò Ò Ò w = a 1 a 2 a n Ñ n 1 a i Σ ÙÒ 1 i n Ö Ñ Ø Ú Ñ Ø Ò ÑÑ Ò Ò Ò Ò w Ô Ð ÙÚ w R = a n a n 1 a 1. ÌÝ Ò Ò Ò Ô Ð ÙÚ ÑÖ Ø ÐÐÒ λ R = λº ÓÒ w R = w ØÝØØÚ ÒÓ ÒÓØ Ò Ô Ð Ò ÖÓÑ º È Ð ÙÚ ¹ Ø Ò Ø Ó¹ÓÔ Ö Ø Ó Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÙÖ ØØ (u R ) R = u u Σ ½µ (uv) R = v R u R u,v Σ. ¾µ Ë Ò v ÓÒ Ò Ò w Ó Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø Ò Ø w 1 w 2 ØØ w = w 1 vw 2. µ Ë Ò Ò w Ó ÒÓ Ò ÓÙ Ó Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ F(w)º ÂÓ Ý ØÐ w 1 = λ Ò Ò Ò v ÓÒ Ò Ò w ØÙÐ Ø Ó w 2 = λ Ò v ÓÒ Ò Ò w ÐÓÔÔÙÐ Ø º ÂÓ v w Ò Ò Ò Ò w ØÙ¹ Ø ÐÓÔÔÙÐ Ø v ÓÒ ØÓº ÂÓ Ò v ÓÒ Ò Ò w ØÙÐ Ø Ò Ò Ñ Ö ØÒ v w Ó Ò v ÓÒ Ò Ò w ØÓ ØÙÐ Ø Ò Ò Ñ Ö ØÒ v < wº ÂÓ u w Ð w = uv Ò Ò Ò Ø w ÚÓ Ò Ò u ÓÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÒ v = u 1 wº ÂÓÙ ÓÒ Σ Ö ÐÐ Ø Ö ØØ Ñ Ó ÓÙ Ó ÒÓØ Ò ÓÖÑ Ð ¹ Ð Ø ÐÝ Ý Ø Ð ÝÐ Ó ØÓÒ Σº Ã Ø ÒÓ ÒØ ÓÔ Ö Ø Ó ÝÐ ØÝÝ ÐØ Ò ÚÐ ÓÔ Ö Ø Ó Ø Ò ØØ Ó L 1 L 2 ÓÚ Ø Ð Ò Ò L 1 L 2 = {uv u L 1,v L 2 }. Ã Ð Ò L Ø ÒÓ ÒØ Ø Ò Ò ÚÓ Ò ØØ ÝØØ Ò ÔÓØ Ò Ñ Ö Ò¹ Ø L 0 = {λ} L n = LL n 1 = L n 1 L,

Ñ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ã Ð Ò L ÃÐ Ò Ò ¹ ¹ ÙÐ ÙÑ Ø ÓÚ Ø L = L i ja L + = L i. i 0 i 1 Ë ÒÓ Ò x Σ 1 y Σ 2 Ó ØÙ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ð x y = {x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n x = x 1 x n,y = y 1 y n,x i Σ 1,y i Σ 2, 1 i n}. Ë Ó ØÙ ÓÔ Ö Ø Ó ÝÐ ØÝÝ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ð ÐÐ L 1 L 2 = w 1 w 2. w 1 L 1,w 2 L 2 ÅÓÖ Ñ ÓÒ ÙÚ Ù h : Σ 1 Σ 2 Ñ Σ 1 Σ 2 ÓÚ Ø Ó ØÓ Ó ØÓØ ÙØØ ÓÒ h(uv) = h(u)h(v) u,v Σ 1. Ë ÑÖÝØÝÝ ØÝ Ò ÙÚ Ò h(a i ), a i Σ 1 Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÅÓÖ Ñ Ò h ÒØ ÑÓÖ Ñ ÓÒ Ñ ÓÐÐ Ø Ó ØØ Ò ÑÖ ¹ Ø ÐØÝ ÙÚ Ù h 1 : Σ 2 P(Σ 1) h 1 (w) = {v h(v) = w}. ÈÖÓ Ø Ó ÙÚ Ù Ó ØÓÐØ Σ 1 Ó ØÓÐÐ Σ 2 Ñ Σ 2 Σ 1 ÓÒ ÑÓÖ Ñ pr Σ2 : Σ 1 Σ 2 { a jos a Σ2 pr Σ2 (a) = λ jos a Σ 1 \Σ 2. ÅÓÖ Ñ Ò h 1,h 2 : Σ 1 Σ 2 Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÓÙ Ó ÓÒ Ð E(h 1,h 2 ) = {w Σ + 1 h 1 (w) = h 2 (w)}, Ó ÓÓ ØÙÙ Ò Ø ØÝ Ø ÖÓ Ú Ø ÒÓ Ø Ó ÐÐ ÑÓÖ Ñ Ò h 1 h 2 ÙÚ Ø Ý ØÝÚØº ÀÙÓÑ ÙØÙ ½º½º ÂÓ h 1 (w) = h 2 (w) Ò Ò ÓÑÔ ÙÑÔ Ö Ð Ø Ó Ø h 1 (w ) h 2 (w ), h 2 (w ) h 1 (w ) ØÓØ ÙØÙÙ ÐÐ Ò Ò w ØÙÐ ØØ ÐÐ w º

ÀÙÓÑ ÙØÙ ½º¾º ÌÝ Ò ÙÙÐÙÙ Ò ÑÓÖ Ñ Ò h ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ¹ ÓÓÒ Ó h(λ)h(λ) = h(λλ) = h(λ), ÑÓÖ Ñ Ø ÙÚ Ú Ø ØÝ Ò Ò Ò ØÝ Ò º ÇÒ ÐÑ Ó Ý¹ ÝØÒ ÓÒ Ó ÓÐ Ñ ØÝ Ø ÖÓ Ú Ò ÓÐÐ ÒÒ ØØÙ Ò ÑÓÖ Ñ Ò ÙÚ Ø Ý ØÝÚØ ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ Ö Ø Ñ ØØÓÑ º ÓÐ ÓÐ Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ó ÐÐ ÒÒ ØÙ ÐÐ ÑÓÖ Ñ ÐÐ h 1,h 2 Ö Ø ÓÒ Ó ÓÙ Ó E(h 1,h 2 ) ÔØÝ º ÌÙÐÓ Ò ØÓ Ø Ò ÑÑ Ò ÈÓ Ø ½ ÚÙÓÒÒ ½ º Ñ Ö ½º º ÅÖ Ø ØÒ ÑÓÖ Ñ Ò f,g : {a,b,c} {a,b} a b c f a 2 b 2 ab 2 g a 2 b ba b Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÓÙ Ó Ý ÝÒØ Ò ÙÓÑ ÙØÙ Ø ½º½º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÑÓÖ Ñ Ò f g Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÓÙ Ó ÓÒ ØÝ Ø Ò Ø ÖÓ Ú Ò w ÐÙ Ø Ò Ø Ö Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú ÑÑ ÐØ Ó ÐÐ º ÃÓ Ò Ø f(b),g(b) f(c),g(c) ÚØ ÓÐ Ú ÖØ ÐØ Ú Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ø Ò Ò w ÚÓ Ð Ö Ñ ÐÐ b c ÓØ Ò Ò ØÝØÝÝ Ð Ö Ñ ÐÐ aº ÃÓ f(aa) = a 4 g(aa) = a 2 ba 2 b f(ac) = a 3 b 2 g(ac) = a 2 b 2, Ò Ò w ØÝØÝÝ Ð Ò ÐÐ ab Ó f(ab 2 ) = a 2 b 4 g(ab 2 ) = a 2 b 2 aba, Ò w ÚÓ Ð Ò ÐÐ ab 2 º Ä ÐÑ Ø f(abca) = a 2 b 2 ab 2 a 2 g(abca) = a 2 b 2 aba 2 b f(abcb) = a 2 b 2 ab 4 g(abcb) = a 2 b 2 ab 2 a f(abcc) = a 2 b 2 ab 2 ab 2 g(abcc) = a 2 b 2 ab 2 Ò Ò ØØ Ò w ÚÓ Ð Ò ÐÐ abc ÙÒ ÓØ Ø Ò ÙÓÑ ÓÓÒ ÑÓÖ ¹ Ñ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ø Ô Ù abccº Ä ÐÑ Ø f(abaa) = a 2 b 2 a 4 g(abaa) = a 2 b 2 a 3 ba 2 b f(abab) = a 2 b 2 a 2 g(abab) = a 2 b 2 a 3 b 2 a Ò Ò ØØ Ò Ò w ØÝØÝÝ Ð Ò ÐÐ abacº ÃÓ f(abac) = a 2 b 2 a 3 b 2 g(abac) = a 2 b 2 a 3 b 2, µ ÝÐÐÓÐ Ú ÔØØ ÐÝ ØÓ Ø Ñ ÐÐ Ò Ò ØØ w {abac} + ÓØ Ò E(f,g) {abac} + º ÌÓ ÐØ Ð ÐÑ Ò ÒÓ ÐÐ {abac} + E(f,g)º ÅÓÖ Ñ Ò f g Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÓÙ Ó ÓÒ {abac} + º

Ñ Ö ½º º ÅÖ Ø ØÒ ÑÓÖ Ñ Ò f,g : {a,b} {a,b} a b f a baa g aab aa, Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÓÙ Óº ÂÓ f(w) = g(w) Ò Ò Ö ÒØ Ò a b ÐÙ ÙÑÖ Ò ÒÓ f(w) g(w) ØÙÐ Ú Ø Ø ØÓ Ò Ð { f(w)a = g(w) a f(w) b = g(w) b, ÓÐÐÓ Ò ÑÓÖ Ñ Ò f g ÑÖ ØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ { w a + 2 w b = 2 w a + 2 w b w b = w a. ÂÐ ÑÑ Ø Ý ØÐ Ô Ö Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø w a = w b = 0 ÓØ Ò w = λº ÅÓÖ Ñ Ò f g Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÓÙ Ó ÓÒ ØÝ º ÇÒ Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ñ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ø ÒÓ w ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÒ f(w ) g(w ). µ Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ ØØ ÑÙÓØÓ a 2 b 2 a 4 b 4 a 8 b 8 a 2n b 2n ÓÐ Ú Ø Ò Ø Ñ ¹ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò f(a 2 b 2 a 4 b 4 a 2n b 2n )g(b) 2n 1 = g(a 2 b 2 a 4 b 4 a 2n b 2n ) µ ÑÝ ÓÒ º ÃÙÒ n = 1 f(a 2 b 2 )g(b) = a 2 ba 2 ba 4 = g(a 2 b 2 ). ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ý ØÐ ÔØ ÙÒ n = kº ÌÐÐ Ò g(a 2 b 2 a 2k b 2k a 2k+1 b 2k+1 ) = g(a 2 b 2 a 2k b 2k )g(a 2k+1 b 2k+1 ) = f(a 2 b 2 a 2k b 2k )g(b) 2k 1 g(a 2k+1 b 2k+1 ) = f(a 2 b 2 a 2k b 2k )(aa) 2k 1 (aab) 2k+1 (aa) 2k+1 = f(a 2 b 2 a 2k b 2k )a 2k+1 2 (aab) 2k+1 (aa) 2k+1 = f(a 2 b 2 a 2k b 2k )a 2k+1 (baa) 2k+1 (aa) 2k+1 1 = f(a 2 b 2 a 2k b 2k )f(a) 2k+1 f(b) 2k+1 g(b) 2k+1 1 = f(a 2 b 2 a 2k+1 b 2k+1 )g(b) 2k+1 1 Ð Ý ØÐ ÔØ ÙÒ n = k + 1 Ñ ØÓ Ø Ú ØØ Òº

½º Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑ Ø Ø ÓÒÓ ÓÒ Ø Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑ Ø Ø ÓÚ Ø ÐØ Ò ØÙÒÒ ØÙ Ñ Ò Ñ ÓØ Ó Ó ØÙÒÒ ¹ Ø Ú Ø Ð ÝÚ ÝÚØ Ø ÐØ Ø Ô Ù ÝÐ ÚØ Ý ØØ Ò Ñ Ò¹ Ò Òº Æ ÐÙ Ú Ø Ý Ø ØØ Ö Ò Ö Ñ ÐØ Ù Ø Ú Ø ÐÐ Ø Ð¹ ÓÖ ØÑ Ò Ð ØØ ÚÙÙ Ò Ø Ó Ó ÓÒ ØÓØ ÙØ ØØ Ú Ý ØØ Ò Ú Ø Ñ Ø ÐÐ ØÙ Ø Ð ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ ÔÙ Ø Ø Ö ÐÐ Ò ÒÓ Òº Ð Ø ØÝÒ Ö ÐÐ Ò ÙØÓÑ Ø Ò M = (Q, Σ,δ,Q 0,F) ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Q ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÐÓ Ò ÓÙ Ó Σ ÓÒ Ý Ø Ó ØÓ δ : Q (Σ {λ}) P(Q) ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Q 0 Q Ð ÙØ ÐÓ Ò ÓÙ Ó F Q ÐÓÔÔÙØ ÐÓ Ò ÓÙ Óº ÂÓÙ ÓÒ Q Σ Ó Ø (q,ax) M (q,x) q δ(q,a), Ñ a Σ {λ} x Σ ÑÖÝØÝÚÒ Ö Ð Ø ÓÒ M Ö Ú Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò ÙÐ ÙÑ Ò M ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÝÐ Ø ØÝÒ Ö ÐÐ Ò ÙØÓÑ Ø Ò M ØÙÒÒ Ø Ñ Ð ÝÚ ÝÑ Ð L(M) = {x Σ q 0 Q 0,f F : (q 0,x) M (f,λ)}. Ë ÓÓ ØÙÙ ÐÐ Ø ÒÓ Ø x ÝÐ Ý Ø Ó ØÓÒ Σ ÓØ ÐÙ ØØÙ Ò ÙØÓ¹ Ñ ØØ M ÚÓ ÓÐÐ Ó Ò ÐÓÔÔÙØ Ð ÙÒ ÐÙ Ñ Ò Ò ÐÓ Ø Ø Ò Ó Ø Ò Ð ÙØ Ð Ø º Ð Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ñ ÐÐ º Ð Ø ØÝØ Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑ Ø Ø M M ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØ Ø Ó L(M) = L(M ). Ð Ø ØØÝ Ò Ö ÐÐ Ø Ò ÙØÓÑ ØØ Ò ØÙÒÒ Ø Ñ Ò ÐØ Ò ÐÙÓ ÒÓØ Ò ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÐØ Ò ÐÙÓ Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ Regº Ð Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ M = (Q, Σ,δ,Q 0,F) ÚÓ Ò ØØ Ö Ò ÑÙÓ Ó ((Q,E,ǫ),Q 0,F), Ñ Q 0 F ÓÚ Ø ÙØÓÑ Ø Ò M Ð Ù¹ ÐÓÔÔÙØ ÐÓ Ò ÓÙ ÓØ (Q,E,ǫ) ÓÒ ÙÙÒÒ ØØÙ Ð Ñ ØØÙ Ö º Ö Ò (Q,E,ǫ) Ô Ø Ø ÓÚ Ø ÙØÓÑ Ø Ò M Ø Ð Ø Q Ò Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ú Ú Ø E = {(q,q ) Q Q q δ(q,a) joillakin q,q Q,a Σ {λ}}, ÓØ ÓÒ Ð Ñ ØØÙ ÒÓ ÐÐ ǫ((q,q )) = a jos q δ(q,a), ½¼

