Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310
Kertausta: pistetulon ominaisuuksia Lause 74 Oletetaan, että v, w, ū R n ja c R. Tällöin (a) v w = w v (vaihdannaisuus) (b) v ( w + ū) = v w + v ū (osittelulaki) (c) (c v) w = c( v w) (skalaarin siirto) Lause 75 Oletetaan, että v R n. Tällöin (a) v v 0. (b) v v = 0, jos ja vain jos v = 0. LM2, Kesä 2012 228/310
Sisätulo Ottamalla lähtökohdaksi avaruuden R n vektorien pistetulon ominaisuudet, voidaan määritellä vektoriavaruuteen V yleisempi sisätulon käsite. LM2, Kesä 2012 229/310
Sisätulo Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus. Vektoriavaruuden V sisätulo on sääntö, joka liittää jokaiseen vektoriavaruuden V alkiopariin ( v, w) täsmälleen yhden reaaliluvun, jota merkitään v, w. Lisäksi vaaditaan, että seuraavat ehdot toteutuvat kaikilla v, w, ū V ja c R: 1. v, w = w, v (vaihdannaisuus) 2. v, w + ū = v, w + v, ū (osittelulaki) 3. c v, w = c v, w (skalaarin siirto) 4. v, v 0 ja v, v = 0, jos ja vain jos v = 0. Jos vektoriavaruudessa on määritelty sisätulo, vektoriavaruutta kutsutaan sisätuloavaruudeksi. LM2, Kesä 2012 230/310
Sisätuloavaruus Esimerkki 76 Oletetaan, että kokonaisluku n 1. Vektoriavaruus R n on sisätuloavaruus, sillä sisätuloksi voidaan valita tavallinen pistetulo: Huom. v, w = v w. Pistetulo toteuttaa sisätulon määritelmän ehdot lauseiden 74 ja 75 nojalla. LM2, Kesä 2012 231/310
Sisätuloavaruus Esimerkki 77 Vektoriavaruuteen R n voidaan määritellä myös muita sisätuloja. Osoitetaan, että esimerkiksi ehto v, w = v 1 w 1 + 2v 2 w 2 antaa ns. painotetun sisätulon avaruuteen R 2. Oletetaan, että v, w, ū R 2 ja c R. 1. Reaalilukujen kertolaskun vaihdannaisuudesta seuraa, että v, w = v 1 w 1 + 2v 2 w 2 = w 1 v 1 + 2w 2 v 2 = w, v. LM2, Kesä 2012 232/310
2. Reaalilukujen osittelulain sekä yhteenlaskun liitännäisyyden ja vaihdannaisuuden nojalla v + w, ū = (v 1 + w 1 )u 1 + 2(v 2 + w 2 )u 2 = v 1 u 1 + w 1 u 1 + 2v 2 u 2 + 2w 2 u 2 = v 1 u 1 + 2v 2 u 2 + w 1 u 1 + 2w 2 u 2 = v, ū + w, ū. 3. Reaalilukujen osittelulain nojalla c v, w = cv 1 w 1 + 2cv 2 w 2 = c(v 1 w 1 + 2v 2 w 2 ) = c v, w. LM2, Kesä 2012 233/310
4. Ensinnäkin v, v = v 1 v 1 + 2v 2 v 2 = v 2 1 + 2v 2 2 0. Osoitetaan, että lisäksi v, v = 0, jos ja vain jos v = 0. : Oletetaan, että v, v = 0. Tällöin v1 2 + 2v 2 2 = 0. Koska kumpikin yhteenlaskettava on epänegatiivinen, täytyy päteä v1 2 = 0 ja 2v 2 2 = 0. Tästä seuraa, että v 1 = 0 ja v 2 = 0. Siis v = 0. : Oletetaan, että v = 0. Tällöin v, v = 0, 0 = 0 2 + 2 0 2 = 0. LM2, Kesä 2012 234/310
Sisätuloavaruus Esimerkki 78 Merkitään V = {f : [0, 1] R f on derivoituva}. Joukko V on vektoriavaruus, jos funktioiden yhteenlasku ja skalaarikertolasku määritellään tavalliseen tapaan pisteittäin. Kurssin Analyysi II tietojen avulla voidaan osoittaa, että vektoriavaruuden V yksi sisätulo on f, g = 1 0 f (x)g(x) dx. LM2, Kesä 2012 235/310
