Tehtävien ratkaisut. 77 cm Ratkaisu. Toisen kierron jälkeen syntyvä neliö on
|
|
- Pekka Salonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Solmu /00 Tehtävien ratkaisut Ratkaisu Toisen kierron jälkeen syntyvä neliö on peilikuva alkuperäisestä neliöstä pisteen P suhteen Jos P ei ole alkuperäisen neliön sisällä, niin peilikuvalla alkuperäisellä neliöllä ei ole yhteistä pistettä Tällöin kolmen neliön yhteisen pinta-alan täytyy olla suurempi kuin 44 cm = 88 cm Oletetaan, että neliön sisällä on sellainen piste P, jonka ympäri neliötä 90 kiertämällä saadaan kokonaispintaalaksi cm Yhden neliön pinta-ala on 44 cm päällekkäisten osien pinta-ala on 44 cm cm = 77 cm Vähentämällä yhteisen pinta-alan neliöstä saamme 44 cm 77 cm = 67 cm 77 cm Kuva Ensimmäinen kierto siis lisäsi pinta-alaa 67 cm (tummennettu alue kuvassa ) Toista neliötä kierretään nyt 90 pisteen P ympäri Ensimmäisen neliön kierretty kuva on toinen neliö toisen neliön kierretty kuva on kolmas neliö Kokonaispinta-ala voi kasvaa kussakin kierrossa enintään saman verran kuin edellisellä kerralla, eli pinta-ala ei voi olla suurempi kuin cm + 67 cm = 78 cm, joka on vähemmän kuin annettu 87 cm Siten pistettä P ei ole olemassa Ratkaisu Ensimmäiseksi osoitamme, että minkä tahansa nelikulmion sivujen neliöiden summa on enintään neljä kertaa sen pinta-ala Kuvan merkintöjä käyttäen nelikulmion pinta-ala on b γ a A AD = A AD ± A D α A c A AD + A D = a d sin α + b c sin γ ad + bc d D Kuva a b A α γ Aritmeettisen geometrisen keskiarvon välisestä epäyhtälöstä saamme ad a + d c d D
2 Solmu /00 siten kuten yllä on väitetty bc b + c, 4A AD a + b + c + d, Jos vastaava epäyhtälö muodostetaan jokaiselle monitahokkaan sivulle epäyhtälöt summataan, niin vasen puoli on 4A oikea puoli Q Niinpä 4A Q siten A Q Ratkaisu Koska q > f(0), niin f(0) = 0 Kaikilla muilla n:n arvoilla f:n arvo on positiivinen kokonaisluku, sillä muuten ehdosta f(n) = 0 < n seuraa, että Β Ο Α Kuva siten > f(n) qn = qn q n < q <, Ympyrän neljänneksen, jonka säde on 0 cm keskipiste O, peittävät puoliympyrät, joiden halkaisijoina ovat x- y-akselit (Kuva ) mikä on mahdotonta On helppo tarkistaa, että q(q ) = = Siten mille tahansa luonnolliselle luvulle n on f(f(n)) f(n) n = f(f(n)) qf(n) + (q )f(n) q(q )n = f(f(n)) qf(n) + (q )(f(n) qn) Koska kaikille reaaliluvuille pätee a + b a + b, voi edellinen itseisarvo olla korkeintaan f(f(n)) qf(n) + (q )(f(n) qn) = f(f(n)) qf(n) + (q ) (f(n) qn), joka on vähemmän kuin q + (q ) q = annetun ehdon mukaan Siten f(f(n)) f(n) n <, mikä on mahdollista vain, jos f(f(n)) f(n) n = 0, koska f(f(n)), f(n) n ovat kokonaisluku 4 Ratkaisu Oletetaan, että sieni on siis puoliympyrän muotoinen levy, jonka halkaisi on A Jos A liikkuu pitkin x-akselia liikkuu pitkin y-akselia, niin puoliympyrän toisen puolen kehä liikkuu pisteen O kautta Siten mikään pyyhityn alueen piste ei ole 0 senttimetriä kauempana pisteestä O Kuva 4 Jos P on kahden kaaren väliin jäävä piste OP leikkaa laajemman kaaren pisteessä R, niin pisteet R R ovat pisteen R projektiot x- y-akseleilla Tällöin OR RR on nelikulmio, jonka lävistäjät ovat RO = R R = 0 cm Jos piste on nelikulmion keskipiste, niin O = 0 cm, siitsee pienemmällä ympyrän neljänneksen kaarella P siitsee nalla R Piste P siitsee siis kolmion R RR raaman alueen sisällä Kolmio R RR on kokonaan puoliympyrän, jonka halkaisi on R R kehäpiste R, sisällä Siten pesusieni pyyhkii pisteen P
