Perjantai 10.10.2014 1/21 Hamiltonin-Jacobin teoriaa Tällä viimeisellä luennolla käsittelemme vielä uuden näkökulman klassiseen mekaniikkaan, joka kulkee nimellä Hamiltonin-Jacobin teoria. Aloitetaan Hamiltonin periaatteesta: T I = L(q i, q i, t)dt 0 joka lasketaan kaikille poluille q(t) kiinteillä reunaehdoilla: q i (0) = q alku i ; q i (T ) = q loppu i Tällöin oikea polku saadaan vaikutusintegraalin ääriarvosta δi = 0. Vaihdetaan nyt perspektiiviä. Tarkastellaan vaikutusintegraalia laskettuna ainoastaan oikealle (klassiselle) polulle qi klassinen (t) ja määritellään S(q alku i, q loppu i, t) I [qi klassinen (t)] Vaikutusintegraali I on funktionaali mille tahansa polulle, S on taasen funktio alku- ja loppukonfiguraatioista qi alku, q loppu i ja ajasta T, joka kuluu päätepisteiden välillä kulkemiseen.
Hamiltonin-Jacobin teoriaa Kysytään seuraavaksi, että mitä tapahtuu, jos pidämme qi alku loppupistettä q loppu i : T δi = 0 S q loppu i [ L dt ( )] L d q i dt q }{{ i } =0 = L t=t = p loppu i q i [ ] L T δq i (t) + δq i (t) q i 0 kiinteänä ja varioimme Seuraavaksi halutaan laskea T S. Tarkastellaan klassista polkua, jolla on kiinteä alkukonfiguraatio q alku i. Annetaan polun käydä vähän kauempana eli T T + δt : Toisaalta di /dt = L tai ds dt = S T + ds dt = L(qklassinen i S q loppu i q loppu i (T ), q klassinen i = S T + ploppu i q loppu i (T ), T ) = L(q loppu i, q loppu i, T ) S ( ) T = p loppu i q loppu i L(q loppu i, q loppu i, T ) = H(q loppu i, p loppu i, T ) Voimme lopuksi tiputtaa sanan loppu ja korvata T t. Perjantai 10.10.2014 2/21
erjantai 10.10.2014 3/21 Hamiltonin-Jacobin teoriaa Löysimme siis ajasta riippuvan funktion S = S(q i, t), joka toteuttaa: S q i = p i ; S t = H(q i, p i, t) Sijoittamalla ensimmäinen jälkimmäiseen saamme Hamiltonin-Jacobin yhtälön: S t = H(q i, S/ q i, t) Olemme siis osoittaneet, että Hamilton-Jacobi-yhtälön voi konstruoida tarkastelemalla klassisia polkuja, jotka alkavat jostain referenssipisteestä qi alku ja saavuttavat pisteen q i ajassa T. Alkupisteitä qi alku voidaan pitää integraatiovakioina. Mitä käyttöä on sitten H-J-yhtälön ratkaisulle? Meillä on siis ajasta riippuva funktio S(q i, t) konfiguraatioavaruudessa. Hamiltonin LY: n kpl 1.krtl DY q i :iden aikakehitykselle. q i = H p i pi = S/ q i Toisin sanoen, S määrää systeemin aikakehityksen: kun preparoimme systeemin johonkin alkukonfiguraatioon, S:sää voidaan ajatella reaaliarvoisena klassisena aaltofunktiona, joka määrää kuinka systeemi aikakehittyy.
Perjantai 10.10.2014 4/21 Hamiltonin-Jacobin teoriaa q i = H p i pi = S/ q i ; S t = H(q i, S/ q i, t) Meidän pitää vielä osoittaa, että aikakehitys, jonka ed. yhtälö määrää toteuttaa jäljellä olevat liikeyhtälöt. Ts. toteutuuko myös toinenkin Hamiltonin liikeyhtälö ṗ i = H/ q i? Suora lasku: ṗ i = d dt ( S q i ) = 2 S q i q j q j + 2 S t q i qi (Ham. Jac.) = 2 S t q i = H q i H p j 2 S q i q j = H 2 S q j q i q i q j Tiivistelmä: olemme harjaantuneet tarkastelemaan systeemin aikakehitystä n kpl 2.krtl DY:illä konfiguraatioavaruudessa (Lagrangen formalismi) ja toisaalta 2n 1.krtl DY:illä faasiavaruudessa (Hamiltonin formalismi). Hamiltonin-Jacobin formalismissa voimme upottaa n integroimisvakioita funktioon S(q i, t) s.e. voimme käsitellä systeemin aikakehitystä 1.krtl DY:illä ( q i = H p i pi = S/ q i ) konfiguraatioavaruudessa.
