Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan yhtälöstä muuttuja y. y = ( x 0) + ( y ) y = ( x 0) + ( y ) y = x + y 4y+ 4 4y = x + 4 1 x 1 y = + 4
Piirretään pistejoukon kuva. Pisteet muodostavat ylöspäin aukeavan paraabelin. Vastaus y = 1 x + 4 1, ylöspäin aukeavan paraabelin
38 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 1) on ( x 0) + ( y ( 1)). Pisteen (x, y) etäisyys suorasta y = 1 on y 1. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan yhtälöstä muuttuja y. y 1 = ( x 0) + ( y ( 1)) ( y 1) = ( x 0) + ( y+ 1) y y+ 1= x + y + y+ 1 4 y = x y = 1 x 4
Piirretään pistejoukon kuva. Pisteet muodostavat ylöspäin aukeavan paraabelin. Vastaus y = 1 x 4
39 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 0) on ( x 0) + ( y 0). Pisteen (x, y) etäisyys suorasta x = on x. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan yhtälöstä muuttuja x. x = ( x 0) + ( y 0) ( x ) = ( x 0) + ( y 0) x 4x+ 4= x + y 4x = y 4 1 1 x = y + 4
Piirretään pistejoukon kuva. Pisteet muodostavat vasemmalle aukeavan paraabelin. Vastaus x = 1 y + 4 1
330 a) Yhtälössä on kertoimena a = 3. Siten 1 1 1 4a = 4 ( 3) = 1. Paraabelin polttopiste on (0, 1 ) ja johtosuora y = 1. 1 1 Paraabeli aukeaa alaspäin. b) Yhtälössä on kertoimena a = 1 1. Siten 1 1 3 4a = 4 1 =. 1 Paraabelin polttopiste on (0, 3) ja johtosuora y = 3. Paraabeli aukeaa ylöspäin. c) Yhtälössä on kertoimena a = 4. Siten 1 1 1 4a = 4 4 = 16. Paraabelin polttopiste on ( 1, 0) 16 Paraabeli aukeaa oikealle. ja johtosuora x = 1. 16 Vastaus a) Polttopiste on (0, 1 ) ja johtosuora y = 1 1 1 b) Polttopiste on (0, 3) ja johtosuora y = 3 c) Polttopiste on ( 1, 0) ja johtosuora x = 1 16 16
331 a) Polttopiste ja johtosuora sijaitsevat symmetrisesti origon vastakkaisilla puolilla. Paraabelin huippu on origossa ja paraabelin yhtälö on muotoa y = ax. Polttopisteen y-koordinaatti on muotoa 1 = 1, 16 4a mistä saadaan a = 4. Paraabelin yhtälö on y = 4x.
b) Polttopiste ja johtosuora sijaitsevat symmetrisesti origon vastakkaisilla puolilla. Paraabelin huippu on origossa ja paraabelin yhtälö on muotoa x = ay. Polttopisteen x-koordinaatti on muotoa 1 = 1, 4 4a mistä saadaan a = 1. Paraabelin yhtälö on x = y. Vastaus a) y = 4x b) x = y
33 a) Sijoitetaan huipun (0, 0) koordinaatit yhtälöön 0 ( 0) y y = ax x y 0 = ax ( 0) y = ax Sijoitetaan pisteen (3, 6) koordinaatit ja ratkaistaan kerroin a. 6= a 3 6= a 9 a = 6 9 a = 3 Siis paraabelin yhtälö on y = x. 3 b) Sijoitetaan huipun (0, 0) koordinaatit yhtälöön 0 ( 0) x x = a y y x 0 = a( y 0) x = ay
Sijoitetaan pisteen (, ) koordinaatit ja ratkaistaan kerroin a. = a = a 4 a = 4 a = 1 Siis paraabelin yhtälö on x = 1 y. Vastaus a) y = x b) x = 1 y 3
333 a) Sijoitetaan huipun ( 1, ) koordinaatit yhtälöön y y = ax ( x) 0 0 y = ax ( ( 1)) y = ax ( + 1) y = ax + ax + a y = ax + ax + a + Sijoitetaan origon koordinaatit ja ratkaistaan kerroin a. 0= a 0 + a 0+ a+ 0= a + a = Siis paraabelin yhtälö on y = x + x+ + ( ) ( ) = x 4x + = x 4x b) Sijoitetaan huipun ( 1, ) koordinaatit yhtälöön 0 ( 0) x x = a y y x ( 1) = a( y ) x + 1= ay 4ay + 4a x = ay 4ay + 4a 1