Ñ ǫ ÓÒ ÑÓÖ Ñ E Σ º ÃÒØ Ò Ó Ø ÐÐ ÙÚ ØØÙ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú ØÝ Ø ((Q,E,ǫ),Q 0,F) Ú Ø Ý ØØ Ò Ò ÝÐ Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ º Ö Ò (Q,E,ǫ) ÔÓÐ Ù ÓÒ Ò ÓÒ Ö Ñ Ø e i E ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ e 1 e 2 e n E, n 0, e i = (q i,q i+1 ), i = 1, 2,...,n. ÌÝ Ø ÖÓ Ú ÔÓÐ Ù ÓÒ ÝÚ ÝÚ Ó q 1 Q 0 q n+1 F º ÌÝ ÔÓÐ Ù ÓÒ ÝÚ ÝÚ Ó Q 0 F º ÃÓ Ð Ñ ÙÒ Ø Ó ǫ ÓÒ ÑÓÖ Ñ E Σ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ Ö Ò (Q,E,ǫ) ÔÓÐÙ ÐÐ Ö ØÝ Ø ÐÐ ÝÚ ÝÚ ÐÐ ÔÓÐÙ ÐÐ º Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ö ÐÐ Ò ÙØÓÑ Ø Ò M = (Q, Σ,δ, {q 0 },F) ÓÑÔÓÒ Ò¹ Ø Ø ÓÚ Ø ÑÙÙØÓ Ò Ñ Ø Ù Ò ÝÐ Ø ØÝÐÐ Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑ Ø ÐÐ ÑÙØØ ÐÐ ÓÒ Ú Ò Ý Ð ÙØ Ð Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó δ : Q Σ P(Q), Ó ÐÐ ÑÙÓØÓ δ(q,λ) ÓÐ Ú ÖØÝÑ ØÓØ ÙØØ ÓÒ card(δ(q,a)) 1 q Q,a Σ. µ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ö ÐÐ Ò ÙØÓÑ Ø Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ Ó ØØ Ò ÑÖ Ø ÐØÝÒ ÙÒ Ø ÓÒ δ : Q Σ Q. ÌÐÐ Ò δ(p,a) ÓÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò Ø Ô Ù Ó δ(p,a) = ÝØØ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ð ÓÙ ÓÒ ÓÙ Ó P(Q)º Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑ ØØ ÚÓ Ò Ô Ø ÝÐ Ø ØÝÒ Ö ÐÐ Ò ÙØÓÑ Ø Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ò ÓØ Ò Ò ØÙÒÒ Ø Ñ Ð ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú ¹ Ø Ú Ø Ù Ò ÝÐ Ø ØÝ ÐÐ Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑ Ø ÐÐ º Ä Ù ½º º ÂÓ Ø ÒÒ ÐÐ Ø ÐØ L Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÒ ØÙÒÒ Ø Ñ Ð ÓÒ Lº ÂÓ Ø Ò ØÓ ØÙ Ø ÖÚ ØØ Ú ÓÒ ØÖÙ Ø Ó ÝØØ Ò Ð Ø Ò ÐÙ ÒØÓ¹ ÑÓÒ Ø ØØ º ÇÐ ÓÓÒ M 1 = (Q, Σ,δ 1,Q 0,F) ÝÐ Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø¹ Ø ÓÒ ØÙÒÒ Ø Ñ Ð ÓÒ Lº Ð Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ M 2 = (Q {q 0 }, Σ,δ 2, {q 0 },F), ½½

Ñ q 0 / Q ÓÐÐ ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ò M 1 ÖØÝÑØ Ð q δ 1 (p,a) q δ 2 (p,a) Ò ÙÒ p Q a Σ {λ} ÓÐÐ ÓÒ Ð ÖØÝÑØ δ 2 (q 0,a) = {q p Q 0 : q δ 1 (p,a)}, Ñ a Σ {λ} ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ò M 1 Ò Ú Ú Ð ÒØØ ÐÐ ÓÒ Ú Ò Ý Ð ÙØ Ð º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ó Ø ÙØÓÑ Ø Ò M 2 Ø Ð p Q {q 0 } Ó Ø ÓÙ ÓØ C 0 (p) = {p}, C i+1 (p) = C i (p) {q Q {q 0 } r C i (p) : q δ 2 (r,λ)},i = 0, 1, 2,... ÃÓ C i (p) C i+1 (p) ÐÙ Ù ÓÒÓ card(c 0 (p)),card(c 1 (p)),card(c 2 (p)),... ÓÒ Ú Ú º Ä ÐÙ Ù card(q) + 1 Ö Ó ØØ Ò Ò ÝÐ ÐØº ÇÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ò k ØØ C k+1 (p) = C k (p)º ÇÐ ÓÓÒ i p Ô Ò Ò ØÑÒ ÓÒ ØÓØ ÙØØ Ú Ò º Ð Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÐÐ ÓÒ ÖØÝÑØ M 3 = (Q {q 0 }, Σ,δ 3,C iq0 (q 0 ),F), q δ 3 (p,a) r Q {q 0 } : r δ 2 (p,a) ja q C ir (r) ÐÐ p,q Q {q 0 },a Σ ÐÐ ÑÙÓØÓ δ 3 (p,λ) ÓÐ Ú ÖØÝÑ ØÓØ ÙØØ L(M 3 ) = L(M 2 )º Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑ Ø ÐÐ M = (P(Q {q 0 }), Σ,δ, {C iq0 (q 0 )}, {H P(Q {q 0 }) H F }), ÓÐÐ ÓÒ ÖØÝÑØ δ(h,a) = {q Q {q 0 } p H : q δ 3 (p,a)} ÐÐ H P(Q {q 0 }),a Σ ÔØ L(M) = L(M 3 ) = L(M 2 ) = L(M 1 ) = L. Ä Ù ½º º ËÒÒ ÐÐ Ø Ò ÐØ Ò ÐÙÓ ÓÒ ÙÐ ØØÙ ÙÒ ÓÒ Ò Ø ÒÓ ÒÒ Ò Ó ØÙ Ò ÃÐ Ò Ò ¹ ¹ ÙÐ ÙÑ Ò ÑÓÖ Ò ÙÚ Ò Ð Ù Ò Ù ¹ Ø Òº ½¾

Ø ØÒ Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ÓÒ ØÖÙ Ø ÓØ ÝØØ Ò Ð ¹ Ø Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø ØØ Ó ØÙ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó ÐØ Ö º ÇÐ ÓÓØ L 1,L 1 Σ 1 L 2 Σ 2 ÒÒ ÐÐ Ð h : Σ 1 Σ 2 ÑÓÖ Ñ M i = (Q i, Σ i,δ i,q 0,i,F i ), i = 1, 2 M 1 = (Q 1, Σ 1,δ 1,Q 0,1,F 1) ÝÐ Ø ØØÝ Ö ÐÐ ÙØÓÑ ØØ Ó Ò Ø ÐÓ Ò ÓÙ ÓØ ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ø Ó ¹ Ò ØÙÒÒ Ø Ñ Ø Ð Ø ÓÚ Ø L(M 1 ) = L 1 L(M 2 ) = L 2 L(M 1) = L 1 º Ð Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÐÐ ÓÒ ÖØÝÑØ M 3 = (Q 1 Q 2, Σ 1 Σ 2,δ 3,Q 0,1 Q 0,2,F 1 F 2 ), q δ 3 (p,a) q δ 1 (p,a) tai q δ 2 (p,a) ÐÐ p,q Q 1 Q 2,a Σ 1 Σ 2 {λ} ØÓØ ÙØØ L(M 3 ) = L 1 L 2 º Ð Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÐÐ ÓÒ ÖØÝÑØ M 4 = (Q 1 Q 2, Σ 1 Σ 2,δ 4,Q 0,1,F 2 ), q δ 1 (p,a) tai q δ 2 (p,a) q δ 4 (p,a) ÐÐ p,q Q 1 Q 2,a Σ 1 Σ 2 {λ} Ð ÖØÝÑØ Q 0,2 δ 4 (f,λ), ÐÐ f F 1 ØÓØ ÙØØ L(M 4 ) = L 1 L 2 º Ð Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÐÐ ÓÒ ÖØÝÑØ M 5 = (Q 1 Q 2, Σ 1 Σ 2,δ 5,Q 0,1 Q 0,2,F 1 F 2 ), δ((q 1,q 2 ),a) = {(q 1,q 2 ) q 1 δ 1 (q 1,a)} {(q 1,q 2) q 2 δ 2 (q 2,a)} ÐÐ (q 1,q 2 ) Q 1 Q 2,a (Σ 1 Σ 2 {λ}) ØÓØ ÙØØ L(M 5 ) = L 1 L 2 º Ð Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ M 6 = (Q 1 {q }, Σ 1,δ 6, {q },F 1 {q }), ½

Ñ q / Q 1 ÓÐÐ ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ò M 1 ÖØÝÑØ Ð q δ 1 (p,a) q δ 6 (p,a) ÐÐ p,q Q 1,a Σ 1 {λ} ÓÐÐ ÓÒ Ð ÖØÝÑØ δ 6 (q,λ) = Q 0,1 ja q δ 6 (f,λ), ÐÐ f F 1 ØÓØ ÙØØ L(M 6 ) = L 1 º Ð Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ M 7 = (Q 1, Σ 1,δ 7,Q 0,1,F 1 ), ÓÐÐ ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ò M 1 ÖØÝÑØ ÓÐÐ ÓÒ Ð ÖØÝÑØ Q 0,1 δ 7 (f,λ) ÐÐ f F 1 ØÓØ ÙØØ L(M 7 ) = L + 1 º Ä Ù Ò ½º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ M 8 = (Q, Σ 1,δ 8, {q 0 },F) ÓÒ ØÙÒÒ Ø Ñ Ð ÓÒ L 1 º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ó¹ Ø ÓÒ h(a) = a 1 a 2 a n > 1, Ñ a i Σ 2 ÙÒ 1 i n ØÓØ ÙØØ Ú Ö ÒØ a Σ 1 Ó Ø ÓÙ Ó Q a = {q a,1,q a,2,...,q a,n 1 } Ø Ò ØØ Q a Q b = Ò ÙÒ a bº Ð Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ M 9 = (Q Q a, Σ 2,δ 9, {q 0 },F), ÓÐÐ ÓÒ Ø Ô Ù a Σ 1, h(a) >1 h(a) = a 1 a 2 a n > 1, a Σ 1 ÖØÝÑØ δ 9 (p,a 1 ) = {q a,1 } δ 9 (q a,1,a 2 ) = {q a,2 } δ 9 (q a,2,a 3 ) = {q a,3 } º δ 9 (q a,n 2,a n 1 ) = {q a,n 1 } δ 9 (q a,n 1,a n ) = {q}, ½

Ñ q δ 8 (p,a) ÓÐÐ ÓÒ Ø Ô Ù ÖØÝÑØ ØÓØ ÙØØ L(M 9 ) = h(l 1 )º Ð Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÐÐ ÓÒ ÖØÝÑØ h(a) 1, a Σ 1 q δ 9 (p,h(a)) q δ 8 (p,a), M 10 = (Q 1 Q 1, Σ 1,δ 10,Q 0,1 Q 0,1,F 1 F 1), δ 10 ((p 1,p 2 ),a) = {(q 1,q 2 ) q 1 δ 1 (p 1,a),q 2 δ 1(p 2,a)} ÐÐ (p 1,p 2 ) Q 1 Q 1,a Σ 1 {λ} ØÓØ ÙØØ L(M 10 ) = L 1 L 1 º Ä ÑÑ ½º º ÂÓ Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò Ð ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ Σ = {a 1,a 2,...,a n } Ó ØÓ L Σ Ö ÐÐ Ò Ò Ð º Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙØÓÑ Ø Ø Ó ÐÐ ÓÒ ÖØÝÑØ M i = ({q 0,i,q 1,i }, {a i },δ i, {q 0,i }, {q 1,i }),i = 1, 2,...,n, δ i (q 0,i,a i ) = q 1,i,i = 1, 2,...,n ØÓØ ÙØØ Ú Ø L(M i ) = {a i }º ÂÓ Ò Ò Ð Ò L Ò ÙÙÐÙÙ Ð Ò Ó ÓÒ ÐØ Ò {a i } Ö ÐÐ Ò Ò ¹ Ø Ò Ø Óº Ã Ð Ò L Ö ÐÐ ÝÝ Ò ÒÓ ÐÐ Ð L ÚÓ Ò ÐÑ Ø ÐØ Ò {a i } Ö ÐÐ Ò ÑÓÒ Ò Ö ÐÐ Ò Ø Ò Ø ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ò ÓØ Ò Ð Ù Ò ½º ÒÓ¹ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÝÐ Ø ØØÝ Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ ÓÒ ØÙÒÒ Ø Ñ Ð ÓÒ Lº ÂÓÒÓ ÓÒ M = (Q, Σ,,δ,γ, {q 0 },F) ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò Ù¹ ØÓÑ ØØ Ó ÚÓ ÙÒ Ò ÖØÝÑÒ Ý Ø Ý ØÙÐÓ Ø Ò Òº Ë Ò ÓÑ¹ ÔÓÒ ÒØ Ø Q Σ {q 0 } F ÓÚ Ø ÙØ Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓ¹ Ñ Ø ÐÐ ÓÒ ØÙÐÓ Ø Ó ØÓ δ : Q Σ Q Ñ ÓÐÐ Ø Ó ØØ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó γ : Q Σ ½

ÓÒ ØÙÐÓ Ø ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ ÓÒ Ñ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó Ù Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ º ÙÒ Ø Ó Ò δ γ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ÓØ ÚÓ Ò Ð ÒØ ÓÙ Ó Q Σ Ñ¹ Ö ØØ Ð ÑÐÐ δ(q,λ) = q γ(q,λ) = λ δ(q,fx) = δ(δ(q,f),x) γ(q,fx) = γ(q,f)γ(δ(q,f),x), µ µ ½¼µ ½½µ Ñ f Σ x Σº Ë ÙÖ Ú Ò Ð ÑÑ Ò Ø ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ½º ØÓ ØÙ Ø ÓÚ Ø Ô Ö Ò Ö Ø ¾ º Ä ÑÑ ½º º ËÝ Ø Ó ØÓÐÐ Σ Ú ÖÙ Ø ØÙÒ ÓÒÓ ÓÒ Ò ÖØÝÑ¹ ØÙÐÓ ¹ Ø ÙÒ Ø Ó ÐÐ δ γ ÔØ δ(q,fg) = δ(δ(q,f),g) f,g Σ ½¾µ γ(q,fg) = γ(q,f)γ(δ(q,f),g) f,g Σ. ½ µ ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ý ØÐ Ø ½¾ ½ Ò Ù Ø ÓÐÐ Ò Ò g Ô ØÙÙ Ò Ù Ø Òº ÂÓ g = 0 Ð g = λ ÙÑÑ Ø Ò Ý ØÐ Ø ½¾ ½ ÔØ ÚØ ÑÖ Ø ÐÑ Ò ÒÓ ÐÐ º ÂÓ g 1 g = hx Ñ h Σ x Σ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ý ØÐ ½¾ ÔØ Ò g ÐÝ Ý ÑÑ ÐÐ ÒÓ ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ½¼ Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ò ÒÓ ÐÐ δ(q,fg) = δ(q,fhx) = δ(δ(q,fh),x) = δ(δ(δ(q,f),h),x) = δ(δ(q,f),hx) = δ(δ(q,f),g), ÓØ Ò Ý ØÐ ½¾ ÔØ ÐÐ ÒÓ ÐÐ gº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ý ØÐ ½ ÔØ Ò g ÐÝ Ý ÑÑ ÐÐ ÒÓ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ½½ Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ò Ý ØÐ Ò ½¾ ÒÓ ÐÐ γ(q,fg) = γ(q,fhx) = γ(q,fh)γ(δ(q,fh),x) = γ(q,f)γ(δ(q,f),h)γ(δ(δ(q,f),h),x) = γ(q,f)γ(δ(q,f),hx) = γ(q,f)γ(δ(q,f),g), ÓØ Ò Ý ØÐ ½ ÔØ ÐÐ ÒÓ ÐÐ gº ½

