MAB kertausmateriaalia Jere Tofferi heinäkuu 2016
johdanto Matematiikan opiskelu on helppoa ja vaikeaa. Matemaattiset teoriat ovat hyvin määriteltyjä ja suhteellisen lyhyitä. Kuitenkin on paljon ihmisiä, jotka eivät ymmärrä matematiikka tavallisten oppikirjojen avulla. Yksi ongelmista on se, että lukiessaan kyllä ymmärtää tekstin ja teksti tuntuu tutulta, mutta tehtävät eivät silti ratkea. Olen tähän monisteeseen hiukan yrittänyt tehdä hiukan erilaista näkökulmaa, hiukan rohkeampaa selitystä asioista. Tämän lyhyen kertausmateriaalin laatu on kuitenkin kaukana tavallisesta matematiikan oppikirjasta. Toivottavasti kuitenkin joitakin ideoita tarttuu siitä mukaan. Asioita ei tässä aina opeteta, vaan ratkaisumenetelmät yms. on esitetty tavallisissa oppikirjoissa usein hyvin ja perusteellisesti. Materiaali on jaettu kappaleisiin lyhyen matematiikan kurssien 1-6 perusteella. Läheskään kaikkia asioita ei ole käsitelty, vaan ainoastaan muutamia keskeisimpiä (jotain oleellista on toki saattanut unohtuakin). Matematiikan oppimisessa tärkeitä asioita ovat: 1. Teoriaan tutustuminen: laskusäännöt, kaavat, määritelmät yms. 2. Esimerkkeihin tutustuminen 3. Ongelmiin tutustuminen, laskeminen Kovalla työllä matematiikka tulee tutummaksi. Tuttujen asioiden kanssa hommat hoituvat paremmin kuin tuntemattomien. 0.1 MAB1 lausekkeet ja yhtälöt Kappaleessa käsiteltävät asiat: Muuttujien käyttö Yhtälöiden ratkaiseminen Toisen asteen polynomifunktiot Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen 1
0.1.1 Muuttuja Muuttujaa (yleensä x) käytetään laskuissa tuntemattoman tai muuttuvan luvun merkkinä. Muuttuja voi joissakin tehtävissä olla: Hyvinkin muuttuva, mikä tahansa luku ja + välillä. Esim. f(x) = x + 1 (ilman mitään muita tietoja). Joltakin väliltä oleva luku esim. 2 ja 7 välillä oleva. Esim. 2 < x < 7 (voi olla lisätietona esim. funktiolla). Jokin yksittäinen valittu luku. Esim. funktion arvo kohdassa x = 4 (muuttuja määritellään tapauskohtaisesti). Jokin tuntematon yksittäinen luku. Esim. muuttuja x voi tarkoittaa monikulmion tuntemattoman sivun pituutta. Tehtävässä usein on valmiiksi merkitty muuttuja ja siitä on jotain tietoja saatavilla. Niiden tietojen hahmottaminen on tärkeä matemaattinen taito. Saatetaan kertoa tai olla pääteltävissä mm. muuttujan kuvaama asia, onko muuttujan arvo positiivinen, mitä yksikköä se on, arvio suuruudesta, muuttujan yhteys kuvaajaan, tarvitaanko muuttujaa johonkin vai onko itse muuttujan arvo selvitettävä asia. Mm. tehtävätyypeissä, joissa täytyy käyttää yhtälöä tuntemattoman asian ratkaisemiseksi, tärkeä osa on miettiä itse tarvittava muuttuja. Yleisesti tuntemattoman asian määrä tai suuruus merkitään muuttujalla seuraavasti: Kuinka monta hiekanmurua on rannalla määritellään x = hiekanmurujen määrä rannalla. Muuttujan käsittely on yksi taito, joka erottaa taitavat laskijat muista. Parhaiten sen oppii laskemalla paljon, mutta ei ainakaan ole haitaksi erikseen pysähtyä miettimään muuttujaa eri tehtävissä. Aina muuttujan käytölle on jokin tarkoitus, voit testata ymmärrystä miettimällä miksi tehtävässä on muuttuja. 0.1.2 Yhtälön ratkaiseminen esim. x + 1 = 4, (x =?) Yhtälön ratkaisu on hyvin algoritminen tehtävä, ts. ratkaisun menetelmät ovat hyvin määriteltyjä. Niitä ovat: Lisääminen molemmille puolille yhtälöä Vähentäminen molemmilta puolilta yhtälöä 2