Sijoitetaan origon koordinaatit ja ratkaistaan kerroin a. 0= a 0 4a 0+ 4a 1 0= 4a 1 4a = 1 a = 1 4 Siis paraabelin yhtälö on x = 1 y 4 1 y+ 4 1 1 4 4 4 = 1 y y 4 Vastaus a) y = x 4x b) x = 1 y y 4
334 Paraabelin huippu on pisteessä (0, 1). 0 ( 0) y y = ax x y 1 = ax ( 0) y 1 = ax y = ax + 1 a) Sijoitetaan pisteen (1, 3) koordinaatit ja ratkaistaan kerroin a. y = ax + 1 3= a 1 + 1 = a Paraabelin yhtälö on y = x + 1. b) Sijoitetaan pisteen (, 0) koordinaatit ja ratkaistaan kerroin a. y = ax + 1 0 = a ( ) + 1 1= 4a 1 = a 4 Paraabelin yhtälö on y = 1 x + 1. 4 Vastaus a) y = x + 1 b) y = 1 x + 1 4
335 Paraabelin yhtälö on muotoa y = ax + bx + c. Kun yhtälöön sijoitetaan pisteiden koordinaatit, saadaan yhtälöryhmä, josta voidaan ratkaista kertoimet a, b ja c. 0 = ( 4) + ( 4) + 1 0 = + 0 + 8 = 4 + 4 + a b c a b c a b c 0 = 16a 4b + c 1 = c 8 = 16a + 4b + c Ratkaistaan yhtälöryhmä laskimella. a = 1, b = 1 ja c = 1 Vastaus Paraabelin yhtälö on y = x + x 1
336 Valitaan vesisuihkun alkupisteeksi origo. Kuvauksen perusteella vesisuihku käy pisteissä (0, 0), (1, ) ja (5, 0). Ratkaistaan paraabelin yhtälö ja etsitään sen huippu. Paraabelin yhtälö on muotoa y = ax + bx + c. Kun yhtälöön sijoitetaan pisteiden koordinaatit, saadaan yhtälöryhmä, josta voidaan ratkaista kertoimet a, b ja c. 0 = 0 + 0 + 1 = + 1 + 0 = 5 + 5 + a b c a b c a b c 0 = c = a + b + c 0 = 5a + 5b + c
Ratkaistaan yhtälöryhmä laskimella. a = 1, b = 5 ja c = 0 Paraabelin yhtälö on y = 1 x + 5 x. Koska paraabelin kuvaaja on symmetrinen huipun kautta kulkevan akselin suhteen, on huipun x-koordinaatin oltava täsmälleen leikkauspisteiden puolivälissä. x = 0+ 5 = 5 Sijoitetaan x = 5 paraabelin yhtälöön. ( ) y = 1 x + 5 x = 1 5 + 5 5 = 5 = 3,15 8 Pyöristetään tulos mielekkäälle tarkkuudelle 3 metriä. Vastaus 3 m
337 Oikealle avautuvan paraabelin yhtälö on muotoa x = ay + by + c. Paraabelilla ovat mm. pisteet ( 4, 1), (0, 3) ja (5, 4). Kun yhtälöön sijoitetaan näiden pisteiden koordinaatit, saadaan yhtälöryhmä, josta voidaan ratkaista kertoimet a, b ja c. 4 = 1 + 1 + 0 3 = + 3 + = + + a b c a b c 5 a 4 b 4 c 4 = a + b + c 0 = 9a + 3b + c 5 = 16a + 4b + c Ratkaistaan yhtälöryhmä laskimella. a = 1, b = ja c = 3 Vastaus Paraabelin yhtälö on x = y y 3
338 Ratkaistaan suoran yhtälöstä y. 4x+ y+ 1= 0 y = 4x 1 Sijoitetaan y paraabelin yhtälöön ja ratkaistaan x. x x y+ = 0 ( 4x 1) + = 0 x + 4x+ 3= 0 x = 4± 4 4 1 = 4± 4 = 4± 1 x = 4+ = 1 tai x = 4 = 3 Kun x = 1, niin y = 4x 1 = 4 ( 1) 1 = 3. Kun x = 3, niin y = 4x 1 = 4 ( 3) 1 = 11. Leikkauspisteet ovat ( 3, 11) ja ( 1, 3). Vastaus ( 3, 11) ja ( 1, 3)
339 Leikkauspisteessä kummallakin paraabelilla on sama y-koordinaatti ja sama x-koordinaatti. Sijoitetaan y = 5x 40x +100 yhtälöön x y = 0. y = 0 x (5x 40x+ 100) = 0 x 4x + 40x 100 = 0 : ( 4) x 10x+ 5 = 0 ( x 5) = 0 x 5= 0 x = 5 Lasketaan leikkauspisteen y-koordinaatti. y = x = 5 = 5 Vastaus (5, 5)
340 Piirretään mallikuva. Kun suora ei ole pystysuora, on sen yhtälö muotoa y = kx + b. Koska piste (0, 1) kuuluu suoralle, se toteuttaa suoran yhtälön. y = kx + b 1= k 0+ b b = 1
