Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen

Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin

Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z) tiedetään? Miksi jousen avulla onnistuu niin monen tilanteen esittäminen fysikaalisesti? (Miksi fysiikassa esiintyvät jouset erilaisissa tilanteissa?) Miten massakato liittyy sidottuihin systeemeihin? Kvantti-harmoninen värähtelijä (käsienheiluttelutasolla)

Kertausta U Ԧr = න ԦF d Ԧr + U(Ԧr 0 ) Ƹ Galilein putoamislaki: ԦF = mgj U y = mgy Newtonin gravitaatiolaki: ԦF = GMm rƹ U r = GMm r 2 r Harmoninen voima: ԦF x = k(x x 0 ) iƹ U(x) = 1 k(x x 2 0) 2

Kertausta Harmoninen voima ja potentiaalienergia F Dynamiikka m Ԧa = ԦF(Ԧr) m d2 x = k(x x dt 0) 2 d 2 x = dt 2 ω2 (x x 0 ) Energiatarkastelu U x = 1 k x x 2 0 2 C = 1 2 mω2 (x x 0 ) 2 C U x 0 x x 0 x

Kysymys Kappale liikkuu pisteiden A ja B välissä pitkin oheista reittiä. Potentiaalienergian (U) arvo kussakin pisteessä on esitetty oikealla. Eräällä ajanhetkellä kappale on pysähtynyt paikkaan s 0. Mihin suuntaan tämän jälkeen kappale alkaa liikkua? A) Kohti A:ta B) Kohti B:tä C) Ei mihinkään D) Ei voi tietää s 0 U(x) A B A s 0 x B

Ratkaisu: E = K + U U(x) E U K x x 1 x 2 x 3 x 4

Potentiaali ja voima h h(x) h 0 s 0 x

Potentiaali ja voima U(x) 1-ulotteisessa tapauksessa: F = du dx E x

Systeemin tasapainopisteet Tasapainopisteessä: U U(x) F = du dx = 0 U U(x) x x x 0 stabiili x 0 Epästabiili (=labiili)

Voima ja potentiaali 3D-tapauksessa Kolmessa ulottuvuudessa täytyy laskea osittaisderivaatat kaikkiin kolmeen suuntaan; voiman komponentit ovat siis: x-komponentti: osittaisderivaatta x:n suhteen: F x = U x y-komponentti: osittaisderivaatta y:n suhteen: F y = U y z-komponentti: osittaisderivaatta z:n suhteen: F z = U z

Ƹ Ƹ 3D tapaus ԦF = F x i Ƹ + F y j Ƹ + F z k = U U U i j k x y z = Ƹ i + j Ƹ + k U x z = U y = nabla-operaattori, ks. MAPU Tärkeässä roolissa kevään kursseilla

Kysymys Xy-tasolla liikkuvan hiukkasen potentiaalienergia on esitetty kuvassa. Hiukkasen paikka (0,-1) on merkitty mustalla pisteellä oheiseen potentiaalikuvaajaan. Mihin suuntaan hiukkaseen vaikuttava voima on? A) +x-akselin suuntaan B) +y-akselin suuntaan C) -x D) -y E) Hiukkaseen ei vaikuta voimaa F) Jokin muu vastaus G) En tiedä

Voima ja potentiaali Ratkaisu: U x = 0 ja U y > 0

Kysymys Oheisella funktiolla f(x) on pisteessä x = x 0 minimi. Mitä voidaan päätellä funktion ensimmäisen derivaatan (f = df ) ja toisen derivaatan dx (f = d2 f dx2) arvoista kyseisessä pisteessä? A) f < 0 ja f > 0 f(x) B) f = 0 ja f < 0 C) f = 0 ja f = 0 D) f = 0 ja f > 0 E) Muu vastaus F) En tiedä x 0 x

Harmoninen voima ja potentiaali Lähellä stabiilia tasapainoasemaa U(x) voidaan approksimoida paraabelin avulla Tämä tarkoittaa, että myös tasapainoasemaan palauttava voima on harmoninen => Systeemi käyttäytyy siis harmonisen värähtelijän lailla!

Funktion approksimointi: Taylorin sarja Lineaarinen approksimointi f x x 0 x

Funktion approksimointi: Taylorin sarja f x Paraabeliapproksimointi f x 0 + A x x 0 + B(x x 0 ) 2, missä A = df dx x0 B = 1 2 d 2 f dx 2 x 0 x 0 x

Funktion approksimointi Tasapainopisteen läheisyydessä U x U x 0 + du dx x x 0 + 1 2 (d2 U dx 2) x 0 (x x 0 ) 2 =0 = U x 0 + 1 d 2 U (x x 2 dx 0) 2 2 Vertaa tätä harmonisen värähtelijän potentiaalienergiaan: U harmon x = U x 0 + 1 2 k(x x 0) 2 ; k = d2 U dx 2

Esimerkki: matemaattinen heiluri Laskuharjoitustehtävänä on osoittaa, että myös matemaattinen heiluri käyttäytyy pienillä heilahduskulman arvoilla kuten harmoninen värähtelijä! Pienen kulman approksimaatio: sin α α cos α 1 α 2 tan α α

Esimerkki: kahden piidioksidimolekyylin muodostaman systeemin potentiaalienergia: 2

Esimerkki kahden piidioksidimolekyylin muodostaman systeemin potentiaalienergian approksimaatio:

Kertaus: Sidottu ja ei-sidottu kahden hiukkasen systeemi U U SIDOTTU: E < 0 EI-SIDOTTU: E 0 E E U K r U K r

