7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X, Y ) = 1. Määrää muuttujien X ja Y korrelaatio, muuttujan X regressiofunktio muuttujan Y suhteen ja muuttujan Y regressiofunktio muuttujan X suhteen sekä vastaavat ehdolliset varianssit. b) Olkoon muuttujan X regressiosuora muuttujan Y suhteen y = 8 3 x + 14 3 ja muuttujan Y regressiosuora muuttujan X suhteen Määrää muuttujien X ja Y odotusarvot. y = 3 2 x + 7 2 a) Lasketaan ensin standardipoikkeamat: D(X) = 1 ja D(Y ) = 2. Cor(X, Y ) = Cov(X, Y ) D(X)D(Y ) = 1 1 2 = 1 2 Muuttujan X regressiofunktio muuttujan Y suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(X, Y )D(X) D(Y ) = 1 0.5 2 = 1 4 Suoran yhtälö on siten: x = 1 (y 1) 4 (1 Cor(X, Y ) 2 )D 2 (X) = (1 ( 0.5) 2 ) 1 = 0.75 Muuttujan Y regressiofunktio muuttujan X suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(X, Y )D(Y ) D(X) = 2 0.5 1 = 1 Suoran yhtälö on siten: y 1 = x (1 Cor(X, Y ) 2 )D 2 (Y ) = (1 ( 0.5) 2 ) 4 = 3 b) Suorat leikkaavat pisteessä (1,2), joten: E(X) = 1 ja E(Y ) = 2.
D2. Alla on lueteltu joukko muuttujia. a) Mitä mitta-asteikkoja muuttujat noudattavat? b) Mitkä muuttujista ovat kvalitatiivisia ja mitkä kvantitatiivisia? c) Mitkä muuttujista ovat diskreettejä ja mitkä jatkuvia? 1. Mansikoiden C-vitamiinipitoisuus: mg/100g. 2. Alvarin aukiolta löydetyn kasvin laji. 3. Paine, joka vaaditaan teräksisen säiliön murtumiseen: kg/cm 2. 4. Henkilöiden reaktio väitteeseen Suomen on liityttävä NATO:on mitattuna asteikolla täysin eri mieltä, yhden tekevää, täysin samaa mieltä. 5. Jokereiden sijoitus jääkiekkoliigassa. 6. Teekkarin koulutusohjelma. 7. Teekkarin älykkyysosamäärä. 8. Teekkarin pistemäärä 1. välikokeessa. 9. Lentokoneen nopeus: km/h. a) Laatueroasteikollisia muuttujia: 2 ja 6. Järjestysasteikollisia muuttujia: 4, 5, 7 ja 8. Suhdeasteikollisia muuttujia: 1, 3 ja 9. b) Kvalitatiivisia muuttujia: 2, (4, 5), 6. Kvantitatiivisa muuttujia: 1, 3, 7, 8 ja 9. c) Diskreettejä muuttujia: 2, 4, 5, 6 sekä (7 ja 8). Jatkuvia muuttujia: 1, 3, (7, 8) ja 9. D3. Määrää tehtävän P4 aineiston kahden viimeisen sarakkeen kahdeksan luvun aritmeettinen keskiarvo, otosvarianssi ja otoshajonta. Lasketaan tarpeelliset välitulokset taulukon avulla: x i x 2 i 1500 2250000 2900 8410000 1800 3240000 2200 4840000 1700 2890000 3200 10240000 1500 2250000 2500 6250000 Σ 17300 40370000