3 Solmu /00 R P R kuvaa Pisteviiva esittää suoraa, jonka yhtälöä etsitään Huomaa, että jos x:n tilalle sijoitetaan x +, mikä aiheuttaa kuvaan siirtymisen suhteessa akseliin, niin syntyvä neljännen asteen polynomi f (x) = f(x + ) ei sisällä kolmannen asteen termiä: f (x) = (x + )4 4(x + ) O R Saamme f :n muotoon = x 4 x 8 9 x 9 f (x) = (x ) 8 9 x 4 9 Suora, joka koskettaa kuvaaa Kuva 5 Edellä olevasta seuraa, että pesusienen pyyhkimä alue muodostaa neljännesympyrän, jonka halkaisi on 0 cm säteen keskipistäänä O, joten pyyhitty alue on 4 0 π = 00π cm 5 Ratkaisu Kuvasta 6 nähdään funktion f(x) = x 4 4x y = (x ) kuvassa 7, on selvästi x-akseli, siten y = 8 9 x 4 9 sivuaa käyrää f (x) kahdessa pisteessä Kysytty suora saadaan suorittamalla käänteinen sijoitus Jos x sijoitetaan x:n paikalle, suoran yhtälöksi saadaan y = 8 9 (x ) 4 9 = 8 9 x 4 7 y = x 4 4x? Kuva 6 Tätä sijoitusta, josta käytetään nimeä Tschirnhausin sijoitus, käytetään myös yleisen neljännen asteen yhtälön ratkaisemisessa Se eliminoi kolmannen asteen termin
4 Solmu /00 4 y = (x ) Kuva 7 5 Ratkaisu Suora y = ax + b sivuaa funktion y = x 4 4x kuvaaa korkeintaan kahdessa pisteessä jos vain jos polynomi p(x) = x 4 4x ax b sivuaa x-akselia kahdessa pisteessä eli sillä on kaksi juurta Kuvaan aste on neljä siten jokainen juuri on kaksoisjuuri, muita juuria ei ole Jos juuret ovat x x, niin p(x) voidaan kaa tekijöihinsä: () p(x) = (x x ) (x x ) Kertomalla oikea puoli auki saadaan x 4 4x ax b = x 4 6(x + x )x + (x + 4x x + x )x 6x x (x + x )x + x x Koska vastaavien kertoimien pitää olla yhtä suuria, () x + x =, () x + 4x x + x = 0, (4) 6x x (x + x ) = a, (5) x x = b Yhtälöstä () saadaan (x + x ) = x x edelleen yhdistämällä tämä yhtälön () kanssa saadaan x x = 9 Tämän jälkeen yhtälöstä (4) seuraa a = edelleen yhtälöstä (5) b = 7 Edellisestä seuraa, että suoran yhtälö voi olla vain y = 8 9 x 4 7 Tämä suora on kysytty ratkaisu, koska yhtälöiden () () juuret ovat reaaliluku (x = x = + ) yllä olevat vaiheet voidaan suorittaa käänteisesti yhtälön () tekijät ovat reaalilukukertoimisia polynome 5 Ratkaisu Olkoon a mielivaltainen reaaliluku Yhtälö suoralle, joka sivuaa annettua käyrää pisteessä (a, f(a)), on y = f (a)(x a) + f(a) Jos b a, niin tämä on yhtenevä käyrän tangentille pisteessä (b, f(b)) jos vain jos (6) f (a) = f(b) (7) f(a) a f (a) = f(b) b f (b) Yhtälöstä (6) saadaan kamalla polynomilla a b 0, että (8) a + ab + b a b = 0, yhtälöstä (7) samalla tavoin, että (9) 9(a + b)(a + b ) 8(a + ab + b ) = 0 Kohdasta (8) seuraa a + ab + b = a + b
5 Solmu /00 sijoittamalla yhtälöön (9) saamme (0) a + b = 8 9 Sijoittamalla tämä yhtälöön (8) saamme () a + b ab = 8 9 Koska yhtälöt (0) () johtavat neljännen asteen yhtälöön, esitellään uudet muuttut u = a + b v = ab Saamme u v = 8 9, u v = 8 9 Sijoittamalla v = u 8 9 saamme u u = 0 Tämän juuret ovat u = u = 4 Vastaavat arvot v:lle ovat v = 9 v = 4 9 Nyt a:n b:n arvot ovat yhtälöiden t u t + v = 0 t u t + v = 0 ratkaisu Ensimmäisessä tapauksessa a = b = + toisessa tapauksessa juuret ovat yhtäsuuret, a = b = Koska määritelmän