Suoralla ja paraabelilla voi olla nolla, yksi tai kaksi leikkauspistettä. Suora on tangentti, kun leikkauspisteitä on tasan yksi. Ratkaistaan suoran ja paraabelin leikkauspiste. = + + y x 6x 1 y = kx + 1 x + 6x + 1= kx + 1 x + kx 6x = 0 x + ( k 6) = 0 ( k 6) ± ( k 6) 4 1 0 x = 1 Toisen asteen yhtälöllä on yksi ratkaisu täsmälleen silloin, kun ratkaisukaavassa neliöjuuren alle muodostuva diskriminantti on nolla. Ratkaistaan diskriminantin nollakohdat. ( k 6) 410 = 0 ( k 6) = 0 k 6= 0 k = 6 Siis suoran yhtälö on y = 6x + 1. Vastaus y = 6x + 1
341 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä ( 3, 1) on ( x ( 3)) + ( y 1). Pisteen (x, y) etäisyys suorasta y = on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan yhtälöstä muuttuja y. y = ( x ( 3)) + ( y 1) ( y ) = ( x+ 3) + ( y 1) y 4y+ 4= x + 6x+ 9+ y y+ 1 y = x + 6x+ 6 1 3 3 y = x x
Piirretään pistejoukon kuva. Pisteet muodostavat alaspäin aukeavan paraabelin. Vastaus y = 1 x 3x 3, alaspäin aukeavan paraabelin
34 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (, 0) on ( x ) + ( y 0). Pisteen (x, y) etäisyys suorasta x = 1 on x 1.
Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan yhtälöstä muuttuja y. x 1 = ( x ) + ( y 0) ( x 1 ) = ( x ) + y x x+ 1 = x 4x+ 4+ y 4 3x = y + 15 4 x = 1 y + 5 3 4 Piirretään pistejoukon kuva. Pisteet muodostavat oikealle aukeavan paraabelin.
Vastaus x = 1 y + 5 3 4
343 a) Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, p) on ( x 0) + ( y p). Pisteen (x, y) etäisyys suorasta y = p on y ( p). Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan yhtälöstä muuttuja y. y ( p) = ( x 0) + ( y p) ( y+ p) = x + ( y p) y + yp + p = x + y yp + p 4 yp = x y = 1 x 4 p Paraabelin yhtälö on y = 1 x 4 p
b) Ratkaistaan muuttuja p ja sijoitetaan se a-kohdan paraabelin lausekkeeseen. a = 1 4 p 4ap = 1 p = 1 4a y = 1 1 4 x = p 4 1 x = ax 4 a Koska p on polttopisteen y-koordinaatti, on polttopisteen oltava (0, 1 ) 4a. Koska p on johtosuoran y-koordinaatti, on johtosuoran oltava y = p = 1. 4a Vastaus a) y = 1 x 4 p b) Paraabelin yhtälö y = ax, johtosuora y = 1 4a ja polttopiste (0, 1 ) 4a
344 a) Yhtälössä y = 5x kerroin a = 5. Tällöin 1 1 1 4a = 4 ( 5) =. 0 Paraabelin polttopiste on (0, 1 ) ja johtosuora on y = 1. 0 0 b) Koska johtosuora on pystysuora, aukeaa paraabeli oikealle tai vasemmalle. Koska polttopiste on johtosuoran oikealla puolella, aukeaa paraabeli oikealle. Polttopisteen ja johtosuoran muodosta voidaan päätellä, että paraabelin yhtälö on muotoa x = ay. Ratkaistaan kerroin a polttopisteen avulla. 1 = 1 4a 8 4a = 8 :4 a = Paraabelin yhtälö on x = y. Vastaus a) Polttopiste on (0, 1 ) ja johtosuora on y = 1 0 0 b) x = y
345 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 0) on ( x 0) + ( y 0). Pisteen (x, y) etäisyys suorasta y = on y ( ). Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan yhtälöstä muuttuja y. 1 x 1 y ( ) = ( x 0) + ( y 0) ( y+ ) = x + y y + 4y+ 4= x + y 4y = x 4 y = 4 Yhtälö on ylöspäin aukeavan paraabelin yhtälö, eli pistejoukko on paraabeli.