Molempien puolien kertominen Molempien puolien jakaminen Ja hiukan harvinaisempia: Molempien puolien korottaminen toiseen potenssiin Käänteisluvun ottaminen molemmista puolista Usein yhtälön ratkaisu tehdään ikää kuin siirtämällä termejä. Se on helppo tapa, jos ei ole täysin ymmärtänyt tilannetta, mutta hiukan virhealtis. Yhtälön ratkaisun oppii laskemalla paljon yhtälöitä. Todellisessa elämässä ja koulussakin esillä oleva asia on yhtälöiden käyttö arkipäivän ongelmissa. Silloin yhtälö täytyy muodostaa itse päättelemällä tilanne. Tämmöinen tehtävä alkaa useimmiten muuttujien valinnalla (katso yltä). Tämän jälkeen tilanteesta tehdään matemaattinen yhtälö päättelyn avulla (ja mm. fysiikan lakeja käyttämällä). Esimerkiksi hiekan murujen määrä rannalla (hiukan vaikea esimerkki). Miten siitä voisi tehdä yhtälön? Hiekanmurujen määrästä voisi tehdä yhtälön arvioimalla hiekanmurun massan, määrän yhdessä kuutiossa ja mittaamalla/arvioimalla sekä laskemalla hiekan tilavuuden rannalla. Yhtälö saadaan kirjoittamalla lasku ja tulos, jossa on mukana muuttuja x. Jos 1000 hiekanmurua on massaltaan 26g, yhden murun massa (m) saadaan yhtälöksi 1000 m = 26g. Saadaan ratkaisu m = 0, 026g. Jos kuutio hiekkaa on massaltaan 4200kg(= 4200000g), saadaan kuution sisältämien hiekanjyvien määrästä (= y) arvio y = 4200000g/0, 026g = 161538461. Jos rannalla on hiekkaa n. 12000 kuutiota (= 12000m 3 ), saadaan rannan hiekanjyvistä arvio x = 12000 161538461 = 1 938 461 538 461. Pyöristys kahden numeron tarkkuudelle (pyöristys täytyy päätellä) 1900000000000. Rannalla on siis 1, 9 biljoonaa hiekanmurua. 0.1.3 Toisen asteen polynomifunktio esim. f(x) = x 2 2x + 1 Funktiot joissa on lauseke, ovat yleensä 1. tai 2. astetta (aste tulee potenssin mukaan!). Siksi on tärkeä osata molemmat niistä hyvin. Molemmissa käytetään yleisesti muuttujana kirjainta x ja funktion arvona muuttujaa y. Siis muuttujaa kuvaavan lausekkeen, jossa on ainakin termi x 2, tulos on y. Esim. merkitään x 2 2x + 1 = y (tai mieluummin y = x 2 2x + 1). Usein se, että y:tä käytetään funktion tuloksena, ilmoitetaan vain f(x) = y tai ei laisinkaan! 3
Funktioissa on siis paljon hiukan mystisiä puolia, jotka vaativat paljon tottumista. Loppujen lopuksi funktioilla tehdään vain muutaman tyyppisiä laskuja (usein muuttujan lausekkeella): Funktion arvon laskeminen: sijoitetaan jokin luku x:n paikalle funktion lausekkeeseen. Selvitetään missä kohdassa funktio saa tietyn arvon, siis y:n paikalle laitetaan luku ja ratkaistaan x. Selvitetään funktion suurin/pienin arvo (mm. derivaatan nollakohtien avulla). Mietitään funktion kasvua/vähenemistä (derivaatta on avuksi). Piirretään funktiosta kuvaaja. Muutamia muita asioita. 0.1.4 Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen esim. x 2 + 3x = 1, x =? Tärkeä taito toisen asteen yhtälön käsittelyssä on sen nollakohtien ratkaiseminen. Menetelmä on jälleen algoritminen. Siirretään kaikki yhtälön termit vasemmalle puolelle yhtäsuuruusmerkkiä: x2 + 3x - 1 = 0 Käytetään taulukkokirjasta toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. a = 1, b = 3 ja c = 1 (Toisen asteen yhtälön kertoimille on omat kirjaimet kaavassa. Jos jokin termeistä puuttuu, on vastaava kirjain nolla.) Mietitään ratkaisu tarkasti ratkaisukaavan avulla. 0.2 MAB2 Geometria Kappaleessa käsiteltävät asiat: trigonometria pythagoraan lause 4