Sidotut tilat Systeemi on sidottu, jos hiukkaset pysyttelevät äärellisen etäisyyden päässä toisistaan Tämä pätee niin aurinkokunnan kuin molekyylien kokoluokassa! Mikromaailmassa sidottujen systeemien mekaaninen energia ei voi saada mielivaltaisia arvoja vaan ainoastaan tiettyjä diskreettejä arvoja Esim: vetyatomin elektronin kvantittuneet energiatilat

Sisäenergia ja muita energian muotoja Sisäenergia: aineella voi olla pyörimiseen, värähtelyyn, lämpötilaan, kemiaan jne liittyvää energiaa Lämpötila atomitasolla: asiat liikkuvat vinhemmin Kiinteän aineen jousimalli: mitä enemmän energiaa, sitä kauemmas pääsee Lämpölaajeneminen

Energiatiloista

Kvantti-harmoninen värähtelijä Harmonisen värähtelijän energiatilojen erotus on kulmataajuuden funktio! E = ħω 0 E 0 = ½ħω 0

Kvantti-harmoninen värähtelijä on approksimaatio! Harmoninen Morse Kuva: Wikimedia Commons Morsekin on approksimaatio, mutta parempi

Värähtelyn energiatasojen etäisyys Molekyyli A: 2 atomia, massa M A Molekyyli B: 2 atomia, massa 4*M A Oletetaan, että sidoksen jäykkyydet ovat molemmilla aineilla ~samat. Kumman molekyylin värähtelyn energiatasot ovat lähempänä toisiaan? 1. A 2. B 3. Etäisyys on sama Matter & Interactions 4e

Värähtelyn energiatasojen etäisyys Oletetaan, että molekyyleillä C ja D on ~sama massa. Sidoksen jäykkyys C:llä on 3 kertaa suurempi kuin sidoksen jäykkyys D:llä. Kumman molekyylin värähtelyn energiatasot ovat lähempänä toisiaan? 1. C 2. D 3. Etäisyys on sama Matter & Interactions 4e

Kahta toisiinsa sidottua atomia voi mallintaa harmonisella värähtelijällä. Yhdelle tällaiselle molekyylille tarvitaan 0.05 ev energiaa, jotta se nousee perustilalta ensimmäiselle virittyneelle värähdystilalle. Paljonko energiaa tarvitaan, että molekyyli nousee ensimmäiseltä viritystilalta toiselle viritystilalle? 1. 0.0125 ev 2. 0.025 ev 3. 0.05 ev 4. 0.10 ev 5. 0.20 ev Matter & Interactions 4e

Värähdystilojen etäisyys Pb: k s 5 N/m Al: k s 16 N/m Kumpi värähdystiloja esittävä piirros on Pb ja kumpi Al? 1. A on Pb ja B on Al 2. A on Al ja B on Pb 3. A on sekä Pb ja Al 4. B on sekä Pb ja Al

Kysymys Vetyatomi koostuu protonista ja elektronista. Mitä voit päätellä osasten kineettisen ja potentiaalienergian summasta K + U? A) Se on positiivinen B) Se on nolla C) Se on negatiivinen D) En mitään p

Kysymys Levossa olevan vetyatomin energia on M vety c 2. Vetyatomin protonin ja elektronin lepomassat ovat m p ja m e. Mitä voit päätellä massojen välisestä relaatiosta? A) M vety > m p + m e B) M vety = m p + m e C) M vety < m p + m e D) En mitään

Massakato ja sidosenergia Atomin (yhdisteen) massa on alhaisempi kuin sen osasten Ainakin tiettyyn rajaan asti, ytimille raudasta ylöspäin tilanne on toinen Sidoksen energia on negatiivinen, joten osa massasta menee sidoksen muodostamiseen Fissiossa puolestaan vapautuu vastaava määrä energiaa Kääntäen: jos atomin osaset halutaan erilleen (esim. ionisaatio) tarvitaan energiaa vähintään sidoksen hajottamiseen vaadittava määrä (esim. ionisaatioenergia) Vrt. fuusio

Vetyatomin energiatilat: Bohrin postulaatti Bohr esitti, että systeemin liikemäärämomentti (joka selitetään tarkemmin kurssilla VuAi) saa vain diskreettejä arvoja -> mekaaninen energia (E) ja elektronin ympyräradan säde (r) ovat kvantittuneita eli myös E ja r saavat vain tiettyjä arvoja! Energian arvot vetyatomissa: E n = 1 e 2 2 1 m 13,6 ev 2 4πε 0 ħ n 2 n 2 E n = 13,6 n 2 ev

Bohrin vetyatomimalli Vetyatomin energiatasoja ei ole mahdollista mitata suoraan Sen sijaan on mahdollista havaita fotoneja, jotka syntyvät kun vetyatomi siirtyy energiatilalta n tilalle n Energiatasojen erotus on yhtä kuin havaitun fotonin energia! n E (ev) 1-13,6 2-3,40 3-1,51 4-0,85 5-0,54 E = 13,6 ev 1 n 2 1 n 2 6-0,38 7-0,28

Vetyatomi on perustilassa, ja absorboi fotonin, jonka seurauksena ionisoituu: H H + + e. Jos irronneiden protonin ja elektronin kineettiset energiat ovat 0, mikä oli fotonin energia? 1. 13.6 ev 2. 13.6 ev 3. >13.6 ev 4. <13.6 ev 5. 0 ev Matter & Interactions 4e