Vastaus Pistejoukko on paraabeli y = 1 x 1. 4
346 Leikkauspisteessä paraabelien y-koordinaatit ovat yhtä suuret. y = y x + x+ 10 = 3x + 5x 0 x 4x+ 30 = 0 : ( ) x + x 15 = 0 ± 41( 15) x = = ± 64 = ± 8 1 x = + 8 = 3 tai x = 8 = 5 Lasketaan y-koordinaatit toisen paraabelin yhtälöstä. Kun x = 3, niin y = x + x+ 10 = 3 + 3 + 10 =. Kun x = 5, niin y = x + x+ 10 = ( 5) + ( 5) + 10 = 30. Vastaus ( 5, 30) ja (3, )
347 Muokataan yhtälöitä muotoon, joista pistejoukko voidaan tunnistaa. a) x+ y 5= 0 y = x+ 5 Koska yhtälö on muotoa y = kx + b, kyseessä on suora. b) x + y 5= 0 y = x + 5 Koska yhtälö on muotoa y = ax + bx + c, kyseessä on paraabeli. c) x + y 5= 0 x + y = ( 5 ) Koska yhtälö on muotoa x + y = r, kyseessä on ympyrä. d) x+ y 5= 0 x = y + 5 Koska yhtälö on muotoa x = ay + by + c, kyseessä on paraabeli. Vastaus a) suora b) paraabeli c) ympyrä d) paraabeli
348 Sijoitetaan huipun (1, 3) koordinaatit yhtälöön 0 ( 0) y y = ax x y ( 3) = ax ( 1) y + 3= ax ax + a y = ax ax + a 3 a) Sijoitetaan pisteen ( 1, 5) koordinaatit ja ratkaistaan kerroin a. y = ax ax + a 3 5 = a ( 1) a ( 1) + a 3 5= a+ a+ a 3 8= 4a a = Siis paraabelin yhtälö on y = x x+ 3 eli y = x 4x 1.
b) Sijoitetaan pisteen (4, 4) koordinaatit ja ratkaistaan kerroin a. y = ax ax + a 3 4= a 4 a 4+ a 3 4 = 16a 8a+ a 3 1= 9a a = 1 9 Siis paraabelin yhtälö on y 1 x ( 1 ) x ( 1 ) y = 1 x + x 8. 9 9 9 Vastaus a) y = x 4x 1 b) y = 1 x + x 8 9 9 9 = + 3 eli 9 9 9
349 Vasemmalle aukeavan paraabelin yhtälö on muotoa x = ay + by + c. Pisteet ( 3, 4), (3, 1) ja (1, 0) toteuttavat yhtälön. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se. 3 = 4 + 4 + a b c 3 = a 1 + b 1 + c 1 = a 0 + b 0 + c a = 1, b = 3 ja c = 1 Paraabelin yhtälö on x = y + 3y+ 1. Vastaus x = y + 3 y+ 1
350 Valitaan pallon lähtöpisteeksi (0, 1). Tällöin pallo kävi pisteissä (0, 1), (10;,4) ja (30;,4). Mallikuva: Alaspäin aukeavan paraabelin yhtälö on muotoa y = ax + bx + c. Muodostetaan yhtälöryhmä ja ratkaistaan se laskimella. 1 = 0 + 0 + a b c, 4 10 = a + b 10 + c, 4 a 30 = + b 30 + c Yhtälöryhmän laskimella saatu ratkaisu on a = 7, b= 14 ja c = 1. Paraabelin yhtälö on siis 1500 75 y = 7 x + 14 x+ 1. Ratkaistaan paraabelin nollakohdat 1500 75 laskimella. 7 x 14 x 1 0 + + = 1500 75 44,8(m) x 4,78(m) Vain positiivinen ratkaisu käy. Pyöristetään järkevälle tarkkuudelle 45 metriä.
