6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita, ja tuloksena on pienempi (joskaan ei välttämättä aidosti) ryhmä. Tilannetta havainnollistanee seuraava konkreettinen esimerkki. Parillisten lukujen summa, kuten myös kahden parittoman luvun summa, on parillinen. Parittoman ja parillisen luvun summa sen sijaan on pariton. Taulukkomuodossa: + parillinen pariton parillinen parillinen pariton pariton pariton parillinen Parillisten ja parittomien lukujen summia käsitellessä tarkastellaan kokonaislukuja ja niiden yhteenlaskua, siis ryhmää (Z, +). Miten ylläoleva taulukko liittyy ryhmään (Z, +)? On huomattava, ettei taulukossa ole mitään epämatemaattista varsinkaan, jos parillinen ja pariton käsitetään matemaattisiksi objekteiksi tai suorastaan korvataan joukoilla A = { n Z n on parillinen } ja A = { n Z n on parillinen }. Tällöin + A B A A B B B A on ryhmä (K, +), missä K = {A, B}, ja kysymyksen voi esittää uudestaan seuraavassa muodossa: Miten ryhmä (K, +) liittyy ryhmään (Z, +)? Tullaan huomaamaan, että (K, +) on tiettyä samastusta vastaava (Z, +):n tekijäryhmä. Tämä samastus on luonnollisesti se, jossa toisaalta parilliset, toisaalta parittomat luvut samastetaan keskenään. Tällainen samastus syntyy lukukongruenssista modulo 2. Yleisesti tekijäryhmä syntyy seuraavasti: 1) Lähdetään liikkeelle (isosta) ryhmästä (G, ). 2) Samastetaan alkioita keskenään. Samastusmekanismina toimii jokin ekvivalenssirelaatio. 3) Samastuksessa joukko G kutistuu joukoksi K, jonka alkiot ovat relaation ekvivalenssiluokkia. K on siis ekvivalenssirelaatiota vastaava ositus. 4) Joukkoon K täytyisi nyt määritellä laskutoimitus, joka syntyy laskutoimituksesta. Ainoa johdonmukainen tapa on seuraava: jos alkio a G muuntuu samastuksessa alkioksi A K ja b G alkioksi B K, niin A B:n määritellään olevan se C K, joksi c = a b G muuntuu. Tämä kuitenkin johtaa siihen ongelmaan, että samastuksessa tyypillisesti jotkin alkiot samastuvat toisikseen ja siis voi olla usempia alkioita, jotka samastuvat alkioiksi A K tai B K. Jos nyt a G muuntuu myös 1

alkioksi A K ja b G alkioksi B G, niin alkion a b G täytyy myös muuntua alkioksi C K. Siis a+b ja a +b samastuvat eli a b a b. Tätä ekvivalenssirelaatiolle asetettavaa ehtoa kutsutaan kongruenttiudeksi. Seuraavassa kolmessa aliluvussa määritellään kongruenssi ja tutkitaan, millainen se voi ryhmässä olla. Tämän jälkeen määritellään tekijäryhmä. Tarkastelun sivutuotteena saadaan tulos, jota kutsutaan Lagrangen lauseeksi. 6A. Kongruenttius laskutoimituksen suhteen 6.1. Määritelmä. Olkoon A joukko, joukon A laskutoimitus ja joukon A ekv.rel. Relaatio on kongruenssi (eli yhteensopiva) laskutoimituksen suhteen, jos kaikilla a, a, b, b A on voimassa: jos a a ja b b, niin a b a b. 6.2. Esimerkki. Olkoon m N ja lukukongruenssi modulo m, ts. x y x (mod m), kun x, y Z. Edellisen luvun lukuteoreettiset tulokset osoittavat, että on tällöin kongruenssi sekä kokonaislukujen yhteenlaskun + että kertolaskun suhteen. 6.3. Esimerkki. Olkoon A äärellinen joukko. Tarkastellaan seuraavaa joukon A permutaatioiden joukon Sym(A) relaatiota E: kun f, g Sym(A), niin f E g ε f = ε g. On helppoa osoittaa, että E on ekvivalenssirelaatio. Kun f 1, f 2, g 1, g 2 Sym(A), niin f 1 E f 2, g 1 E g 2 ε f1 = ε f2, ε g1 = ε g2 ε f1 g 1 = ε f1 ε g1 = ε f2 ε g2 = ε f2 g 2 f 1 g 1 E f 2 g 2. Siis E on kongruenssi kuvausten yhdistämisen suhteen. 6.4. Esimerkki. Tutkitaan, voidaanko R:n ositus {Q, R Q} varustaa järkevällä tavalla yhteelaskulla. Valitaan testialkioiksi toisaalta π, 1 π R Q, toisaalta 2, 2 R Q. Tällöin π + 1 π = 1 Q, mutta 2 + 2 = 2 2 R Q. Ilmeisesti ei siis voida järkevällä tavalla määritellä osan R Q summaa itsensä kanssa. Edellisen ajatuksen täsmällinen muotoilu on seuraava: Olkoon ositusta {Q, R Q} vastaava ekvivalenssirelaatio, ts. kun x, y R, Tämä relaatio ei ole kongruessi, sillä x y joko x, y Q tai x, y R Q. π 2, 1 π 2, mutta π + 1 π = 1 2 + 2 = 2 2. Itse asiassa ekvivalenssirelaatiot ovat varsin harvoin kongruensseja. Tavoite: Tutkitaan, millaisia ryhmälaskutoimitusten kon.t ovat. Analyysissa on seuraavat vaiheet: Olkoon (G, ) ryhmä ja kongruenssi laskutoimituksen suhteen. 2