ÂÓ M = (Q, Σ,,δ,γ, {q 0 },F) ÓÒ ÓÒÓ ÓÒ Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ó ØØ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÚ Ù Ø g : Σ g(u) = v { γ(q0,u) = v δ(q 0,u) F ÒÓØ Ò ÓÒÓ ÓÒ Ò M ÑÖ ØØ Ð Ñ gsm¹ ÙÚ Ù º gsm¹ ÙÚ Ù Ø ÓÚ Ø Ý ØØ Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ú Ø Ñ Ø ÐÐ ØÙ Ø Ð ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ ÔÙ Ø Ø Ö ÐÐ Ò ÒÓ Ò Ð ØØ Ú ÓÐ Ú ÙÒ Ø Ó Ø º Ä Ù ½º º ÂÓ f : Σ g : Γ ÓÚ Ø gsm¹ ÙÚ Ù Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ gsm¹ ÙÚ Ù h : Σ Γ Ó ÓÒ ÙÚ Ù Ø Ò g f ÓÑÔÓ Ø Óº ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ gsm¹ ÙÚ Ù f g Ú Ø Ú Ø ÓÒÓ ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÐÒ ÓÒÓ ÓÒ M 1 = (Q 1, Σ,,δ 1,γ 1, {q 0,1 },F 1 ) M 2 = (Q 2,, Γ,δ 2,γ 2, {q 0,2 },F 2 ). M 3 = (Q 2 Q 1, Σ, Γ,δ 3,γ 3, {(q 0,2,q 0,1 )},F 2 F 1 ), ÓÐÐ ÓÒ ÖØÝÑØ ØÙÐÓ Ø Ø δ 3 ((p,q),a) = (δ 2 (p,γ 1 (q,a)),δ 1 (q,a)) γ 3 ((p,q),a) = γ 2 (p,γ 1 (q,a)) ½ µ ½ µ ÐÐ (p,q) Q 2 Q 1,a Σº Ä ÒÒ Ø Ò ÓÒÓ ÓÒ Ò M 1 M 2 M 3 ÖØÝÑ¹ ØÙÐÓ Ø ÙÒ Ø Ó Ò ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó Q 1 Σ Q 2 (Q 2 Q 1 ) Σ Ý ØÐ Ò ½¼ ½½ Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Ç Ó Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ Ò Ò f Ô ØÙÙ Ò Ù Ø Ò ØØ ÙÒ Ø ÓØ δ 3 γ 3 ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÐÐ f Σ, (p,q) Q 2 Q 1 Ý ØÐ Ø δ 3 ((p,q),f) = (δ 2 (p,γ 1 (q,f)),δ 1 (q,f)) γ 3 ((p,q),f)) = γ 2 (p,γ 1 (q,f)). ½ µ ½ µ ÂÓ f = 0 Ý ØÐ Ò ½ Ó ÔÙÓÐ Ý ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ ÖÚÓÒ (p,q) Ó ÓÒ Ñ Ù Ò Ý ØÐ Ò Ú Ò ÔÙÓÐ Ý ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f = hx Ñ h Σ x Σ ÓØ Ø Ò ÐÚÝÝ Ò ÚÙÓ ÝØØ Ò Ñ Ö ÒÒØ w = γ 1 (q,h) w = γ 1 (δ 1 (q,h),x) ÓÐÐÓ Ò Ý ØÐ Ò ½½ ÒÓ ÐÐ ww = γ 1 (q,h)γ 1 (δ 1 (q,h),x) = γ 1 (q,hx) = γ 1 (q,f). ½ µ ½

ÂÓ Ý ØÐ ½ ÔØ Ò f ÐÝ Ý ÑÑ ÐÐ ÒÓ ÐÐ Ò Ò Ý ØÐ Ò ½¼ Ò Ù Ø Ó¹ ÓÐ ØÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ½ Ý ØÐ Ò ½¾ ÒÓ ÐÐ δ 3 ((p,q),f) = δ 3 ((p,q),hx) = δ 3 (δ 3 ((p,q),h),x) = δ 3 ((δ 2 (p,γ 1 (q,h)),δ 1 (q,h)),x) = (δ 2 (δ 2 (p,γ 1 (q,h)),γ 1 (δ 1 (q,h),x)),δ 1 (δ 1 (q,h),x)) = (δ 2 (δ 2 (p,w),w ),δ 1 (δ 1 (q,h),x)) = (δ 2 (p,ww ),δ 1 (q,hx)) = (δ 2 (p,γ 1 (q,f),δ 1 (q,f)), ½ µ ÓØ Ò Ý ØÐ ½ ÔØ ÐÐ ÒÓ ÐÐ fº ÂÓ f = λ Ý ØÐ Ò ½ Ó ÔÙÓÐ Ý ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ ÖÚÓÒ λ Ó ÓÒ Ñ Ù Ò Ý ØÐ Ò Ú Ò ÔÙÓÐ Ý ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ º ÂÓ Ý ØÐ ½ ÔØ Ò f ÐÝ Ý ÑÑ ÐÐ ÒÓ ÐÐ Ò Ò ÝØØ Ò ÑÓ Ñ Ö ÒØ Ù Ò ÝÐÐ Ý ØÐ ½½ Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ø Ý ØÐ ½ ÑÖ Ø ÐÑ ½ Ý ØÐ ½ γ 3 ((p,q),f) = γ 3 ((p,q),hx) = γ 3 ((p,q),h)γ 3 (δ 3 ((p,q),h),x) = γ 2 (p,γ 1 (q,h))γ 3 ((δ 2 (p,γ 1 (q,h)),δ 1 (q,h)),x) = γ 2 (p,w)γ 3 ((δ 2 (p,w),δ 1 (q,h)),x) = γ 2 (p,w)γ 2 (δ 2 (p,w),γ 1 (δ 1 (q,h),x)) = γ 2 (p,w)γ 2 (δ 2 (p,w),w ) = γ 2 (p,ww ) = γ 2 (p,γ 1 (q,f)), ÓØ Ò Ý ØÐ ½ ÔØ ÐÐ ÒÓ ÐÐ fº ÇÐ ÓÓÒ ÓÒÓ ÓÒ Ò M 3 ÑÖ ØØ Ð Ñ gsm¹ ÙÚ Ù h : Σ Γ º ÂÓ w Σ ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ò ØØ Ò Ø f (w) g (f (w)) Γ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ð δ 1 (q 0,1,w) F 1 γ 1 (q 0,1,w) = f (w) Ò Ò Ý ØÐ Ò ½ ÒÓ ÐÐ ja δ 2 (q 0,2,f (w)) F 2 γ 2 (q 0,2,f (w)) = g (f (w)), δ 3 ((q 0,2,q 0,1 ),w) = (δ 2 (q 0,2,γ 1 (q 0,1,w)),δ 1 (q 0,1,w)) = (δ 2 (q 0,2,f (w)),δ 1 (q 0,1,w)) F 2 F 1 ½

Ý ØÐ Ò ½ ÒÓ ÐÐ γ 3 ((q 0,2,q 0,1 ),w) = γ 2 (q 0,2,γ 1 (q 0,1,w)) = γ 2 (q 0,2,f (w)) = g (f (w)), ÓØ Ò ÓÒÓ ÓÒ M 3 ÑÖ ØØ Ð gsm¹ ÙÚ Ù Ò g f º Ä ÑÑ ½º½¼º ÂÓ Ò Ò ÑÓÖ Ñ ÓÒ gsm¹ ÙÚ Ù º ÌÓ ØÙ º ÂÓ f : {a 1,...,a n } {b 1,...,b m } ÓÒ ÑÓÖ Ñ Ò Ò Ý Ø Ð Ò ÓÒÓ ÓÒ Ò ÓÐÐ ÓÒ ÖØÝÑØ ØÙÐÓ Ø Ø M = ({q}, {a 1,...,a n }, {b 1,...,b m },δ,γ, {q}, {q}), ÑÖ ØØ Ð Ñ gsm¹ ÙÚ Ù g ØÓØ ÙØØ δ(q,a i ) = q, i = 1, 2,...,n γ(q,a i ) = f(a i ), i = 1, 2,...,n, f(w) = g(w) w {a 1,...,a n }. Ñ Ö ½º½½º ÇÐ ÓÓÒ h : {a 1,a 2,...,a n } {0, 1} ÑÓÖ Ñ h(a i ) = 01 i 0, i = 1, 2,...,n. ÂÓÒÓ ÓÒ Ò M = ({q}, {a 1,a 2,...,a n }, {0, 1},δ,γ, {q}, {q}) ÓÐÐ ÓÒ ÖØÝ¹ ÑØ δ(q,a i ) = q, i = 1, 2,...,n ØÙÐÓ Ø Ø γ(q,a i ) = 01 i 0, i = 1, 2,...,n, ÑÖ ØØ Ð Ñ gsm¹ ÙÚ Ù g : {a 1,a 2,...,a n } {0, 1} ØÓØ ÙØØ ÓÒ g(w) = h(w) w {a 1,a 2,...,a n }. Ñ Ö ½º½¾º ÇÐ ÓÓÒ pr Σ2 : Σ 1 Σ 2 ÔÖÓ Ø Ó ÙÚ Ù Ó ØÓÐØ Σ 1 Ó ØÓÐÐ Σ 2 Ñ Σ 2 Σ 1 º ÂÓÒÓ ÓÒ Ò M = ({q}, Σ 1, Σ 2,δ,γ, {q}, {q}), ½

ÓÐÐ ÓÒ ÖØÝÑØ δ(q,a) = q a Σ 1 ØÙÐÓ Ø Ø γ(q,a) = { λ jos a Σ1 \Σ 2 a jos a Σ 2, ÑÖ ØØ Ð Ñ gsm¹ ÙÚ Ù g : Σ 1 Σ 2 ØÓØ ÙØØ ÓÒ g(w) = pr Σ2 (w) w Σ 1. Ñ Ö ½º½ º ÇÐ ÓÓÒ L Σ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ð L Σ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð º Ä Ù Ò ½º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÙØÓÑ ØØ M = (Q, Σ,δ, {q 0 },F) ÓÒ ØÙÒÒ Ø Ñ Ð ÓÒ L º ÂÓÒÓ ÓÒ M = (Q, Σ, Σ,δ,γ, {q 0 },F), ÓÒ Ý Ø ¹ ØÙÐÓ Ø Ó ØÓ ÓÒ Σ ÓÐÐ ÓÒ ØÙÐÓ Ø Ø γ(q,a) = a ÐÐ Ô Ö ÐÐ (q,a) Ó ÐÐ ØÙÐÓ Ø ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÑÖ ØØ Ð gsm¹ ÙÚ Ù Ò g : Σ Σ ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó ÓÒ L º ÌÐÐ Ò g(u) = u δ(q 0,u) F, g(l) = {g(w) w L} = {g(w) w L L } = {w w L L } = L L. ½º ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔ Ø ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔ Ø ÓÚ Ø ÐØ Ò ÑÖ ØØ ÐÝÑ Ò Ñ ÓØ ÓÚ Ø ØÓ Ñ ÒØ Ø ¹ Ú ÐØ Ò ÔÝ Ð ½º ÑÖ Ø ÐÐÝ Ø ØÙÒÒ ØÙ Ñ Ò Ñ Ø ÔÓ Ø Ò ÐØ Ò Ò ÖÓ ÒØ Ñ Ò Ñ º ÃÙØ Ò Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑ Ø ÐÐ ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔÔ Ò ØÓ Ñ ÒØ ÑÖÝØÝÝ Ö ÐÐ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò ÐØÝÚÒ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ô ¹ ÖÙ Ø ÐÐ ÑÙØØ Ò Ý Ò ÚØ ÔÖÓ Ó Ñ Ò ÒÓ Ñ Ø Ó ØÙ Ò Ò Ò Ð ÒØ ÚÓ Ñ ÓÒ Ö Ø Ú Ø ÙÙÖ ÑÔ º ÈÝ Ð ½º Ø ØØÚ Ø Ý Ø ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔ Ø Ù Ø Ú Ø ÓÖ ÒØ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ð ØØ ÚÙÙ Ò Ø Ó º ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔ Ò G = (N,T,S,P) ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø N ÓÒ Ó ØÓ Ó¹ Ø ÙØ ÙØ Ò ÚÐ Ó ØÓ T ÓÒ ÚÐ Ó ØÓ Ø Ö ÐÐ Ò Ò Ó ØÓ Ó¹ Ø ÙØ ÙØ Ò ÔØ Ó ØÓ º ÎÐ ¹ ÔØ Ó ØÓ Ò Ö Ñ ÒÓØ Ò ¾¼

ÚÐ ¹ ÔØ ÝÑ ÓÐ º ÃÓÑÔÓÒ ÒØØ S N ÓÒ ÚÐ Ó ØÓÒ Ö Ò ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ð Ù ÝÑ ÓÐ P (N T) N(N T) (N T), ¾¼µ Ñ ÓÒ Ó ØÓ Ò N T ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ò Ò ÝÑ ÓÐ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ó ØÓ¹ ÒØ Ò ÓÙ Óº ÃÙØ Ò ÐØÝÑ Ò ¾¼ Ó Ø ÔÙÓÐ Ø Ò Ò ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔÔ Ò Ó ØÓ ÒÒ u v Ò u ÐØ Ò Ú ÒØÒ Ý Ò Ú¹ Ð ÝÑ ÓÐ Ò ÑÙØØ ÑÙÙØ Ö Ó ØÙ Ø Ó ØÓ ÒØ Ò ÑÙÓ ÓÐÐ ÓÐ º ÂÓÙ ÓÒ (N T) Ó Ø x G y x = x 1 ux 2 (N T) y = x 1 vx 2 (N T) u v P ÑÖÝØÝÚ Ö Ð Ø Ó G ÙÚ Ð ÓÔ Ò G Ý Ø ØÓ Ñ ÒØ ¹ Ð ØØ Ó Ò Ø x Ó Ø Ò Ò Ýº ÀÙÓÑ ÙØÙ ½º½ º ÂÓ ÓÒ ÐÚ Ñ Ø Ð ÓÔ Ø ÓÒ Ý ÝØ ØÒ Ñ Ö¹ ÒÒÒ G Ø Ñ Ö ÒØ º Ê Ð Ø ÓÒ Ö Ú Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò ÙÐ ÙÑ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ð ÓÔ Ò G Ò ÖÓ Ñ Ð L(G) = {x T S x}. Ë ÓÓ ØÙÙ Ò Ø ÒÓ Ø ÝÐ ÔØ Ó ØÓÒ ÓØ ÚÓ Ò Ó Ø ÓÚ Ð¹ Ø Ñ ÐÐ Ð Ù ÝÑ ÓÐ Ò ÑÝ ÑÑ Ò Ó ÓÒ ØÙÐÓ Ò ØÙ Ò ÒÓ Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ð ÓÔ Ò G Ó ØÓ ÒØ º Ã Ð ÓÔ Ò G Ó ÓÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÒÓ S w 1,w 1 w 2,w 2 w 3,...,w k 1 w k, Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÝ ÑÙÓ Ó S w 1 w 2 w 3... w k, Ñ ÐÙ Ù k ÒÓØ Ò Ó ÓÒ Ô ØÙÙ º ÐÐ Ø ØÝÒ ÑÙ Ò Ð ÓÔÔ G ÐÓ ØØ ØÓ Ñ ÒØ Ò Ð Ù ÝÑ ÓÐ Ø Ò Sº ÂÓ w (N T) ÓÒ Ò Ó ØÓØ ÙØØ ÓÒ S w Ð ÓÔÔ G ÚÓ ÐÓ ØØ ØÓ Ñ ÒØ Ò Ò Ø wº Æ Ò ÒÓ Ò ÓÙ Ó Ø ÝÐ ÔØ Ó ØÓÒ T ÓØ ÚÓ Ò Ó Ø Ð ÓÔ ÐÐ G Ð Ø Ò Ò Ø w ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ L(G,w) = {x T w x}. ¾½

