Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön., ( ) +, = Joten ja y = b) x+ 6 y = eli y sijoitetaan alempaan yhtälöön x 7y = ( y ) 7y = y = y = y = ( ) = Joten, y = c) ( x+ y) + ( x y) = 7 ( x+ ) (y+ ) = x y = 7 x y = 7 Yhtälöt ovat samat, joten yhtälöparin ratkaisuna ovat kaikki yhtälön 7 x y = 7 eli y = x, x toteuttavat lukuparit ( x, y). Vastaus: a) (, ) b) (, ) c) 7 y = x, x 7. a) x y = x + y = = epätosi Ei ratkaisua
b) x+ y + = x y = x+ + (y ) = 9 ( x y) = x+ y = x + y = 6 y = y = sijoitetaan yhtälöparin ylempään yhtälöön x + = 7 Vastaus: a) Ei ratkaisua, b) (7,) 8. x+,y + 7 = ( x ) x y ( x ) x y + + = 6 x+, y + 7( x ) = [y ( x )] + ( x y) + = 8x+,y = 8 eli y = 6x+ 76 sijoitetaan alempaan 7x + y = 7x+ ( 6x+ 76) = 6x = 6 y = 6 + 76 = Vastaus: (,) 9. Sijoitetaan yhtälöpariin ja y =. a + ( a+ b) ( ) = b (a+ 7 b) ( ) = a b = eli a = b+ sijoitetaan alempaan a+ 79b = ( b+ ) + 79b= b = a = () + = 8 Vastaus: a = 8 ja b =
. Muutetaan suorat ratkaistuun muotoon x+ ay+ a = y = x, a a x+ ( a 6) y 9a+ = 9a y = x+ a 6 a 6 y = x+ 9, a 6 a 6 Yhtälöparilla ei ole ratkaisua, jos suorat ovat yhdensuuntaiset ja ne ovat eri suoria. Merkitään kulmakertoimet yhtä suuriksi ja ratkaistaan a = a a 6 a = a a = Kun a =, yhtälöt esittävät yhdensuuntaisia toisiaan leikkaamattomia suoria, joten yhtälöparilla ei ole silloin ratkaisua. Tarkastellaan vielä tapaukset a = ja a = 6 ) a = x+ y+ = x + ( 6) y 9 + = x = eli sijoitetaan alempaan x 6y = 6y = y = 9 Joten, kun a =, yhtälöparilla on ratkaisu. ) a = 6 x+ 6 y+ 6= x + (6 6) y 9 6 + = x+ 6y = x = sijoitetaan ylempään + 6y = y = Joten, kun a = 6, yhtälöparilla on ratkaisu Vastaus: Yhtälöparilla ei ole ratkaisua, kun a =.. a) a+ b+ c = a b+ c = a b c = Ratkaistaan alimmasta yhtälöstä a = b + c ja sijoitetaan muihin yhtälöihin. ( b+ c ) + b+ c = ( b + c ) b + c = b+ c = c = eli c = sijoitetaan ylempään b + = b =
Lasketaan a a = b + c = + = b) a+ b+ c = a b+ c = a b c = Ratkaistaan ylimmästä yhtälöstä a = b c ja sijoitetaan muihin yhtälöihin. ( b c) b+ c = ( b c) b c = b c = b = eli b = sijoitetaan ylempään ( ) c = Lasketaan a c = a = b c = = Vastaus: a) (,,) b) (,, ). a) x+ y = x y z = x z = Ratkaistaan ylimmästä yhtälöstä y ja sijoitetaan muihin yhtälöihin. ( y) y z = ( y) z = y z = eli z = y sijoitetaan alempaan y z = y ( y ) = y = Lasketaan z z = ( ) = Lasketaan x y = b) x+ y z = 6 x + y + z = x+ y 8z = 7 Ratkaistaan alimmasta yhtälöstä y = x + 8z + 7 ja sijoitetaan muihin yhtälöihin. x+ ( x+ 8z+ 7) z = 6 x + ( x + 8z + 7) + z =
x+ z = 8 ( ) x + z = 7 z = z = sijoitetaan ylempään x + ( ) = 8 Lasketaan y y = x + 8z + 7 = + 8 ( ) + 7 = c) x + z = x + y = y + z = Ratkaistaan keskimmäisestä yhtälöstä y ja sijoitetaan ylimpään yhtälöön. y + z = y+ z = y + = z = z = sijoitetaan alempaan y = Lasketaan y = Vastaus: a) (,, ) b) (,, ) c) (,,). a) x y = x+ y = 7 x+ y = Ratkaistaan keskimmäisestä yhtälöstä y = x + 7 ja sijoitetaan muihin yhtälöihin. x ( x+ 7) = x+ ( x+ 7) = 8x = 6 eli Lasketaan y y = + 7 = b) x+ y = x + 9y = 6x + y = Ratkaistaan alimmasta yhtälöstä y = x ja sijoitetaan muihin yhtälöihin. x+ x = x + 9 x =
8x = x = Koska x:lle saatiin kaksi eri arvoa, ei yhtälöryhmällä ole ratkaisua. Vastaus: a), y = b) ei ratkaisua. a) x+ y = x y z = Ratkaistaan ylimmästä yhtälöstä y = x ja sijoitetaan alempaan yhtälöön. x ( x) z = z = x+ 6 z = x Koska yhtälöitä on yksi vähemmän kuin tuntemattomia muuttujaa x ei saa ratkaistua, x. b) x+ y z = x + y z = Ratkaistaan ylimmästä yhtälöstä y = x + z ja sijoitetaan alempaan yhtälöön. x+ ( x+ z ) z = x = z z y = z + z = z Koska yhtälöitä on yksi vähemmän kuin tuntemattomia muuttujaa z ei saa ratkaistua, z. Vastaus: a) y = x, z = x, x b) z, y = z, z. b( x+ y) az = b a ( a+ b)( x y) ( a b) z = ( ) ( a+ b) z ( a b)( x y) = ab Lasketaan kaksi alinta yhtälöä yhteen ( a+ b)( x y) ( a b) z = ( a b)( x y) + ( a + b) z = ab [( a+ b) ( a b)]( x y) + [ ( a b) + ( a+ b)] = ab ( bx y) + bz= ab :b x y+ z = a z = x+ y+ a
Kerrotaan keskimmäinen yhtälö luvulla ja lasketaan kaksi alinta yhtälöä yhteen. ( a + b)( x y) + ( a b) z = ( a b)( x y) + ( a + b) z = ab [ ( a+ b) ( a b)]( x y) + [( a b) + ( a+ b)] = ab Ratkaistaan yhtälöpari z = x+ y+ a ( ) z = x y + b z = x+ y+ a z = x y + b z = a+ b z = a+ b z = x y a z = x y + b = x y a+ b a b = x y a b = x y ax ( y) + az= ab :a x+ y+ z = b z = x y+ b Sijoitetaan yhtälöryhmän ylimpään yhtälöön z = a + b b x+ y a( a+ b) = b a ( ) bx ( + y) = a + ab+ b a : b x+ y = a+ b Ratkaistaan yhtälöpari a b = x y x + y = a + b x y = a b x + y = a + b x = a a sijoitetaan alempaan a+ y = a+ b y = b Vastaus: a, y = b, z = a + b 6. Kaupungin A asukasmäärä y t:n vuoden kuluttua y = 7 8 t Kaupungin B asukasmäärä y t:n vuoden kuluttua y = + t Asukasmäärät yhtä suuret 7 8 t = + t ( ) 6t = : 6 t = Asukasmäärä on tällöin y = 7 8 = 6 8. Vastaus: Kaupunkien asukasmäärä on sama neljän vuoden kuluttua ja tällöin asukkaita on 6 8.
