MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 6 Ehtamo Demo 1: Pareto-optimaalisuus Tunnista Pareto-optimaaliset ratkaisut. a) Risk FTW solutions ltd. Creative Solutions ltd. Focus inc. SoftCorp inc. Tull brothers Obligations Bank account b) Quantity Expected profit Quality Ratkaisu a) Pareto-optimaaliset ratkaisut ovat ratkaisuja, joissa yhden kohdefunktion arvoa ei voi parantaa ilman että toisen kohdefunktion arvo huononee. Tässä tehtävässä kohdefunktioina on tuotto-odotus (Expected profit) ja riski (Risk). Tuottoa maksimoidaan ja riskiä minimoidaan. Pareto-optimaaliset ratkaisut on merkitty kuvaan ympyrällä, ja ne ovat Bank account, Obligations, Tull Brothers ja SoftCorp Inc. Muut eivät ole Paretooptimaalisia, koska esimerkiksi SoftCrop Inc.:llä on parempi tuotto-odotus ja matalampi riski kuin yhdelläkään kolmesta ei-pareto-optimaalisista vaihtoehdoista. 1
Risk FTW solutions ltd. Creative Solutions ltd. Focus inc. SoftCorp inc. Tull brothers Obligations Bank account Expected profit b) Tehtävässä maksimoidaan sekä määrää (Quantity) ja laatua (Quality). Paretooptimaaliset pisteet on piirretty kuvaan tummennetulla. Huomaa. Pareto-optimaaliset pisteet ovat aina alueen reunapisteitä. Quantity Quality Demo 2: Painokerroinmenetelmä Ruotsalainen Sven Dufva on perustamassa Suomeen uutta energiayhtiötä nimeltään Svennovoima. Alkajaisiksi hänen tulisi päättää, minkä tyyppisiä voimaloita yhtiön kannattaa rakentaa. Käytettävissä on kolme erityyppistä voimalaa: ydin-, hiili- ja tuulivoimala. Kunkin voimalatyypin odotettu tuotto ja tuotetut ilmansaasteet jokaista tuotettua gigawattituntia kohden on lueteltu alla olevaan taulukkoon: Voimala Tuotto/GWh CO 2 -päästöt/gwh Ydinvoimala 40 e 26 kg Hiilivoimala 70 e 900 kg Tuulisähkö 20 e 14 kg Kysyntä arvioidaan olevan ensimmäisen 10 vuoden ajan keskimäärin 10 GWh. Rakennuskustannukset on otettu huomioon tuotoissa. Kuinka monta GWh kannattaa kullakin voimalatyypillä tuottaa, jos... a) Sven haluaa suurimman mahdollisen tuoton? 2
b) Sven on ympäristöystävällinen, eikä välitä rahasta lainkaan? c) Svenin mielestä 1 e tuotto on kaksi kertaa niin tärkeä kuin kilogramma CO 2 päästöjä? Ratkaisu a) Jos Sven arvostaa vain tuottoa, hänen kannattaa tuottaa kaikki 10 GWh hiilivoimalla, koska sen tuotto per GWh on suurin. b) Tuulisähkö tuottaa vähiten hiilidioksidipäästöjä, joten kaikki 10 GWh kannattaa tuottaa sillä. c) Rakennetaan tehtävän ratkaisemiseksi optimointimalli. Valitaan päätösmuuttujat x 1 := Ydinvoimalla tuotettu sähkömäärä (GWh) x 2 := Hiilivoimalla tuotettu sähkömäärä (GWh) x 3 := Tuulivoimalla tuotettu sähkömäärä (GWh) Svennovoiman kokonaistuotto voidaan laskea kaavalla ja kokonaispäästöt p = 40x 1 + 70x 2 + 20x 3, w = 26x 1 + 900x 2 + 14x 3. Koska Svenin mielestä tuotto on kaksi kertaa niin tärkeä kuin