Perjantai 10.10.2014 5/21 H-J konservatiivisessa potentiaalissa H = i p 2 i 2m + U( q) ; p i = S q i ; ts = H H-J:n yhtälö: Konservatiivisuus: H = E E + S t = 0 1 2m ( S)2 + U( q) + S t = 0 S(q, t) = S q(q) Et ; H(q, S q/ q i ) = E Tässä S q on Hamiltonin prinsipaalifunktio, joka siis toteuttaa DY:n: 1 2m ( Sq)2 + U(q) = E Tällä H-J yhtälön erityisratkaisulla on se ominaisuus, että jokaisella konfiguraatioavaruuden polulla, jonka siis S q määrää, on sama energia E. Ennen kuin voimme jatkaa jonkin konkreettisen esimerkin kimppuun, niin meidän pitää olla eksplisiittisempi integroimisvakioiden käsittelyn suhteen; ne on upotettu S:ään.
Perjantai 10.10.2014 6/21 H-J, integroimisvakiot Sen sijaan, että yrittäisimme olla turhan yleisiä, niin keskitytään seuraavaksi yhden vapausasteen ongelmaan: H = p2 2m + U(q) Koska H on ajasta riippumaton, energia säilyy. H-J yhtälöllä on tasan 1 integroimisvakio, kutsutaan sitä α:ksi, joka on siis välttämättä jokin funktio energiasta E. Kirjoitetaan siis ekplisiittisesti S = S(q, t; α), missä α = α(e). Tehdään seuraavaksi kanoninen muunnos (q, p) (β, α) s.e. α on uusi kanoninen impulssi. Mikä on tällöin uusi koordinaatti β? Kanonisuusvaatimus: {q, p} (β,α) q p β α q p α β = 1 Laittamalla p i = S/ q (muista myös S = S(q, α), q = q(β, α), p = p(β, α)): {q, p} (β,α) = q ( 2 ) S β α q + 2 S q q 2 q 2 S q α α q 2 β = q β q ( ) S α Muunnos on siis kanoninen, jos β = S α. Funktio S on siis tyypin G 2 generaattori: p = S q ; β = S α
Perjantai 10.10.2014 7/21 H-J, tyypin G2 generaattorista p i = S q i ; Q i = S P i Merkitään (muista α i, β i ovat vakioita) { Q i β i S = S(q, P, t) S(q, t; α) n + 1 muuttujan funktio P i α i H(q, S/ q, t) + S/ t = 0 (H-J yhtälö) n + 1 muuttujan 1.krtl ODY S:lle S generoi kanonisen muunnokseen, jossa Q i :t ja P i :t ovat vakioita. Ratkaisuresepti: 1. Ratkaistaan S(q, t; α) H-J:n yhtälöstä 2. Muodostetaan β i = S(q,t,α) (n yhtälöä) α i 3. Ratkaistaan ylläolevista yhtälöistä q(t, α, β) rata ajan ja integroimisvakioiden funktiona. H-J teoriassa ongelman ratkaisu on siis yhtä kuin kanonisen muunnoksen löytyminen.
erjantai 10.10.2014 8/21 Esimerkki: HO H = p2 2m + 1 2 kq2 = E Nyt valitaan α = E ja S = S q(q, E) Et, missä 1 2m ( ) 2 Sq + 1 q 2 kq2 = E S q q = mk ( 2E k q2 ) josta S = mk β = S m E = k 2E dq k q2 Et ( ) 2E 1/2 dq k q2 t ( ) m k β + t = k arccos q 2E 2E q = mω0 2 cos ω 0 (t + β) Muunnetun systeemin kanoniset muuttujat: Q = β ja P = E. Molemmat liikevakioita, mutta selvästi eivät q(0) ja p(0)!