7. Vuxna x Ungdomar y ( ) x+ y = 6 x+ 8y = x y = 9 x+ 8y = ( ) y = : y = x + = 6 Vastaus: vuxna och ungdomar har köpt biljetter. 8. Oskarin ikä x, Leenan y ja Alicen z x+ y+ z = 6 y = x sijoitetaan muihin z = ( y ) x+ x+ z = 6 z = (x ) x+ z = 6 eli z = x+ 6 sijoitetaan alempaan 6x + z = 6 x+ ( x+ 6) = y = 6 = 8 Vastaus: 8 vuotta 6 9. Kirjoitin A tulostaa x kpl ajassa h min = min x Kirjoittimen A nopeus Kirjoitin B tulostaa x kpl ajassa h min = 9 min Kirjoittimen B nopeus x 9 x 8 Kirjoitinta B käytetään h min = 8 min, jolloin se tulostaa 8 = ( x) kpl 9 9 x Kirjoitinta A käytetään h min = min, jolloin se tulostaa = 6 x kpl Yhteensä A ja B tulostava kpl eli 8 ( x) + 6 9 9 6 8x 6x + = 9 9 7 9
Kirjoittimen A nopeus: kpl / min =,8 kpl/min Kirjoittimen B nopeus kpl/min = 7, kpl/min 9 Nopeampaa käyttäen 7, min = 66 min 67 min = h 7 min. Vastaus: Nopeudet A,8 sivua minuutissa ja B 7,. Jos käytetään vain kirjoitinta B, aikaa kuluu h 7 min. Itseisarvoyhtälöt ja -epäyhtälöt. a) x = x = tai x = x = x = 7 b) x = 7 x = Ei ratkaisua, koska itseisarvo on aina ei-negatiivinen 7 c) + ( x) x 8 = ( x) 8 ( x) ( x) ( x) x tai ( x) x = = x x x x x x + = + = + Vastaus: a) tai b) Ei ratkaisua c) tai +. a) x 7 7 x ehto x 7 x tai 7 x 7 ei käy
b) x+ x+ x ehto x eli x x tai ( x ) = epätosi 8 ei käy x c) x+ x+ ehto x x+ tai x+ ( ) ( ) + ) + ) + + Vastaus: a) b) Ei ratkaisua c) tai. a) x = x x x x = x x tai x = x x b) = x + x x = x+ x x, x x x+ ( x )( x+ ) x tai x x
x x + + = ( ) ± () ± 8 x = = + + x = = x x + = ± () ( ) ( ) ( ) ± 8 x = = + + x = = c) x+ x = ( x+ )( x) = x x+ = x x+ = x x+ = tai x x(x+ ) = tai x+ = 6 x x+ = ( ) ( ) ( ) 6 ± () ± 7 ± 7 Vastaus: a) b) ± tai x= ± c). a) x > x > tai x< x > x< x< x > ±, tai 7 b) x x ja x x 7 x ) x 7 Nollakohdat x 7 = ± 7 Epäyhtälön x 7 ratkaisu on 7 x 7
) x Nollakohdat x = ± Epäyhtälön x ratkaisu on x tai x Epäyhtälö x toteutuu, kun epäyhtälöt ) ja ) toteutuvat yhtä aikaa. Ratkaisu on 7 x tai x 7 c) ( x ) ( x ) tai ( x ) x x x x 8 + ) x x 8 Nollakohdat x x 8= ( ) ± ( ) ( 8) ± 6 6 x = = + 6 x = = Epäyhtälön x x 8 ratkaisu on x tai x ) x x+ Nollakohdat x x+ = ( ) ( ) ± ± ei reaalijuuria Epäyhtälöllä x x+ ei ole ratkaisua. Epäyhtälö x tai x. ( x ) toteutuu, kun jompikumpi epäyhtälöistä ) tai ) toteutuu, joten epäyhtälön ratkaisu on Vastaus: a) x < tai x > b) 7 x tai x 7 c) x tai x
. x< + x + x < x x > x x > x tai x < x+ x > x< 6 x< x< Vastaus: x <. x< x+ a x + a < x ehto x > eli x< x + a < x tai x+ a > + x x< a a > a x < Ehto x < Joten a < a < a > a Kun a >, on epäyhtälön ratkaisuna x <. Kun a, ei epäyhtälöllä ole ratkaisua. a Vastaus: a : ei ratkaisua; a > : x < 6. k, kun k x < < < Jos x <, on >, joten epäyhtälö voi toteutua vain, kun x >. x < k ja > k x x ) k x x < > x< kx ( k) x< :( k) < x > k x > + k
) k x x > > x > kx ( + kx ) > :( + k) < x < + k x < k Vastaus: < x < k+ k+ 7. x gx ( ) = + Polynomin x + nollakohta x + = [ ( + x)], x < x+, x< ( ) gx= = ( + x), x x, x x+, x< Vastaus: gx ( ) = x, x 8. Polynomin x nollakohta on ( x ) +, x< x+, x < f( x) = = x +, x x, x Funktio g( x) = x xx, < gx ( ) = xx, Piirretään kummankin funktion kuvaajat koordinaatistoon.
