Matematiikka kaikille, kesä 2017 Luentojen 2,4 ja 6 luentokalvoja (päivittyy kurssin aikana) Henrik Wirzenius, henrik.wirzenius@helsinki.fi, June 21, 2017 1/30
Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Kurssin sisältö: Kurssilla annetaan esimerkkejä korkeamman matematiikan ilmiöistä ja sovelluksista. Kurssilla ei ole esitietovaatimuksia. (Korkeammassa) matematiikassa usein tutkitaan jotakin kokoelmaa samantyyppisiä objekteja, johon on lisätty jokin struktuuri. Esim. ryhmät, renkaat, vektoriavaruudet, topologiset avaruudet, Banachin algebrat jne., June 21, 2017 2/30
Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Modernin joukko-opin pioneerit: G. Cantor, R. Dedekind (1800-luvun loppupuoli) Aktuaalinen äärettömyys vs. potentiaalinen äärettömyys. Ns. naiivi joukko-oppi johtaa paradokseihin: vaikka joukot voivat olla äärettömiä, niin jotkut kokoelmat ovat liian suuria (Cantor: absoluuttisesti äärettömiä) ollakseen joukkoja. Määitelmä ("Naiivi" määritelmä) Joukko on kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi. Esimerkki 1 Olkoon A = {1, 2, 3}. Tällöin A on joukko, jonka alkiot ovat luvut 1,2 ja 3. Merkintä: 1 A, 0 / A. Lukujoukkoja: N = {0, 1, 2, 3,...} (luonnollisten lukujen joukko) Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} (kokonaislukujen joukko), June 21, 2017 3/30
Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Joukoista voidaan muodostaa uusia joukkoja joukko-operaatioilla: Yhdiste: A B = {"x on alkio A:ssa tai B:ssä} Leikkaus: A B = {" x on A:n ja B:n alkio} Erotus: A B = {" x on A:n mutta ei B:n alkio "} Muitakin on. Joukko A on B:n osajoukko, merkitään A B, jos kaikki A:n alkiot ovat B:n alkioita. Joukot A ja B ovat sama joukko, merkitään A = B, jos niillä on täsmälleen samat alkiot., June 21, 2017 4/30
Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Osajoukkoja voi määritellä ehdon avulla (osajoukkoaksiooma): Olkoon B joukko ja P jokin ehto. Tällöin on B:n osajoukko. A = {x B x toteuttaa ehdon P}, June 21, 2017 5/30
Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Ongelma: Olkoon J kaikkien joukkojen "joukko". Russelin paradoksi: Olkoon R = {J J J / J}. Päteekö R R? Kansantajuisempi versio Russelin paradoksista: Sevillan parturi. (Lisäys: yllä mainittu ei viittaa Rossinin oopperaan), June 21, 2017 6/30
Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Ongelman poistaminen: Russellin oma ehdotus: ns tyyppiteoria (Principia Mathematica, B. Russell & A. N. Whitehead, 1910-1913) Toinen ratkaisu: aksiomaattinen joukko-oppi ns. Zermelo-Fraenkel joukko-oppi (ZF). Tätä käytetään usein perusteena eri matematiikan aloilla. Muitakin joukko-oppeja on konstruoitu jotka välttävät Russellin paradoksin. ZF - joukko-oppiin lisätään usein ns. valinta-aksiooma (ZFC -joukko-oppi): Jokaiselle joukolle joka koostuu epätyhjistä joukoista on olemassa valintafunktio. Toisin sanoien (aavistuksen epäformaalisti) jos meillä on kokoelma epätyhjiä joukkoja, niin voidaan jokaisesta joukosta poimia yksi alkio., June 21, 2017 7/30
Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Monien matematiikan keskeisten lauseiden todistamiseen tarvitaan valinta-aksioomaa. ZFC- joukko-oppi johtaa Banach-Tarksi-paradoksiin (joka ei sinänsä ole looginen paradoksi, vaan intuition vastainen lause). Theorem 1 (Banach-Tarski, 1924) 3-ulotteinen pallo voidaan jakaa äärellisen moneen osaan (5 osaa riittää) ja osia kiertämällä ja siirtämällä muodostaa kaksi identtistä kopiota alkuperäisestä pallosta. Huom. Osia ei siis venytetä millään tavalla., June 21, 2017 8/30
Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Kuvaus joukosta X joukkoon Y on sääntö f, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon täsmälleen yhden alkion joukosta Y. Merkitään f : X Y ja alkioon a liitetty alkio merkitään f (a). Esim. f : Z Z, f (x) = x + 2, g : { kaikki HY:n opiskelijat } N, g(x) = x:n opiskelijanumero., June 21, 2017 9/30
Matematiikan perusteita (joukko-oppi) Erityisiä kuvauksia: Kuvaus f : X Y on injektio, jos aina kun x y, niin f (x) f (y) Kuvaus f : X Y on surjektio, jos kaikille y Y on olemassa x X siten että y = f (x). Bijektio = injektio & surjektio Huomaa, että jos A ja B ovat äärellisiä joukkoja, niin on olemassa bijektio f : A B täsmälleen silloin kun joukoissa on yhtä monta alkiota., June 21, 2017 10/30
Yleisemmin, sanotaan että joukoilla A ja B on sama mahtavuus tai kardinaliteetti jos on olemassa bijektio f : A B. Esim. olkoon A = {n N n = k 2 jollakin k N}. Tällöin f : N A, f (k) = k 2 on bijektio. Joukot A ja N ovat siis yhtä mahtavia, vaikkakin A N. Tätä hämmästeli jo aikoinaan Galileo. Myös joukkojen N ja Q (rationaaliluvut) välillä on bijektio. (Cantor) Ei ole olemassa bijektiota joukosta N joukkoon R (reaaliluvut). (Kts. harjoitustehtävät), June 21, 2017 11/30
Merkitään A B jos on olemassa injektio f : A B ja A = B jos on olemassa bijektio f : A B ja A < B jos on olemassa injektio A:sta B:hen, mutta ei bijektiota. Jos A B ja B C, niin A C (Harjoitustehtävä) Valinta-aksioomaa käyttämällä voidaan osoittaa, että aina pätee A B tai B A (Cantor-Bernstein-Schröder) Jos A B ja B A, niin A = B. (Aavistuksen epäformaalia) Jokaista yhtämahtavista joukoista koostuvaa ekvivalenssiluokkaa (Kts. harjoitustehtävät) edustaa ns. kardinaalinumero: 0, 1, 2,..., ℵ 0, ℵ 1,... Esim. N = Q = ℵ 0, June 21, 2017 12/30
Joukon A potenssijoukko P(A) on kaikista A:n osajoukoista muodostettu joukko. Ei ole olemassa surjektiota joukosta A joukkoon P(A) (Kts. harjoitustehtävät) Kontinuumihypoteesi: P(N) = ℵ 1 Theorem 2 (Gödel-Cohen) Kontinuumihypoteesi on riippumaton ZFC joukko-opista., June 21, 2017 13/30
Vektoriavaruudet Muistetetaan, että tason R 2 pisteitä voidaan ajatella vektoreina x = (a, b) (nuoli origosta pisteeseen (a, b)). Vektoreille on määrätty yhteenlasku ja luvulla kertominen: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ja r(a, b) = (ra, rb) Vektoriavaruus on joukko joiden alkioita kutsutaan vektoreiksi. Vektoreita x, y voi summata yhteen x + y sekä kertoa reaaliluvulla a x. Nämä laskuoperaatiot käyttäytyy kuten lukujen yhteenlasku ja kertominen: esim. x + y = y + x, a(x + y) = ax + ay, (a + b)x = ax + bx, 1x = x. Vektoriavaruuksilla on myös aina nollavektori 0, jolle pätee 0 + x = x. Nollavektorille pätee myös 0x = 0., June 21, 2017 14/30