Esimerkki: keskeisliike Tarkastellaan keskeisliikettä tasossa θ = π/2: ( ) H(r, ϕ, p r, p ϕ) = 1 pr 2 + p2 ϕ 2m r 2 + U(r) Konservatiivisuus S = S q(r, ϕ, α) α 1 t, missä α 1 = E. H-J: 1 2m (( r S q) 2 + ( ϕsq)2 ϕ on syklinen p ϕ =vakio= l α 2 ja ϕs q = α 2 : r 2 ) + U(r) = α 1 S q = S r (r; α) + ϕα 2 1 ( ) ( r S r ) 2 + α2 2 2m r 2 + U(r) = α 1 erjantai 10.10.2014 9/21
Perjantai 10.10.2014 10/21 Esimerkki: keskeisliike S r = 2m[α 1 U(r)] α2 2 r r 2 S = dr 2m[α 1 U(r)] α2 2 r 2 + ϕα 2 α 1 t β 1 = S mdr = t α 1 β 2 = S = α 2 2m[α 1 U(r)] α2 2 r 2 α 2 dr r 2 2m[α 1 U(r)] α2 2 r 2 + ϕ Näistä saadaan siis ratkaistua radan yhtälöt r(t, α, β) ja r(ϕ, α, β) (esim. Kepler). Vakioilla β 1, β 2 on selkeä tulkinta (ajan ja vaiheen nollakohtien valinta).
Perjantai 10.10.2014 11/21 H-J, kulma-vaikutusmuuttujat Muistetaan harmonisen oskillaattorin yhteydestä, että periodinen liike voidaan jakaa kahteen perustyyppiin: Libraatioon Rotaatioon H-J kanonisina impulsseina integroimisvakiot P i = α i. Merk. α = {α i }. Tarkastellaan vaikutusmuuttujia H-J teoriassa, eli J i = p i dq i i = 1,..., n missä siis J i = J i (α), J = {J i }.
Perjantai 10.10.2014 12/21 H-J, kulma-vaikutusmuuttujat Oletetaan, että meillä on konservatiivinen systeemi S = S q(q; α) α 1 t ja että S q on separoituva q-koordinaateissa: S q = i Sq i (q i ; α). H-J: J i = p i = Sq q i = Sq i (q i ; α) q i p i dq i = Määritellään seuraavaksi kulmamuuttujat: Sqi q i dq i = J i (α) α i = α i (J) S q = S q(q, J) w i = Sq J i (vrt. β i = S/ α i ) Vastaa kanonista muunnosta (q, p) (w, J), jonka generoi S q(q, J). Konservatiivisuus H = E = α 1 (J) ja koska muunnos ei riipu ajasta K = H(J), niin kulmamuuttujat ovat syklisiä koordinaatteja.
H-J, kulma-vaikutusmuuttujat ẇ i = H J i ν i (J) = vakio w i = ν i (J)t + β i Kysymys: paljonko w i muuttuu, kun q i tekee täyden syklin? δw i = j w i w j δq j jolloin 1 w i = j = j wi dq j = 2 S q dq j = q j q j j J i j p j dq j = J j = 1 J i J j i pj J i dq j Merk. q i :n periodin pituutta τ i : w i = τ i ν i = 1 ν i = τ 1 i. 1 Varoitus! toisella rivillä otettiin Ji -derivaatta ulos integraalista, jonka reitti riippuu J i :stä. Osoittautuu, että muutos reitin sisällään pitämässä pinta-alassa on toista krtl δj i :ssä ja temppu on tällä kertaa vaaraton. Perjantai 10.10.2014 13/21
Perjantai 10.10.2014 14/21 Esim. HO:n periodi Liike tiedetään jaksolliseksi: J = pdq = mk = 2E mk k 2E k 2π cos 2 θdθ 0 } {{ } 1 2 2π H = p2 2m + 1 2 kq2 = E q2 dq m = 2πE k sij. q = 2E k sin θ H = E = J k 2π m ν = H J = 1 k 2π m = ω 0 2π Jaksollisen liikkeen periodi saatiin siis määrätyksi liikeyhtälöitä muodostamatta, saati ratkaisematta!