päästöt, täytyy kohdefunktio rakentaa niin, että yhden yksikön kasvu tuotossa p vastaa yhtä suurta muutosta kohdefunktiossa kuin kahden yksikön lasku päästöissä w. Tälläinen kohdefunktio on: f(x 1, x 2, x 3 ) = 2p w = (80 26)x 1 + (140 900)x 2 + (40 14)x 3. = 54x 1 760x 2 + 26x 3 Sähköä täytyi tuottaa yhteensä 10 GWh, josta saammekin optimointitehtävän max f(x 1, x 2, x 3 ) = 54x 1 760x 2 + 26x 3 s.e. x 1 + x 2 + x 3 = 10 Tehtävä on tavallinen lineaarinen optimointitehtävä ja voidaan ratkaista esimerkiksi Excelillä. Tehtävän ratkaisu on x 1 = 10, x 2 = x 3 = 0. Svenin kannattaa siis tuottaa kaikki sähkö ydinvoimalla. Demo 3: Tavoiteoptimointi Karin tehtävänä on päättää yrityksen investointikohteista. Lopulliseen kolmikkoon on päätynyt 3 projektia. Kullakin projektilla on jokin tuotto-odotus (12 %, 9 % ja 15 %), työvoimatarve (5, 3 ja 4 henkilöä/investoitu 100 e), ja arvio todennäköisistä lisäkustannuksista (5, 7 ja 8 e/investoitu 100 e). Johtoryhmä on asettanut seuraavat vaatimukset: kokonaistuoton on oltava yli 125 e, työvoimatarpeen on pysyttävä entisellä, 40 hengen tasollaan ja lisäkustanuksia saa olla korkeintaan 55 e. Näppäränä diplomi-insinöörinä Kari on tehnyt ongelmasta seuraavan lineaarisen tavoiteohjelmointitehtävän. Muuttuja x i kertoo, kuinka montaa sataa euroa kohteeseen i investoidaan. 12x 1 + 9x 2 + 15x 3 125 5x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 40 5x 1 + 7x 2 + 8x 3 55 x 1 0, x 2 0, x 3 0 3
Kari koittaa kuumeisesti ratkoa jotain sopivaa portfoliota (x 1, x 2, x 3 ), mutta hetken pohdiskelun jälkeen hän huomaa, että ei ole olemassa sellasta portfoliota, jolla kaikki tavoitteet saavutettaisiin. Johtoryhmän ohjeiden mukaan, tässä tilanteessa hänen tulee valita siten, että tuottotavoite on kaikista tärkein, työvoimatavoite toiseksi tärkein ja lisäkustannusten määrä vähiten tärkein. Formuloi Karin ongelma lineaarisena monitavoiteoptimointitehtävänä. Ratkaisu Kari ei pystynyt löytämään sellaista ratkaisua, joka toteuttaisi annetut ehdot. Nyt hänen täytyykin etsiä sellainen ratkaisu, joka rikkoo rajoitteita mahdollisimman vähän. Lisätään slack- ja surplus-muuttujat, jotka kertovat, kuinka paljon kutakin rajoitetta rikotaan: 12x 1 + 9x 2 + 15x 3 + s 1 125 5x 1 + 3x 2 + 4x 3 +s + 2 s 2 = 40 5x 1 + 7x 2 + 8x 3 s 3 55 x 1 0, x 2 0, x 3 0, s i 0 Toinen apumuuttuja s 2 on jaettu kahteen osaan, koska sekä positiiviset että negatiiviset poikkeamat ovat ei toivottuja. Rajoitteissa 1 ja 3 riittää yhdensuuntainen apumuuttuja. Tehtävältä puuttuu enää kohdefunktio. Tavoitteena on minimoida poikkeamia rajoitteista, eli apumuuttujia s i. Koska tavoite 1 on tärkein, sille voidaan antaa suuri painokerroin, jolloin pienetkin poikkeamat aiheuttavat suuria muutoksia kohdefunktioon. Vastaavasti tavoitteelle 2 voidaan antaa pienempi, mutta kuitenkin