Yhtälön x + = x ratkaisuna ovat kuvaajien f ja g yhteisten pisteiden x-koordinaatit. Kuvaajat yhtyvät, kun x, muualla ne eivät kohtaa. Vastaus: x Janan pituus ja keskipiste 9. a) (, 8) ja (6, 8) pituus d = (6 ( )) + (8 8) = 8 + 6 8 + 8 keskipiste M =, = (,8) b) (,6) ja (,8) pituus d = ( ) + (8 6) = = keskipiste M = +, 6 + 8 = (7,7) c) (, ) ja ( 7,) pituus d = ( 7 ( )) + ( ( )) = + ( 7) + 9 keskipiste M =, = (, ) Vastaus: a) (,8) ja b) (7,7) ja c) 9 (, ) ja 6. a) (,;) ja (, ) pituus d = (, ) + (, ) = 9,, + ( ), + ( ) keskipiste M =, = (, 7;6) b) (,) ja ( ;,) 8 89 pituus d = ( ) + (, ) =, = = + ( ) +, keskipiste M =, = ( 6;8, ) c) (, ) ja (,) pituus d = ( ) + ( ( )) = + + keskipiste M =, = (6, ) Vastaus: a) (,7;9) ja 9, b) ( 6;,7) ja 89 c) (6; ) ja 6. + + keskipiste M = 7, 7 = (, ) 7 halkaisija d = ( ) + ( ) = = 7 7 9 7
säde := 7 Vastaus: 6. (, ) 7 ja Vähennetään suorakulmion alasta kolmioiden alat A = ( + + ) = Vastaus: 6. Piste B(x,y) 8 + 8+ + y = + y = y = 7 B:n etäisyys pisteestä, 69 69 9 d = ( ) + ( ( 7)) = = Vastaus: B(, 7) ja 69 6. Pisteet A(,), B(6, ) ja C(, ) Lasketaan janojen pituudet AB = (6 ( )) + ( ) = 8 AC = ( ( )) + ( ) = 8 BC = (6 ) + ( ) =
Kosinilauseen perusteella AB = AC + BC AC BC cosα 8 = 8 + 8 cosα cosα = 8 α 78,7 Vastaus: 78,7 6. Vähennetään suorakulmion alasta kolmioiden alat A = 9 (9 + 7 6 + ) = Lasketaan kuvion kulmat 9 tanα = α 67, 6 tan β = 7 β,6 Kolmion kulma γ = 8 α β 7, δ = 9 β 9, tanω = ω 7, Kolmion kulma ϕ = 8 ω δ 8, Kolmion kulma ε = 8 γ ϕ 9, Mikään kolmion kulma ei ole suorakulma. Vastaus: Ei ole suorakulmainen ja ala on.
SUORAN YHTÄLÖ 66. a) Suoran kulmakerroin k = ja suora kulkee pisteen P(,) kautta. y y = k ( x x) k =,, y = ( x ) y = y = x 6+ y = x b) Suoran kulmakerroin k = ja suora kulkee pisteen P(,) kautta. y y = k ( x x) k =,, y = ( x ) y = y = x+ + y = x+ 6 c) Suoran kulmakerroin k =,6 ja suora kulkee pisteen P(,) kautta. y y = k ( x x) k =, 6;, y = ( x ) y =,6 + y =, 6x+,8 + y =, 6x+,8 d) Suoran kulmakerroin k =,7 ja suora kulkee pisteen P(, ) kautta. y y = k ( x x) k =, 7;, y = ( x ) y+ =,7 y =, 7x+ y =,7x+ Vastaus: Suoran yhtälö on a) y = x b) y = x+ 6c) y =, 6x+,8 d) y =,7x+. 67. a) Pisteet (, ) ja (, ) y y Kulmakerroin k = x x k = = Yhtälö y y k ( x x ) y = x+ ( x, y ) = (,), ( x, y ) = (,) = k =, ( x, y) = (, ) y = x ( ) y = x + b) Pisteet ( 7, 6) ja (, ) y y Kulmakerroin k = x x 6 k = = 7 ( ) ( x, y ) = ( 7,6), ( x, y ) = (, )
Yhtälö y y k ( x x ) = k =,( x, ) (,) y = y ( ) = ( x ) 7 y+ = x+ x+ y = c) Pisteet 8, ja (, ) y y Kulmakerroin k = x x 8 k = = = 8 6 Yhtälö y y k ( x x ) ( x, y) = (8,), ( x, y) = (, ) = 8,(, ) = (8,) = k x y 8 y = x 8 8 6 y = x 8 8x+ y+ 68= Vastaus: a) Suoran kulmakerroin on ja yhtälö on y = x+ b) Suoran kulmakerroin on ja yhtälö on y = x c) Suoran kulmakerroin on ja yhtälö on x+ y = d) Suoran kulmakerroin on 8 ja yhtälö on 8 68. x+ y+ = 68. Pistemäärä x ja arvosana y Suora kulkee pisteiden (,) ja (,7). y y Kulmakerroin k = ( x, y) = (,), ( x, y) = (,7) x x 7 k = = 6 Yhtälö y y k ( x x ) =,(, ) = (,) 6 = k x y y = 6 y = x+ 6 ( x ) Vastaus: Suora on y = x+. 6
69. Kohtaamiseen kuluva aika x (h) Etäisyys Lahdesta y (km) Alpon nopeus 8 (km/h) Sirkan nopeus (km/h) Sirkan etäisyys Lahdesta x tunnin kuluttua y = x Alpon etäisyys Lahdesta x tunnin kuluttua y = 8x + Lasketaan suorien leikkauspiste. y = x y = 8x + x= 8x+, Sirkan kulkema matka y =, = Alpon kulkema matka 8, = Vastaus: Sirkka km ja Alpo km 7. Pisteen (6, 8) kautta kulkevan suoran yhtälö y ( 8) = k x 6 ( ) y = kx 6k 8 Suoran leikkauspisteet koordinaattiakseleilla Sijoitetaan y = = kx 6k 8 6k + 8 k Sijoitetaan y = k 6k 8= 6k 8 Kolmion ala 6k + 8 ( 6 k 8) = k, k k (6k+ 8)( 6k 8) = k 6 6 ( ) k k = 6 6 k + k + = 6 6 ± k = 6 ± 78 k = 7 8 6 k = = 7 9 + 8 k = = 7 Sijoittamalla k = huomataan, että koordinaattiakselien leikkauspisteet ovat negatiivia. 6() + 8 = ja y = 6() 8= Joten k = ei käy.
Suoran yhtälö 6 6 6 8 y = kx 6k 8 = x 6 ( ) 8 x 9 9 = 9 + Yhtälön normaalimuoto 6x +9y = Vastaus: 6x + 9y = 7. d = ax + by + c (, ), a =, b =, c = 9 a + b ) + 9 = = = = + ( ) Vastaus: 7. Janan AB keskipiste + + ( ), = (, ) Janan BC keskipiste + + ( ), = (,) Pisteestä C lähtevän mediaanin yhtälö y y Kulmakerroin k = ( x, y) = (,), ( x, y) = (, ) x x k = = Yhtälö y y k ( x x ) =,(, ) = (,) = k x y y = y = x+ ( x ) Pisteestä A lähtevän mediaanin yhtälö y y Kulmakerroin k = ( x, y) = (, ), ( x, y) = (,) x x ( ) k = = ( ) Yhtälö y y k ( x x ) =,(, ) = (,) = k x y y = ( x ) y = x Kaikki mediaanit leikkaavat samassa pisteessä. Lasketaan mediaanien leikkauspiste.
