Reaalianalyysin perusteita

Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008

Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten joukkojen rooli integrointiteoriassa 11 7 Lebesguen mitta ja integraali 13 2

1 Johdanto Vuotuinen jatko-opintoseminaarisarjamme käsittelee lukuvuonna 2008-2009 integrointia Banachin avaruuksissa. Teoria rakentuu reaalianalyysin perusteiden ja ideoiden varaan. Tässä kirjoitelmassa on tarkoitus perehtyä niihin reaalianalyysin perusteiden käsitteisiin, jonka tekijä katsoo olevan tarpeen seminaarin kuuntelemiseksi. sitys perustuu klassikkoteoksen Walter Rudin: Real and Complex Analysis kahteen ensimmäiseen kappaleeseen. sityksen ei ole edes suunniteltu olevan täydellinen johtatus aiheeseen, joten puuttuvia yksityiskohtia kannattaakin etsiä eo. teoksesta. Motivaationamme aiheeseen vois vaikkapa olla kysymys: miten muodostaa integroiville funktioille mielekkäitä avaruuksia? Klassisesti voitaisiin yrittää menetellä seuraavasti. Oletetaan, että f : [a, b] R on rajoitettu funktio ja f = missä integraali on tavallinen Riemannin integraali. Integroituvien funktioiden avaruudeksi tulisi tällöin: b a f, L 1 := {f : [a, b] R : f rajoitettu ja f < }. Kuitenkin tästä avaruudesta ei tule täydellistä, joten sen varaan on hankalaa ryhtyä rakentamaan mitään mielekästä matemaattista teoriaa. Ratkaisuna ongelmaan tulee voimakkaampien integraalien kehtitely. Ongelmaan törmäsivät ja sitä tutkivat 1900-luvun alussa Émile Borel, Marie Jordan,??? Young ja Henry Lebesgue. Viimeisimmän teoriasta on vuosien saatossa kehittynyt laajimmalle levinnyt integrointiteoria, johon esim. tässä esityksessä tutustumme. 2 Mitallisuus Määritelmä 2.1 (, T ) on topologinen avaruus, jos: 1. T ja T, 2. jos V i T jokaisella i = 1,..., n, niin n V i T, 3. jos V i T jokaisella i = 1, 2,... niin V i T. 3

Joukkoa T kutsutaan topologiaksi ja sen joukkoja avoimiksi. Jos ja Y ovat topologisia avaruuksia on f : Y jatkuva kuvaus jos f 1 (V ) on avoin aina kun V on avoin. Määritelmä 2.2 (, Γ) on mitallinen avaruus, jos: 1. Γ, 2. jos A Γ, niin 1 A c Γ, 3. jos V i Γ jokaisella i = 1, 2,... niin V i Γ. Joukkoa T kutsutaan σ-algebraksi ja sen joukkoja mitallisiksi. Jos on mitallinen avaruus ja Y topologinen avaruuksia on f : Y mitallinen kuvaus jos f 1 (V ) on mitallinen aina kun V on avoin. Huomautus 2.3 1. Koska = c niin Γ. 2. Jos V i Γ jokaisella i = 1, 2,... niin valitsemalla V k+1 = V k+2 =... = saadaan: V 1... V k Γ. 3. Jos V i Γ jokaisella i = 1, 2,... niin ( V i = 4. Jos A, B Γ, niin A B = B c A Γ. V c 1 ) c Γ. Lause 2.4 Olkoon f : Y mitallinen ja g : Y Z jatkuva kuvaus. Tällöin h = g f on mitallinen kuvaus f : Z. Lause 2.5 Olkoot u, v : R mitallisia funktioita ja Φ : R 2 Y jatkuva kuvaus. Tällöin h = Φ (u v) on mitallinen kuvaus h : Y. 1 ylä-c tarkoittaa nyt ja jatkossa joukon komplementtia. 4