pinta-ala ja tilavuus koordinaatisto muut: viivat, kulmat, monikulmiot, yhtenevyys jne. 0.2.1 Trigonometriset funktiot. Ensiksikin, täytyy osata ratkaista trigonometristen yhtälöiden perustapaukset. Yllä on esimerkki tästä. Apuna yhtälön muodostamisessa voi käyttää taulukkokirjaa. Toiseksi, täytyy osata soveltaa trigonometrisia funktioita. Aina kun tehtävässä on pulma liittyen suorakulmaiseen kolmioon, monikulmion kulman suuruuteen tai sivun pituuteen, kannattaa miettiä voisiko tehtävässä käyttää suorakulmaisen kolmion trigonometrisia funktioita. Vaikka monikulmiossa ei olisi suorakulmaista kolmiota, se on usein mahdollista siihen?sisällyttää? (aina siitä ei tietystikään ole hyötyä)! Pythagoraan lause: a 2 + b 2 = c 2 Hyvin saman tapainen kuin edellinen kohta. On tärkeä osata ratkaista valmis yhtälö sujuvasti. Kuitenkin suurin ero laskijoiden välillä voi jälleen olla oikean laskutavan/menetelmän valitseminen meneillään olevaan tehtävään. Pythagoraan lausetta kannattaa miettiä kaikissa tehtävissä, joissa on tarkoituksena selvittää monikulmion sivujen pituus tai sivun pituus muutoin edistää tehtävää. Myöskin Pythagoraan lause on voimassa vain suorakulmaisille kolmioille. Tässäkin tapauksessa on usein mahdollista muodostaa kuvioon suorakulmainen kolmio lisäämällä janoja/suoria tilannetta edistävällä tavalla. Oikean tavan hahmottaminen nopeasti vaatii hyviä hoksottimia, mutta myös tarpeeksi paljon laskemista (=laskurutiinia). 0.2.2 pinta-ala ja tilavuus Tärkeä matematiikan ja arkielämän aihe. Tärkeää on osata yksikönmuunnokset ja tietysti erimuotoisten pinta-alojen ja tilavuuksien laskut. Harjoittele yksikkömuunnokset ja laskut huolellisesti taulukkokirjan avulla (ja mielellään lisäksi ilmankin). 0.2.3 koordinaatisto Tärkeitä asioita mm. Koordinaatistossa olevan pisteen koordinaattien lukeminen ja kirjoittaminen Pisteen merkitseminen koordinaatistoon koordinaattien avulla 5
Monikulmiot ja viivat koordinaatistossa Funktiot koordinaatistossa ja niiden merkitys Tavallisesta poikkeavat koordinaatistot Koordinaatisto on paljon käytetty matematiikassa. Arkielämässä koordinaatisto usein merkitsee sijaintia (esim. kartan koordinaattien mukaan), mutta matematiikassa merkitys on hiukan omituisempi. Koordinaatiston yksittäinen piste ilmoittaa kaksi lukua samaan aikaan (nämä luvut yleensä liittyvät toisiinsa, jolloin siinä on jotain järkeä). Toki matematiikassakin koordinaatisto voi ilmaista paikkaa ja etäisyyttä esim. kolmioille. Ensiksikin täytyy osata koordinaatiston pisteiden lisäys, tulkinta sekä monikulmioiden ja viivojen lisäys koordinaatistoon. Joskus on tarpeen muistaa, että viiva koordinaatistossa koostuu vierekkäin olevista pisteistä. Usein juuri funktiot piirretään koordinaatistoon. Syy liittyy siihen, että piste ilmoittaa kaksi lukua samaan aikaan. Mitä merkitystä sillä on? Funktiohan on juttu(?) joka ottaa jonkin luvun (yleensä merkitty aluksi muuttujalla x) ja muuttaa sen joksikin luvuksi (yleensä merkitty muuttujalla y). Funktio siis voi näyttää vaikka tältä f(x) = x + 2 ja sanotaan vielä, että y = x + 2. Nyt x voi saada jotain lukuarvoja ja samalla funktion lausekkeen mukaan y myös saa lukuarvoja. Funktiosta piirretty piste koordinaatistoon kertoo mitkä ovat toisiaan vastaavat x ja y (x katsotaan x-akselilta ja y katsotaan y-akselilta). Kuvassa 1 piste A kuvaa y:n arvoa neljä ja x:n arvoa kaksi. Juuri näinhän se on, kun yhtälö on y = x + 2. Sen voi tarkistaa laskemalla arvolla x = 2y = 2 + 2 = 4. Kun funktiosta piirretään kuvaaja, siinä on monta tällaista pistettä peräkkäin viivana. Silloin voidaan katsoa mistä x:n kohdasta vain ja nähdään mikä on y:n arvo (tai päinvastoin). Yhdestä pisteestä näkee vain yhden kohdan, kuten yllä olevasta vain kohdan x = 2. Hiukan oudompi asia voi olla, kun koordinaatistossa käytetään muita muuttujia kuin x ja y tai koordinaatiston asteikko on epätavallinen. Tilanne ei kuitenkaan pohjimmiltaan eroa tavallisesta. Toisen muuttujan arvot (oli se sitten mikä tahansa) katsotaan mahdollisimman tarkasti sille merkitystä akselista ja toisen muuttujan arvot toisesta akselista. 0.2.4 Muut Geometria on kohtalaisen laaja matematiikan ala ja siihen liittyy paljon käsitteitä (= sanoja joilla on tietty merkitys) ja sääntöjä. Laajan kokonaisuuden oppii omaksumaan 6