ÌÐÐ Ò L(G,S) = L(G)º Ã Ð ÓÔ Ø G 1 G 2 ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØ Ø Ó Ò Ò ÖÓ Ú Ø Ø Ö ÐÐ Ò Ñ Ò Ð Ò Ð L(G 1 ) = L(G 2 ). Æ Ò ÐØ Ò ÐÙÓ Ø ÓØ ÚÓ Ò Ò ÖÓ ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔ ÐÐ ÝØ ¹ ØÒ Ñ Ö ÒØ L 0 º Ë ÙÖ Ú Ò ÃÙÖÓ ¹ÒÓÖÑ Ð ÑÙÓØÓÒ ØÙÒÒ ØÙÒ Ð Ù Ò ØÓ ØÙ ÓÒ ÝØ ØØÝ Ð Ø Ò Ö Ó ½¼ ½ º Ä Ù ½º½ º ÂÓ Ø ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔÔ G Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ Ð ÓÔ Ò G Ò Ú Ú Ð ÒØØ Ð ÓÔÔ G ÓÐÐ ÓÒ Ú Ò ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú Ó ØÓ ÒØ º 1. A a, a N,a T 2. A BC, A,B,C N 3. AB CD, A,B,C,D N 4. A λ, A N ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ G = (N,T,S,P) ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔÔ º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ð ÓÔ¹ Ô G 1 = (N 1,T,S,P 1 ) ÓÐÐ ÓÒ ÚÐ Ó ØÓ N 1 = N {A a a T }, Ñ Ó Ø Ö ÒØ a T Ó Ø ÓØ Ø Ò ÝØØ Ò ÙÙ ÚÐ ÝÑ ÓÐ A a ÓÒ Ó ØÓ ÒÒ Ø P 1 Ò Ó ØÓ ÒÒ Ø P ÓÖÚ Ñ ÐÐ ÓÙ ÓÒ P Ó ØÓ ÒÒ ÒØÝÚØ Ö Ñ Ø a T Ö Ñ ÐÐ A a Ð ÑÐÐ ÓÙ ÓÓÒ P 1 ÒÒ Ø A a a, a T. ¾½µ ÆÝØ ØÒ ØØ Ð ÓÔ Ø G 1 G ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØØ º ÂÓ λ L(G) Ò Ò ÓÖÚ Ñ ÐÐ Ð ÓÔ Ò G Ó Ó S G... G λ ¾¾µ Ö Ñ Ø a T Ö Ñ ÐÐ A a Ò Ð ÓÔ Ò G 1 Ó ØÓ S G1... G1 λ, ¾ µ ÓØ Ò λ L(G 1 )º ÂÓ ÒØ Ò λ L(G 1 ) Ò Ò ÓÖÚ Ñ ÐÐ ÑÙÓØÓ ¾ ÓÐ ¹ Ú Ó Ó Ö Ñ Ø A a, a T Ö Ñ ÐÐ a Ò ÑÙÓØÓ ¾¾ ÓÐ Ú Ó ØÓ ÓØ Ò λ L(G)º ÂÓ a 1 a n L(G) ÓÒ ØÝ Ø ÖÓ Ú Ò Ò Ò ¾¾

Ð ÓÔ ÐÐ G 1 ÚÓ Ò Ú Ø Ú Ø Ù Ò ÐÐ Ó Ø Ò A a1 A an Ó¹ Ú ÐØ Ñ ÐÐ Ò ÒØ ¾½ Ò a 1 a n º ÂÓ ÒØ Ò a 1 a n L(G 1 ) ÓÒ ØÝ Ø ÖÓ Ú Ò Ò Ò Ò a 1 a n ÓÒ ØÙ ÝØØÑÐÐ ÒØ P 1 \{A a a a T } ¾ µ ÑÙÙØØ Ñ ÐÐ Ó Ò Ú ÚÐ ÝÑ ÓÐ Ø ÒØ Ò ¾½ ÚÙÐÐ ÔØ ÝÑ¹ ÓÐ º ËÒØ ¾ Ú Ø Ú ÒØ ÝØØ Ò Ð ÓÔ ÐÐ G ÚÓ Ò Ó Ø Ò a 1 a n º Æ Ò ÓÐÐ Ò L(G 1 ) = L(G)º ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ð ÓÔÔ G 2 = (N 1 {Y },T,S,P 2 ) Ñ Y ÓÒ ÙÙ ÚÐ ¹ ÝÑ ÓÐ P 2 = {u v P 1 u v } {u Y u v v u v P 1, u > v } {Y λ}. Ã Ð ÓÔ ÐÐ G 2 ÚÓ Ò Ó Ø Ð Ò L(G 1 ) Ò Ø ÝØØÑÐÐ Ò¹ Ø P 2 \{Y λ} ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ñ ÓÐÐ Ø Ö Ñ Ø Y ÒÒ ÐÐ Y λº ÃÓ Ö Ò Y ÒØÝÝ Ú Ò ÒÒ Ò Y λ Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ Ð ÓÔ ÐÐ G 2 Ó ØÙØ ÓÙ ÓÓÒ T ÙÙÐÙÚ Ø Ò Ø ÚÓ Ò Ó Ø Ð ÓÔ ÐÐ G 1 ÓØ Ò L(G 2 ) = L(G 1 ). ¾ µ Ä ÒØ Y λ ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ Ð ÓÔ Ò G 2 Ó ØÓ ÒÒ Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ u v, u v. ÃÓÖÚ Ñ ÐÐ Ð ÓÔ Ò G 2 ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú Ø Ó ØÓ ÒÒ Ø ÒÒ ÐÐ A B, A,B N 1 {Y } A Y B, ¾ µ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú Ø ÒÒ Ø ÒÒ ÐÐ A B 1 B n, n 3 A B 1 Z 1 Z 1 B 2 Z 2 Z 2 B 3 Z 3 º Z n 3 B n 2 Z n 2 Z n 2 B n 1 B n, ¾ µ ¾

Ñ Ö Ñ Ø Z 1,...,Z n 2 ÓÚ Ø ÙÙ ÚÐ ÝÑ ÓÐ ÑÙÓØÓ A 1 A n B 1 B m, 2 n m, (n,m) (2, 2) ÓÐ Ú Ø ÒÒ Ø ÒÒ ÐÐ A 1 A 2 B 1 Z 1 Z 1A 3 B 2 Z 2 Z 2A 4 B 3 Z 3 º Z n 2A n B n 1 Z n 1 Z n 1 B n Z n Z n B n+1 Z n+1 º Z m 3 B m 2 Z m 2 Z m 2 B m 1 B m, ¾ µ Ñ Ö Ñ Ø Z 1,...,Z m 2 ÓÚ Ø ÙÙ ÚÐ ÝÑ ÓÐ Ð ÑÐÐ ÔÖÓ Ò Ò ÝØØ Ò ÓØ ØÙØ ÒÒ Ö ÐÐ Ø ÚÐ ÝÑ ÓÐ Ø Z i,z j Ð ÓÔ Ò G 2 ÚÐ ÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÓÔÔ G 3 ÓÒ Ó ØÓ ÒÒ Ø ÓÚ Ø ÐÙØØÙ ÑÙÓØÓ º Î Ø Ú ÐÐ ÔØØ ÐÝÐÐ Ù Ò Ý ØÐ ¾ Ô ÖÙ Ø ÐØ ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ ÒÒ Ø ¾ ÚØ ÑÙÙØ Ò ÖÓ ØÙ ÐØº ËÒØ ¾ ÝØØ Ò ÚÓ Ò ÙÓÖ ØØ Ó ÓØ A G 3 B 1 B n ¾ µ ÚÐ ÝÑ ÓÐ Ò Z i Ö ÐÐ ÝÝ Ø ÒØ Ò ¾ ÑÙÓ Ó Ø ÙÖ ØØ Ò¹ Ø ¾ ÝØØ Ò ÚÓ Ó Ø Ð Ò L(G 2 ) ÙÙÐÙÑ ØØÓÑ ÒÓ º ËÒØ ¹ Ò ¾ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÙÓÖ ØØ Ó ÓØ A 1 A n G 3 B 1 B m, 2 n m, (n,m) (2, 2), ÚÐ ÝÑ ÓÐ Ò Z i Ö ÐÐ ÝÝ Ø ÒØ Ò ¾ ÑÙÓ Ó Ø ÙÖ ØØ Ò¹ Ø Ò ¾ ÚÙÐÐ ÚÓ Ó Ø Ð Ò L(G 2 ) ÙÙÐÙÑ ØØÓÑ ÒÓ º Æ Ò ÓÐÐ Ò L(G 3 ) = L(G 2 ) = L(G 1 ) = L(G)º ½º Ä ØØ ÚÙÙ ÙÒ Ú Ö Ð ÙÙ Ë ÐÐ Ø Ð ÒÒ ÐÐ Ø ÓÒ ÐÑ Ø Ó Ù ÙÒ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ø Ô Ù Ò ØÙÐ Ð ØØ Ó Ó ÑÝ ÒØ Ò Ò Ø ÐØ Ò Ò Ú Ø Ù ÚÓ Ò ØÙÐ Ø ÓÖÑ Ð Ð º ¾

Ñ Ö ½º½ º ÇÒ ÐÑ Ó Ý ÝØÒ ÓÒ Ó ÒÒ ØØÙ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ð ÚÓ Ò ØÙÐ Ø Ð L = {a n2 n N} ÝÐ Ó ØÓÒ {a}º ÇÒ ÐÑ Ò Ø Ô Ù ¼ ¾ Ú Ø Ú Ø Ð Ò L Ò Ø λ a 2 a 5 a 9 º ÃÓ ÐÙÚÙØ ¼ ÓÚ Ø Ò Ð Ø Ò Ø λ a 9 ÙÙÐÙÚ Ø Ð Ò L Ó ÐÙÚÙØ ¾ ÚØ ÓÐ Ò Ð Ø Ò Ø a 2 a 5 ÚØ ÙÙÐÙ Ð Ò Lº Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ø Ó Ø Ñ Ò ØØ ÐÝ Ø Ñ Ò Ñ ÓÒ Ò Ð ¹ ÒÒ ÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ö Ø Ñ º Ë Ò Ó Ò Ò Ð ÙÓÖ Ø Ø Ò Ö Ð¹ Ð Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÙØØ ÝØ ÓÐ Ú Ø ÐÐ ØÙ Ø Ð Ö Ó Ø Ø º ÂÓ Ö Ó ØÙØ Ò ÔÝ ÐÒ ÐÙ Ñ Ò ØØÙ ØÝÝÔÔ ÓÐ Ú Ò ÓÒ Ð¹ Ñ Ò Ò Ò Ð ÓÖ ØÑ ÚÓ Ò ÓÖÑ Ð Ø Ò ÐØ Ò Ø ÓÖ ØÙÐ Ø Ø Ó ¹ Ñ Ò ØØ ÐÝ Ó Ö Ø Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙ ØØ Ð Ø Ú Ø Ú Ò Ð Ò Ò Øº ÀÙÓÑ ÙØÙ ½º½ º Ë ÒÓ Ñ Ò ØØ ÐÝ Ñ Ò Ñ ÝØ ØÒ Ø Ó Ý¹ ÒÓÒÝÝÑ Òº ÀÙÓÑ ÙØÙ ½º½ º ÄÙ Ù ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ Ó Ò ÐÐ Ñ Ò Ñ Ú Ø ¹ Ø Ò Ð ÒØ Ñ ÐÐ Ò ÐÙÓ Ò Ñ Ò Ñ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ÓÐ Ú Ò ÒØ Øº Ã Ð L Σ ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ø Ó Ñ ¹ Ò ØØ ÐÝ Ó ÐÙ ØØ Ð Ø Ö ÐÐ Ò Ð Ò L Ò Øº Ë Ò ÐÐÝØ Ø ÔÝ ØÝÚÒ Ö ÐÐ Ó Ý ÝÑÝ Ò ÚÓ Ú Ø ØÙÐÐ Ö ØØ ÑØ Ð Øº Ê ÙÖ¹ Ú Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ò ÐØ Ò ÐÙÓ Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ REº ÀÙÓÑ ÙØÙ ½º½ º ÐÐ Ò Ò Ö ÙÖ Ú Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ò Ð Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÓÐ Ñ Ø Ñ ØØ Ñ Ð Ø ÑÐÐ Ò Ò Ó Ø Ó Ø Ñ Ò ØØ ÐÝ ÚÓ ÑÖ Ø ÐÐ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ø ÑÐÐ Ø º Ä Ù ½º¾¼º ÄÙÓ Ò L 0 Ð Ø ÓÚ Ø Ö ÙÖ Ú Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ G ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔÔ º Ë ÙÖ Ú Ñ Ò ØØ ÐÝ ÓÒ Ø Ó Ñ ¹ Ò ØØ ÐÝ Ó ÐÙ ØØ Ð Ø Ö ÐÐ Ò Ð Ò L(G) Ò Øº ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ¹ Ð ÓÔ Ò G Ó ÓØ Ô ØÙÙ Ò ÑÙ Ò Ö Ø ØØÝÒ Ø Ò ØØ Ò Ò ÑÙÓ Ó Ø ¹ Ø Ò Ò Ó Ò Ô ØÙÙ ÓÒ ½ ØØ Ò Ò Ó Ò Ô ØÙÙ ÓÒ ¾ Ò º Ë Ñ ÒÔ ØÙ ¹ Ø Ó ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ó Ò Ö ØÝ Ó ÚÓ Ò Ø Ó Ø ØÓØ ÙØØ º ÂÓ Ò Ó ÓÒ Ý Ø Ý Ø Ö Ø Ø Ò ÝÒØÝÝ Ò ØÙÐÓ Ò Ò ÝÐ ÔØ Ó ØÓÒº ÅÝ ÒØ Ø Ô Ù Ý Ò Ò Ò ÐÙ Ø ÐÐ Ò Ð Ò L(G) ÙÙÐÙÚ ÑÙÙØÓ Ò ÖÖÝØÒ ÙÖ Ú Ò Ó ØÓÓÒº ¾