Seuraus 2.6 Olkoon mitallinen avaruus. Tällöin: 1. f = u + iv on C-mitallinen jos u ja v ovat R-mitallisia. 2. Jos f = u + iv on C-mitallinen, niin u, v, f ovat R-mitallisia. 3. Jos f ja g ovat C-mitallisia, niin f + g ja fg ovat C-mitallisia. 4. Jos on mitallinen, niin χ (=karakterisitinen funktio) on mitallinen funktio. 5. Jos f on C-mitallinen niin on olemassa C-mitallinen α siten, että α = 1 ja f = α f. Lause 2.7 Olkoon F perhe :n osajoukkoja. Tällöin on olemassa pienin :n σ-algebra, joka sisältää perheen F. Merkitään lauseen pienintä σ-algebraa σ(f):llä. Sanomme, että σ(f) on perheen F generoima σ-algebra. Lauseen 2.7 todistuksen idea. Määritellään joukko Halutuksi σ-algebraksi kelpaa Ω = {:n σ-algebrat Γ s.e. F Γ}. σ(f) = {Γ : Γ Ω}. Helposti nähdää, että joukko on todella σ-algebra. Q..D. Oletetaan, että (, T ) on topologinen avaruus. Tällöin σ(t ) sanotaan olevan Borelin σ-algebra ja sen joukkoja kutsutaan Borelin joukoiksi. Borelin joukkoja ovat mm. avoimet ja suljetut joukot, G δ -joukot 2, F σ -joukot 3. Lause 2.8 Olkoon (, Γ) mitallinen avaruus, Y topologinen avaruus ja f : Y. Tällöin 2 Avoimien joukkojen numeroituvat leikkaukset. 3 Suljettujen joukkojen numeroituvat yhdisteet. 5

1. Joukko on σ-algebra. Ω = { Y : f 1 () Γ} 2. Jos f on mitallinen ja Y on borelin joukko, niin f 1 () Γ. 3. Jos Y = [, ] ja f 1 ((a, ]) Γ jokaisella a R on f mitallinen. 4. Jos f on mitallinen, Z topologinen avaruus ja g : Y Z Borelin funktio. Tällöin h = g f : Z on mitallinen. Lause 2.9 Jos f n : [, ] on mitallinen jokaisella n N niin ovat mitallisia. sup n f n ja lim sup f n Seuraus 2.10 1. Pisteittävän suppenevan jonon C- funktioita rajafunktio on C-mitallinen. 2. Jos f, g : [, ] ovat mitallisia niin on mitallinen. rityisesti ovat mitallisia. max{f, g} f + := max{f, 0} ja f := max{ f, 0} 3 Yksinkertaiset funktiot Määritelmä 3.1 Olkoon mitallinen avaruus. Mitallista funktiota s : [0, ) kutsutaan mitalliseksi jos funktion arvojoukko on äärellinen t.s. s() = {a 1,..., a n }. Merkitsemällä voidaan s esittää summa A i = {x : s(x) = a i, n s = a i χ Ai. 6

Seuraus 3.2 s on mitallinen jos ja vain jos A i on mitallinen jokaisella i = 1,..., n. Merkitään lisäksi J () := {s : [0, ) : s yksinkertainen funktio}. Lause 3.3 Jos f : [0, ] on mitallinen on olemassa jono (s n ) J siten, että 1. 0 s 1 s 2 f, 2. s n (x) f(x) jokaisella x. 4 Mitat ja integrointi Olkoon (, Γ) mitallinen avaruus. Positiivinen mitta on joukkofunktio µ : Γ [0, ] siten, että: 1. Jos (A i ) Γ, on jono pistevieraita joukkoja, niin ( ) µ A i = µ(a i ). 2. µ(a) < ainakin yhdellä A Γ. Kolmikkoa (, Γ, µ) kutsutaan mitta-avaruudeksi. Funktiota µ : Γ C, joka toteuttaa ehdon 1. kutsutaan kompleksiseksi mitaksi. Borelin joukoissa määriteltyjä mittoja kutsutaan Borelin mitoiksi. Lause 4.1 Olkoon (, Γ, µ) mitta-avaruus. 1. µ( ) = 0, 2. µ(a 1 A n ) = µ(a 1 ) + + µ(a n ), kun A i :t ovat pisteviraita ja mitallisia. 3. Jos A, B Γ ja A B, niin µ(a) µ(b). 4. Jos A i Γ kun i N, A = i A i ja A 1 A 2... niin lim µ(a i) = µ(a). i 7

5. Jos A i Γ kun i N, A = i A i ja A 1 A 2... niin Seuraava joitakin esimerkkejä mitoista. 1. Mittaa kutsutaan triviaalimitaksi. 2. Mittaa lim µ(a i) = µ(a). i µ(a) = kutsutaan lukumäärämitaksi. {, A, 0, A =, µ(a) = #A 3. Olkoon x 0. Mittaa µ(a) = { 1, x 0 A, 0, x 0 / A, kutsutaan Diracin mitaksi. 4. Hausdorn mitta on separoituvassa metrisessä avaruudessa määritelty mitta. Sen avulla voidaan määritellä mielivaltaisen metrisen avaruuden osajoukon ulottuvuus, eli ns. joukon Hausdorn dimensio. Hausdorf- n mitta on kehitetty ns. Carathéodoryn konstruktion avulla. Olkoon (, d) separoituva metrinen avaruus ja 0 s <. Määritellään jokaisella δ > 0 funktio Hδ s : P() [0, ], H s δ(a) = inf{ i I d( i ) s : i i I, I on numeroituva, d( i ) δ, A i I i }. Luku d( i ) = sup{d(x, y) : x, y i } on joukon halkaisija. Voidaan osoittaa, että kaikilla δ > 0 funktio Hδ s on ulkomitta :ssä. Huomataan, että jos 0 < δ 1 δ 2, niin Hδ s 2 (A) Hδ s 1 (A) kaikilla A. Näin ollen rajafunktio H s : P() [0, ], H s (A) = lim δ 0 H s δ(a), on olemassa. Tätä funktiota kutsutaan (s-ulotteiseksi) Hausdorn ulkomitaksi. Se on myös ulkomitta, mikä voidaan osoittaa käyttämällä sitä tietoa, että Hδ s on ulkomitta kaikilla δ > 0. Hausdorn ulkomitan rajoittumaa H s -mitallisiin joukkoihin kutsutaan Hausdorn mitaksi, joka on Carathéodoryn lauseen nojalla mitta. 8