Figure 1: Yhtälön piste koordinaatistossa vain laskemalla sitä paljon ja monipuolisesti. Toki kannattaa huolellisesti tutustua taulukkokirjan sisältämään tietoon. Harjoittele piirtämään koordinaatistoon yhtälöt x = 0, x = 4, y = 0 ja y = 3. Ne ovat hiukan epätavallisempia yhtälöitä, mutta niihin törmää silloin tällöin koordinaatistossa. 0.3 MAB 3 matemaattisia malleja Lineaarinen riippuvuus Eksponentiaalinen riippuvuus Matemaattiset ratkaisut malleille 0.3.1 Lineaarinen riippuvuus y = k x Mitä tarkoittaa lineaarinen riippuvuus? Käytännössä kahden asian määrä, koko tai muu suure ovat riippuvaisia toisistaan. Esimerkiksi lumisateen kesto sataneen lumen 7
Figure 2: Tästä näkee jo useita arvoja (voit tarkistaa muutaman) määrä, auton nopeus auton kulkema matka, irtokarkkien määrä karkkien hinta, lannoitteen määrä kasvin koko jne. Riippuvuuden havaitseminen vaatii tilanteen tarkkaa miettimistä ja usein myös laskemista. Kun asiat havaitaan lineaarisesti riippuvaiseksi, ne voidaan kirjoittaa muuttujilla x ja y ja niille saadaan yhtälö y = k x. Kirjain k saa yhtälössä jonkin luvun tilanteen mukaan, riippuen siitä kuinka monta kertaa toinen on isompi/pienempi. Kun yhtälö on kirjoitettu, siitä voidaan tehdä kuvaaja tai sillä voidaan laskea haluttuja arvoja. Esim. jos tiedetään lumisateen kesto (x), voidaan laskea sataneen lumen määrä (y). Miksi näitä yhtälöitä käytetään oikeassa elämässä niin vähän? Syy on tietysti siinä, että luonnossa yhtälöt hyvin harvoin kuvaavat tarkasti tilannetta. Hyvä matematiikan taitaja osaa arvioida yhtälöiden käyttöä. Esimerkiksi lumisateesta tehty yhtälö ei välttämättä ole kovin hyvä. Jos lumisade olisi aina tasaisen voimakasta, yhtälö toimisi jo kohtalaisen hyvin. Todellisuudessa lunta saattaa sataa paljon lyhyessä ajassa tai toisaalta suhteellisen vähän pitkään kestävässä lumisateessa. Paremman yhtälön saa, jos huomioi lumisateen voimakkuuden, mutta silloin yhtälö menee jo hiukan hankalammaksi. Karkkipussien hinnassa ja ajoneuvon kulkemassa matkassa yhtälö pitää jo huomattavasti paljon paremmin paikkaansa. Täysin 100% varmoja ne eivät käytännössä ole, mutta niitä voidaan pitää tarkkoina teoriassa. Viimeinen lineaarista riippuvuutta kuvaava asia oli lannoitteen määrä kasvin koko. Jo lyhyellä mietinnällä tajuamme, että tässä tapauksessa lineaarisen mallin käyttäminen on erittäin arveluttavaa. Kasvi ei varmasti kasva aina vain isommaksi, jos lisäämme ja 8
Figure 3: Tässä pisteet ovat tiheästi ja näkee paljon arvoja lisäämme lannoitusta. Mahdollisesti jossakin määrin on tilanteita, joissa lannoitteen lisääminen suurentaa kasvin kokoa lähestulkoon lineaarisella riippuvuudella, mutta todennäköisesti on parempi miettiä muita malleja tähän riippuvuuteen. Mistä tietää riippuvuuden olevan lineaarista? Tekemällä mittauksia ja katsomalla noudattaako muutokset jotakin tiettyä yhtälöä (joka on muotoa y = kx). Lisäksi lineaarisessa riippuvuudessa yhtälön kuvaaja on suora! 