mukaan a b, toinen tapaus ei ole ratkaisu Jos a =, niin f (a) = 8 9 f(a) a f (a) = 4 7, siten tangentin yhtälö pisteessä (a, f(a)) on y = 8 9 x 4 7 Koska kaikki vaiheet ovat käänteisiä, saadaan sama yhtälö tangentille pisteessä (b, f(b)) Huomautuksia Ratkaisun ehdosta (8), f (a) f (b) a b = 0, saadaan ellipsi, jos a b esittävät koordinaattiakseleita (Kuva 8) Tämä ellipsi koostuu pisteistä P (a, b), joille käyrän y = 4x x tangentit pisteissä (a, f(a)) (b, f(b)) ovat yhdensuuntaisia Ellipsin akselit ovat yhdensuuntaisia koordinaattiakseleiden kulmien lävistäjille, ellipsin keskipiste on (, ) Lyhyemmän lävistäjän päätepisteet ovat O I(, ) E ( +, ) E (, + ) ovat kaksinkertaisen tangentin sivuamispisteitä Tämä suhde tulee selväksi, jos attelee neljännen asteen yhtälön kuvaan symmetrisyyttä pisteen x = suhteen Tämä on symmetriakeskuksen abskissa kolmannen asteen derivaattafunktion kuvaalle, joka esittää tangenttien kulmakerrointa Jos kaksoistangentin yhtälö vähennetään neljännen asteen polynomista, saadaan neljännen asteen käyrä, joka on symmetrinen suoran x = suhteen (Tämä on syynä sijoitukseen ratkaisussa ) Siten tangettipisteiden abskissat ovat symmetrisiä pisteen x = suhteen Tämä piste siitsee kuvassa 8 suoralla a + b =, joka on ellipsin pääakseli On helppo tarkistaa, että kaikilla neljännen asteen käyrillä, joilla on kaksinkertainen tangentti, on tämä ominaisuus, eli f (a) f (b) = 0 a b esittää ellipsiä täsmälleen tässä tapauksessa Kaikki tällä tavoin saadut ellipsit ovat samanlaisia, niiden eksentrisyys on ne kaikki saadaan kuten kuvassa 8 on esitetty Pikkuakseleiden päätepisteet esittävät vastaavan neljännen asteen käyrän käännepisteitä pääakseleiden päätepisteet esittävät kaksoistangenttien kosketuspisteitä E b I 6 Ratkaisu Jos muurahainen on käyrän pisteessä P (a, b), niin yhtälöillä x + bx + b 6 = 0 y + ay + a 6 = 0 O Kuva 8 E a on reaalilukujuuret a b Siten diskriminantit D b = 4 b D a = 4 a ovat ei-negatiivisia Jos kumpi tahansa niistä on nolla, esimerkiksi D a = 0 eli a = (siten b = a ), niin muurahainen ei voi tkaa kävelyään y-akselin suuntaisesti Näin käy
6 Solmu /00 pisteissä Y (, ) Y (, ) Samoin, kun D b = 0, eli muurahainen on pisteissä X (, ) tai X (, ), se ei voi tkaa kävelyään x-akselin suuntaisesti Tämä on helposti nähtävissä, jos huomaa, että käyrä x + y + xy = 6 on ellipsi (Kuva 9) pisteet X i, Y i ovat pisteitä, joissa koordinaattiakseleiden suuntaiset tangentit sivuavat käyrää Y X y Kuva 9 45 o X x Y Jos muurahainen on pisteessä P (a, b), joka ei ole mikään neljästä yllä mainitusta pisteestä, niin muurahainen voi kävellä kumpaan tahansa suuntaan Jos P ei ole lähtöpiste, niin muurahainen voi kävellä vain yhteen suuntaan, koska toinen suunta on tulosuunta Jos muurahainen kävelee esimerkiksi x-akselin suuntaisesti saapuu käyrän pisteeseen Q(c, b), niin yllä olevan päättelyn mukaisesti c a, luvut a c ovat kaksi yhtälön x + bx + b 6 = 0 Vastaavasti, jos muurahainen kävelee y-akselin suuntaisesti saapuu pisteeseen R(a, d) pisteestä P, niin d + b = a (Kuva 0) Edellä olevasta seuraa, että kaikki muurahaisen kulkemat segmentit ovat sellaisia, että niiden päätepisteiden koordinaateista käyrällä kaksi neljästä ovat samo Näiden koordinaattien jäljelle jäävien summa