Lause 79 Sisätulon ominaisuuksia Sisätuloavaruudessa V pätee v, 0 = 0 ja 0, v = 0 kaikilla v V. Todistus. Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v V. Tällöin v, 0 = v, 0 + 0 = v, 0 + v, 0. Vähentämällä yhtälön molemmilta puolilta luku v, 0, saadaan 0 = v, 0. Lisäksi sisätulon määritelmän perusteella 0, v = v, 0, joten myös 0, v = 0. LM2, Kesä 2012 236/310
Määritelmä Normi ja kohtisuoruus Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorin v normi on v = v, v. Vektoreiden v ja w välinen etäisyys on d( v, w) = v w. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset, jos v, w = 0. Vektori v on yksikkövektori, jos v = 1. Huom. Sisätulon määritelmän mukaan v, v 0, joten normi on aina määritelty. LM2, Kesä 2012 237/310
Normin ominaisuuksia Sisätuloavaruuden normilla on samat ominaisuudet kuin avaruuden R n normilla. Myös perustelu on oleellisesti sama. Lause 80 Oletetaan, että V on sisätuloavaruus, v V ja c R. Tällöin (a) v 0; (b) v = 0, jos ja vain jos v = 0; (c) c v = c v. LM2, Kesä 2012 238/310
Pythagoras sisätuloavaruudessa Koulusta tuttu Pythagoraan lause voidaan yleistää mihin tahansa sisätuloavaruuteen: Lause 81 (Pythagoraan lause) Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset, jos ja vain jos v 2 + w 2 = v + w 2. v + w w v + w w v v LM2, Kesä 2012 239/310
Kohtisuora komplementti Määritelmä Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus. Sen kohtisuora komplementti on joukko W = { v V v, w = 0 kaikilla w W }. Huom. Aliavaruuden kohtisuora komplementti muodostuu niistä vektoreista, jotka ovat kohtisuorassa kaikkia kyseisen aliavaruuden vektoreita vastaan. LM2, Kesä 2012 240/310
Esimerkki 82 Kohtisuora komplementti Tarkastellaan avaruuden R 2 aliavaruutta W = span ( (2, 1) ), joka on vektorin (2, 1) suuntainen, origon kautta kulkeva suora. Sen kohtisuora komplementti on W = { v R 2 v, w = 0 kaikilla w W } = { v R 2 v w = 0 kaikilla w W } = {(v 1, v 2 ) (v 1, v 2 ) t(2, 1) = 0 kaikilla t R} = {(v 1, v 2 ) t(2v 1 + v 2 ) = 0 kaikilla t R} = {(v 1, v 2 ) 2v 1 + v 2 = 0 } =... LM2, Kesä 2012 241/310
W =... = {(v 1, v 2 ) v 2 = 2v 1 } = {(v 1, 2v 1 ) v 1 R } = {v 1 (1, 2) v 1 R } = span ( (1, 2) ) eli origon kautta kulkeva vektorin (1, 2) suuntainen suora. LM2, Kesä 2012 242/310
Havaitaan, että esimerkin aliavaruus W ja sen kohtisuora komplementti ovat kaksi toisiaan vastaan kohtisuorassa olevaa avaruuden R 2 suoraa: W = span ( (2,1) ) W = span ( (1, 2) ) LM2, Kesä 2012 243/310
Kohtisuora komplementti Esimerkki 83 Tarkastellaan avaruuden R 3 aliavaruutta W = span ( (4, 2, 1) ), joka on vektorin (4, 2, 1) suuntainen, origon kautta kulkeva suora. Sen kohtisuora komplementti on W = { v R 3 v, w = 0 kaikilla w W } = { v R 3 v w = 0 kaikilla w W } = {(v 1, v 2, v 3 ) (v 1, v 2, v 3 ) t(4, 2, 1) = 0 kaikilla t R} =... LM2, Kesä 2012 244/310
W =... = {(v 1, v 2, v 3 ) t(4v 1 + 2v 2 v 3 ) = 0 kaikilla t R} = {(v 1, v 2, v 3 ) 4v 1 + 2v 2 v 3 = 0 } eli origon kautta kulkeva avaruuden R 3 taso, jonka yksi normaali on vektori (4, 2, 1). LM2, Kesä 2012 245/310