Perjantai 10.10.2014 15/21 Esimerkki: Keplerin liike ratatasossa ( ) H = 1 pr 2 + p2 ϕ 2m r 2 k r Vaikutusmuuttujat ovat siis J ϕ = p ϕdϕ = ldϕ = 2πl J r = = E, pϕ = l = vakio (ϕ syklinen) ( p r dr = 2m E + k ) l2 r =... = 2πl + πk r 2 dr 2m = Jϕ + πk E 2m E Näin siis H(J r, J ϕ) = E = 2π2 mk 2 (J r +J ϕ) 2. Molemmilla koordinaateilla on sama taajuus (ratakäyrä on suljettu): ν = H J r = H = 4π2 mk 2 J ϕ (J r + J ϕ) 3 = 1 2E 3 πk m
Bonus: matkaeväät kvanttimekaniikkaan Yksi päämotiiveista tarkastella klassisen mekaniikan formaaleja asioita tällä viikolla on tietenkin yrittää lähentyä kvanttimekaniikkaa. Tästä syystä tarkastellaan tätä yhteyttä vähän lähemmin muutaman analogian kautta. Näin kvanttimekaniikka saadaan näyttämään hivenen ymmärrettävämmältä. 2 Klassisessa mekaniikassa systeemin tilaa kuvataan pisteellä (q i, p i ) faasiavaruudessa. Kvanttimekaniikassa tilaa kuvataan kompleksiarvoisella aaltofunktiolla ψ(q) konfiguraatioavaruudessa. Havaittavat suureet (observaabelit) ovat operaattoreita aaltofunktioiden avaruudessa. Paikka- ˆq i ja momenttioperaattoreiden ˆp i standardiesitykset ovat: ˆq i ψ(q) = q i ψ(q) ˆp i ψ(q) = i ψ q i joista seuraa tunnetut Heisenbergin kommutaatiosäännöt: [ˆp i, ˆp j ] = 0 [ˆq i, ˆq j ] = 0 [ˆq i, ˆp j ] = i δ ij missä [A, B] = AB BA. Lienee tutunnäköistä? 2 Tosiaankin vain hivenen, kvanttimaailma on todella mystinen. Mm. Feynman on tokaissut: I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.. erjantai 10.10.2014 16/21
Perjantai 10.10.2014 17/21 Bonus: matkaeväät kvanttimekaniikkaan [ˆp i, ˆp j ] = 0 [ˆq i, ˆq j ] = 0 [ˆq i, ˆp j ] = i δ ij Muistanette Poissonin sulut: {q i, q j } = {p i, p j } = 0, {q i, p j } = δ ij Vaikka nämä bilineaariset, antisymmetriset operaattorit [, ] ja {, } operoi täysin eri avaruuksissa, ne toteuttavat saman algebrallisen rakenteen. Heuristisesti: molemmat kommutaatiosäännöt kertovat sen matemaattisen asian, että impulssi p i generoi koordinaattien q i infinitesimaalisen translaation. Klassisessa mekaniikassa opimme tämän viime luennolla, kun tarkastelimme infinitesimaalisia kanonisia muunnoksia. Kvanttimekaniikassa tämä seuraa ed. kalvon ˆq i, ˆp i esityksistä ja Taylorin kehitelmästä. Tie kvanttimekaniikkaan kuvataan Poissonin sulkujen kautta (formuloi Dirac): {, } klassinen i [, ] kvantti kanoninen kvanttisointi Näistä seuraa myös liikeyhtälöt kvanttimekaniikassa: 3 ḟ = {f, H} i ˆf = [ˆf, Ĥ] Klassinen raja 0. 3 Nämä ovat ns. Heisenbergin kuvan liikeyhtälöt, jossa operaattorit riippuvat ajasta eikä siis aaltofunktio.