ÅÖ Ø ÐÐÒ ÝØØ Ò Ð Ø Ò Ö ½¼ ØÙÒÒ ØÙ Ñ Ò Ñ Ó ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ò ÙØÓÑ ØØ Ò ÝÐ ØÝ Ó Ù Ø ÓÖ ÒØ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ð ¹ ØØ ÚÙÙ Ò Ø Ó Ò Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ù Ø Òº ÌÙÖ Ò Ò Ó¹ Ò Ò M = (Q, Σ, Γ,δ, {q 0 },B,F), ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Q, Σ, {q 0 } F ÓÚ Ø ÙØ Ò Ö ÐÐ ÐÐ ÙØÓÑ Ø ÐÐ Γ ÓÒ Ò Ù ¹ Ó ØÓ Ó ÐØ Ó Ø Ý Ø Ó ØÓÒ Σ B Γ ÓÒ Ó ØÓÒ Σ ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ò Ò Ö Ò δ : Q Γ P(Q Γ {L,R}) ÓÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ó ÐÐ Ô Ø ÖÑ Ò Ø ÝÝ Òº ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ ÓÒ ÝØ Ò Ý ÖÙÙØÙ Ò ØØÙ Ú ÑÑ ÐØ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÐÐ Ö ØØ ¹ Ñ Ò Ø ÙÚ Ò Ù Ý Ò Ý Ò Ö Ñ Ò ÐÙ Ñ Ò Ö Ó ØØ Ñ Ò ÔÝ ØÝÚ ÐÙ ÙÔº ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ý Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ò Ù Ò Ú ÑÔ Ò Ô¹ ØÝÝÒ ÐÙ ÙÔ Ø Ø Ò Ý ØØ Ò Ú ÑÑ ÒÔÙÓÐ ÑÑ Ò Ö Ñ Ò Ó ¹ ÐÐ º ÌÐÐ Ò Ò Ù Ò ÑÙÙØ ÖÙÙ ÙØ ÐØÚØ Ö Ñ Ò Bº ØÓ Ñ ÒØ ¹ Ð Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÙ Ý Ò Ö Ñ Ò ÐÙ ÙÔÒ Ó ÐØ Ö¹ Ó ØØ ÓÒ Ò Ö Ñ Ò Ý Ò ÖÙÙØÙÙÒ ÖØ ÐÙ ÙÔØÒ Ý Ò ÖÙÙ¹ ÙÒ Ú ÖÖ Ò Ú ÑÑ ÐÐ Ø Ó ÐÐ ÑÙÙØØ Ø Ð Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ δ ÐÑÓ ØØ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ º Æ Ù Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ø Ð Ø ØÝÐÐ Ø ÐÐ ÚÓ Ò ÐÑÓ ØØ Ò ÐÐ αqxβ, α,β Γ,q Q,X Γ, Ñ α ÓÒ ÐÙ ÙÔÒ Ú ÑÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ö Ñ Ø ÓÓ ØÙÚ Ò q Q ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ø Ð X Γ ÓÒ ÐÙ ÙÔÒ Ó ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ö Ò β Γ ÓÒ ÐÙ ÙÔÒ Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ö Ñ Ø ÓÓ ØÙÚ Ò ÐÙ Ø¹ ØÙÒ Ò ÙÒÒ Ò Ù Ò ÐÓÔÔÙÓ ÓÒ Ú Ò Ö Ñ Bº ÂÓÙ ÓÒ Γ QΓ + Ó Ø αqxβ M αy pβ αq M αy p αzqxβ M αpzy β (p,y,r) δ(q,x) (p,y,r) δ(q,b) (p,y,l) δ(q,x) αzq M αpzy (p,y,l) δ(q,b), Ñ α,β Γ,X,Y,Z Γ,p,q Q ÑÖÝØÝÚÒ Ö Ð Ø ÓÒ M Ö ¹ Ú Ò ØÖ Ò Ø Ú Ò ÙÐ ÙÑ Ò M ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò M ØÙÒÒ Ø Ñ Ð L(M) = {w Σ q 0 w M αpβ,p F,α,β Γ }. ¾

Ë ÙÖ Ú ÙÖ Ò ÌÙÖ Ò Ò Ø Ò Ò Ñ ÐÐ ØÙÒÒ ØØÙ Ú ØØÑ ÚÓ ØÓ Ø Ó Ó Ø Ó Ø Ñ Ò ØØ ÐÝ Ó Ø ÚÓ ÑÖ Ø ÐÐ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ø ÑÐÐ Ø º ÈÖÓÔÓ Ø Ó ½º¾½º ÂÓ Ø ÐÙÓ Ò RE ÐØ L Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÓÒ ØÙÒÒ Ø Ñ Ð ÓÒ Lº ÀÙÓÑ ÙØÙ ½º¾¾º ÈÖÓÔÓ Ø ÓØ ½º¾½ ÚÓ ÙØ Ù ÙÖ Ò ÌÙÖ Ò Ò Ø ¹ Ö Ó ØØÙ Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ó Ó Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ø Ô Ù Ò ØÙÐ Ð ØØ Ó Ó ÑÝ ÒØ Ò Ò Ø ÐØ Ò Ò Ú Ø Ù º Ð ÑÑ ÑÙÓ Ó Ò ÙÖ Ò ÌÙÖ Ò Ò Ø ÒÓÓ ØØ Ñ ÚÓ Ò Ð Ð ÓÖ ØÑ Ø ÚÓ Ò Ð ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º ÀÙÓÑ ÙØÙ ½º¾ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º¾½ ÑÙ Ò ÐÙÓ RE ÐØÝÝ ÌÙÖ Ò¹ Ò ÓÒ ÐÐ ØÙÒÒ Ø ØØ Ú ÓÐ Ú Ò ÐØ Ò ÐÙÓ Òº ÃÒØ Ò Ò ÐØÝÑ ¹ Ò Ò ÚÓ Ò ØÓ Ø ÙØ Ò ÓÒ Ø ØÝ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø ÓÒ ØÖÙÓ Ñ ÐÐ Ù ÑÔ Ò Ù Ø Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò ÚÙÐÐ Ó Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ØØ M Ñ Ò Ñ Ó ÐÙ ØØ Ð Ð Ò L(M) Ò Øº Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ Ö ½¼ º Ä Ù ½º¾ º ÂÓ Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ØØ M Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ¼¹ØÝÝÔ Ò ¹ Ð ÓÔÔ G ÓÐÐ ÔØ L(G) = L(M)º Ä Ù Ò ½º¾ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º¾½ ÒÓ ÐÐ ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔÔ Ò ÚÓ Ò Ø¹ Ó Ù Ø Ú Ò ÓÖ ÒØ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ð ØØ ÚÙÙ Ò Ø Ó ÙÒ Ö Ó ØÙØ Ò ÔÝ ÐÒ ÐÙ Ñ Ò ØØÙ ØÝÝÔÔ ÓÐ Ú Ò ÓÒ ÐÑ Ò Ä Ù ½º¾ º ÂÓ Ø ÐÙÓ Ò RE ÐØ L Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ¼¹ØÝÝÔ Ò ¹ Ð ÓÔÔ Ó ØÓØ ÙØØ L(G) = Lº ÇÐ ÓÓØ m 1 m 2 Ñ Ò Ñ ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ð Ø L(m 1 ) L(m 2 )º Å Ò Ñ Ø m 1 m 2 ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØØ Ó L(m 1 ) = L(m 2 ). ÂÓ M ÓÒ Ñ Ò Ñ Ò ÐÙÓ Ò Ò ÐÙÓ Ò M Ñ Ò Ñ m U ÓÒ ÙÒ Ú Ö Ð ÐÙÓ Ò M Ù Ø Ò Ó Ñ Ò Ñ ÐÐ m U ÚÓ Ò ÑÙÐÓ Ñ Ø Ø Ò ÐÙÓ Ò M Ñ Ò Ñ m Ø Ò ØØ Ñ Ò Ñ m U ÑÖ ØØ Ð Ð Ò L(m ) ÙÒ Ñ Ò Ñ Ò m ØÓ Ñ ÒØ Ó Ú Ò ÓÖÑ Ø Ó Ð Ø ØÒ Ñ Ò Ñ Ò m U º Ë ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ÑÙ Ò ÔØ Ó ØÓÐÐ T Ú ÖÙ Ø ØØÙ Ò ¼¹ØÝÝÔ Ò ¹ Ð ÓÔÔ Ò ÐÙÓ ÓÒ ÙÒ Ú Ö Ð Ñ Ò Ñ º Ä Ù Ò ØÓ ØÙ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó ¹ Ò Ò Ð ÝØÝÝ Ö Ø ½¾ º ¾

Ä Ù ½º¾ º ÇÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔÔ G U = (N U,T,S,P) ØØ Ó Ø ÔØ Ó ØÓÐÐ T Ú ÖÙ Ø ØØÙ ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔÔ G Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ò w(g) (N U T) ØØ L(G U,w(G)) = L(G)º ÍÒ Ú Ö Ð Ð ÓÔÔ G U ÐÓ ØØ ØÓ Ñ ÒØ Ò Ò Ø w(g) Ó ÐØ Ð ÓÔ Ò G U ÚÐ ¹ ÔØ Ó ØÓ Ò ÝÐ ÓÓ ØØÙÒ Ð ÓÔ Ò G Ó ØÓ Ò¹ Ò Øº Ã Ð ÓÔ ÐÐ G U ÓÒ Ó ØÓ ÒÒ Ø Ó ÐÐ ÚÓ Ò ÑÙÐÓ Ò Ò w(g) ¹ ÐÐ Ð ÓÔ Ò G Ó ØÓ Ó ÐÐ ÚÓ Ò ÔÓ Ø Ò Ø w(g) ÚÐ ÝÑ ÓÐ Ø Ø Ö ÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ ÑÙÐÓ ÒÒ Ò ØÙÐÓ Ò ÝÒØÝÝ Ò ÝÐ ÔØ Ó ØÓÒ T º ¾ Æ ÓÖÑ Ð Ø Ò ÐØ Ò Ø ÓÖ Ò Ò ÙÐ¹ Ñ Ø Æ Ò Ý Ý ÒØ Ò ØØ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓØ Ô ÖÙ ØÙÙ Ò ØØ Ò Ò Ð¹ ÒÙ Ð ÓØ ÚÓ Ú Ø ÑÙÓ Ó Ø Ö Ð Ö ØÝ º ÃÓ ÒÝ Ý Ò Ð Ó¹ Ö ØÓÖ ÓØ Ò Ó Ò ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÐÙØÙÒÐ ÒÙ Ð ÓØ ÓÒÓ Æ ¹ ÑÓÐ ÝÝÐ ÚÓ Ò ÝØØ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒÒÙ ÑÙÓØÓÒ º ÌÑ ÓÒ Ð ¹ Ø Ó Ø Ò Æ ¹Ð ÒÒ ÐÐ ¹ Ö Ø Ø Ú ÓÒ ÐÑ ØÙÐ Ò Ò ÓÓ Ø Æ ¹ ÑÓÐ ÝÝÐ Ø Æ ¹ÑÓÐ ÝÝÐ Ò ÓÙ Ó º ÄÙÚÙÒ ÐÙ ÒÒ Ø Ò Æ ¹ ÑÓÐ ÝÝÐ ÐÐ ØÝ ÒÓ Ò ÓÐÐÓ Ò Æ ¹ÑÓÐ ÝÝÐ Ò ÓÙ Ó ÚÓ Ò Ø Ö¹ Ø ÐÐ Ð Òº Æ Ò ÝÚÝÒ ÓÔ Ó Ò ØØ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓØ Ñ ÓÐÐ Ø ÒÙ Ð ÓØ ¹ Ò Ô Ö ÙØÙÑ Ò ÑÖÚ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÙ º ÄÙÚÙÒ ÐÓÔÙ Ø Ö Ø Ð¹ Ð Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÙ Ò Ð ÒØ ÚÓ Ñ ÓÒÓ ÓÒ Ò Ý Ø ØØÝÒ Ó Ó Ó ØØ ÙØÙÙ Ú Ú Ð ÒØ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ò Ò º ¾º½ Æ ¹ÑÓÐ ÝÝÐ Ò ØÝ ÒÓ Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÙ Æ ¹ÑÓÐ ÝÝÐ Ò Ö ÒÒ ØØ Ö Ó ØØÙ Ò Ð Ò Ö Ò ÑÓ¹ Ð ÝÝÐ Ò Ð ÑÓÐ ÝÝÐ Ò ÓØ ÚØ ÑÙÓ Ó Ø ÝÑÔÝÖ ÚØ ¹ Ö Ù Ùº Æ ¹ Ó ÖÖ ÓÓ ØÙÙ Ø ØÓ Ø Ò ÝÑÔÖ ÖØÝÒ Ø Ø ÓØ ÔÙÓÐ Ø Ò ÓÓ ØÙÚ Ø ØÓ Ò ÒÒ ØØÝÒ Ø ÒÙ Ð ÓØ Ø º ÆÙ Ð ÓØ ÓÒ Ú Ò Ð ØÓÑ Ò Ø Ù ÓÒ ØÓ Ò Ô Ò ÓÒ Ð ØØÝÒÝØ Ñ ØÓ Ò Ó ØØ º ÆÙ Ð ÓØ ÓÒ Ò Ð Ö Ð Ø Ò ÖÓ Ú Ø ØÓ Ø Ò ¹ ÒÓ Ø Ò Ñ Ò Ó ÐØ º ÆÙ Ð ÓØ ÐÐ ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ò Ñ Ø Ò Ò Ù Ò ¹ Ò ÝØÓ Ò ØÝÑ Ò ÓÒ Ø Ô Ò Ñ Ö Ø Ò Ø Ö Ñ ÐÐ A G C T º ÆÙ Ð ÓØ ÚÓ Ð ØØÝ ØÓ Ò Ó Ó Ñ Ø Ò ÓÐÐ Ó Ò ÓÐÐÓ Ò ÝÒØÝ¹ Ú Ó ÓÒ Ó Ø Ú Ú ÐÐ Ó Ø Ò Ñ Ø Ð ØØÙÒ ÓÐÑ ÒÒ Ò ¾

Ð Ò ÚÐ ÐÐ Ó ÐÐ º Ñ Ø Ò ÙØØ ÝÒØÝÚ Ó ÓÒ Ö Ò ÙÙ¹ ÐÙÚ Ò ÒÙ Ð ÓØ Ò ÚÐ ÐÐ Ó Ø Ò Ð Ò ÚÐ Ò Ò Ó ÓÒ Ñ Ò ¹ Ò ÙÙÐÙÚ Ò ÒÙ Ð ÓØ Ò ÚÐ ÐÐº Ñ Ø Ò ÚÐ Ò Ó Ò ÓÙ ¹ Ø Ó ØÙ Ò Ó ÖÖ ÚÓ Ò ÖÓØØ ÙÙÑ ÒØ Ñ ÐÐ ÙÒ Ø Ñ Ò Ò ÙÙÐÙÚ Ò ÒÙ Ð ÓØ Ò ÚÐ Ò Ó Ò Ú ÚÙÙ¹ Ø Ó ØÙ Ò ÓÒ Ú Ò Ø Ó ÑÔ º ÃÙÚ ½ Ó ÒÙ Ð ÓØ Ò Ó ØØ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ö Ñ ÐÐ P Ú ÒÒÓÐÐ Ø Æ ¹ Ó ÖØ Ò Ö ÒÒ ØØ º ÃÙÚ ½ Æ ¹ Ó ÖØ Ò Ö ÒÒ ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º½º Â Ø Ó ÒÙ Ð ÓØ Ò ÒÒ ØØÝÑ ÐÐ ØÓ Ò ÒÙ Ð ÓØ Ò Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ò ÚÐ Ø Ó Ø º ÆÙ Ð ÓØ Ò x Ú Ö ÐÐ ÒÙ Ð ÓØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÙ Ð ÓØ Ò x Ò Ñ Ò Ò ÙÙÐÙÚ ÒÙ Ð ÓØ ÓÐÐ ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ó ÒÙ Ð ÓØ Ò x Ò º Ë Ò Ð Ø ÑÑ Ø ÒÙ Ð ÓØ Ø ÖÓ Ú Ø ØÓ Ø Ò Ø Ò ØØ Ú Ò ØÓ ÐÐ ÓÒ Ó ØØ Ó Ó ÐÐ ØÙ Ó Òº ÇÒ Ø Ô Ò ÝØØ Ò Ú Ô ÐÐ Ó Ø ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØÙ Ø Ô Ø Ñ Ö ÒØ ³ Ó Ò Ó ÐÐ ØÙÚ ÐÐ Ó ¹ Ø ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØÙ Ø Ô Ø Ñ Ö ÒØ ³º Ã Ø ÒÓ Ñ ÐÐ ÒÙ Ð ÓØ Ú Ø Ú Ø Ö Ñ Ø Ð Ò ³¹Ô Ø ³¹Ô Ò Ò ØÝ Ø ÖÓ Ú Ò w ÝÐ Ó ØÓÒ Σ DNA = {A,G,C,T }, ¾