Havaitaan, että esimerkin aliavaruus W ja sen kohtisuora komplementti ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa olevat avaruuden R 3 suora ja taso: W = span ( (4,2, 1) ) W = {(x, y, z) 4x + 2y z = 0} LM2, Kesä 2012 246/310
Lause 84 Kohtisuora komplementti on aliavaruus Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus. Tällöin myös kohtisuora komplementti W on sisätuloavaruuden V aliavaruus. Todistus. Oletetaan, että v, ū W ja c R. Tällöin kaikilla w W pätee v, w = 0 ja ū, w = 0 (kohtisuoran komplementin määritelmä). Aliavaruuden määritelmän ehdot: (a) Tutkitaan summaa v + ū. Oletetaan, että w W. Tällöin v + ū, w = v, w + ū, w = 0 + 0 = 0. Tämä pätee millä tahansa w W, joten v + ū W. LM2, Kesä 2012 247/310
(b) Tutkitaan skalaarimonikertaa c v. Oletetaan, että w W. Tällöin c v, w = c v, w = c 0 = 0. Tämä pätee millä tahansa w W, joten c v W. (c) Tutkitaan vielä nollavektoria. Lauseen 79 nojalla kaikilla w W. Siis 0 W. 0, w = 0 LM2, Kesä 2012 248/310
Kohtisuora komplementti Lause 85 Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus. Oletetaan lisäksi, että W = span( w 1,..., w k ) ja v V. Tällöin v W, jos ja vain jos v, w i = 0 kaikilla i {1,..., k}. Todistus. : Oletetaan, että v W. Tällöin v, w = 0 kaikilla w W. Erityisesti v, w i = 0 kaikilla i {1,..., k}. : Oletetaan, että v, w i = 0 kaikilla i {1,..., k}. Väitteen v W todistamiseksi on osoitettava, että v, w = 0 kaikilla w W. LM2, Kesä 2012 249/310
Oletetaan, että w W. Tällöin w = a 1 w 1 + a 2 w 2 + + a k w k joillakin a 1,..., a k R. Sisätulon määritelmän ehtojen nojalla v, w = v, a 1 w 1 + a 2 w 2 + + a k w k = v, a 1 w 1 + v, a 2 w 2 + + v, a k w k = a 1 v, w 1 + a 2 v, w 2 + + a k v, w k = a 1 0 + a 2 0 + + a k 0 = 0. Siis v, w = 0 olipa w mikä tahansa aliavaruuden W vektori. Näin v W. LM2, Kesä 2012 250/310
Kohtisuora komplementti Esimerkki 86 Tarkastellaan avaruuden R 3 aliavaruutta W = span ( (1, 0, 3) (2, 1, 5) ), joka on vektoreiden w 1 = (1, 0, 3) ja w 2 = (2, 1, 5) suuntainen, origon kautta kulkeva taso. Sen kohtisuora komplementti on lauseen 85 nojalla W = { v R 3 v, w = 0 kaikilla w W } = { v R 3 v, w 1 = 0 ja v, w 2 = 0} = { v R 3 v w 1 = 0 ja v w 2 = 0} = {(v 1, v 2, v 3 ) v 1 + 3v 3 = 0 ja 2v 1 + v 2 + 5v 3 = 0}. LM2, Kesä 2012 251/310
Ratkaistaan yhtälöpari { x1 + 3x 3 = 0 Täydennetty matriisi: 2x 1 + x 2 + 5x 3 = 0. [ ] 1 0 3 0... 2 1 5 0 [ ] 1 0 3 0. 0 1 1 0 Ratkaisut ovat x = ( 3t, t, t), missä t R. Näin ollen W = {(v 1, v 2, v 3 ) v 1 + 3v 3 = 0 ja 2v 1 + v 2 + 5v 3 = 0} = {t( 3, 1, 1) t R} = span ( ( 3, 1, 1) ) eli origon kautta kulkeva, vektorin ( 3, 1, 1) suuntainen suora. LM2, Kesä 2012 252/310
Havaitaan, että esimerkin aliavaruus W ja sen kohtisuora komplementti ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa olevat avaruuden R 3 taso ja suora: W = span ( ( 3,1,1) ) W = span ( (1,0,3), (2,1,5) ) LM2, Kesä 2012 253/310