erjantai 10.10.2014 18/21 Bonus: matkaeväät kvanttimekaniikkaan Poissonin suluilla oli siis jotain tekemistä kvanttimekaniikan Heisenbergin kuvan kanssa. Hamiltonin-Jacobin yhtälöllä taasen liittyy Schrödingerin aaltofunktioon. Ensimmäisiä asioita joita kvanttimekaniikan kurssilla opitaan liittyy Schrödingerin yhtälöön yksiulotteisessa tapauksessa. Otetaan siis Hamiltonin operaattori Ĥ = ˆp2 + U(ˆq), joka operoi hitun aaltofunktioon ψ(q): 2m i ψ t 2 2 ψ = Ĥψ = 2m q 2 + U(q)ψ jossa siis käytettiin ed. esitystä paikka- ja impulssioperaattoreille. Kirjoitetaan kompleksiarvoinen aaltofunktio seuraavasti ψ(q, t) = R(q, t)e is(q,t)/ missä R ja S ovat reaaliarvoisia funktioita. Todennäköisyys löytää hitu pisteestä q ajanhetkellä t: P(q, t) = ψ(q, t) 2 = R(q, t) 2. Mutta mikä on vaiheen S tulkinta? Laitetaan aaltofunktion esitys Schrödingerin yhtälöön: [ R i t + ir ] [ S = 2 2 R t 2m q 2 + 2i R S q q R 2 ( ) S 2 + ir q ] 2 S q 2 +UR
Bonus: matkaeväät kvanttimekaniikkaan [ R i t + ir ] [ S = 2 2 R t 2m q 2 + 2i R S q q R 2 ( ) S 2 + ir q ] 2 S q 2 + UR Otetaan tästä sitten klassinen raja 0: 4 S t + 1 2m ( ) S 2 + U(q) = O( ) q Tunnistamme tämän Hamiltonin-Jacobin yhtälöksi. Eli klassisella rajalla hitun aaltofunktion vaiheen voidaan ymmärtää olevan klassinen vaikutus sille polulle, jonka hitu oikeasti kulkee. 4 Tarkemmin sanottuna vaadimme 2 S q 2 S q. Tämä tarkoittaa sitä, että ajattelemme hitun de Broglie aallonpituuden olevan paljon pienempi kuin minkään muun skaalan. Perjantai 10.10.2014 19/21
Bonus: matkaeväät kvanttimekaniikkaan Tarkastellaan vielä Hamiltonin periaatetta. Kullekin polulle, jonka hitu voisi kulkea voidaan antaa jokin numeroarvo: vaikutusintegraalin arvo. LY vaikutuksen I ääriarvo. Mutta entäs muut polut, onko niille jotain käyttöä? Kvanttimaailmassa kyllä! Ajatellaan, että hitu on todettu pisteessä q alku (t = 0), tällöin tod.näk. P että hitu löydetään pisteessä q loppu (t = T ) voidaan lukea aaltofunktiosta ψ(q loppu, T ). Feynmanin polkuintegraaliesitys aaltofunktiolle: 5 q loppu ψ(q loppu, T ) = N Dq(t)e ii [q(t)]/ (N normitus) q alku Tässä kaavassa ainoa hankaluus on integraali: se on summa kaikista mahdollisista poluista. Nämä polut lasketaan painoilla, jotka seuraavat vaikutuksesta. Hitut siis kulkevat kaikkia mahdollisia reittejä/polkuja, mutta tietyillä vaiheilla. Rajalla 0, kaikkien polkujen, paitsi klassisen (jolle δi = 0), vaiheet rupeavat oskilloimaan holtittomasti ja itseasiassa kumoavat integraalissa toisensa. Tapauksissa, joissa on tärkeä, näiden muiden polkujen huomioiminenkin on tärkeää! Näillä eväillä toivon, että kvanttimekaniikkaa on helpompi lähestyä! 5 Tämä toteuttaa ed. Schrödingerin yhtälön. erjantai 10.10.2014 20/21
Perjantai 10.10.2014 21/21 Loppukoe Viisi tehtävää, 2 suoraan laskuharjoituksista, eli kertaa! Ydinasiat: Sidokset, yleistetyt koordinaatit ja vapausasteet, Lagrangen funktion ja liikeyhtälöiden muodostaminen, sidosvoimien määrittäminen Lagrangen kertojamenetelmällä Pienten kytkettyjen värähtelyjen teorian soveltaminen Ei-inertiaaliset koordinaatistot: näennäisvoimat, Lagrangen funktio Jäykän kappaleen liike: Lagrange funktio. Hitaustensori. Eulerin yhtälöt. Eulerin kulmat. Lagrangen hyrrä. Hamiltonin funktion ja liikeyhtälöiden muodostaminen Kanoniset muunnokset ja generaattorit. Muunnoksen toteaminen kanoniseksi. Hamilton-Jacobi. Vaikutus- ja kulmamuuttujat.