y = x + y = x x+ = x 6x+ = 8x 8 y = ( ) = Vastaus: Leikkauspiste on (, ). 7. Lasketaan kummaltakin suoralta kaksi pistettä ja piirretään paloittain määritellyn funktion kuvaaja. x y =x + x y = x
PISTEEN ETÄISYYS SUORASTA 7. Kulmakerroin y y k = x x ( x, y ) = (,), ( x, y ) = (8, 7) 7 k = = 8 Suoran x,y + 6 = ratkaistu muoto on y = x+, joten sen kulmakerroin on. Koska kulmakertoimien tulo on = ovat suorat kohtisuorassa toisiinsa nähden ja suorien välinen kulma on 9. Vastaus: ja ja 9 7. Suoran x + y - 6 = ratkaistu muoto on y = x+, joten sen kulmakerroin on normaalin kulmakerroin on. Normaalin yhtälö y y = k ( x x) k =, ( x, y) = (,) Vastaus: y = x + 6 ( x ) y = ( ) y = x+ 6 76. a) (, ) ja -x + y + = ax + by + c d = (,), a =, b=, c = a + b + + = = = = ( ) + b) (-, ) ja x - 6y + 7 = ja ax + by + c = (,), =, = 6, c = 7 a + b ( ) 6 + 7 8 8 7 = = = = + ( 6) d a b
c) (,; -,) ja y = x Suoran normaalimuoto x + y + = ax + by + c d a + b, + (,) + = = + (,;,),, b=, c = = a = 9 6 7 d) (, ) ja -x + y - = 7 ax + by + c 7 = (, ), =, =, c = a + b 7 7 9 ( ) + 9 7 9 = = = = ( ) + d a b e) (9, -) ja x y = ax + by + c = (9, ), =, =, = a + b d a b c 9 ( ) 8 = = = = = ( ) + ( ) Vastaus: a) b) 7 c) 9 6 9 d) e) 77. Kulman puolittajalla olevan pisteen (x, y) etäisyys kumpaankin suoraan on yhtä suuri. x y+ = x+ y+ 9 + ( ) ( ) + x y+ x+ y+ 9 = x y+ = x+ y+ 9 ( ) x y+ = x+ y+ 9 tai x y+ = x+ y+ 9 7x 7 y+ = x+ y+ 9 = Vastaus: Puolittajasuorien yhtälöt ovat 7x 7y + = ja x + y + 9 =
78. Valitaan suoralta x - 8y + 6 = yksi piste ja lasketaan pisteen etäisyys suorasta x 8y - =. Kun y =, x 8 + 6 =, josta saadaan eli piste (, ). Pisteen (,) etäisyys suorasta x -8y - = ax + by + c d = (,), a =, b= 8, c = a + b 8 7 7 = = = + ( 8) 6 6 Vastaus: Suorien etäisyys on 7 6. 79. Janan keskipiste + + ( ), = (, ) Janan suuntaisen suoran kulmakerroin y y k = ( x, y) = (, ), ( x, y) = (, ) x x ( ) k = = = 9 Joten keskinormaalin kulmakerroin on. Keskinormaalin yhtälö y y = k ( x x) k =, ( x, y) = (, ) Vastaus: y = x 9 y ( ) = x y = x 9 8. Suoran x y + = ratkaistu muoto on y = x+, joten sen kulmakerroin on ja normaalin kulmakerroin on.
Normaalin yhtälö y y = k ( x x) k =,( x, ) (,) y = y = ( x ) 9 y = x+ Suoran y = x+ ja normaalin leikkauspiste y = x+ 9 y = x+ 9 x+ = x+ 6x+ = 9x+ y = + = Suorien y = x+ ja x 7y = leikkauspiste y = x + sijoitetaan alempaan x 7y = x 7( x+ ) = y = ( ) + =
9 Suorien y = x+ ja x 7y = leikkauspiste 9 y = x + sijoitetaan alempaan x 7y = 9 x 7( x+ ) = 6 6 6 y = + 9 = Pisteet (,) ja (, ) yhdistävän kateetin pituus d = ( ) + ( ) = 6 = Pisteet (,) ja 6 6 (, ) yhdistävän kateetin pituus d = ( ) + ( ) = 6 = Vastaus: Molempien pituus on. 8. Leikkauspisteet x y+ = y = x sijoitetaan ylempään x x + = x + x+ = ± ( ) () ± x = = + x = =
y = = 8 y = ( ) = Pisteet A(, 8) ja B(, ) Janan OA suuntaisen suoran kulmakerroin y y k = ( x, y) = (,), ( x, y) = (,8) x x 8 k = = Janan OB suuntaisen suoran kulmakerroin y y k = ( x, y) = (,), ( x, y) = (, ) x x k = = Koska kulmakertoimien tulo on =, ovat janat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja jana AB näkyy origosta suorassa kulmassa. Vastaus: Jana AB näkyy origosta suorassa kulmassa. 8. Kulman puolittajalla olevan pisteen (x, y) etäisyys kumpaankin suoraan on yhtä suuri. x+ y+ x+ y = + + y x+ y = y = x+ y y = x+ y tai y = x+ y x+ y+ = x 9y+ = Terävän kulman puolittaja on laskeva suora, joten kysytty puolittaja on x 9y+ = eli x+ 9y = Vastaus: Puolittajasuoran yhtälö on x+ 9y =.
8. Sivun AB keskipiste 6 + ( ) + ( ) 7, =, Sivun BC keskipiste + ( ) + ( ), = (,) Sivun CA keskipiste 6 + ( ) + 9, =, Sivun BC suuntaisen suoran kulmakerroin y y k = ( x, y) = (, ), ( x, y) = (,) x x ( ) k = = ( ) Joten A:sta piirretyn korkeusjanan kulmakerroin on. A:sta piirretyn korkeusjanan yhtälö y y = k ( x x) k =,( x, ) ( 6,) y = y = ( y = x+ ( x 6) )
Sivun BC suuntaisen suoran yhtälö y y = k x x k =, ( x, y ) = (, ) ( ) ( x ) y ( ) = ( ) y = x A:sta piirretyn korkeusjanan kantapiste y = x y = x+ x+ = x 8 y = ( ) = Sivun AB keskipisteen ja A:sta piirretyn korkeusjanan kantapisteen yhdistysjanan pituus 7 7 [ ( )] + [ ( )] = Sivujen BC ja CA keskipisteiden välinen etäisyys 9 [ ( )] [ )] + = 7 Etäisyydet ovat yhtä suuret.