ÓÒ ÚÓ Ò ØÙÐ Ø ØØÚÒ Ý Ø ØØº ÃÒØ Ò Ó Ò Ò Ò w Σ + DNA ÚÓ Ò ØÙÐ Ø ØØÚÒ ØØ ÓÒ ÒÙ Ð ÓØ Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ð Ò ³¹Ô Øº ÌÝ ÐÐ Ò ÐÐ ÓÐ ØÝ Ø Ò ÑÙØØ Ó ØÝ Ò ÙÙÐÙÙ ÑÓÖ Ñ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ÓÓÒ ÚÓ Ò ÓØØ Ø Ö Ø ÐÙ Ò ÑÙ Òº Ã Ó ÖØ Ò Ò ÓÒ Ò ÒÒ ØØÝÒÝØ ØÝÑ Ò Ò Ù Ò Ò Ý¹ ØÓ Ò Ò ÙØ Ò ÙÚ ½º ÌØ Æ Ò ÓÑ Ò ÙÙØØ ÒÓØ Ò ÓÑÔÐ Ñ Ò¹ Ø Ö ÙÙ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÑÓÖ Ñ c : Σ DNA Σ DNA c(a) = T c(g) = C c(t) = A c(c) = G, ¼µ Ó ÙÚ Ó Ò ÒÙ Ð ÓØ Ò x Σ DNA ÒÙ Ð ÓØ Ó ÓÒ ÒÙ Ð Ó¹ Ø x ÓÒ ÒÒ ØØÝÒÝØ Ó ÖØ º ÃÓ ÑÓÖ Ñ ÐÐ c ÔØ c(c(x)) = x x Σ DNA, c(c(w)) = w w Σ DNA. ½µ Ë Ò Ø c(w) ÝØ ØÒ Ø Ó Ñ Ö ÒØ w Ø ÝØØ Ò Ý ØÐ ½ ÑÙÓ ÓÒ w = w w Σ DNA. ¾µ ÃÙØ Ò ÙÚ ½ Ó ÖØ Ò ÑÓÐ ÑÑ Ô ³¹ÒÙ Ð ÓØ ÓÒ Ò ÒÒ ØØÝÒÝØ ³¹ÒÙ Ð ÓØ Ò Ð Ø ÙÐ Ú Ø Ö ÙÙÒØ Ò ÙÙÒØ Ò 5 3 3 5 Ù Ø Òº Æ Ò ÓÐÐ Ò Ò w R Ø Ö Ó ØØ Ò w Σ + DNA ÒÒ ØØÝÒÝØØ ØØº ÂÓ w = a 1 a 2 a k Ñ a i Σ DNA ÙÒ 1 i k Ò Ò w R = (a 1 a 2...a k ) R = (a k a k 1...a 1 ) = a k a k 1...a 1 = (a 1 a 2...a k ) R = (a 1 a 2...a k ) R = w R, µ ÓØ Ò Ò w ÒÒ ØØÝÒ Ø Ø ÚÓ Ò ÝØØ ÑÝ Ñ Ö ÒØ w R º ÃÙØ Ò Ô Ø Ò ÖØÝÑÐÐ Ò w ÒÒ ØØÝÒ Ø Ø w R Ò w R ÒÒ ØØÝÒ Ò Ò (w R ) R Ô ÝØÒ Ý ØÐ Ò ¾ Ô Ð ÙÚ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ½ ÒÓ ÐÐ Ø Ò Ò w ¼

(w R ) R = (w R ) R = (w R ) R = w. ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÙ Ò Ø Ó ÖÖ ÑÖÝØÝÝ ØÝ Ò Ý Ò ¹ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÂÓØØ Ø Ò Ø ØÝ Ñ Ö ÒÒÐÐ Ò Ò ÖÓ Ò ¹ Ó ÖØ Ò ÚÐ ÐÐ Ø ØÒ Ø Ó Ø ÒÓ ÐÐ Ó ÖØ Ø ÑÙÓØÓ w Σ + DNA (w,w R ), w Σ + DNA ÓÐ Ú ÐÐ Ô Ö ÐÐ Ñ Ò w ÓÒ ÓÑÔ ÙÑÔ Ó ÖØ Ò Ø Ú Ø Ú Ò º ÂÓ Ø Ö Ø ÐØ Ò Ú Ò Ó ÖØ Ò ÓÙ Ó ¹ ÒÒÙ Ú Ö ÓÐ ÚÓ Ø Ò Ó ÖØ Ø ØØ ÒÓ Ò ÝÐ Ó ØÓÒ Σ DNA º ÌÐÐ Ò Ó Ø Ó ÖÖ ØØ Ú Ø Ú Ø Ò Ø w w R º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º¾º ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÙ Ø Ó ØÙ Ò ÐÐ Ó ÖØ ÐÐ (w,w R ) Ó ÖØ Ò ÐØÑ Ò ÒÙ Ð ÓØ Ò A,G C,T ÐÙ ÙÑÖ Ò Ù Ø ÐÐ ÔØ w A + w R A + w G + w R G w C + w R C + w T + w R T = w A + w T + w G + w C w C + w G + w T + w A = 1. Ë Ò Ò Ö Ò ½ ÑÙ Ò Ó ÖØ Ò ÐØÑ Ò ÒÙ Ð ÓØ Ò A,T G,C ÐÙ ÙÑÖ Ò Ù w A + w R A + w T + w R T w G + w R G + w C + w R C = w A + w T + w T + w A w G + w C + w C + w G = w A + w T w G + w C Ú Ø Ð ÑÙØØ ÓÒ ÙÙÖ ÒÔ ÖØ Ò Ú Ó Ñ Ò Ð Ò ÙÙÐÙÚ Ò Ð Ò Ó¹ ÐÙ Ø Ø Ú ØØ Ú ÐÐ Ó ÖØ ÐÐº ¾º¾ ÓÐÓ Ø Ô Ð Ò ÖÓÑ Ø ÅÙÓØÓ (w,w) Ñ w Σ + DNA ÓÐ Ú Ø Ó ÖØ Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÒ w = w R. µ ½

ÃÝ Ø ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú Ø Ó ÖØ Ø ÒÝØØÚØ Ñ ÐØ ÝÐ¹ ØØ Ð ¹ ÔÙÓÐ ÐØ Ø ÓØØ º ÓÒ ØÝØØÚ ÒÓ w Σ DNA Ó Ò ØÝ Ò ÐÚ Ø ÐÙ ÙØÙÙ ÒÓØ Ò ÓÐÓ Ô Ð Ò ÖÓÑ º ÃÓ ÑÓÖ ¹ Ñ ¼ Ô Ñ ØÒ Ó ØÓÒ Σ DNA Ö ÒØ Ô ÐÐ Ò Ñ Ò ØÝ Ø Ò Ø ÖÓ Ú ÓÐÓ Ò Ò Ô Ð Ò ÖÓÑ ÓÐ Ô Ð Ò ÖÓÑ º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º º ÂÓ ÑÓÖ Ñ c ÓÖÚ ØØ Ò ÒØ Ø ØØ ÙÚ Ù ÐÐ Ó¹ ÐÓ Ø Ô Ð Ò ÖÓÑ Ø ÓÐ Ú Ø Ø Ö ÐÐ Ò Ô Ð Ò ÖÓÑ Øº ÅÓÖ Ñ Ò c ÓÖÚ Ñ Ò Ò ÒØ Ø ØØ ÙÚ Ù ÐÐ ÓÐ Ô ÖÙ Ø ÐØÙ Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÙ ÐØ Ú Ø¹ Ø Ò Ú Ò Ý ØÐ Ò ½ ØÓØ ÙØÙÑ Ø Ó ÐÚ Ø Id Id = Id. ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º º ÖØ Ð Ò ½ ÑÙ Ò ÐÙÓÒÒÓ ÒØÝÚ Ò Æ ¹ÑÓÐ ¹ ÝÝÐ Ò ÔÖÓØ Ò ÓÓ Ú Ø ÐÙ Ø ÐØÚØ ÓÐÓ Ô Ð Ò ÖÓÑ º Ë ÙÖ Ú Ò Ð ÑÑ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÐÓ Ø Ô Ð Ò ÖÓÑ Ø ÓÚ Ø Ô Ö ÐÐ Ô ØÙ º Ä ÑÑ ¾º º Ë Ò w Σ DNA ÓÒ ÓÐÓ Ò Ò Ô Ð Ò ÖÓÑ Ø Ö ÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ w = uu R ÓÐÐ Ò Ò ÐÐ u Σ DNA º ÌÓ ØÙ º ÂÓ w = uu R Ò Ò Ô Ð ÙÚ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ¾ ½ Ý ØÐ Ò ¾ ÒÓ ÐÐ w R ÂÓ ÒØ Ò Ò w Σ DNA = (uu R ) R = (u R ) R u R = uu R = uu R = uu R = w. ÓÒ ÓÐÓ Ò Ò Ô Ð Ò ÖÓÑ Ð w = w R, µ Ò Ò Ò Ò w ØÝØÝÝ ÓÐÐ Ô Ö ÐÐ Ô ØÙ Ò Ò ÐÐ Ó w ÓÐ Ô Ö ØÓÒ Ò Ò Ò Ò w ÑÑ ÐÐ Ö Ñ ÐÐ a ÔØ a = a Ñ ÓÐ Ñ ÓÐÐ Ø ÑÓÖ Ñ Ò ¼ ÑÖ ØØ ÐÝÒ ÒÓ ÐÐ º Ë Ò w ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ w = uv, u = v. µ ¾

ØÐ Ò Ô Ð ÙÚ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ½ Ý ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ uv = w = w R = (uv) R = v R u R = v R u R = v R u R. ØÐ Ø u = v uv = v R u R ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ v = u R ÓÐÐÓ Ò w = uv = uu R. Ñ Ö ¾º º Ã Ð ÓÔ Ò G = ({S}, {A,G,T,C},S, {S AST,S TSA,S GSC,S CSG,S λ}) Ò ÖÓ Ñ Ð ÓÒ ÓÐÓ Ø Ô Ð Ò ÖÓÑ Øº ÂÓ ÓÒ S AST ATSAT ATCSGAT ATCGSCGAT ATCGCGAT ØÙÐÓ Ò Ò Ò ATCGCGAT = ATCG(TAGC) R = ATCG(ATCG) R. ¾º Æ ¹ Ó ÖØ Ò Ý Ø Ý TS¹ RTS¹ Ð Ò ÈÝ Ð ¾º½ ÓÖÑ Ð Ó Ø Ò Æ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÙ ÑÓÖ Ñ Ò ¼ ÚÙÐÐ º Ó ØÓ Σ DNA ÚÓ Ò Ô ÖØ Ø Ó Ø Ò Ó Ò {A,G} {C,T } Ø Ò ØØ Ó Ò Ò Ó ØÓÒ {A,G} Ö Ò ÓÒ Ø Ö ÐÐ Ò Ý Ò Ó ØÓÒ {C,T } Ö Ñ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÒØ Ò A = T, C = G G = C, T = A. ÂÓ Ò Ñ ØÒ Ó ØÓÒ Σ DNA Ö Ñ Ø ÙÙ ÐÐ Ò ÒÒ Ò A 0 G 1 T 0 C 1

ÑÙ Ò Ó ØÓÒ Σ DNA Ô ÖØ Ø ÓØ {A,G}, {T,C} Ú Ø Ó ØÓÒ {0, 1, 0, 1} Ô ÖØ Ø Ó {0, 1}, {0, 1}º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÝÐ Ò Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÙ ÑÓÖ Ñ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ Ó ¹ ØÓº ÇÐ ÓÓÒ Σ Σ Ö ÐÐ Ø Ò Ó ØÓ Ò Σ Σ = {a a Σ} ÙÒ ÓÒ c : (Σ Σ) (Σ Σ) ÑÓÖ Ñ ÃÙÒ Ð Ñ Ö ØÒ c(a) = a a Σ c(a) = a a Σ. c(a) = a a (Σ Σ), ÓÐÐÓ Ò a = a ÑÓÖ Ñ c ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ ¾ Ú Ø Ú Ø Ý ØÐ Øº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ð Ø TS Σ = w Ó ÐÐ ÐÚ Ø ÔØ w Σ w RTS Σ = w Σ w w R, TS Σ = {w (Σ Σ) pr Σ (w) = pr Σ (w)}, µ RTS Σ = {w (Σ Σ) pr Σ (w) = (pr Σ (w)) R }, µ Ñ pr Σ pr Σ ÓÚ Ø ÔÖÓ Ø Ó ÙÚ Ù Ø Ó ØÓÐØ Σ Σ Ó ØÓ ÐÐ Σ Σº Ë ÙÖ Ú ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ Ó ÖØ Ø (w,w R ), w {0, 1, 0, 1} + Ò ÐØ Ò TS {0,1} RTS {0,1} ÒÓ º ½º ÄÙ Ø ÐÐ Ò Ó ÖØ Ò (w,w R ) = (a 1 a 2 a n,a n a n 1 a 1 ), a i {0, 1, 0, 1}, 1 i n, µ Ö Ñ Ø Ö ØÝ a 1,a 1,a 2,a 2,...,a n,a n Ð ØÒ ØØ w ÙÙÒØ Ò 5 3 ØØ w R ÙÙÒØ Ò 3 5 º Ã Ø ÒÓ Ñ ÐÐ Ö Ñ Ø Ò Ò a 1 a 1 a 2 a 2 a n a n a 1 a 2 a n a 1 a 2 a n TS {0,1},

Ó ÙÙÐÙÙ Ð Ò TS {0,1} º ¾º ÄÙ Ø ÐÐ Ò Ó ÖØ Ò Ö Ñ Ø Ö ØÝ a 1,a n,a 2,a n 1,...,a n 1,a 2 a n,a 1 Ð Ø Ò ÑÓÐ ÑÔ Ø ÙÙÒØ Ò 5 3 º Ã Ø ÒÓ Ñ ÐÐ Ö Ñ Ø ¹ Ò Ò a 1 a n a 2 a n 1 a n 1 a 2 a n a 1 a 1 a 2 a n (a 1 a 2 a n ) R RTS {0,1}, Ó ÙÙÐÙÙ Ð Ò RTS {0,1} º ÃÓ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ½ ØÙÓØ ØØÙ Ò ÒÓ Ò Ò ÑÑ Ø Ö ÒØ ÓÚ Ø Ò ØÓ Ø Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÐ ÓÐ Ñ Ó ÖÖ ØØ Ó Ø Ð Ó¹ Ö ØÑ ½ ÒØ Ò Ò 0000 00 00 TS {0,1}. Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ¾ ØÙÓØ ØØÙ Ò ÒÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ò Ò ØØ Ò ÓÚ Ø ÓÐÓ Ô Ð Ò ÖÓÑ º ÃÓ Ò 0000 ÓÐ ÓÐÓ Ò Ò Ô Ð Ò ÖÓÑ ÓÐ ÓÐ Ñ Ó ÖÖ ØØ Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ ¾ ÒØ Ò Ò 0000 00 (00) R RTS {0,1}. Ñ Ö ¾º º Ð ÓÖ ØÑ ¾ ÒØ Ó ÖØ Ø ÓÐÓ Ò Ô Ð Ò ÖÓÑ Ò Ó ÖÓ Ò Ø (w,w R ) = (0011110011, 1100111100) 01011010111101011010, ww R = 00111100111100111100, Ó Ð ÑÑ Ò ¾º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÑÝ ÓÐÓ Ò Ò Ô Ð Ò ÖÓÑ º Ë ÙÖ Ú ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ Ò Ó ÖØ Ø ÐØ Ò TS {0,1} RTS {0,1} Ò Øº Æ Ñ ØÒ Ò Ò Ó ÖØ Ò (w,w R ) Ö Ñ Ø ÙÙ Ð¹ Ð Ò ÒÒ Ò È Ö Ò ½º È Ö Ò ¾º Ì ¼ 0 ½ 1 ÑÙ Òº