Vastaus 45 m
351 Mallikuva: Paraboloidiheijastimen poikkileikkaus on paraabeli. Sijoitetaan paraabeli koordinaatistoon niin, että paraabelin huippu on (0, 0) ja polttopiste on (p, 0), missä p > 0. Merkitään pohjan aukon vaakasuuntaista etäisyyttä huipusta kirjaimella h. Koska heijastimen aukon halkaisina on 1,0 cm, kulkee paraabeli pisteen (h, 1) kautta. Koska heijastimen halkaisija on 16,4 cm (säde 8, cm) ja syvyys 11, cm, kulkee paraabeli myös pisteen (h + 11,; 8,) kautta. Paraabelin yhtälö on muotoa x = ay, koska paraabelin huippu on origossa. Sijoitetaan yhtälöpariin pisteiden koordinaatit ja ratkaistaan kerroin a. h = a 1 h 11, a 8, + = 0 = a h 11, a 8, = h Ratkaistaan yhtälöpari laskimella. Ratkaisu on a = h 0,1691.
Paraabelin polttopiste on (0, 1 ). Lasketaan polttopisteen x- 4a koordinaatti. 1 1 1,478 4a = 4 0,1691 = Lasketaan vielä pohjan etäisyys polttopisteestä. 1, 478 h = 1, 478 0,1691 = 1,3089 1,3 Vastaus Paraboloidiheijastimen symmteria-akselilla 1,3 cm pohjan aukosta kohti heijastimen suuta
35 Sievennetään yhtälö huippumuotoon. y = ax 8ax + 16a 3 y= ax ( 8x+ 16) 3 y = a ( x 4) 3 y+ 3 = a ( x 4) y ( 3) = a ( x 4) x x 4 + 4 = ( x 4) Yhtälöstä nähdään, että paraabelin huippu on pisteessä (4, 3) parametrin a arvosta riippumatta. Vastaus (4, 3)
353 Merkitään kuminauhan keskipistettä (x, y). Tehtävänä on etsiä yhtälö, jonka keskipiste toteuttaa. Kuminauhan päätepisteet ovat (6, 3) ja (a, b). x = 6 + a a = x 6 y = 3 + b b= y 3 Piste (a, b) toteuttaa paraabelin yhtälön. 1 3 a = b b+ 1 y 3 = 1 (x 6) (x 6) + 3 1 1 4 y 36 = (x 6) 1(x 6) + 36 4 y 36 = 4x 4x+ 36 4x+ 7 + 36 4 y = 4x 48x+ 180 y = 1 x x+ 15 6 Vastaus paraabelin y = 1 x x+ 15 6
354 a) Paraabelin akseli on suora, joka kulkee polttopisteen (, 1) kautta ja on kohtisuorassa johtosuoraa y = x vastaan. Johtosuoran y = x kulmakerroin on. Kaksi suoraa ovat kohtisuorat, jos niiden kulmakertoimien tulo on 1. Ratkaistaan akselin kulmakerroin. k = 1 k = 1 Ratkaistaan suoran yhtälö. y y = k ( x x ) 0 y 1 = 1 ( x ) y = 1 x+ 1+ 1 y = 1 x+ k = 1, x =, y = 1 0 0 0
b) Huippu sijaitsee polttopisteen ja johtosuoran puolivälissä. Lisäksi huippu sijaitsee akselilla. Ratkaistaan akselin ja johtosuoran leikkauspiste. y = x y = 1 x + 1 x+ = x 5 x = x = 4 5 y = x = 4 = 8 5 5 Huippu on pisteiden (, 1) ja ( 4, 8) 5 5 Lasketaan sen koordinaatit. välisen janan keskipiste. + 4 14 x = 5 = 5 = 7 5 1+ 8 y = 5 = 13 10 Huippu on 7 13 (, ) 5 10.
c) Paraabelin piste (x, y) on yhtä kaukana polttopisteestä ja johtosuorasta. Pisteen (x, y) etäisyys johtosuorasta y = x eli x y = 0: x y x y = + ( 1) 5 Pisteen (x, y) etäisyys polttopisteestä (, 1): ( x ) + ( y 1) = x 4x+ 4 + y y+ 1 = x + y 4x y+ 5 Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja sievennetään yhtälö mahdollisimman selkeään muotoon. x y x + y 4x y+ 5 = () 5 4x 4xy + y x + y 4x y+ 5 = 5 5 5x + 5y 0x 10y+ 5 = 4x 4xy+ y x + 4xy + 4 y 0x 10y + 5 = 0 Paraabelin yhtälö on x + 4xy + 4 y 0x 10y + 5 = 0.
d) Piirretään kuva geometriaohjelmalla.
Vastaus a) y = 1 x+ b) ( 7, 13) 5 10 c) x + 4xy + 4 y 0x 10y + 5 = 0 d)