on nolla: a + b + c = 0 a + b + d = 0 Jos muurahainen esimerkiksi aloittaa kävelyn pisteestä P 0 (a, b) x-akselin suuntaisesti, sen polku kulkee seuraavien käyrän pisteiden kautta: P 0 (a, b) P ( a b, b) P ( a b, a) P (b, a) P 4 (b, a b) P 5 (a, a b) P 6 (a; b) Jos muurahainen ei saavu mihinkään pisteistä X i, Y i, niin sen kävely päättyy kuudennen segmentin loppuun Jos muurahainen saapuu joihinkin pisteisiin X i, Y i, niin sen kävely loppuu jo aiemmin Huomautuksia Helposti havaitaan, että muurahainen voi saapua pisteeseen X i, jos se kävelee y-akselin suuntaisesti: pisteeseen X pisteestä (, ) pisteeseen X pisteestä (, ) Nämä ovat samo pisteitä, joista muurahainen voi tavoittaa pisteet Y Y Yhteenvetona voidaan todeta, että jos lähtöpiste on muu kuin X i, Y i, i, niin muurahaisen kävely päättyy kuuden osuuden jälkeen, jos lähtöpiste on i, niin kävely päättyy yhden osuuden jälkeen, jos lähtöpiste on X i tai Y i, niin kävely päättyy kahden osuuden jälkeen Käytettäessä merkintää c = a b muurahaisen polku kulkee (erikoistapauksia lukuunottamatta) pisteiden (a, b), (c, b), (c, a), (b, a), (b, c), (a, c), (a, b) kautta Pisteiden koordinaatit ovat kaikki a, b tai c a + b + c = 0 (Kuva ) Polku, kuten myös kuvaa, on symmetrinen suoran y = x suhteen reaalijuurta Siten a + c = b y a+b+c=0 (c;b) y P(a;b) Q(c;b) P(a;b) (c;a) (b;a) x x R(a;d) (a;d) (b;c) Kuva 0 Kuva
7 Solmu /00 Edellä olevilla lukukolmikoilla on mielenkiintoinen suhde tehtävän 5 mahdolliseen ratkaisuun Jos alkuperäinen polynomi on kolmannen asteen polynomi f(x) = x 6x, niin tämän tehtävän ellipsin yhtälö on f(x) f(y) x y = 0, ellipsin pisteiden koordinaatit ovat lukupare (a, b), joille f(a) = f(b) Jokainen f:n arvo, paitsi paikallinen ääriarvo, saavutetaan kolmessa pisteessä muurahaisen kulkema polku vastaa tällaista kolmikkoa Tällä esitystavalla ongelman ratkaisu on ilmeinen 6 Ratkaisu Kierretään käyrän kuvaaa muurahaisen polkua 45 Tällöin käyrän yhtälö on (Kuva ) x + y 4 = 0 Kuva Muurahaisen paikka käyrällä kahden segmentin jälkeen lähtöpisteestä saadaan 0 kulmana lähtöpisteeseen nähden Kulman suunta riippuu muurahaisen kävelysuunnasta Koska suunta säilyy samana koko muurahaisen matkan an, muurahainen välttämättä palaa lähtöpisteeseen kuuden segmentin jälkeen kävely päättyy Näin käy kaikissa muissa lähtöpisteissä, paitsi kuudessa erikoispisteessä Neljä näistä pisteistä on sellaisia, joissa tangentit muodostavat 60 kulman x-akselin kanssa Jos muurahainen saapuu näihin pisteisiin, sen täytyy pysähtyä Kaksi muuta pistettä ovat pystysuoran halkaisin päätepisteet, joista muurahainen päätyy tangenttipisteisiin (Kuva 4) P Kuva Kierretty muurahaisen kulkema polku koostuu osista, jotka ovat 45 kulmassa koordinaattiakseleihin nähden Ellipsin eksentrisyys on b a = Siten ortogonaalisen akseleiden yhtäläisyyden tekijällä skaalaamisen jälkeen ellipsistä saadaan origokeskinen ympyrä, jossa muurahaisen polut muodostavat kulmat x-akseliin nähden (Kuva ) Kuva 4 Lähde: KöMaL, Volume, Number, December 00, Käännös, ladonta kuvat: Jani Leinonen
Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Lisätiedot= = = 1 3.
9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotHarjoitustehtävät, syyskuu Helpommat
Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
LisätiedotKansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun
Lisätiedota b c d
1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat
Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
LisätiedotLukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Lisätiedot0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
LisätiedotParaabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotYmpyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
Lisätiedotjoissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotKansainväliset matematiikkaolympialaiset 2012
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 01 Tehtävien ratkaisuja 1. Olkoot kolmion kulmat α, β ja γ ja olkoon ω ympyrä, jonka halkaisija on AJ. Koska kulmat JKA ja JLA ovat suoria, niin K ja L ovat tällä
Lisätiedot52. Kansainväliset matematiikkaolympialaiset
52. Kansainväliset matematiikkaolympialaiset Tehtävien ratkaisuja Tehtävä 1.Olkoon A = {a 1,a 2,a 3,a 4 } joukko, jonka alkioina on neljä eri suurta positiivista kokonaislukua. Joukon alkioiden summaa
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
LisätiedotEllipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa
Ellipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa Matti Lehtinen 1 Ellipsi, hyperbeli ja paraabeli suorassa Opimme lukion analyyttisen geometrian kurssilla ainakin, jos kävimme lukiota vielä muutama vuosi sitten
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedotx 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
Lisätiedot{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
Lisätiedotx = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotHyvä uusi opiskelija!
Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää
LisätiedotLieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
LisätiedotMAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste
MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.
Lisätiedot4.3 Kehäkulma. Keskuskulma
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotKenguru 2017 Student lukio
sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä.
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotKartio ja pyramidi
Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota
Lisätiedot5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
LisätiedotKenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.
Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =
Lisätiedot1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
LisätiedotLue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:
MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x
LisätiedotHilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
LisätiedotKenguru 2019 Student lukio
sivu 0 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Koodi (ope täyttää): Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotMaatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset
Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien
Lisätiedot5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet
.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedot4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
Lisätiedot27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella
Lisätiedot