Kohtisuora komplementti Lause 87 Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus. Tällöin W W = { 0}. Todistus. : Oletetaan, että ū W W. Tällöin ū W ja ū W. Kohtisuoran komplementin määritelmän mukaan tällöin ū, w = 0 kaikilla w W. Erityisesti ū, ū = 0. Sisätulon määritelmästä seuraa, että tällöin ū = 0. Siis W W { 0}. : Koska W ja W ovat kumpikin aliavaruuksia, niin 0 W ja 0 W. Siten 0 W W. Siis { 0} W W. LM2, Kesä 2012 254/310
Määritelmä Kertausta: projektio Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Oletetaan, että v, w R n ja w 0. Vektorin v projektio vektorin w suuntaiselle suoralle on proj w ( v) = v w w w w. v proj w ( v) w LM2, Kesä 2012 255/310
Ortogonaalinen jono ja ortonormaali jono Määritelmä Sisätuloavaruuden V jono ( v 1, v 2,..., v k ) on ortogonaalinen, jos v i, v j = 0 kaikilla i j v i 0 kaikilla i {1, 2,..., k}. Sisätuloavaruuden V jono ( v 1, v 2,..., v k ) on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen v i = 1 kaikilla i {1, 2,..., k}. LM2, Kesä 2012 256/310
Ortogonaalinen jono ja ortonormaali jono Toisin sanottuna sisätuloavaruuden V jono ( v 1, v 2,..., v k ) on ortogonaalinen, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eikä mikään vektoreista ole nollavektori. ortonormaali, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja niistä jokaisen normi on yksi. LM2, Kesä 2012 257/310
Kohtisuora projektio Määritelmä Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus, jolla on ortogonaalinen kanta ( w 1,..., w k ). Vektorin v V (kohtisuora) projektio aliavaruudelle W on proj W ( v) = v, w 1 w 1, w 1 w 1 + v, w 2 w 2, w 2 w 2 + + v, w k w k, w k w k. Vektorin v kohtisuora komponentti aliavaruutta W vastaan on perp W ( v) = v proj W ( v). LM2, Kesä 2012 258/310
Kohtisuora projektio Huom. Voidaan osoittaa, että jokaiselle äärellisulotteiselle vektoriavaruudelle löytyy ortogonaalinen kanta. projektio on sama riippumatta siitä, mikä ortogonaalinen kanta valitaan. LM2, Kesä 2012 259/310
Esimerkki 88 Kohtisuora projektio Merkitään w = (1, 2, 0, 1) ja v = (6, 7, 3, 2). Tarkastellaan avaruuden R 4 aliavaruutta W = span( w). Vektorin v projektio aliavaruudelle W on proj W ( v) = Huom. v, w v w w = w, w w w = 3 w. w = 6 + 14 + 0 2 1 + 4 + 0 + 1 w = 18 6 w Aliavaruutta W = span( w) voi ajatella vektorin w suuntaisena suorana avaruudessa R 4. LM2, Kesä 2012 260/310
Kohtisuora projektio Esimerkki 89 Merkitään w 1 = (1, 1, 0) ja w 2 = ( 1, 1, 1). Tarkastellaan avaruuden R 3 aliavaruutta W = span( w 1, w 2 ), joka on vektoreiden w 1 ja w 2 suuntainen, origon kautta kulkeva taso. Havaitaan, että w 1 w 2, joten jono ( w 1, w 2 ) on vapaa. Siten se on virittämänsä aliavaruden W = span( w 1, w 2 ) kanta. Lisäksi w 1 w 2 = 1 + 1 = 0, joten kanta ( w 1, w 2 ) on ortogonaalinen. LM2, Kesä 2012 261/310
Tällöin voidaan määrittää vektorin v = (3, 1, 2) projektio aliavaruudelle W : proj W ( v) = v, w 1 w 1, w 1 w 1 + v, w 2 w 2, w 2 w 2 = v w 1 w 1 w 1 w 1 + v w 2 w 2 w 2 w 2 = 3 1 + 0 1 + 1 + 0 w 1 + 3 1 + 2 1 + 1 + 1 w 2 = w 1 2 3 w 2 =... = 1 (5, 1, 2). 3 LM2, Kesä 2012 262/310
Vektorin v projektio aliavaruudelle W = span( w 1, w 2 ): v w 1 projw ( v) w 2 LM2, Kesä 2012 263/310