0.3.2 Eksponentiaalinen riippuvuus y = k e x Joskus muutos ei ole tasaista, vaan muutoksen nopeus pienenee tai kasvaa. Esim. aika ihmisten määrä. Jos 100 000 asukkaan kaupungissa syntyy yhtenä päivänä 20 lasta, pitkän ajan kuluttua samassa kaupungissa voi syntyä yhdessä päivässä jo 50 lasta. Tämä on seurausta siitä, että ihmismäärän lisääntyessä myöskin ihmisten lisääntymisvauhti kasvaa. Lineaarisessa kasvussa esim. irtokarkkien (hinta 7e/kg) kokonaishinta kasvaa aina 7e kun lisätään kilo, riippumatta siitäs kuinka paljon karkkeja on jo pussissa. Tärkeää on tunnistaa tilanteet joissa kasvu saattaisi olla eksponentiaalista. Merkkinä sille on kasvun nopeutuminen/hidastuminen, se ettei lineaarinen kasvu sovi tilanteeseen tai kuvaajan muoto. Lopullisesti muutos paljastuu eksponentiaaliseksi, jos se noudattaa hyvin jotain eksponenttiyhtälöä. Myöskään eksponentiaalinen muutos luonnossa ei ole tarkasti mallin mukaista, vaan vaihtelee aiheesta ja tilanteesta riippuen. Eksponentiaalinen muutos on mm. radioak- 9
tiivisen aineen puoliintumisessa, bakteerien tai eläinpopulaatioiden kasvussa, tilille tallennetun rahan kasvussa jne.. Aihe on kohtalaisen tavallinen vaikeammissa tehtävissä. 0.3.3 Matemaattiset ratkaisut malleille Lineaarinen malli on helppo ratkaista, kun yhtälön ratkaisu on hallinnassa. Täytyy vain olla tarkkana. Potenssiyhtälöstä ei ollut esimerkkiä mallina, mutta lyhyesti sen ratkaisusta. Potenssiyhtälö on muotoa y = x n, missä n:n sijaan tehtävässä on jokin luku ja x täytyy selvittää. Esimerkiksi y = x 5. On tärkeää, että yhtälössä on vain yksi termi joka sisältää muuttujan x. Tehtävä ratkeaa laskemalla yhtälöstä puolittain n:s juuri. Joitakin asioita kuitenkin voi olla hyvä huomioida. Jos x:n potenssi on parillinen (x 2, x 4, x 6,?), y ei voi saada negatiivisia arvoja. Jos x:n potenssi on parillinen, on aina kaksi vastausta. Jos potenssi on pariton, kaikille y:n arvoille löytyy yksi x. Kuvaaja auttaa tilanteen hahmottamisessa! Kuvaajasta usein näet heti montako leikkauskohtaa näyttäisi funktiolla olevan. Eksponentiaalisen kasvun malli vaatii logaritmin käyttöä. Menetelmä on aika helppo, mutta ilman sen tuntemista ratkaiseminen ei onnistu. Jos laskemisen perusteet ovat hallussa, tämä on hyvä harjoitella seuraavaksi. 0.4 MAB4 Matemaattinen analyysi muutosnopeus derivaatta derivaattafunktio suurin ja pienin arvo 0.4.1 muutosnopeus Funktion f(x) arvo kohdassa x = 3 voisi olla 5. Funktion f arvo kohdassa x = 6 on 6, 5. Huomaamme että funktion arvo on suurentunut 1, 5 yksikön verran. Funktio 10
vaikuttaa olevan tällä välillä kasvava. Funktion kasvu on usein mielenkiintoinen asia. Esimerkiksi säästötilin tilannetta tai osakkeiden hintaa kuvaavan funktion tulisi olla kasvava ja tietysti mahdollisimman nopeasti kasvava. Kovin paljon oikeaan elämään liittyviä derivointi- tai muutosnopeusosioita ei helpoimmissa tehtävissä ole. Usein muutosnopeutta lasketaan vähemmän mielekkäästi valmiille funktiolle kuten f(x) = x 2 4. Mikäli funktio voidaan derivoida, derivaattafunktio kertoo funktion muutoksen täydellisen tarkasti joka kohdasta. Silloin täytyy olla taito miettiä ja selvittää funktion arvojen muutos derivaattafunktiota katsomalla ja laskemalla. Kasvunopeus ilmoitetaan usein luvulla joka kertoo funktion arvon muutoksen muuttujan kasvaessa yhden yksikön verran. 