º ÄÙ Ø ÐÐ Ò ÝÐÐ ÙÚ ØÙÒ ÒÒ Ò ÑÙ Ò ÓÓ ØÙÒ Ó ÖØ Ò (w,w R ), w {0, 1} +,w R {0, 1} Ö Ñ Ø Ö ØÝ x 1,y 1,x 2,y 2,...,x n,y n, x i {0, 1,λ},y i {0, 1,λ},i = 1, 2,...,n ¼µ Ø Ò ØØ x 1 x 2 x n y 1 y 2 y n = w = w Ð ØÒ ØØ w ÙÙÒØ Ò 5 3 ØØ w R ÙÙÒØ Ò 3 5 º Ã Ø ÒÓ Ñ ÐÐ Ö Ñ Ø Ò Ò x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n w w TS {0,1}. ÃÝÑÐÐ Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐÔ Ö ØÝ Ø ¼ Ò ØÙÓØ ØØÙ ÓÙ ÓÒ w w Ò Øº ÃÓ Ó Ø Ò x {0, 1} + Ó Ø ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ Ó ÖÖ (w,w R ) Ó Ô Ö Ò Ò ÑÑ Ø ØØ w Ú Ø Ò x ÚÓ Ò Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ØÙÓØØ Ð Ò TS {0,1} Ò Øº º ÅÙÙØØ Ñ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÑÓÐ ÑÔ Ò Ò Ø Ò Ñ ÙÙÒÒ 5 3 Ò Ð ÓÖ ØÑ ÓÐÐ ÚÓ Ò Ó ÖØ Ø ØÙÓØØ ¹ Ð Ò RTS {0,1} Ò Øº Ñ Ö ¾º º Ð ÓÖ ØÑ ÒØ Ó ÖØ Ø (AT,AT) ÓØ Ú Ø Ô Ö (00, 00) Ö ØÝ ÐÐ 0,λ, 0,λ,λ, 0,λ, 0 Ò Ò 0000º Ð ÓÖ ØÑ ÒØ Ñ Ø Ó ÖØ Ø Ö ØÝ ÐÐ Ò Ò 0000º 0, 0,λ, 0, 0,λ ¾º ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÙ Ò Ð ÒØ ÚÓ Ñ Ë ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ ÓÒ ÝØ ØØÝ Ð Ø Ò Ö ½ º Ä Ù ¾º º ÂÓ Ø ÐÙÓ Ò RE ÐØ ÝÐ Ó ØÓÒ T Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø ÑÓÖ Ñ Ø h 1,h 2 ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð R ØØ L = pr T (E(h 1,h 2 ) R).

ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ G = (N,T,S,P) Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÔØ Ó ØÓÐÐ T Ú ÖÙ ¹ Ø ØØÙ ¼¹ØÝÝÔ Ò Ð ÓÔÔ º ÌÙÐ Ø Ò ÓÙ Ó P Ó ØÓ ÓÐÐÓ Ò Ò Ø u v P (N T { }) ÓÚ Ø Ö Ñ º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ó ØÓØ T = {a a T } Σ 1 = N T {#} Σ 2 = Σ 1 P T {B,F } V 1 = N T, Ñ B F ÓÚ Ø Ó ØÓ Ò N,T,N,T,P ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ö Ñ ÑÓÖ¹ Ñ Ø h 1,h 2 : Σ 2 Σ 1 Ð B # (α i β i ) P A N a T a T F h 1 S# # β i A a λ λ h 2 λ # α i A a a # R = B(V 1 PV 1 #) + T F, Ó Ð Ù Ò ½º Ð ÑÑ Ò ½º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òº ÅÙÓØÓ ÐÐ Ò ÔÙÚ Ø ÓÒ ÑÙ Ò Ó Ø Ð ÓÔ Ò G Ó ØÓ S α 1 α 2... α k Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ Ò w B(V 1 PV 1 #) + Ó ØÓØ ÙØØ ÓØ h 1 (w) = S#α 1 #α 2 #...#α k # h 2 (w) = S#α 1 #α 2 #...#α k 1 #. ½µ ¾µ ÌÓ Ø Ø Ò ÔÙÚ Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ Ó ÓÒ Ô ØÙÙ Ò k Ù Ø Òº ÂÓ k = 1 Ò Ò ÚÓ Ò Ú Ð Ø Ò w = BS α 1 #, Ñ S α 1 P º ÌÐÐ Ò Ò Ñ ØØ Ò ÑÓÖ Ñ Ò h 1 h 2 ÑÖ ØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ h 1 (w ) = h 1 (B)h 1 (S α 1 )h 1 (#) = S#α 1 # h 2 (w ) = h 2 (B)h 2 (S α 1 )h 2 (#) = S#.

ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú Ø ÔØ Ö ÙÑ ÒØ Ò ÖÚÓÐÐ k Ó ØÓ S α 1... α k µ Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÓØ ½ ¾ ØÝØØÚ Ò wº Â Ø Ø Ò Ó ØÓ ¹ Ð ÐÐ α k α k+1 Ñ α k = β 1 αβ 2 α k+1 = β 1 ββ 2 µ µ Ð ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ò Ò α k ÒØ α β P º Å Ö ØÒ ÒÓ ÐÐ β 1 β 2 ÒÓ ÓØ Ò ÒÓ Ø β 1 β 2 Ð ÑÐÐ Ô Ð ÙØ ÓÙ ÓÒ T ÔØ ÝÑ¹ ÓÐ Òº Ë Ò wβ 1α ββ 2# ÓÒ Ø ØØÝ Ò ÐÐ Ò Ù Ø Ó¹ÓÐ ØÙ Ò ÑÓÖ Ñ Ò h 1,h 2 ÑÖ ØØ ÐÝÒ Ý ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ h 1 (wβ 1α ββ 2#) = h 1 (w)h 1 (β 1)h 1 (α β)h 1 (β 2)h 1 (#) = S#α 1 # #α k #h 1 (β 1)h 1 (α β)h 1 (β 2)h 1 (#) = S#α 1 #...#α k #β 1 ββ 2 # = S#α 1 #...#α k #α k+1 #, h 2 (wβ 1α ββ 2#) = h 2 (w)h 2 (β 1)h 2 (α β)h 2 (β 2)h 2 (#) = S#α 1 # #α k 1 #h 2 (β 1)h 2 (α β)h 2 (β 2)h 2 (#) = S#α 1 #...#α k 1 #β 1 αβ 2 # = S#α 1 #...#α k 1 #α k #. Æ Ò ÓÐÐ Ò ÔÙÚ Ø ÔØ ÐÐ Ð ÓÔ Ò G Ó Ó ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ x Lº ÂÓ Ò x ÓÒ Ó ÓÒ S α 1... α k, Ñ α k = x ØÙÐÓ Ò Ò ÔÙÚ ØØ Ò ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ò w B(V1 PV1 #) + ØØ h 1 (w) = S#α 1 # #α k # h 2 (w) = S#α 1 # #α k 1 #. µ ÌÐÐ Ò ÑÓÖ Ñ Ò h 1 h 2 ÑÖ ØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÐÐ wxf R ÔØ h 1 (wxf) = h 1 (w)h 1 (x)h 1 (F) = S#α 1 # #α k #h 1 (x)h 1 (F)

= S#α 1 # #α k # h 2 (wxf) = h 2 (w)h 2 (x)h 2 (F) = S#α 1 #...#α k 1 #h 2 (x)h 2 (F) = S#α 1 #...#α k 1 #x# = S#α 1 #...#α k 1 #α k #, ÓØ Ò wxf E(h 1,h 2 ) Rº Ó ØÓ Ò {B, #} V 1 P T Ö ÐÐ ÝÝ Ò ÒÓ ÐÐ x = pr T (wxf) pr T (E(h 1,h 2 ) R). Æ Ò ÓÐÐ Ò L pr T (E(h 1,h 2 ) R)º ÆÝØ ØÒ ØØ pr T (E(h 1,h 2 ) R) Lº ÇÐ ÓÓÒ x = pr T (w) Ñ w E(h 1,h 2 ) Rº ÃÓ w R Ò w ÓÒ ÑÙÓØÓ w = Bw 1 w 2...w k x F, w i V 1 PV 1 #, 1 i k,x T. ÃÓ x = pr T (w) Ó ØÓØ {B, #} V 1 P T ÓÚ Ø Ö ÐÐ x = x Ð Ò x Ø Ò w ÒÒ Ò Ö ÒØ F º ÃÙÚ Ù Ø Ò h 1 h 2 ÑÖ ØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ñ Ò Ø h 1 (Bw 1 w 2 w k ) = S#w (1) 1 #w (1) 2 # #w (1) k #, h 2 (Bw 1 w 2 w k ) = w (2) 1 #w (2) 2 #...#w (2) k #, ÚØ ÐÐ Ö ÒØ º ÃÓ w (1) i, w (2) i, i = 1, 2,...,k h 1 (Bw 1 w 2 w k xf) = h 2 (Bw 1 w 2 w k xf), µ ÓÑÔ ÙÑÔ Ö Ð Ø Ó Ø h 1 (Bw 1 w 2 w k ) h 2 (Bw 1 w 2 w k ) h 2 (Bw 1 w 2 w k ) h 1 (Bw 1 w 2 w k ) ÔØ º ØØ Ñ ÐÐ Ö Ñ Ø Ó Ò Ò Ò ØØ Ð Ò Ý ØÐ Ø h 2 (Bw 1 w 2 w k ) < h 1 (Bw 1 w 2 w k ) w (2) 1 = S w (2) i = w (1) i 1, i = 2, 3,...,k.

Â Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ò ÑÓÐ ÑÑ ÐØ ÔÙÓÐ ÐØ Ý Ø Ò Ò ØÙÐ Ø S#w (1) 1 # #w (1) k 1 # Ò Ý ØÐ w (1) k #h 1(xF) = h 2 (xf), µ Ó ØØ Ñ ÐÐ ÑÓÖ Ñ Ò h 1 h 2 ÖÚÓØ Ý ØÐ Ò Ò Ý ØÐ ÓØ Ò w (1) k = xº ØÐ Ø ÙÖ Ú Ø Ý ØÐ Ø w (1) k # = x#, h 1 (Bw 1 w k ) = S#w (1) 1 #w (1) 2 # #w (1) k 1 #w(1) k #, h 2 (Bw 1 w k ) = S#w (1) 1 #w (1) 2 # #w (1) k 1 # h 2 (w 1 ) = S# h 1 (w 1 ) = w (1) 1 # h 2 (w 2 ) = w (1) 1 # h 1 (w 2 ) = w (1) 2 # º h 2 (w k ) = w (1) k 1 # h 1 (w k ) = w (1) k # µ ÙÖ ÑÓÖ Ñ Ò h 1 h 2 ÑÖ ØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ð ÓÔ Ò G Ó ØÓ S w (1) 1 w (1) 2... w (1) k 1 w(1) k = x. Æ Ò ÓÐÐ Ò x Lº Ë ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ ÓÒ ÝØ ØØÝ Ð Ø Ò Ö ½ º Ä Ù ¾º½¼º ÂÓ Ø ÐÙÓ Ò RE ÐØ L T Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ñ¹ ÙÚ Ù g : {0, 1, 0, 1} T ØØ L = g(ts {0,1} )º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ L RE L T º Ä Ù Ò ¾º ÑÙ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø ÑÓÖ Ñ Ø h 1,h 2 : Σ 2 Σ 1 ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð R Σ 2 ØØ L = pr T (E(h 1,h 2 ) R). Æ Ñ ØÒ Ó ØÓÒ Σ 1 Ö Ñ Ø ÙÙ ÐÐ Ò Ø Ò ØØ Σ 1 Σ 2 =, ¼µ ¼

Ñ Ú ÙØ Ð Ù Ò ¾º ØÓ ØÙ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ Ó ØÓØ ÑÓÖ Ñ g : Σ 2 (Σ Σ) Σ = Σ 1 Σ 2 Σ = {a a Σ} Σ 1 = {a a Σ 1 } Σ 2 = {a a Σ 2 }, g(a) = ah 1 (a)h 2 (a) a Σ 2 Ð R 1 = g(r) Ç Ó Ø Ø Ò ØØ Σ 2 Ó Ð Ù Ò ½º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Òº E(h 1,h 2 ) R = pr Σ2 (TS Σ R 1 ). ½µ ÇÐ ÓÓÒ w pr Σ2 (TS Σ R 1 ) Ø Ö ÑÑ Ò w pr Σ2 (g(r) w 2 ) = pr Σ2 (r 1 h 1 (r 1 )h 2 (r 1 ) r n h 1 (r n )h 2 (r n ) w 2 ), Ñ r = r 1 r n R,r i Σ 2 1 i n, w 2 Σ 2. ÃÓ h 1 (r i ),h 2 (r i ) Σ 1, r i Σ 2 1 i n pr Σ2 (g(r) w 2 ) = {r} Ð w = r Ò Ò Ý ØÐ Ò ¼ ÒÓ ÐÐ w pr Σ2 (TS Σ R 1 ) w E(h 1,h 2 ) R. ÃÓ T Σ 2 L = pr T (E(h 1,h 2 ) R) = pr T (pr Σ2 (TS Σ R 1 )) = pr T (TS Σ R 1 ). ÇÐ ÓÓØ Σ = {a 1,...,a n } Σ = {a 1,...,a n } Ó ØÓ h : {a 1,...,a n,a 1,...,a n } {0, 1, 0, 1} ÑÓÖ Ñ h(x) = { 01 i 0 kun x = a i, 1 i n 01 i 0 kun x = a i, 1 i n. ½

ÂÓÒÓ ÓÒ Ò M = ({q,q 0,q 1,q 2,...,q n,q 0,q 1,q 2,...,q n }, {0, 1, 0, 1}, {a 1,...,a n,a 1,...,a n },δ,γ, {q}, {q}), ÓÐÐ ÓÒ ÖØÝÑØ ØÙÐÓ Ø Ø δ(q, 0) = q 0 δ(q i, 1) = q i+1,i = 0, 1,...,n 1 δ(q i, 0) = q,i = 1, 2,...,n δ(q, 0) = q 0 δ(q i, 1) = q i+1,i = 0, 1,...,n 1 δ(q i, 0) = q,i = 1, 2,...,n γ(q, 0) = λ γ(q i, 1) = λ,i = 0, 1,...,n 1 γ(q i, 0) = a i,i = 1, 2,...,n γ(q, 0) = λ γ(q i, 1) = λ,i = 0, 1,...,n 1 γ(q i, 0) = a i,i = 1, 2,...,n, ÑÖ ØØ Ð Ñ gsm¹ ÙÚ Ù g 1 : {0, 1, 0, 1} (Σ Σ) ØÓØ ÙØØ g 1 (TS {0,1} ) = h 1 (TS {0,1} ) = TS Σ. Ñ Ö Ò ½º½ ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ gsm¹ ÙÚ Ù g 2 : (Σ Σ) (Σ Σ) g 2 (TS Σ ) = TS Σ R 1. Ñ Ö Ò ½º½¾ ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ gsm¹ ÙÚ Ù g 3 : (Σ Σ) T Ñ T Σ g 3 (TS Σ R 1 ) = pr T (TS Σ R 1 ) = L. Ä Ù Ò ½º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ gsm¹ ÙÚ Ù g : {0, 1, 0, 1} T Ó ØÓØ ÙØØ L = g(ts {0,1} )º g = g 3 g 2 g 1, Ë ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ ÓÒ ÝØ ØØÝ Ð Ø Ò Ö ½¾ º Ä Ù ¾º½½º ÂÓ Ø ÐÙÓ Ò RE ÐØ L T Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò gsm¹ ÙÚ Ù g ØØ L = g(rts {0,1} )º ÌÓ ØÙ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÑÓÖ Ñ h : {0, 1, 0, 1} {0, 1, 0, 1} ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ð h(0) = 01 h(1) = 10 h(0) = 01 h(1) = 10, L = {01, 10, 01, 10} 0000{0101, 1010} {0, 1, 0, 1}. ¾