Keskiarvo, otosvarianssi ja otoshajonta ovat siis: x = 1 n x i = 1 17300 = 2162.5 8 s 2 = 1 ( n (x 2 i ) n x 2) = 1 n 1 7 (40370000 8 2162.52 ) 422678, 57 s = s 2 650, 14 P4. Erään talon asukkailla on seuraavat kuukausitulot (e/kk): 3300 3200 1500 1700 4300 1900 2900 3200 800 1700 1800 1500 1200 700 2200 2500 Määrää aineistosta seuraavat tunnusluvut: a) minimi ja maksimi b) vaihteluväli ja vaihteluvälin pituus c) mediaani d) Vinous e) Huipukkuus 2 p. Asiat sujuvat paljon yksinkertaisemmin, jos käytössä on järjestetty otos: 700 800 1200 1500 1500 1700 1700 1800 1900 2200 2500 2900 3200 3200 3300 4300 a) Minimi = 700 ja maksimi = 4300. b) Vaihteluväli on (700, 4300) ja vaihteluvälin pituus on 4300 700 = 3600. c) Me = (1800 + 1900)/2 = 1850 Vinouden ja huipukkuuden määrittämiseksi täytyy määrittää havaintoarvojen jakauman 2., 3. ja 4. keskusmomentti: m 2 = 1 n m 3 = 1 n m 4 = 1 n (x i x) 2 (x i x) 3 (x i x) 4
Momenttien laskeminen tapahtuu helpoiten taulukoinnilla. (Esim. Excelillä tällaisen taulukon arvojen laskeminen käy hyvin helposti.) x i x i x (x i x) 2 (x i x) 3 (x i x) 4 0.700-1.450 2.1025-3.0486 4.4205 0.800-1.350 1.8225-2.4604 3.3215 1.200-0.950 0.9025-0.8574 0.8145 1.500-0.650 0.4225-0.2746 0.1785 1.500-0.650 0.4225-0.2746 0.1785 1.700-0.450 0.2025-0.0911 0.0410 1.700-0.450 0.2025-0.0911 0.0410 1.800-0.350 0.1225-0.0429 0.0150 1.900-0.250 0.0625-0.0156 0.0039 2.200 0.050 0.0025 0.0001 0.0000 2.500 0.350 0.1225 0.0429 0.0150 2.900 0.750 0.5625 0.4219 0.3164 3.200 1.050 1.1025 1.1576 1.2155 3.200 1.050 1.1025 1.1576 1.2155 3.300 1.150 1.3225 1.5209 1.7490 4.300 2.150 4.6225 9.9384 21.368 Summa 34.400 0 15.100 7.0830 34.893 Keskiarvo 2.150 0 0.9438 0.4427 2.1808 d) Havaintoarvojen jakauman vinous saadaan laskettua 2. ja 3. keskusmomentin avulla: c 1 = m 3 m 3/2 2 = 0.4427 = 0.4828 0.94383/2 Havaintoarvojen jakauma on siis positiivisesti vino. e) Havaintoarvojen jakauman hupukkuus saadaan laskettua 2. ja 4. keskusmomentin avulla: c 2 = m 4 m 2 3 = 2.1808 2 0.9438 2 3 = 0.5517 Havaintoarvojen jakauma on siis laakea verrattuna normaalijakaumaan. P5. Muodosta tehtävän P4 aineistosta luokiteltu frekvenssijakauma, jonka luokat ovat: 0-2000, 2001-4000 ja 4001-5000. Määrää myös tätä frekvenssijakaumaa vastaavan histogrammikuvion suorakaiteiden korkeudet, kun ensimmäistä luokkaa vastaavan suorakaiteen korkeudeksi on valittu 15 ruutua ruutupaperilla. Hahmottele myös ko. histogrammikuvio paperille. 1 p.