Täsmällinen määritelmä: Määitelmä Vektoriavaruus on joukko V, jonka alkioita kutsutaan vektoreiksi, jossa on määritelty vektoreiden yhteenlasku + sekä reaaliluvulla kertominen. Laskutoimitukset toteuttavat seuraavat ehdot: kaikilla x, y, z V ja a, b R x + (y + z) = (x + y) + z x + y = y + x a (x + y) = a x + a y (a + b) x = a x + b x a (b x) = (ab) x 1 x = x on olemassa vektori 0, jolle 0 + x = x on olemassa vektori x, jolle x + ( x) = 0, June 21, 2017 15/30
Jokainen R 2 :n vektori voidaan kirjoittaa muotoon ae 1 + be 2, missä a, b R ja e 1 = (1, 0) sekä e 2 = (0, 1). Osajoukko {e 1, e 2 } on (eräs) R 2 :sen kanta. Yleisesti: Vektoriavaruuden V osajoukko B on (Hamelin) kanta jos jokainen vektori v V voidaan yksikäsitteisellä tavalla kirjoittaa muodossa v = a 1 e 1 + a 2 e 2 +... + a n e n missä e 1,..., e n B ja a 1,..., a n R jollakin n N. Kannan mahtavuutta kutsutaan vektoriavaruuden dimensioksi. Käyttämällä valinta-aksioomaa voidaan osoittaa että jokaisella vektoriavaruudella on kanta. Tosin kannan mahtavuus on useille konkreettisille vektoriavaruuksille isompi kuin ℵ 0., June 21, 2017 16/30
Esimerkkejä äärellisulotteisista vektoriavaruuksista (ts. dimensio on äärellinen) R, R 2, R 3,.... P 1, P 2, P 2,..., missä P n on kaikkien polynomien muodostama avaruus joiden aste on korkeintaan n. Esim. f : R R, f (x) = 2x 2 + x + 1 on vektori P 2 :ssa. F 1 [ π, π], F 1 [ π, π], F 2 [ π, π],... missä F n [ π, π] on kaikkien trigonometristen polynomien f : [ π, π] R muodostama avaruus joiden aste on korkeintaan n. Esim. f : [ π, π] R, f (x) = 2 cos(x) + 3 sin(x) sin(2x) on vektori F 2 [ π, π]:ssa., June 21, 2017 17/30
Polynomit ja trigonometriset polynomit käyttäytyvät hyvin (esim. ne ovat äärettömän monta kertaa derivoituvia). Lisäksi voidaan approksimoida jatkuvia funktioita tämän tyyppisillä funktioilla. Esimerkiksi funktioiden f (x) = e x ja g(x) = 1 + x + x 2 /2 + x 3 /6 + x 4 /24 kuvaajat näyttävät aika samoilta (lähellä pistettä 0) Esimerkiksi { "telttafunktion" 1 x, kun 1 x 1 f (x) = 0, muulloin polynomin ja trigonometrisen g(x) = 1 cos(1) + 21 cos(x) + 2 1 cos(2) cos(2x) 2π π 4π + 2 1 cos(3) 9π cos(3x) + 2 1 cos(4) 16π kuvaajat näyttävät aika samoilta välillä [ π, π]. cos(4x), June 21, 2017 18/30
Esimerkkejä ääretönulotteisista vektoriavaruuksista (ts. dimensio on ääretön) Jonoavaruuksia c 00, c 0, l 1, l 2, l. Funktioavaruuksia: C 0 (R), C[0, 1], L 1 [0, 1], L 2 [0, 1] Kaikkien funktioavaruuksien vektoreiden yhteenlasku ja luvulla kertominen määritellään samalla tavalla: f + g on funktio, jonka lauseke on (f + g)(x) = f (x) + g(x). Funktion af lauseke on (af )(x) = a f (x). Jokaisen jonoavaruuden vektoreiden yhteenlasku ja luvulla kertominen määritellään samalla tavalla: (a 1, a 2,...) + (b 1, b 2,...) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,...) ja a (a 1, a 2,...) = (a a 1, a a 2,...)., June 21, 2017 19/30