ÇÐ ÓÓÒ w = h(u)0000v RTS {0,1} L º ÆÝØ ØÒ ØØ u TS {0,1} º ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ pr {0,1} (w) = pr {0,1} (w) R ¾µ Ó ØÓÒ {0101, 1010} ÑÙÓ ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ pr {0,1} (v) = pr {0,1} (v) R. µ ÌÐÐ Ò pr {0,1} (w) = pr {0,1} (h(u)0000v) = pr {0,1} (h(u))00pr {0,1} (v) µ Ô Ð ÙÚ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ¾ Ý ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ pr {0,1} (w) R = pr {0,1} (h(u)0000v) R = (pr {0,1} (h(u))00pr {0,1} (v)) R = pr {0,1} (v) R 00pr {0,1} (h(u)) R = pr {0,1} (v) R 00pr {0,1} (h(u)) R. µ ØÐ Ò ¾ ÒÓ ÐÐ Ò Ø ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Øº Æ ÐØÚØ Ú Ò Ý Ò Ô Ö ÐÐ Ó ÓÐ Ú Ò Ó Ò Ò ¼¼ ÓÒ Ö ÒØ Ò Ò Ø ÓÚ Ø ÑÙÓ¹ ØÓ 2i 1, 2iº Î ÖØ Ð Ñ ÐÐ ÒÓ Ò ØÙÐ ØØ Ø Ô Ö ÐÐ Ó ÓÐ Ú Ò Ò Ò ¼¼ Ø ÒÓ Ò ÐÓÔÔÙÐ ØØ Ø Ô Ö ÐÐ Ó ÓÐ Ú Ò Ò Ò ¼¼ Ð Ò Ò Ò ØØ pr {0,1} (h(u)) = pr {0,1} (v) R = pr {0,1} (h(u)). ÃÓ ÑÓÖ Ñ h ÑÖ ØØ ÐÝ ØÒ Ó ØÙ Ò ÓÑÑÙØÓ ÔÖÓ Ø Ó ÙÚ Ù Ø Ò pr {0,1} pr {0,1} ÑÓÖ Ñ Ò c Ò h(pr {0,1} (u)) = h(pr {0,1} (u)). µ ÃÓ h ÓÒ Ò Ø Ó Ð Ý ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ pr {0,1} (u) = pr {0,1} (u) u TS {0,1}. Ñ Ö Ò ½º½ ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ gsm¹ ÙÚ Ù g 1 : {0, 1, 0, 1} {0, 1, 0, 1} Ó ØÓØ ÙØØ g 1 (RTS {0,1} ) = RTS {0,1} L.

ÂÓÒÓ ÓÒ Ò M = ({q,q 0,q 1,q 0,q 1,q f }, {0, 1, 0, 1}, {0, 1, 0, 1},δ,γ, {q}, {q f }), ÓÐÐ ÓÒ ÖØÝÑØ ØÙÐÓ Ø Ø δ(q,i) = q i,i = 0, 1 δ(q,i) = q i,i = 0, 1 δ(q 0, 1) = q δ(q 1, 0) = q δ(q 0, 1) = q δ(q 1, 0) = q δ(q 0, 0) = q f δ(q f,i) = q f,i = 0, 1, 0, 1 γ(q,i) = λ,i = 0, 1 γ(q,i) = λ,i = 0, 1 γ(q 0, 1) = 0 γ(q 1, 0) = 1 γ(q 0, 1) = 0 γ(q 1, 0) = 1 γ(q 0, 0) = λ γ(q f,i) = λ,i = 0, 1, 0, 1, ÑÖ ØØ Ð Ñ gsm¹ ÙÚ Ù g 2 : {0, 1, 0, 1} {0, 1, 0, 1} ØÓØ ÙØØ g 2 (h(u)0000v) = u. Æ Ò ÓÐÐ Ò Ð Ù Ò ½º ÒÓ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ gsm¹ ÙÚ Ù g : {0, 1, 0, 1} {0, 1, 0, 1} Ó ÓÒ gsm¹ ÙÚ Ù Ø Ò g 2 g 1 ÓÑÔÓ Ø Ó Ó ØÓØ ÙØØ g(rts {0,1} ) TS {0,1} º ÇÐ ÓÓÒ w TS {0,1} º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ò w = h(w)0000v L, ÓÒ ÐÓÔÔÙÐ Ø v {0101, 1010} ÑÖÝØÝÝ Ó Ø pr {0,1} (v) = pr {0,1} (h(w)) R. µ Ë Ò v ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Òº ÅÓÖ Ñ Ò h ÑÖ ØØ ÐÝÒ Ó ØÓÒ {0101, 1010} ÑÙÓ ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÐÐ w ÔØ (pr {0,1} (w )) R = (pr {0,1} (h(w)0000v)) R = (pr {0,1} (h(w))00pr {0,1} (v)) R = (pr {0,1} (v)) R 00(pr {0,1} h(w)) R = (pr {0,1} (v)) R 00pr {0,1} (v) = pr {0,1} h(w)00pr {0,1} (v) = pr {0,1} h(w)00pr {0,1} (v) = pr {0,1} (h(w)0000v) = pr {0,1} (w ),

ÓØ Ò Ý ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ w RTS {0,1}. ÂÓ Ø Ð Ò TS {0,1} ÙÙÐÙÚ Ò w Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ Ð Ò RTS {0,1} L ÙÙÐÙÚ Ò w ÓÒ gsm¹ ÙÚ Ù g ÙÚ Ò w Ð TS {0,1} g(rts {0,1} )º Î Ø ÙÖ ÒÝØ Ð Ù Ø ¾º½¼º H¹ Ý Ø Ñ Ø º½ Ë ÐÑÙ Ó ÒØ ÓÔ Ö Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ø ÓÚ Ø ÔÖÓØ Ò ÓØ Ñ ÓÐÐ Ø Ú Ø Ø ØÝÒ Ó Ñ ÐÐ Ò Ö ¹ Ø ÓÒ Ø Ô ØÙÑ Ò ÐÝ Ò Ø ÑÙÙØØÙÑ ØØÓÑ Ò º Ä ÓÒ ÒØ ÝÝÑ Ó¹ Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ð ØØÝÑ Ò Ó ÖØ º Ê ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ø ÓÚ Ø Ö ØÝ Ø Ø Ö Ø Ú ØØ Ú ÒØ ÝÝÑ ÓØ Ô Ð ÓÚ Ø Æ ¹ Ó ÖØ Øº Ê ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ò ØÓ Ñ ÒÒ Ò ÓÒØÖÓÐÐÓ ÒÒ Ò ÒÒ ÐØ Ý ÝÐÐ ÑÔ ÓÚ Ø ÐÐ Ø Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ø ÓØ Ô Ð ÓÚ Ø Ú Ò Ý ÐÐ Ö ØÖ Ø Ó¹ ÒØ ÝÝÑ ÐÐ ÓÑ Ò Ò Ó ÖØ Ò ÐØÚ Ó ÖØ Øº ÌØ ¹ Ó ÖÖ ØØ (w,w R ) ÒÓØ Ò Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ò ØÙÒÒ Ø º ÇÒ ÓÐ Ñ Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ó Ò ØÙÒÒ Ø ÐØ ÑÓÒ ØØ ÝÝØØ ÑÙØØ Ø¹ Ó Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ò ÐÐ Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ó Ò ØÙÒÒ Ø ÓÒ Ý ¹ ØØ Ò Òº Ä ÙÐ Ø Ò ÔÓ Ø Ö Ø ÐÙ Ø ÐÐ Ø Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝ¹ Ñ Ø Ó ÐÐ Ô Ð ÓÑ Ò Ò Ø Ô ØÙÙ ØÙÒÒ Ø Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ð ÐÐ Ø Ó ÐÐ ØÙÒÒ Ø ÐÝÝ Òº Ñ Ö º½º Ê ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ø TaqI Hin6I SrfI Bsp143I Ó ÐÐ ÓÒ ØÙÒÒ Ø Ø (TCGA,TCGA) (GCGC,GCGC) (GCCCGGGC,GCCCG¹ GGC) (GATC,GATC) Ô Ð ÓÚ Ø ØÙÒÒ Ø Ò ÐØÚØ Ó ÖØ Ø ÙÚ ¾ Ø ØÝÐÐ Ø Ú ÐÐ º Â Ø Ó ÙØ ÙØ Ò Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ò r Ô Ð ÓÑ Ò ØÙÐÓ Ò ÝÒØÝÒ ¹ Ø ÑÓÐ ÝÝÐ Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ò r ØÙÓØØ Ñ ÑÓÐ ÝÝÐ º ÃÙØ Ò ÙÚ ¹ Ø ¾ Ò Ò Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ò TaqI Hin6I ØÙÓØØ Ñ ÐÐ ÑÓÐ ÝÝÐ ÐÐ ÓÒ ÐÝ ÝØ Ó ÖØ Ò ÝÐ ÙÐÓØØÙÚ ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ó Ú Ô ¹ º SrfI ÓÒ Ñ Ö Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ø ÓÒ ØÙÓØØ Ñ ÐÐ ÑÓÐ ÝÝÐ ÐÐ ÓÐ Ó Ú Ø ÔØº Bsp143I ÓÒ Ñ Ö Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ø ÓÒ ØÙÓØØ Ñ Ò ÑÓÐ ÝÝÐ Ò Ó Ú Ò Ò Ô ÓÒ Ó Ó ØÙÒÒ Ø Ò Ô ØÙ Ò Òº Ë ÙÖ Ú Ò Ø ÙÐÙ ÓÓÒ ÓÒ ÓÓØØÙ ÐÙ ØØ ÐÓ Ø ½½ Ó Ø Ò ÙÔ ÐÐ Ø Ø Ú Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ó Ò ØÙÓØØ Ñ ÐÐ ÑÓÐ ÝÝÐ ÐÐ ÓÒ Ó ¹ Ú Ò Ò Ôº ÇÒ Ö ØØ Ò ÝÐ Ø ØØ Ý ØØ Ò Ò ØÙÒÒ Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ (w,w) ÓÐÐÓ Ò Ò w ÓÒ ÓÐÓ Ò Ò Ô Ð Ò ÖÓÑ º Ä Ó Ú Ø ÔØ Ø Ú Ø

X T C G A A G C T Y X T A G C TaqI C G A T Y GC G C X CG C G Y Hin6I G C G C X Y CG C G X GCCCGGGC CGGGCCCG Y X GCCC CGGG SrfI GGGC CCCG Y X GATC CTAG Y X GATC Bsp143I CTAG Y ÃÙÚ ¾ Ê ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ò TaqI Hin6I SrfI Bsp143I ØÓ Ñ ÒØ

ØÙÒÒ Ø ÐÐ ÓØ Ò Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ò ÓÒ ØÙÒÒ Ø ÓÒ ÑÙÓØÓ (w,w) ØÙÓØØ Ñ Ø Ó Ú Ø ÔØ ÓÚ Ø ÓÐÓ Ô Ð Ò ÖÓÑ º Æ Ò ÓÐ¹ Ð Ò Ó Ø ÙÐÙ ÓÒ Ò Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ò ØÙÒÒ Ø Ø ÓÚ Ø Ý Ø ÑÙÓØÓ Ò Ò ØÙÓØØ Ñ Ø Ó Ú Ø ÔØ ÓÒ ÚÓ ØÙ ØØ Ý ÐÐ Ò ÐÐ w Ó ÓÒ ØÙ ÐÙ ØØ Ð Ñ ÐÐ Ó Ú Ò ÔÒ ÒÙ Ð ÓØ Ø ÙÙÒØ Ò ³¹ ³º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓØ ØØÙ ÙÓÑ ÓÓÒ ØØ Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ø ÙØÙÚ Ø Ø Ò ÐÙÓ Ò Ò ÑÙ Ò ÔØØÝÚØ Ò Ò ØÙÓØØ Ñ Ø Ó Ú Ø ÔØ ³¹ Ú ³¹ÒÙ Ð ÓØ Òº ³¹ÒÙ Ð ÓØ ØÙÓØØ Ú Ø Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ø ÓÚ Ø Ø Ù¹ ÐÙ ÓÒ ÝÐÓ ³¹ÒÙ Ð ÓØ ØÙÓØØ Ú Ø Ø ÙÐÙ ÓÒ Ð Ó º ÃÓ Ú Ø ÔØ ÓÒ ÖÓØ ØØÙ ØÙÒÒ Ø Ò ÐÐ ÔÝ ØÝÚ ÚÓ Òº Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ ØÙÒÒ Ø w w = 2 w w = 4 P sp1406i (AA CG T T, AA CG T T) CG TasI ( AATT, AATT ) AATT BspLU 11I (A CAT G T, A CAT G T) CAT G Bsu15I (AT CG AT, AT CG AT) CG V spi (AT TA AT,AT TA AT) TA NdeI (CA TA TG,CA TA TG) TA N coi (C CAT G G, C CAT G G) CAT G MaeI (C TA G,C TA G) TA Hin6I (G CG C, G CG C) CG N oti (GC GGCC GC, GC GGCCGC) GGCC N hei (G CT AG C, G CT AG C) CT AG T aqi (T CG A, T CG A) CG T aii ( ACGT, ACGT ) ACGT M ph1103i (A T GCA T, A T GCA T) T GCA NlaIII ( CATG, CATG ) CATG SdaI (CC T GCA GG, CC T GCA GG) T GCA AatII (G ACGT C, G ACGT C) ACGT P aei (G CAT G C, G CAT G C) CAT G Cf r42i (CC GC GG, CC GC GG) GC Ë ÙÖ Ú Ø ÐØÚ Ø Ô ØÙÑ ÓÒ ÓÐÐÙØ Ð Ø Ó Ø Ò ÑÝ ÑÑ Ò Ø ¹ ÐÙÚÙ ÑÖ Ø ÐØÚ ÐÐ Ð ÒØ Ñ ÐÐ ÐÐ º Ê ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ò TaqI Hin6I ØÙÓØØ Ñ Ò ÑÓÐ ÝÝÐ Ò Ó Ú Ø ÔØ ÚÓ Ò ØØ Ó ¹ Ò Ø Ò ØØ Ò Ó Ú Ø Ò Ô Ò ÒÙ Ð ÓØ Ò Ó ÐÐ ÓÒ Ý¹ Ò ÒÙ Ð ÓØ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ º Ä Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ò TaqI Hin6I ØÙÓØØ Ñ ÐÐ Ó Ú ÐÐ Ô ÐÐ ÓÒ ³¹ÒÙ Ð ÓØ Ò Ô ÓÐÐ ÓÒ Ú Ò Ý Ú Ö Ò Ò ÒÙ Ð ÓØ º ÌÐÐ Ò Ð Ò Ð ÒÓÐÐ Ö ØÖ Ø Ó ÒØ ÝÝÑ Ò