PARAABELI 8. Sijoitetaan pisteiden koordinaatit paraabelin yhtälöön y = ax + bx. a + b = a + b = a+ b = eli b = a sijoitetaan alempaan a+ b = a+ ( a) = a = b= a = Vastaus: a =, b = 8. Paraabelin yhtälö y y = a( x x ), y = y a( x ( )) x, y = = = = a(+ ) a = y y = a( x x ) a =,, y = y = ( x ( )) y = x x 6 Vastaus: y = x 6x 86. a) y = x x b huipun x-koordinaatti x = = = a huipun y-koordinaatti y = =
Leikkauspisteet x-akselilla x x = ( ) ( ) ( ) ± ± 6 6 x = = + 6 + 6 x = = Leikkauspiste y-akselilla y = = b) y y = x x b huipun x-koordinaatti x = = = a huipun y-koordinaatti Leikkauspisteet x-akselilla x x = x y = = ± ( ) ( ) ( ) ± x = = + x = = + Leikkauspiste y-akselilla y = =
y x c) y = x + x b huipun x-koordinaatti x = = = a ( ) huipun y-koordinaatti 8 y = ( ) + = Leikkauspisteet x-akselilla x + x = ± ( ) ( ) () ± x = = + x = = Leikkauspiste y-akselilla y = + = d) y = x +x y b huipun x-koordinaatti x = = = a huipun y-koordinaatti x y = ( ) + ( ) =
Leikkauspisteet x-akselilla x + x = xx ( + ) = x = x = Leikkauspiste y-akselilla y = + = y x e) y =,x,x b, huipun x-koordinaatti x = = = a (,) huipun y-koordinaatti y =, ( ), ( ) = 8 Leikkauspisteet x-akselilla,x, x(,x,) = x = Leikkauspiste y-akselilla y =,, = y f) y =,x +, x+ x b, huipun x-koordinaatti x = = =, a, huipun y-koordinaatti y =, (, ) +, (, ) + =,
Leikkauspisteet x-akselilla,x +, x+ = ±,,,,, ±, ei reaalijuuria Leikkauspiste y-akselilla y =, +, + = y x Vastaus: a) huippu (, ), leikkaa akselit pisteissä + 6 6,,, b) huippu (, ), leikkaa akselit pisteissä (, ) +, (, ) ja (, ) c) huippu, 8, leikkaa akselit pisteissä,,(, ) ja (, ) d) huippu (, ), leikkaa akselit pisteissä (, ) ja (, ) e) huippu,, leikkaa akselit pisteissä (, ) ja (, ) 8 f) huippu (,;,), ei leikkaa x-akselia, leikkaa y-akselin pisteessä (, ) ja (, ) 87. x y+ x = + 8 y = x x+ 8 b huipun x-koordinaatti x = = = a 8 huipun y-koordinaatti y = + = Huippupisteen etäisyys suorasta y = x 8 8 d = = + ( ) Vastaus:
88. y + x = bx + c y = x + bx + c Sijoitetaan pisteiden koordinaatit paraabelin yhtälöön + b + c = + b + c = 6 b+ c = 9 eli c = 9 b sijoitetaan alempaan b+ c = b+ 9 b= b = 7 c = 9 7 = 6 Paraabelin yhtälö y = x + 7x 6 b 7 huipun x-koordinaatti x = = = a ( ) huipun y-koordinaatti Vastaus:,6 y = ( ) + 7 6 = 6 89. Sijoitetaan pisteen (, ) koordinaatit paraabelien yhtälöihin + a + b= a b + 9= a+ b = 7 eli b = 7 a sijoitetaan alempaan a b = 6 a (7 a) = 6 a = b = 7 =
Paraabelien yhtälöt y = x + x+ y = x x+ 9 x x x x + + = + 9 x + x = 6 6± 6 ( ) ( ) () 6± 6 x = = 6+ x = = Toisen leikkauspisteen y-koordinaatti y = + 9 = Vastaus: a =, b = ja toinen leikkauspiste on (,). 9. y = x y = kx x = kx x kx+ = Yhtälöllä on vähintään yksi ratkaisu, jos diskriminantti D. ( k) k 8 Nollakohdat k 8= k =± Vastaus: k tai k 9. Sievennetään paraabelin yhtälöä x x = x = x+ : x = x+ Piirretään paraabeli y = x ja ja suora y = x +.
y y = x x y = x + x x = ± ( ) ( ) ( ) ± 7 7 x =, 8 + 7 x =, 78 Vastaus: Sievennetään paraabelin yhtälö muotoon y = x ja ja suora y = x +. Ratkaisut ± 7. x+ ja piirretään paraabeli 9. y = x + ax+ a y = x ax+ a x + ax+ a = x ax+ a x + ax+ a = : x + ax+ a = Jotta paraabelit sivuaisivat toisiaan, on niillä oltava tasan yksi yhteinen piste eli yhtälöllä x + ax+ a = tasan yksi juuri. Yhtälöllä on tasan yksi juuri, kun diskriminantti D =.
( ) a a = a a = aa ( ) = a = tai a = a = a = Paraabelien yhtälöt y = x ja y = x x+ Vastaus: a = tai a =. 9. x = y+ a x = a y y+ = a y a Leikkauspisteet ovat x-akselilla, kun y =. + = a a a a = a a a+ = ± a = 8 a = Paraabelien yhtälöt y+ y+ y = x y y = x + 8 Vastaus: a = ( ) ( ) ± a =
9. Sekantit y = kx ja Leikkauspisteet y = x y = kx x = kx x k xx ( k) = tai k y = y = k y = x k y = x y = x k x k x + k xx ( + ) = k tai k y = y = k OA ( k ) ( k ) k k = + = + k + OB = ( ) + ( ) = + = k k k k k Kolmion ala k + k + k = k ( )( ) k + k k + k k ( + k )( k + ) = k ( ) + k k + k k = = =
+ k + k = tai = k k k k+ = k + k+ = ± ± k = k = ( ) ( ) ± 6 ± 6 k = k = 6 6 8 8 k = = k = = 6 6 + 8 k = = k = + 8 = 6 6 Vastaus: Sekanttien yhtälöt ovat y = x ja y = x tai y = x ja y = x. 9. Leikkauspisteet y = x ax y eli y = x sijoitetaan ylempään x a x x ( a+ ) xx [ ( a+ )] = tai x ( a+ ) = a+ y = 9 y = ( a+ ) = a+ 6
Jänteen pituus d = ( a+ ) + [ ( a+ )] = ( a + ) = 6 a + = a + = a+ = tai a+ = a = a = Vastaus: a = tai a = YMPYRÄ 96. a) ( x ) + ( y ) = 8 Keskipiste (, ) ja säde 8 b) x + y y = x y y + = x y y + + = 9 x + ( y ) = Keskipiste (, ) ja säde + c) x y 8x y + + 7 = x x y y 8 + = 7 + 6+ x x y y 8 + 6+ + = ( x ) + ( y ) = Keskipiste (, ) ja säde