tavoitetta 3 suurempi painokerroin. Valitaan painokertoimiksi M 1 = 1 000 000, M 2 = 1 000 ja M 3 = 1, jolloin kohdefunktiomme on: f(x 1, x 2, x 3 ) = M 1 s 1 + M 2 (s + 2 + s 2 ) + M 3s 3 Ratkaistaan tehtävä Excelillä. Kirjataan taulukkoon tavalliseen tapaan päätösmuuttujat ja lasketaan kunkin rajoitusehdon arvo. Ratkaisuksi saadaan x 1 3.7, x 2 = 0, x 3 5.37. s 3 6.4, muut apumuuttujat ovat nollia. Tämä tarkoittaa, että 370 e sijoitetaan kohteeseen 1, 537 e kohteeseen 3 ja kohteeseen 2 ei sijoiteta lainkaan. Näin ainoastaan vähiten tärkeä tavoite 3 jää vajaaksi, 6.4 e:lla. 4
Tehtävä 1: Pareto-optimaalisuus Tunnista Pareto-optimaaliset ratkaisut. a) Healthiness Product A Product B Product C Product D Product E Product G Product F Tastiness b) Time consumed Tasks completed Ratkaisu a) Kuvan pareto-optimaaliset tuotteet on merkitty ympyröillä. Tuote on Paretooptimaalinen, josta ei voida vaihtaa toiseen ilman että vähintään yhden kohdefunktion arvo heikkenee. 5
Healthiness Product A Product B Product C Product D Product E Product G Product F Tastiness b) Pareto-optimaaliset pisteet on merkitty kuvaan tummalla viivalla. Time consumed Tasks completed Tehtävä 2: Kuntosaliharrastajan arkea Rane harrastaa kehonrakennusta. Tärkeintä hänelle on suuret lihakset, mutta hän haluaa myös nauttia elämästä. Harrastukselleen omistautunut Rane käyttää päivänsä pitkälti kolmeen perustoimintoon: harjoittelu T, syöminen E, ja nukkuminen S. Hän on huomannut lihasmassan kasvun M (g / 24 h) noudattavan kaavaa M = 2(4 (T 8) 2 + S) E. Lisäksi Ranen mielihyvä P riippuu pitkälti unen ja ruuan määrästä, tarkemmin P = E + 1 2 S. Miten Ranen kannattaa suunnitella päivänsä, kun käytettävissä on vuorokauden kaikki 24 tuntia? Ranen rahat eivät riitä ruokaan, jos syöminen vie enemmän kuin yhden neljäsosan treenaamiseen käytetystä ajasta. Mikä on Ranen optimaalinen harjoitusaikataulu, kun... a) hän haluaa maksimoida lihasmassan kasvun? b) 10 g päivittäinen lihasmassan kasvu on Ranen mielestä yhtä hyvä kuin 1 mielihyväyksikkö? Muotoile tehtävä monitavoiteoptimoinnin tehtävänä ja ratkaise se. 6
Ratkaisu Tehtävän luonnolliset päätösmuuttujat ovat päivän aikana eri toimintoihin käytetyt ajat: T E ja S. Ensimmäinen rajoitusehto saadaan siitä, että vuorokaudessa on 24 tuntia: T + E + S = 24 Syöminen ei saanut viedä yli neljäsosaa treenaamiseen käytetystä ajasta, eli: E 1 4 T a) Jos Rane haluaa maksimoida lihasmassaa, voidaan kohdefunktioksi valita suoraan lihasmassan kaava: max M = 2(4 (T 8) 2 + S) E. Tehtävä voidaan nyt syöttää Exceliin, jolloin ratkaisuksi saadaan: T = 7.9, E = 2.0, ja S = 14.1 b) Ranen mielestä 10 g päivittäinen lihasmassan kasvu on yhtä hyvä kuin 1 mielihyväyksikkö. Tällöin 10 yksikön muutoksella M:ään on oltava yhtä suuri vaikutus kohdefunktioon kuin yhden yksikön muutos