0.4.2 derivaatta esim. D(2x2 + 5) = 4x Derivaatan laskeminen on yksinkertaisimmissa tapauksissa (polynomifunktio) helppo taito opetella. Monimutkaisemmat funktiot vaativat enemmän harjoittelua. Taulukkokirjasta on paljon apua. 0.4.3 derivaattafunktio Funktio, esim. f(x) = 2x 2 + 5, derivoimalla saadaan derivaattafunktio f (x) = 4x. Nyt 4x kuvaa funktion kasvamis- tai vähenemisnopeutta. Heti huomataan, että muutosnopeus on vaihteleva, sillä derivaattafunktiossa on muuttuja (x). Kohdassa x = 1 funktion kasvunopeus on 4 (1) = 4 ja kohdassa x = 2 funktio kasvaa jo nopeudella 4 (2) = 8. Derivaattafunktio voidaan piirtää kuvaajaan aivan samalla tavalla kuin alkuperäinenkin funktio. Hyvä matematiikan käyttötaito edellyttää, että derivaattafunktion kuvaajaa katsomalla nähdään mielessä funktion muutokset (ja ymmärretään mitä EI saada siitä tietoon). Kuvassa 4 olevassa koordinaatistossa näkyy derivaattafunktio f ja funktio f. Vaikka tietäisimme pelkästään derivaattafunktion, voisimme päätellä funktion f kuvaajan olevan suora, joka nousee kuvassa näkyvällä jyrkkyydellä. Derivaattafunktiosta yksinään emme voi päätellä, mistä kohdasta y-akselia funktion f kuvaaja kulkee. Kuvaaja siis saattaisi olla ylempänä tai alempana. Kuvassa 5 on hiukan monimutkaisempi kuvaaja. Siinä voimme kiinnittää ensin huomiota derivaattafunktioon f ja sitten seurata kuinka funktio f muuttuu. Alussa 11
Figure 4: f(x) = 2x + 2 ja f (x) = 2 f on suuri, f kasvaa nopeasti. Nopeasti f pienenee, jolloin f:n kasvu hidastuu, funktio kaartuu siten että se tulee loivemmaksi. Lopussa f on pieni ja funktio jatkaa hidasta kasvua (kuvaajassa näkyvät vain arvot x > 0). Kuvassa 6 voidaan ensin miettiä ensin derivaattafunktiota f ja sen jälkeen funktiota f. Aluksi f on negatiivinen jolloin funktio f on vähenevä. f tosin kasvaa, jolloin f kaartuu. Kohdassa x = 0, f saa arvon nolla (ts. f (0) = 0), silloin f menee hetkellisesti vaakatasossa. Nämä ovat tärkeitä kohtia funktion pienimmän ja suurimman arvon etsimisessä! Tämän jälkeen f saa positiivisia arvoja, jolloin tietysti f on kasvava. f jatkaa kasvua, joten f muoto on jälleen kaareva. On tarpeen osata hahmotus myös toisinpäin. Siis kun varsinainen funktio f on kuvaajassa, osaa ajatella minkä muotoinen derivaattafunktio f on. 0.4.4 Suurin ja pienin arvo Funktion arvot siis katsotaan y-akselilta. Suurin arvo on kohta, jossa kuvaaja on korkeimmalla ja pienin arvo kohdassa jossa kuvaaja on alimpana. Useimmiten paikka kuitenkin etsitään laskemalla, koska kohta voi olla koordinaatiston ulkopuolella tai koordinaatistosta paikkaa ei näe tarkasti. Suurimman ja pienimmän arvon päättely kohdistuu kahteen paikkaan: Funktion tai tarkastelualueen päätepisteet. Jos funktio ei ole välillä [, + ], päätepisteet on helppo huomioida laskemalla ne. Jos funktion määrittelyalue on 12
Figure 5: f(x) = lnx ja f (x) = 1/x ääretön (esim. reaaliluvut), täytyy päätellä (mielellään matemaattisesti) saako funktio isoja tai pieniä arvoja kun se lähestyy ääretöntä. Toinen kiinnostuksen paikka tulee siitä oivalluksesta, että huippukohdassa, samoin kuin alimmassa pohjassa, funktiossa täytyy olla tasainen kohta (vaikka vain yhden pisteen kokoinen). Tasaisessa kohdassa funktion derivaatta on nolla! Tätä voidaan hyödyntää, kun lasketaan funktion derivaattafunktio ja selvitetään kaikki kohdat, joissa se on nolla. Ne ovat mahdollisia kohtia funktion suurimmalle ja pienimmälle arvolle. Lasketaan näistä kohdista funktion arvot. Lopuksi valitaan suurin ja pienin arvo jonka funktio kohdissa a) ja b) on saanut. 0.5 MAB5 tilastot ja todennäköisyys Tunnusluvut Normaalijakauma Kombinatoriikka Todennäköisyys 13