97. Ympyrän keskipiste on janan keskipiste + +, = (,) Ympyrän säde on janan keskipisteen etäisyys toisesta päätepisteestä r = ( ) + ( ) = Ympyrän yhtälö x + y = ( ) ( ) ( x + y = ( ) ( ) + = x y x y ) Vastaus: Yhtälö on x + y x y =. 98. Ympyrän keskipiste (a, ) Keskipisteen etäisyys kumpaankin kehäpisteeseen (, ) ja (6, ) on säteen suuruinen. [( ( )] ( ) ( 6) ( ) a + = a + + + + 6 = + 6 + 9 a a a a Keskipiste on (,) a = Säde on ( 6) + ( ) = Ympyrän yhtälö ( x ) + y = x + y x = Vastaus: Yhtälö on x + y x =. 99. x + x+ y = + x + x+ + y = ( x+ ) + y = Keskipiste on (,) ja säde = Pisteen (,) etäisyys ympyrästä Vastaus:,, r =, d = d = [ ( )] + ( ) =
. x + y + 6x 8y = x x y y x x y y + 6 + 8 = + 9+ 6 + 6 + 9+ 8 + 6= 6 ( x+ ) + ( y ) = 6 Keskipiste on (,) ja säde 6. Origon etäisyys ympyrän keskipisteestä d = ( ) + ( ) = Koska origon etäisyys ympyrän keskipisteestä on pienempi kuin säde, on origo ympyrän sisäpuolella ja origon lyhin etäisyys ympyrän kehältä on 6 = Vastaus: Keskipiste on (, ) ja säde 6. Origon lyhin etäisyys ympyrästä on.. x + y x = x x+ y = x x+ + y = ( x ) + y = + Keskipiste on (,) ja säde. Suoran x + y = ja ympyrän lyhin etäisyys saadaan laskemalla ympyrän keskipisteen etäisyys suorasta ja vähentämällä tästä säteen pituus. d = = + ( )
Kehän pisteistä se, jolla on lyhin etäisyys suorasta, saadaan määrittämällä suoralle normaali, joka kulkee ympyrän keskipisteen kautta ja laskemalla normaalin ja ympyrän leikkauspisteet. Suoran kulmakerroin x + y = y = x+ Suoran kulmakerroin on ja normaalin kulmakerroin on. Ympyrän keskipisteen kautta kulkevan normaalin yhtälö y = ( x ) y = x Normaalin ja ympyrän leikkauspisteet x + y x = y = x sijoitetaan ylempää n x + ( x ) x = 6 x x+ x = 9 9 9 9 x x = ( ) ( ) ( ) ± ± 6 6 x = = + 6 x = =
Kysytty piste y = = Vastaus:,, d =
. Ympyrän keskipiste on janan keskipiste +, =, Ympyrän säde on janan keskipisteen etäisyys toisesta päätepisteestä r = ( ) + ( ( )) = Ympyrän yhtälö x + ( y+ ) = 9 x x+ + y + y+ = x + y x+ y = Suoran x + y = 9 etäisyys ympyrän keskipisteestä ) + ( ) 9 6 6 d = = = = + Koska suoran x + y = 9 etäisyys ympyrän keskipisteestä on säteen suuruinen, suora sivuaa ympyrää. Vastaus: Yhtälö on x + y x+ y =.
. x + y x+ 6y = x = y sijoitetaan ylempään ( y ) + y ( y ) + 6y = y + y+ + y + y+ + y = 6 8 6 8 6 Vastaus: (, ) ja (, ) y + y = 76 8 76 76 ( 8) ± y = 76 ± 7 6 y = 8 76 8 y = = 8 76 + 8 y = = 8 () = x = =. x + y + y = x + y y = y + = vähennetään yhtälöt puolittain y = sijoitetaan ylmepään yhtälöön x + = 7 Vastaus: Leikkauspisteet ovat 7 7 ± =± 7, ja 7,.
. x + y = Keskipiste on (,) ja säde. Sivuamispisteisiin (, ) ja (, ) piirrettyjen säteiden kulmakertoimet k = ja k = Sivuamispisteisiin (, ) ja (, ) piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet t = k ja k t = Tangenttien yhtälöt y = ( x ) y = x+ ja y+ = ( x ) y = x Koska sivuamispisteisiin piirretyt säteet ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ( k k = ( ) = ) ja samoin tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ( kt k ( ) t = = ) ja samaan pisteeseen piirretty säde ja tangentti ovat kohtisuorassa, muodostuu kuvioon neliö. Kysytty ala saadaan vähentämällä ympyrän sektorin alasta neliön ala.
Neliön sivuna on säde ja sektorin keskuskulma on 9. 9 π A= Aneliö Asektori = ( ) π ( ) =,79 6 Vastaus: Sivuajat ovat y = x+ π ja y = x. Ala on,79. 6. x + y = Keskipiste on (,) ja säde. Sivuamispisteeseen (, ) piirretyn säteen kulmakerroin k =, joten tangentin kulmakerroin. Tangentin yhtälö y+ = ( x ) y = x Kaikki pisteet, joiden etäisyys origosta on, ovat ympyrän x + y = 9 kehällä. Tangentin ja ympyrän x + y = 9 leikkauspisteet y = x sijoitetaan alempaan x + y = 9 x + (x ) = 9 6 x x+ = ( ) ( ) 6 ± ± 8 x = = x + + = = y = = = y + + + = = = Vastaus: Piste P on, + + tai,.
7. x + y = 9 Keskipiste on (, ) ja säde. Pisteen (, ) kautta kulkevan suoran yhtälö y = k( x ) y = kx kx y + = Tangentin etäisyys ympyrän keskipisteestä on säteen suuruinen k + = k + = k + k k k + = + = + = k 9 = ± Vastaus: y = x+ tai y = x+
8. x + y + x y = + + = + + x x y y + + + + = 8 x x y y ( ) ( ) 8 x+ + y = Keskipiste on (,) ja säde 8. Pisteen (, ) kautta kulkevan suoran yhtälö y ( ) = k( x ) y+ = kx kx y = Tangentin etäisyys ympyrän keskipisteestä on säteen suuruinen k ( ) = 8 k + ( ) k = 8 k + 8 k + = k 8 8 k + = k 8 8 k + = k 8 8 6 9 k + = k + k + 7 6 k k = ( 6) ( 6) 7 ( ) ± k = 7 6± 6 k = 6 8 k = = 7 6+ 8 k = = Tangenttien yhtälöt y = kx = x ja y = kx = x 7 Vastaus: Yhtälöt ovat y = x ja y = x. 7
9. x + y + x y = + + = + + x x y y + + + + = 8 x x y y ( ) ( ) 8 x+ + y = Keskipiste on (,) ja säde 8. Tangentin kulmakerroin k = tan = Tangentin yhtälö y = x+ b x y+ b= Tangentin etäisyys ympyrän keskipisteestä on säteen suuruinen ( ) + b = 8 + ( ) + b = 8 8 = + b 6 = + b = + b + b= tai + b = b = 7 b = Tangenttien yhtälöt y = x+ b = x+ 7 ja y = x Vastaus: Yhtälöt ovat y = x ja y = x + 7.. x + y = Keskipiste on (,) ja säde.