Kohtisuora projektio Lause 90 Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus ja v V. Tällöin proj W ( v) W. Todistus. Määritelmän mukaan proj W ( v) = v, w 1 w 1, w 1 w 1 + v, w 2 w 2, w 2 w 2 + + v, w k w k, w k w k on aliavaruuden W kantavektoreiden lineaarikombinaatio. Siten proj W ( v) W. LM2, Kesä 2012 264/310
Kohtisuora projektio Lause 91 Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus ja v V. Tällöin perp W ( v) W. perp W ( v) v proj W ( v) LM2, Kesä 2012 265/310
Lauseen 91 todistus. Olkoon B = ( w 1,..., w k ) aliavaruuden W ortogonaalinen kanta. Määritelmän mukaan perp W ( v) = v proj W ( v). Lauseen 85 nojalla riittää siten osoittaa, että v proj W ( v), w i = 0 kaikilla i {1,..., n}. LM2, Kesä 2012 266/310
Oletetaan, että i {1,..., n}. Tällöin v proj W ( v), w i = v, w i proj W ( v), w i v, w1 = v, w i w 1, w 1 w 1 + + v, w k w k, w k w k, w i ( v, w1 = v, w i w 1, w 1 w 1, w i + + v, w ) k w k, w k w k, w i = v, w i v, w 1 w 1, w 1 w 1, w i v, w k w k, w k w k, w i = v, w i v, w i w i, w i w i, w i = v, w i v, w i = 0, sillä w i, w j = 0, jos i j. LM2, Kesä 2012 267/310
Ortogonaaliset komponentit Lause 92 Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus ja v V. Tällöin on olemassa täsmälleen yksi sellainen w W ja täsmälleen yksi sellainen w W, että Todistus. v = w + w. Osoitetaan aluksi, että tällaiset vektorit ovat olemassa. Valitaan w = proj W ( v) ja w = perp W ( v) = v proj W ( v). Lauseen 90 mukaan w W ja lauseen 91 mukaan w W. Lisäksi v = w + w. LM2, Kesä 2012 268/310
Osoitetaan vielä, että mitkään muut vektorit eivät toteuta annettuja ehtoja. Oletetaan, että w, ū W ja w, ū W ovat sellaisia, että v = w + w ja v = ū + ū. Tällöin w + w = ū + ū, joten w ū = w ū. Toisaalta W ja W ovat aliavaruuksia, joten w ū W ja w ū W. Siten w ū = w ū W W. Kuitenkin lauseen 87 nojalla W W = { 0}, joten w ū = 0 ja w ū = 0. Tästä seuraa, että w = ū ja w = ū. Siten ehdot toteuttavia vektoreita on vain yhdet. LM2, Kesä 2012 269/310
Ortogonaaliset komponentit v w = perp W ( v) = v proj W ( v) w = proj W ( v) LM2, Kesä 2012 270/310
Ortogonaalinen jono Jokainen ortogonaalinen jono on vapaa: Lause 93 Oletetaan, että ( v 1, v 2,..., v k ) on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen jono. Tällöin ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. Todistus. Oletetaan, että c 1 v 1 + + c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R. Oletetaan, että i {1,..., k}. Tällöin v i, c 1 v 1 + + c k v k = v i, 0. (4) LM2, Kesä 2012 271/310
Käyttämällä sisätulon määritelmää ja jonon ortogonaalisuutta saadaan yhtälön (4) vasen puoli muotoon v i, c 1 v 1 + + c k v k = c 1 v i, v 1 + + c k v i, v k = c i v i, v i. Toisaalta yhtälön oikea puoli on v i, 0 = 0 lauseen 79 nojalla. Siis c i v i, v i = 0. Koska jono on ortogonaalinen, ei v i ole nollavektori. Siten v i, v i 0. Tulon nollasäännön nojalla siis c i = 0. Näin ollen c i = 0 kaikilla i 1,..., k, ja jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. LM2, Kesä 2012 272/310