Figure 6: f(x) = 2x 2 1 ja f (x) = 4x 0.5.1 Tunnusluvut Keskiarvon, hajonnan yms. tunnuslukujen käyttö vaatii hyvää laskutaitoa ja?tilannetajua?. Tunnusluvut yksinkertaistavat kohdetta jollain tavalla, kertoen osan totuutta lyhyesti. Niiden käytössä ja käsittelyssä täytyy vain olla tarkkana. Taulukkokirjasta löytyy tarpeeksi tunnuslukuja, niitä vain pitää osata käyttää. 0.5.2 Normaalijakauma Normaalijakauma on eräänlainen matemaattinen malli. Useat luonnossa olevat asiat kuvautuvat sen mukaisesti. Esimerkiksi ihmisten pituus luultavasti noudattaa kohtalaisen hyvin normaalijakaumaa. Todella lyhyet ja todella pitkät ihmiset ovat harvinaisia,?normaalipituisia? ihmisiä on eniten ja siitä hiukan pidempiä ja lyhyempiä on aika paljon. Normaalijakaumasta tyypillinen mielikuva on taulukko, joka on kuin yksikyttyräisen kamelin selkä. Keskellä on korkea kohta, joka kuvaa keskimääräistä tasoa olevien arvojen isoa määrää. Molemmilla reunoilla taulukossa on pieniä arvoja, koska poikkeavia yksilöitä on vähemmän. Esimerkiksi nopan heitto EI mene normaalijakauman mukaisesti, vaan kaikkia tuloksia tulee tasaisesti. Ykkösiä ja kuutosia (jotka ovat ääripäätä), ei tule vähempää kuin kolmosia ja nelosia (jotka ovat keskimmäisiä arvoja). Normaalijakauma tehdään aineiston pohjalta ja ilmoitetaan siihen liittyvien tunnuslukujen avulla. Tämän jälkeen normaalijakaumaan liittyvien kaavojen avulla voidaan 14
käsitellä aineistoa, yleisesti mm. selvittämään kuinka todennäköistä on kuulua johonkin tiettyyn osaan normaalijakaumaa. Normaalijakauman käyttö on suhteellisen monimutkaista, koska jakauman mallintaminen ja siihen normaalijakauman käyttäminen vaatii tarkkaa kaavojen tuntemusta ja käyttöä. Usein näitä kuitenkin on hiukan haastavammissa tehtävissä. 0.5.3 Kombinatoriikka Todennäköisyyslaskentaan hyvin läheisesti kuuluu erilaisten vaihtoehtojen lukumäärä. Kombinatoriikassa selvitetään muutamalla perusmenetelmällä erilaiset vaihtoehdot: Kun on vain yksi valinta, vaihtoehtojen kokonaismäärä on suoraan vaihtoehtojen määrä ensimmäisessä valinnassa. Kun on kaksi tai useampia valintoja, lasketaan vaihtoehtojen määrä ensimmäisessä valinnassa, sitten toisessa valinnassa, kolmannessa valinnassa ja sitten lopuksi kerrotaan nämä vaihtoehtojen määrät keskenään. Tämä on hyvin yleinen tapaus. Esim. Halutaan korttipakasta kaksi patakorttia. Valintoja on kaksi. Ensimmäisellä kerralla vaihtoehtoja on 13 (54:stä) ja toisella valinnalla vaihtoehtoja on 12 (53:sta). Yhteensä siis on 13 12 = 156 vaihtoehtoa nostaa kaksi patakorttia. Kun valinnan järjestyksellä ei ole väliä, täytyy tämä myös ottaa huomioon. Esimerkiksi puhelinnumeroa arvailtaessa täytyy numerot arvata oikeaan järjestykseen, mutta jos esim. tavoitteenasi on nostaa pallokorista sokkona punainen, sininen ja vihreä pallo, ei ole väliä minkä nostat ensimmäisenä. Tällöin voi laskea vaihtoehdot nostaa halutun värinen pallo ja jakaa tulos erilaisten järjestysten määrällä. Edellinen korttipakkaesimerkki on hankala tästä näkökulmasta. Itselleni kombinatoriikka ei ole vahvimpia alueitani. Hoidan tilanteet yleensä sillä, että mietin vaihtoehtojen lukumääriä tarkasti. Kannattaa yksinkertaistaa tilannetta mielessään. Kombinatoriikka on helppo sekoittaa todennäköisyyslaskuihin, sillä niin tiiviisti se niihin liittyy. 0.5.4 Todennäköisyys Todennäköisyys ilmoitetaan yleensä prosentteina 0%-100% tai lukuna 0-1. 100% (tai luku 1) tarkoittaa varmaa, 0% (tai 0) mahdotonta tapahtumaa. Todennäköisyystehtävissä täytyy tarkasti miettiä tilannetta. Tärkeintä on saada selville tapahtuman luonne (onko järjestyksellä väliä, vaikuttaako ensimmäinen valinta 15