Histogrammi muodostuu suorakaiteista, joiden pinta-alat suhtautuvat toisiinsa kuten vastaavat luokkafrekvenssit (tai suhteelliset luokkafrekvenssit). Näin saadaan laskettua suorakaiteiden korkeudet, kun tiedetään että ensimmäisen suorakaiteen korkeus h 1 on 15 ruutua: 2000 h 1 2000 h 2 = 9 6 2000 h 1 1000 h 3 = 9 1 = h 2 = 6 9 h 1 = 10 ruutua = h 3 = 2 9 h 1 = 10 3 ruutua Luokka Luokkafrekvenssi Suorakaiteen korkeus 0-2000 9 15 2001-4000 6 10 4001-5000 1 10/3 Lopullinen kuvaaja näyttää seuraavanlaiselta: 20 15 10 5 0 2000 4000 5000 euroa P6. Määrää tehtävän P4 aineiston kahden ensimmäisen sarakkeen kahdeksan luvun aritmeettinen keskiarvo, otosvarianssi ja otoshajonta. 1 p. Lasketaan tarpeelliset välitulokset taulukon avulla: x i x 2 i 3300 10890000 4300 18490000 800 640000 1200 1440000 3200 10240000 1900 3610000 1700 2890000 700 490000 Σ 17100 48690000
Keskiarvo, otosvarianssi ja otoshajonta ovat siis: x = 1 n x i = 1 17100 = 2137.5 8 s 2 = 1 ( n (x 2 i ) n x 2) = 1 n 1 7 (48690000 8 2137.52 ) 1734107.14 s = s 2 1316.86 L7. Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 1, E(Y ) = 1, Var(X) = 9, Var(Y ) = 4 ja Cor(X, Y ) = 0.5. a) Määrää muuttujien X ja Y kovarianssi. b) Määrää muuttujan X regressiofunktio muuttujan Y suhteen ja muuttujan Y regressiofunktio muuttujan X suhteen sekä vastaavat ehdolliset varianssit. c) Määrää kohdan b) regressiofunktiota vastaavien suorien leikkauspiste ja vertaa sitä muuttujien X ja Y odotusarvoja vastaavaan pisteeseen. Lasketaan ensin standardipoikkeamat eli keskihajonnat: D(X) = 3 ja D(Y ) = 2. a) Cov(X, Y ) = Cor(X, Y )D(X)D(Y ) = 0.5 3 2 = 3 b) Muuttujan X regressiofunktio muuttujan Y suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(X, Y )D(X) D(Y ) = 0.75 Suoran yhtälö: x 1 = 0.75 (y + 1) Var(X Y ) = ( 1 Cor(X, Y ) 2) Var(X) = (1 0.5 2 ) 9 = 6.75 Muuttujan Y regressiofunktio muuttujan X suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(X, Y )D(Y ) D(X) = 1 3 Suoran yhtälö: y + 1 = 1 (x 1) 3 Var(Y X) = ( 1 Cor(X, Y ) 2) Var(Y ) = (1 0.5 2 ) 4 = 3 c) Suorien leikkauspiste on odotusarvojen määräämä piste (1, 1).
L8. Olet ottanut 10000 euron lainan, jota et voi lyhentää kahden ensimmäisen vuoden aikana. lainasopimuksen mukaan korko on 1. vuotena 10% ja 2. vuotena 20 %, jolloin takaisin maksettava lainapääoma kasvaa kahdessa vuodessa x %. Oletetaan, että lainasopimusta muutetaan niin, että korkona käytetään kumpanakin vuotena samaa korkoa, mutta tämä vakiona pidettävä korko valitaan niin, että takaisin maksettava lainapääoma kasvaa kahdessa vuodessa yhtä paljon kuin alkuperäisen sopimuksen mukaan. a) Totea, että x/2 % ei ole uuden sopimuksen vakiokorko. b) Totea, että oikea vakiokorko saadaan laskutoimituksella ( 1.1 1.2 1) 100%. Huomautus: Laskutoimituksessa on sovellettu geometrisen keskiarvon kaavaa: Positiivisten lukujen x 1, x 2,..., x n geometrinen keskiarvo on: G = n x 1 x 2 x n Lainapääoma 1. vuoden lopussa: (1 + 0.1) 10000 = 11000. Lainapääoma 2. vuoden lopussa: (1 + 0.2) 11000 = 13200. Lainapääoma on kasvanut kahdessa vuodessa 32%. Siis x = 32%. a) x/2 = 16%. 16% korolla: Lainapääoma 1. vuoden lopussa: (1 + 0.16) 10000 = 11600. Lainapääoma 2. vuoden lopussa: (1 + 0.16) 11600 = 13456. Lainapääoma on kasvanut kahdessa vuodessa 34.56% 32%. b) 1.1 1.2 14.89%. 14.89% korolla: Lainapääoma 1. vuoden lopussa: (1 + 0.1489) 10000 = 11489. Lainapääoma 2. vuoden lopussa: (1 + 0.1489) 11489 = 13200. Lainapääoma on kasvanut kahdessa vuodessa 32%.