mielihyvässä P. Tälläinen kohdefunktio on: max f(t, E, S) = M/10 + P Tehtävä voidaan nyt ratkaista Excelillä, joilloin ratkaisuksi saadaan T = 7.3, E = 1.8 ja S = 14.9. Tehtävä 3: Viljafarmilla Raunon tulisi päättää, mitä viljalajikkeita hän aikoo kasvattaa ensi vuonna. Hänellä on käytössään 30 ha peltopinta-alaa. Järkeviä vaihtoehtoja on 3: vehnä, ohra ja kaura. Raunolla on seuraavanlaiset tavoitteet jaon suhteen: 1) Elannon turvaamiseksi, Raunon on saatava 18 000 e tuottoa viljasta. 2) Hän on tehnyt sopimuksen Paimion Osuuskaupan kanssa, että hän toimittaa vähintään 111 tonnia viljaa myyntiin. 3) Rauno ei pidä työhaastatteluiden pitämisestä saati potkujen antamisesta, joten hän haluaa pitää työvoiman määrän vakiona, 12 henkikössä. Seuraavassa taulukossa on kunkin lajikkeen rahallinen tuotto, sato ja vaatimat työpaikat yhtä hehtaaria kohden: Vehnä Ohra Kaura Tuotto (e/ha) 610 540 502 Sato (kg/ha) 3 500 3 700 3 100 Työpaikat (hlö/ha) 0,9 0,6 0,4 Määritä kuinka monta hehtaaria kutakin lajiketta Raunon kannattaa kylvää, jos hänen mielestään a) Tavoite 1 on tärkein, 2 toiseksi tärkein ja 3 vähiten tärkeä b) 1000 e vajaus elannossa, 2 tonnin toimitusvaje osuuskaupalle, 1 henkilön erottaminen ja 2 lisähenkilön palkkaaminen ovat yhtä tärkeitä. Muotoile tehtävä tavoiteoptimoinnin tehtävänä ja ratkaise se. 7
Ratkaisu Valitaan päätösmuuttujiksi x 1 := Vehnän viljelyyn käytetty peltopinta-ala (ha) x 2 := Ohran viljelyyn käytetty peltopinta-ala (ha) x 3 := Kauran viljelyyn käytetty peltopinta-ala (ha) Kertomalla kukin muuttuja lajin hehtaarikohtaisella tuotolla, saadaan koko peltoalan tuotoksi 610x 1 + 540x 2 + 502x 3 Tuoton tulisi olla suurempi kuin 18 000 e, jolloin saamme ensimmäisen tavoitteen. Vastaavasti voidaan rakentaa satoa ja työpaikkoja kuvaavat tavoitteet. Peltopintaalaa oli kokonaisuudessaan käytettävissä 30 ha, eli päätösmuuttujien summan tulee olla 30. Näin saamme tavoiteoptimoinnin tehtävän: 610x 1 + 540x 2 + 502x 3 18 000 3500x 1 + 3700x 2 + 3100x 3 111 000 0.9x 1 + 0.6x 2 + 0.4x 3 = 12 x 1 + x 2 + x 3 = 30 x 1 0, x 2 0, x 3 0 Seuraavaksi etsitään tehtävän ratkaisu. Lisätään tavoitteisiin slack- ja surplus-muuttujat, jotka kuvaavat, kuinka paljon tavoitteista joudutaan joustamaan. Tavoitteista 1 ja 2 joudutaan joustamaan vain alaspäin, joten riittää lisätä pelkät slack-muuttujat. Tavoitteessa 3 molemmansuuntaiset poikkeamat ovat ei-toivottuja, joten tarvitaan sekä slack- että surplus-muuttujat. 