Huomautus 4.2 Välin [0, ] aritmetiikkaa. Määritellään a + = + a =, kun 0 a ja a = a = {, 0 < a, 0, a = 0. Olkoon s J () muotoa s = n a i χ Ai ja olkoon Γ. Yksinkertaisen funktion s integraali yli :n mitan µ suhteen määritellään tällöin n sdµ := a i µ(a i ). Mitallisen funktion f : [0, ] integraali yli :n mitan µ suhteen määritellään { } fdµ := sup sdµ : s J (), s f. Seuraavassa näin määritellyn integraalin perusominaisuuksia. Propositio 4.3 Oletetaan tarvittavat mitallisuudet. 1. Jos 0 f g, niin fdµ gdµ. 2. Jos A B, niin A fdµ B fdµ. 3. Jos 0 c, niin cfdµ = c fdµ. 4. Jos f(x) = 0 jokaisella x, niin fdµ = 0. 5. Jos µ() = 0, niin fdµ = 0. 6. fdµ = χ fdµ 7. Jos s J (), niin ϕ() = sdµ on mitta. Lause 4.4 (Monotonisen konvergenssin lause, Beppo Levi 1906) Olkoon (f n ) jono mitallisia funktioita siten, että 1. 0 f 1 f 2..., 9

2. lim f n (x) = f(x) jokaisella x. Tällöin f on mitallinen ja lim f n dµ = fdµ. Lause 4.5 Olkoon (f n ) jono mitallisia funktioita ja jokaisella x. Tällöin f(x) = fdµ = f n (x) n=1 n=1 f n fdµ. Lemma 4.6 (Fatou) Olkoon (f n ) jono mitallisia funktioita. Tällöin lim inf fdµ lim inf. Lause 4.7 Olkoon f mitallinen funktio. Tällöin ϕ() = fdµ on mitta. 5 Kompleksisten funktioiden integrointi Olkoon f : C mitallinen funktio. Merkitään absoluuttisesti mitan µ suhteen integroituvien funktioiden joukkoa { } L 1 (µ) := f : C : f dµ < Funktiolle f = u + iv L 1 (µ) määritellään integraali fdµ := u + dµ u dµ + i v + dµ i v dµ. Lause 5.1 Olkoot f, g L 1 (µ) ja α, β C. Tällöin αf + βg L 1 (µ) ja (αf + βg)dµ = α fdµ + β gdµ. 10

Lause 5.2 Olkoon f L 1 (µ). Tällöin fdµ f dµ. Lause 5.3 (Dominoidun konvergenssin lause, Lebesgue 1910) Olkoon (f n ) jono mitallisia funktioita siten, että f(x) = lim f n (x), kun x. Jos on olemassa g L 1 (µ) siten, että kun x, niin 1. f L 1 (µ), f n (x) g(x) 2. 3. lim f n f dµ = 0, lim f n dµ = fdµ. 6 Nolla-mittaisten joukkojen rooli integrointiteoriassa Sanomme, että ominaisuus P (x) on voimassa joukossa melkein kaikkialla (lyhyesti m.k.) jos on olemassa N Γ siten, että µ(n) = 0, N ja P (x) on vomassa joukossa N. simerkki 6.1 Jos µ({x : f(x) g(x)}) = 0, on f = g melkein kaikkialla joukossa mitan µ suhteen. Lisäksi fdµ = gdµ. Huomioita: 11