Kaaren piste A x = x + y = + y = y =± Piste A(,) Piste B y = x x + y = x + ( x ) = x x = ± ( ) ( ) ( ) ± 6 6 x = = + 6 x = = y = = y = = Piste B(, ) Säteen OA suuntaisen suoran kulmakerroin on. Säteen OB suuntaisen suoran kulmakerroin on. Säteiden välinen kulma + + kk cosα = = = = ( k + )( k + ) ( + )(( ) + ) α = 6,86... Kaaren AB pituus α 6,86... b = πr = π, 6 6 Vastaus: Lyhyimmän kaaren pituus on,.
HARJOITUSKOE. Koska suorat eivät leikkaa, ovat ne yhdensuuntaiset ja kulmakertoimet ovat silloin yhtä suuret. Lasketaan kulmakerroin: y x+ = y = x : y = x Siis k = Pisteen (, ) kautta kulkevan suoran yhtälö: y = ( x ) y = x + Vastaus: y = x+. Kehystetään kolmio suorakulmiolla, jonka kärkipisteet ovat (, ), (, ), (, ) ja (, ). Vähennetään suorakulmion alasta kolmen suorakulmaisen kolmion alat. 6 A = 6 + + =. Kulma ABC saadaan myös suorakulmaisten kolmioiden avulla. tan α =, josta α =,96... ja tan β =, josta β = 78,69... ja ABC = 8 α β = 8 78, 69..., 96... 7 Vastaus: ja ABC = 7. Lähin piste on origon kautta kulkevan normaalin ja suoran leikkauspiste. Suoran kulmakerroin on, joten normaalin kulmakerroin on. Origon kautta kulkevan normaalin yhtälö on y = x. Suoran ja normaalin leikkauspiste saadaan x+ y = yhtälöparista, josta sijoittamalla saadaan x+ ja edelleen y = x 6 ja y = =. 6 Vastaus: Piste, 6
. x = + x x = x x = x tai x = x + tai x = 6 6 (<) tai x= ( > ) molemmat puolet, joten x eli x Vastaus:. vokaalit a, e ja i a+ e+ i = a+ i = eli i = a sijoitetaan muihin a+ e+ i = a+ e+ a = a+ e+ ( a) = a+ e= eli e= a sijoitetaan alempaan a + e = a+ ( a ) = a = e = = i = = sanan matematiikka vokaalit maksavat + + = Vastaus: 6. Piste on leikkauspiste, jos se toteuttaa kummankin yhtälön. Sijoitetaan koordinaatit (, ) yhtälöihin: k + = eli yhtälö toteutuu ( ) + = eli yhtälö toteutuu.
Ratkaistaan yhtälöpari y = k( x ) + sijoitetaan alempaan x + y = ( ) ( ) x k x k x + + + = ( k ) x ( k k ) x ( k k ) + + + = ( k k ) ( k k ) ( k ) ( k k ) ( + k ) ± + Juuret ovat rationaalilukuja, jos k on rationaaliluku ja jos neliöjuurilausekkeesta tulee rationaaliluku. Sievennetään juurrettava D: ( ) 6 ( )( ) k 6k 6k ( 6k 6k 6 6k 6k 6k ) D = k k + k k k = + + = k 6k + 6k 6k + 6k+ 6 6k + 6k + 6k = + + k 6k 6 ( k ) = + eli neliöjuuren arvo on ( ) rationaalilukuja. Jos k =, saadaan ( ) ( ) ( + ) ± + k + = k +, joka on rationaaliluku. Siis koordinaatit ovat ± 8 x = x = Lasketaan kysytyn toisen leikkauspisteen y -koordinaatti sijoittamalla x -koordinaatti suoran yhtälöön: y = = Vastaus: Toinen leikkauspiste, 7. Lasketaan arvoja a = ja a = vastaavien paraabelien leikkauspisteet ja osoitetaan, että kaikki muutkin paraabeliparven paraabelit kulkevat leikkauspisteen kautta.
y + ( + ) y+ + y + ( + ) y + ( ) + = + + x y y = + x y y sijoitetaan ylempään + = y + y+ y = Leikkauspisteen x-koordinaatti ( ) + = Sijoitetaan ja y = yhtälöön y + (a +)y + a + = ( ) + ( a+ ) ( ) + a+ = a + a+ = identtisesti tosi Koska yhtälö toteutuu a:n arvosta riippumatta, kun ja y =, kulkevat kaikki yhtälön y + (a +)y + a + esittämät paraabelit pisteen (, ) kautta. 8. Muutetaan neliöön täydentämällä ympyrän yhtälö keskipiste muotoon ( ) x x + ( y y ) = r. + + + = x y x ay a a x x+ + y ay+ ( a) = a a+ + ( a) x + y a = a a+ ( ) ( ) Yhtälö esittää ympyrää, jos Ratkaistaan epäyhtälö Nollakohdat Merkkikaavio r a a = + > a a+ > + = a a a = ( ) () ± 8 a = + a = = a ± = = +
b) Ympyrän pinta-ala a a+ > < a < + A = π r on suurin, kun säteen neliö r on mahdollisimman suuri. Haetaan säteen neliön r = a a+suurin arvo, kun < a < +. Merkitään r = f( a) = a a+ Funktion f (a) kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Se saavuttaa suurimman arvonsa huipussa. Paraabelin huippu a = ( ) = Koska huippu kuuluu välille < a < +, niin säteen neliö on suurimmillaan tässä kohdassa. Suurin mahdollinen pinta-ala A= π r r = f( ) = ( ) ( ) + = A = π = π Vastaus: a) Yhtälö esittää ympyrää, kun < a < +. b) Ympyrän suurin ala on π. HARJOITUSKOE. a) x + < x + > x+ > tai x+ < x > x< x > x<
b) x + = x x + = x = ehto eli x x x x = tai = + x x x x = + = x x x x ± xx ( ) = x= ( ) ± 9 (ei käy) tai x = = ei käy + x = = Vastaus: a) x < tai x > b). Janan keskipiste, = (, ) Janan suuntaisen suoran kulmakerroin y y k = ( x, y) = (,), ( x, y) = (, ) x x ( ) 6 k = = = ( ) Joten keskinormaalin kulmakerroin on. Keskinormaalin yhtälö y y = k ( x x) k =,( x, ) (, ) y = y ( ) = ( ) 8 y = x 8 Vastaus: y = x ( x )
. ax + y = 6a + x y = eli y = x sijoitetaan ylempään ax + x = 6a + (a+ ) 6a+ : (a+ ),ehto a 6a + a + y = x = Ratkaistaan yhtälöpari erikseen, kun a =. ( ) x + y = 6( ) + x y = x+ y = x y = y = x y = x Kun a =, yhtälöparin yhtälöt ovat identtisesti samat, joten yhtälöparin ratkaisu on silloin y = x, x Vastaus:, kun a ; x, kun a =. x + y 8x+ = x 8x+ y = + 6 x 8x+ 6+ y = ( x ) + y = Keskipiste on (, ) ja säde.