610x 1 + 540x 2 + 502x 3 + s 1 18 000 3500x 1 + 3700x 2 + 3100x 3 + s 2 111 000 0.9x 1 + 0.6x 2 + 0.4x 3 + s + 3 s 3 = 12 x 1 0, x 2 0, x 3 0, s i 0 a) Koska tavotteilla on selkeä järjestys, tulee kohdefunktio valita niin, että tärkein tavoite tulee varmasti toteutumaan. Tavoitteena oli minimoida vajetta tuotossa (s 1 ), vajetta tuotannossa (s 2 ) ja poikkeamia työvoiman määrässä (s + 3 ja s 3 ). Valitaan kohdefunktioksi näiden summa, jossa tärkein kerrotaan suurella vakiolla ja vähiten tärkeä pienellä vakiolla. Kohdefunktioksi saadaan: min f(x i, s i ) = 10 6 s 1 + 10 3 s 2 + (s + 3 + s 3 ). Tehtävä voidaan nyt ratkaista Excelin Solverilla, jolloin ratkaisuksi saadaan: x 1 = 25.7, x 2 = 4.3, x 3 = 0. Apumuuttujien arvot ovat: s 1 = 0, s 2 = 5142.9, s + 3 = 0, s 3 = 13.7. Tämä tarkoittaa, että tavoite 1 saavutettiin, tavoitteesta 2 jouduttiin tinkimään noin 5143 kg, ja jouduttiin palkkaamaan 14 työntekijää lisää. b) 1000 e vajaus elannossa, 2 tonnin toimitusvaje, 1 henkilön erottaminen ja 2 henkilön palkkaaminen ovat nyt yhtä tärkeitä, ja kohdefunktio täytyy valita niin, että vastaavan muutoksen tapahtuminen missä tahansa tavoitteessa aiheuttaa samanlaisen muutoksen kohdefunktiossa. Valitaan funktioksi: min f(x i, s i ) = s 1 /1000 + s 2 /2000 + s + 3 + s 3 /2. Nyt tehtävä voidaan ratkaista Excelillä, ja ratkaisuksi saadaan: x 1 = 0, x 2 = 30, x 3 = 0. Apumuuttujat saavat arvot: s 1 = 1800, s 2 = 0, s + 3 = 0, s 3 = 6. Tämä tarkoittaa, että tuotto jäi 1800e vajaaksi, ja jouduttiin palkkaamaan 6 työntekijää lisää. 8
Tehtävä 4: Pareto-optimaalinen ajankäyttö Teemu haluaa suunnitella ajankäyttönsä seuraavasti: Vuorokauden tunnit käytetään nukkumiseen, opiskeluun ja huvitteluun. Nukkumiseen käytetään korkeintaan kaksitoista tuntia vuorokaudessa. Opiskeluun käytettävä aika ei ylitä huvitteluajan ja kaksinkertaisen nukkumisajan summaa. Formuloi tehtävä monitavoiteoptimoinnin tehtävänä ja tunnista Pareto-optimaaliset pisteet päätösavaruudessa, kun tavoitteena on maksimoida kaikkiin kolmeen ajankäyttötapaan käytettyjä tuntimääriä. Ratkaisu Merkitään käytettyjä aikamääriä: nukkuminen S, opiskelu T ja huvittelu P. Teemu haluaa maksimoida kaikkeen kolmeen käytetyn aikamäärän, eli hänen kohdefunktionsa ovat: max S, max T ja max P Nukkumiseen käytetään korkeintaan 12 tuntia, eli S 12 Opiskeluun käytettävä aika ei ylitä huvitteluajan ja kaksinkertaisen nukkumisajan summaa, eli T P + 2S. Lisäksi päivässä on 24 tuntia, ja ajat ovat aina positiivisia: S + T + P = 24 S 0, T 0, P 0. Rajoitteet on piirretty oheiseen kuvaan. Kolmas rajoite ja positiivisuusrajoitteet rajaavat harmaalla merkityn alueen. Ehto 1 rajoittaa tätä aluetta ylhäältä (vihreä taso) ja ehto 2 alhaalta (punainen taso sinisen alla). Pareto-pinta on sinisellä väritetty pinta. Pareto-pinnan rajaa positiiviset koordinaattiakselit, sekä rajoitepintojen leikkaussuorat. Teemun kannattaa valita oma päivärytminsä jostain Pareto-pinnalta. Tarkka optimipiste riippuu Teemun mieltymyksistä ja siitä, mitä ajanviettotapaa hän pitää mieluisampana. Jos tuntisimme Teemun painokertoimet kullekin kohdefunktiolle, voisimme laskea Teemun kannalta optimaalisen pisteen. 9
10