0-mittaisilla joukolla ei ole vaikutusta integroitaessa. ntä, jos µ() = 0 ja N, mutta N / Γ. Voidaanko tällöin määritellä µ(n) = 0? Vastauksen antaa seuraava lause. Lause 6.2 Olkoon (, Γ, µ) mitta-avaruus. Merkitään Γ := { : A, B Γ s.e. A B ja µ(b A) = 0}. Jos µ() := µ(a), niin on (, Γ, µ) mitta-avaruus. Yllä olevan mitan ja σ-algebran Γ laajennusta kutsutaan Γ:n µ-täydennykseksi. dellä olevaa teoriaa voidaan laajentaa yleistää m.k.-mielessä. Seuraavassa joitakin esimerkkejä. Lause 6.3 Olkoon (f n ) jono C-mitallisia funktioita m.k. :ssä siten, että f n dµ <. n=1 Tällöin f(x) = n=1 f n(x) suppenee m.k. x, f L 1 (µ) ja fdµ = f n fdµ. n=1 Lause 6.4 1. Olkoon f : [0, ] mitallinen, Γ ja fdµ = 0. Tällöin f = 0 m.k. 2. Olkoon f L 1 (µ) ja fdµ = 0 jokaisella Γ. Tällöin f = 0 m.k. 3. Jos f L 1 (µ) ja fdµ = f dµ, niin on olemassa α S 1 C siten, että αf = f m.k. Lause 6.5 Olkoot µ() <, f L 1 (µ), S C suljettu osajoukko ja A (f) := 1 fdµ S µ() jokaisella Γ siten, että µ() <. Tällöin f(x) S m.k. x. Lause 6.6 OLkoon ( n ) Γ siten, että µ( n ) <. n=1 Tällöin m.k. x pätee: x n äärellisen monella n N. 12

7 Lebesguen mitta ja integraali Tässä kappaleessa esitellään tärkein matematiikassa käytetty mitta ja sen määräämä integraali: Lebesguen mitta ja integraali. Mitan konstruktio voidaan suorittaa monelle tapaa, yksinkertaisimmillaan approksimoimalla reaalilukuvälejä sopivasti. Tässä esityksessä turvaudutaan kuitenkin huomattavasti elegantimpaan työkaluun, joka on: Lause 7.1 (Rieszin esityslause, Frigyes Riesz 1909) Olkoon lokaalikompakti Hausdorn avaruus ja Λ jatkuva positiivinen lineaarifunktionaali C c ():llä (kompaktikantajaiset funktiot :llä). Tällöin on olemassa σ- algebra Γ, joka sisältää Borelin joukot ja yksikäsitteinen positiivinen mitta µ siten, että: 1. Λf = fdµ, kun f C c(). 2. µ(k) < jokaisella kompaktilla K. 3. Jos Γ, niin µ() = inf{µ(v ) : V, V avoin}. 4. Jos on avoin tai Γ ja µ() <, niin µ() = sup{µ(k) : K, K kompakti}. 5. Jos Γ, A ja µ() = 0, niin µ(a) = 0. Todistuksen idea. Määritellään kun V avoin. Olkoon nyt µ(v ) = sup{λf : f χ }, W = {x R k : α i x i β i, i = 1,..., k} suljettu k-kuutio. Kuution tilavuus: Vol(W ) = k (β i α i ). Olkoon x R k ja δ > 0. a = (α 1,..., α k )-kulmainen δ-kuutio on tällöin joukko Olkoon Q(a, δ) = {x R k : α i x i α i + δ, i = 1,..., k} P n := 2 n Z k joukon R k hila, jonka tiheys 2 n. Olkoon Ω n ne 2 n -kuutiot, joiden kulmat kuuluvat hilaan P n (Dyadikkikuutiot). 13

Lause 7.2 On olemassa positiivinen täydellinen mitta m määriteltynä R k :n σ-algenrassa M siten, että 1. m(w ) = Vol(W ) jokaisella k-kuutiolla W, 2. M sisältää Borelin joukot, 3. m( + x) = m() jokaisella M ja e R k, 4. jos µ on positiivinen mitta M:ssä, on olemassa c R siten, että Borelin joukoilla R k. µ() = cm() 5. Jokaista lineaarikuvausta T : R k R k kohti on olemassa (T ) R siten, että m(t ()) = (T )m(), kun M. Todistuksen idea. Olkoon f : R k C funktio siten, että supp f R k on kompakti. Määritellään Λ n f := 2 nk x P n f(x), kun n N. Määritellään positiivinen lineaarifunktionaali: Λf := lim Λ n f, missä f C c (R k ) ja sovelletaan Rieszin esityslausetta. dellä olevan lauseen mittaa m kutsutaan Lebesguen mitaksi ja sen määräämää integraalia Lebesguen integraaliksi. Lopuksi ratkaistaan (ainakin osittain) ongelma: miten käytännössä Lebesgueintegraali lasketaan? Seuraus 7.3 Jos f : R k R on rajoitettu funktio ja f on Riemannintegroituva, niin tällöin f on Lebesgue-integroituva ja f = fdm. 14