toiseen valintaan jne.). Todennäköisyyden perusta on siinä, että haluttujen mahdollisuuksien lukumäärä jaetaan kaikkien mahdollisuuksien lukumäärällä. Lisäksi käytetään kombinatoriikan mahdollistamia laskutapoja todennäköisyyteen liittyen Tapahtuma A TAI tapahtuma B todennäköisyys: todennäköisyydet lasketaan yhteen. Tapahtuma A JA tapahtuma B todennäköisyys: todennäköisyydet kerrotaan toisillaan. Jos mietitään tapahtuman A tai B todennäköisyyttä, yhteenlasketusta todennäköisyydestä täytyy vähentää tapahtuma jossa sekä A ja B tapahtuu (muutoin tulee laskettua kaksikertaisuuksia). 0.6 MAB6 Matemaattisia malleja yhtälöpari lineaarinen optimointi lukujono 0.6.1 Yhtälöpari Usein merkitty y = 2x + 1 JA 2y = x + 2 { y = 2x + 12y = x + 2 Kahden muuttujan yhtälö, (esim. a + b = 4) tarvitsee ratketakseen aina yhtälöparin. Yhtälöparilla (korkein asteluku 1) voi olla äärettömästi ratkaisuja (ratkaisu on muotoa 0 = 0), ei yhtään ratkaisua (ratkaisu on muotoa 2 = 4) tai yksi ratkaisu (ratkaisu on muotoa a = 2 ja b = 2). Jos törmäät tehtävään, jossa on kahden muuttujan yhtälö ja selvitettävänä on jokin täysin tuntematon kohta, saattaa kyse olla yhtälöparitehtävästä. Vihjeitä tästä antaa tietysti myös, jos tehtävässä selkeästi on kaksi yhtälöä tai jos muuttujina on x:n ja y:n sijaan käytetty muita kirjaimia. Lisäksi jos koordinaatistossa halutaan selvittää 16
joidenkin suorien rajaama alue, suorien leikkauspisteet saadaan selville ratkaisemalla niistä yhtälöpari. Yhtälöparin vastaus antaa kohdan jossa yhtälöiden kuvaajat kohtaavat (tietysti, sillä niissä kohdissa yhtälöillä on sama x ja y, joten ne ovat päällekkäin). Yhtälöparin ratkaisemiseen on kaksi suosittua keinoa: sijoitusmenetelmä ja yhteenlaskumenetelmä. Voit päättää kumman harjoittelet tai harjoitella molemmat. 0.6.2 Lineaarinen optimointi Optimointi = parhaan mahdollisen tuloksen/menetelmän etsiminen. Lineaarinen optimointi = optimointi, jossa tilannetta kuvaavat yhtälöt ovat lineaarisia (suoria). Lineaarisen optimoinnin ongelma ratkaistaan selvittämällä tilannetta hahmottavien yhtälöiden rajaama-alue ja ratkaisemalla siitä kulmakohdat. Optimointitilanteessa on usein kaksi muuttujaa ja selvitetään mitkä näiden pitäisi olla, jotta tilanne olisi paras mahdollinen. Tavallinen tilanne on, että muuttujien täytyy olla positiivisia, jolloin saadaan yhtälöt x = 0 ja y = 0 rajafunktioiksi. Lisärajoja voidaan saada muuttujien avulla tehdystä yhtälöstä ja/tai muuttujille asetetuista rajoista, esimerkiksi toinen muuttujista ei voi olla yli 1000 x = 1000. Tilanne kannattaa hahmotella koordinaatistoon, mikäli mahdollista. Sen jälkeen ratkaistaan yhtälöiden risteämiskohdat. Lopuksi selvitetään millä muuttujien arvoilla (risteyskohtia käyttämällä) saadaan paras tulos kysytystä asiasta. 0.6.3 lukujonot 1, 4, 7, 10,... Lukujonoja tulee kohtalaisen usein vastaan matematiikassa. Niiden käsittelyssä on suuri hyöty säännöllisille lukujonoille soveltuvista laskukaavoista. Kun törmäät tilanteeseen, jossa täytyy käsitellä suurta määrää lukuja, mieti heti onko kyseessä säännöllinen lukujono. Usein tämmöisissä tilanteissa päästään ratkaisuun käyttämällä lukujonojen laskukaavoja. Tutustu taulukkokirjassa oleviin lukujonojen kaavoihin. Tavallisimpia lukujonoja ovat aritmeettinen ja geometrinen lukujono. Sinun tulee osata tunnistaa nämä lukujonot ja myöskin testata onko lukujono todella toinen näistä. Aritmeettisessa lukujonossa peräkkäisten lukujen erotus on aina sama (ts. lukuun lisätään tai vähennetään aina saman verran siirryttäessä seuraavaan lukuun). Geometrisessa lukujonossa peräkkäisten lukujen suhde on aina sama (ts. peräkkäisten lukujen jakolasku on aina sama, seuraavaan lukuun päästään kertomalla edellistä aina tietyllä luvulla). 17