Raja-arvo Ääretönulotteisten vektoriavaruusesimerkkien määritelmiä varten tarvitaan raja-arvon käsitettä, joka on yksi matematiikan keskeisimmistä käsitteistä. Määitelmä Oletetaan, että (x 1, x 2,...) on jono reaalilukuja. Sanotaan, että lukujono lähestyy lukua a R jos jokaisella r > 0 on olemassa indeksi n r, siten että x n a < r kaikilla n n r. Toisin sanoen, mille tahansa välille muotoa ]a r, a + r[ ainoastaan äärellisen monta jonon alkiota ovat välin ulkopuolella. Merkintä: x n a, kun n, tai lim x n = a n, June 21, 2017 20/30
Esimerkki 2 Jono (1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,...) suppenee kohti lukua 0. Jono (1, 2, 3, 4,...) ei suppene, eli se hajaantuu. Jono (1, 1, 1, 1, 1, 1,...) hajaantuu., June 21, 2017 21/30
Jos lukujonon (a 1, a 2,...) alkioita summataan yhteen saadaan sarja. Sarja on formaali ääretön summa jolla on osasummat a k = a 1 + a 2 + a 3 +... k=1 n S n = a k k=1 Osasummat muodostavat lukujonon S 1, S 2,.... Sanotaan, että sarja suppenee kohti reaalilukua a, jos osasummien jono suppenee kohti a:ta. Muulloin sarja hajaantuu., June 21, 2017 22/30
Frame Title Esimerkki 3 Geometriset sarjat aq k 1 k=1 suppenee kohti lukua a/(1 q) kun q < 1. Harmoninen sarja 1/k k=1 hajaantuu., June 21, 2017 23/30
Jonoavaruudet Jonoavaruus c 0 koostuu kaikista lukujonoista (a 1, a 2,...) jotka suppenee kohti lukua 0. Jonoavaruus l 1 koostuu kaikista lukujonoista (a 1, a 2,...), joille sarja a k suppenee. k=1 Jonoavaruus l 2 koostuu kaikista lukujonoista (a 1, a 2,...), joille sarja a k 2 suppenee. k=1, June 21, 2017 24/30
Jonoavaruus l koostuu kaikista lukujonoista (a 1, a 2,...) joille pätee a n M jollakin jonosta rippuuvalla luvulla M. Esim. kaikki bittijonot kuuluvat avaruuteen l. Voidaan osoittaa, että l 1 l 2 c 0 l, June 21, 2017 25/30
Määitelmä Normi: Olkoon V vektoriavaruus. Tällöin kuvaus : V R on normi jos kaikilla x, y V ja r R (a) x + y x + y (b) rx = r x (c) Jos x = 0 niin x = 0. Kahden vektorin x ja y etäisyys toisistaan saadaan normilla x y. Esimerkki 4 Esim. reaaliluvun itseisarvo on vektoriavaruuden R normi. Tason R 2 eukliidinen normi: (x, y) 2 = x 2 + y 2, June 21, 2017 26/30
Esimerkki 5 Muita tason R 2 normeja: (x, y) 1 = x + y (ns. taksikuskin normi). Esim. kaupunkisuunnittelu. (x, y) = max { x, y } Itse asiassa, millä tahansa p 1: (x, y) p = ( x p + y p) 1/p on normi. Huomaa: p = 2 eukliidinen normi ja p = 1 taksikuskin normi., June 21, 2017 27/30
Esimerkki 6 Normiavaruuden V yksikköympyrä on osajoukko S 1 = {x V x = 1}. Havainnollistetaan R 2 :n yksikköympyrää normien x 1, x 2, x suhteen., June 21, 2017 28/30
Jotkut tason geometriset ongelmat ovat paljon yksinkertaisempia taksikuskin normilla kuin eukliidisella normilla. Esimerkki 7 Olkoon A, B ja C kolme tason R 2 pistettä. Haluamme etsiä piste X siten, että summa pisteen X etäisyyksistä A:han, B:hen ja C:hen on pienin mahdollinen. Jos käytämme eukliidista normia, niin kysymys on hankala (X on ns. Fermatn piste) Jos käytämme taksikuskin normia, niin kysymys on helppo (havainnollisestaan taululla)., June 21, 2017 29/30
Yllä mainitut normit yleistyvät avaruuksille R n, sekä jonoavaruuksille. Esimerkki 8 Kaikille x = (a 1, a 2,...) l 1 määritetään x 1 = a k k=1 Kaikille x = (a 1, a 2,...) l 2 määritetään x 2 = a k 2 k=1 Kaikille x = (a 1, a 2,...) l määritetään x = pienin luku M siten että a k M kaikilla k., June 21, 2017 30/30