Pisteen (, ) kautta kulkevan suoran yhtälö y = k( x ) y = kx k kx y k + = Tangentin etäisyys ympyrän keskipisteestä on säteen suuruinen k k+ = k + ( ) k + = k + k + = k+ k + = k+ k + = k+ k + = k + k = k+ 9
Tangenttien yhtälöt kx y k + = x y ( ) + = y = x+ 6 Ympyrän ulkopuolisesta pisteestä voidaan aina piirtää kaksi tangenttia, koska yhtälöstä saatiin vain yksi k:n arvo, on toinen tangentti sellainen suora, jolla ei ole kulmakerrointa eli y-akselin suuntainen suora. Vastaus: Yhtälöt ovat y = x+ tai 6. Paraabelin yhtälö y = ax + bx+c. Asetetaan kiven lähtöpiste origoon, tällöin paraabeli kulkee pisteiden (, ), (8;,) ja (7, ) kautta. = a + b + c, = a 8 + b 8 + c = a 7 + b 7 + c c = a+ 8b+ c =, 8a+ 7b+ c = a+ 8b =, 8a+ 7b = eli b = 7 a sijoitetaan ylempään a+ 8 (7 a) =, a = 6 7 b = 7 ( ) = 6 Paraabelin yhtälö on y = x + 7 x. 6 Paraabelin huippu 7 b x = = = 6 a ( ) 6 7 y = 6 + 6, 6 Vastaus:, m
6. x + y + ax ay+ a+ = x + ax + y ay = a + a + a + + + + = x ax a y ay a a a ( ) ( ) x+ a + y a = a a Yhtälö esittää ympyrää, kun r = a a > a a > Nollakohdat a a = ± a = () () () ± 9 a = 7 a = = + 7 a = = Vastaus: a < tai a > 7. y = x x+ Polynomi x + vaihtaa merkkinsä, kun x [ ( x+ )],kun x< x+, kun x< y = = x ( x+ ), kun x, kun x Yhtälön x x+ = x ratkaisut ovat kuvaajien y = x x+ ja leikkauspisteiden x-koordinaatit. Piirretään kuvaajat. Leikkauspisteet y = x+ y = x x+ x + x+ = ± ± = y = () + = y = x
y = y = x x x = = ± Vastaus: tai 8. Kulman puolittajalla olevan pisteen (x, y) etäisyys kumpaankin suoraan on yhtä suuri. x+ y x y = + + ( ) x+ y x y = 6 x+ y = x y x + y = x y tai x+ y = x+ y 8x+ y = : x+ 8y = : x+ 6y = 6x+ y = Vastaus: Puolittajasuorien yhtälöt ovat x +6y = ja 6x + y =. HARJOITUSKOE. a) kulkee pisteiden (, ) ja (, 7) kautta. 7 k = = Suoran yhtälö y = ( x ) y = x b) kulkee pisteen (, ) kautta ja on a) kohtisuorassa suoraa x+ y = vastaan. x+ y = y = x+ Normaalin kulmakerroin on Normaalin yhtälö y = ( x ) y = x+
Vastaus: a) y = x b) y = x+. x y+ z = eli y z+ sijoitetaan muihin x y z = x y + z = 6 ( y z+ ) y z = y z + y + z = 6 y z = 8 eli y = z 8 sijoitetaan alempaan y + z = (z 8) + z = z = y = 8= + = Vastaus:, y =, z =. + 6 = x y x y + 6 = + + 9 x x y y + + 6 + 9= x x y y ( ) ( ) x + y = Keskipiste on (,) ja säde. Pisteen (, ) etäisyys ympyrän keskipisteestä d = ( ) + ( ) = 7 >, joten piste ei ole sisäpuolella. Vastaus: Ei ole.. x+ y y+ = = + x y Huippu b y = = a ( ) = x = + = y Suorien leikkauspiste x+ y = eli y = x sijoitetaan alempaan x+ y =
x+ ( x) = y = = Pisteiden (, ) ja (,) etäisyys ( ) + ( ) = Vastaus: Etäisyys on.. a) + = Ehto x eli x x x x x x x x x x + = tai + = + x x x x + = = ( ) ± ( ) x( x ) = ± 9 (ei käy) tai x = = ei käy + x = = Ratkaisut ovat tai b) x+ x+ x+ (x+ ) tai x+ x+ x x x, kun x < Kuvasta nähdään, että funktion x + = x+,kun x x + yläpuolella, kun x tai x kuvaaja kulkee suoran y = Vastaus: a) tai b) x tai x 6. y = x 7 kulmakerroin 6x y 6 = eli y = x + kulmakerroin Suorat ovat yhdensuuntaiset, koska kulmakertoimet ovat yhtä suuret. Valitaan suoralta y = x 7 yksi piste ja y = 7 = Lasketaan pisteen (,) etäisyys suorasta 6x y 6 =
) 6 6 d = = = = = = 6 + ( ) Vastaus: 7. Lasketaan arvoja a = ja a = vastaavien suorien leikkauspisteet ja osoitetaan, että kaikki muutkin suoraparven suorat kulkevat leikkauspisteen kautta. y = x 6 y = x 6 y = sijoitetaan alempaan y = x 7 x 7 = y = 7= Sijoitetaan ja y = yhtälöön y = ax 6a = a 6a = 6a 6a = identtisesti tosi Koska yhtälö toteutuu a:n arvosta riippumatta, kun ja y =, kulkevat kaikki yhtälön y = ax 6a esittämät suorat pisteen (, ) kautta. 8. x + y = Keskipiste on (,) ja säde.
Pisteen (,) kautta kulkevan suoran yhtälö y = k( x ) y = kx k kx y k + = Tangentin etäisyys ympyrän keskipisteestä on säteen suuruinen k k+ = k + ( ) k + = k + k k k + = k+ + = k+ k + = k+ k + = k k+ 6 9 + 6k 7 = 6± 6 ( 7) k = 6± 6 k = 6 8 k = = 7 6+ 8 k = =
Tangenttien yhtälöt kx y k + = x y + = y = x+ ja kx y k + = 7 x y ( 7) + = y = 7x+ Vastaus: Yhtälöt ovat y = x + ja y = 7x +