Ensiksi tarkastellaan neutraalialkion e G ekvivalenssiluokkaa H eli joukkoa H = { x G e x }. Seuraavassa aliluvussa huomataan, että H itse asiassa määrää koko relaation. Lopuksi kongruenssit karakterisoidaan ns. normaalien aliryhmien avulla. 6.5. Lemma. Olkoon (G, ) ryhmä, kongruenssi laskutoimituksen suhteen ja H = { x G e x }, missä e on ryhmän (G, ) neutraalialkio. Tällöin (H, ) on ryhmän (G, ) aliryhmä. Todistus. Koska e e, pätee e H. H on laskutoimituksen suhteen suljettu: Olkoot x, y H. Tällöin e x ja e y. Koska on kongruenssi, saadaan e e x y eli e x y eli x y H. Lisäksi H on käänteisalkioiden suhteen suljettu, koska kaikilla x H on voimassa e x, x 1 x 1 x 1 = e x 1 x x 1 = e e x 1 x 1 H. Siis (H, ) on (G, ):n aliryhmä. 6B. Sivuluokat 6.6. Määritelmä. Olkoon (H, ) (G, ). Aliryhmän (H, ) alkiota a G vastaava sivuluokka on a H = { a h h H }. Sivuluokkien joukkoa merkitään G/H = { a H a G }. 6.7. Lemma. Olkoon (G, ) ryhmä, kongruenssi laskutoimituksen suhteen ja a G. Tällöin alkion a G ekvivalenssiluokka on sivuluokka a H, missä H on neutraalialkion ekvivalenssiluokka. Todistus. Olkoon X alkion a ekvivalenssiluokka. Jokaisella x X pätee a 1 a 1, a x e = a 1 a a 1 x a 1 x H, joten x = a (a 1 x) a H. Siis X a H. Toisaalta jos x a H, niin jollakin h H on voimassa x = a h. a a, e h a e a h = x x X. Siis a H X ja a H = X. Saadaan Huomautus. Jos siis tunnetaan neutraalialkion ekv.luokka H ja siten aliryhmä (H, ), niin tunnetaan kongruenssia vastaava ositus G/H ja siten koko kongruenssi. Aliryhmä (H, ) määrää näin ollen kongruenssin. 6.8. Esimerkki. Olkoon lukukongruenssi modulo m, missä m N. Tarkastellaan tilannetta ryhmässä (Z, +), jonka kongruenssi on. Neutraalialkion 0 ekvivalenssiluokka on { x Z 0 x } = { x Z 0 x (mod m) } = { km k Z } = mz. 3

Alkiota a Z vastaavan aliryhmän (mz, +) sivuluokka on määritelmän mukaan Edellinen lemma sanoo siis, että a + mz = { a + x x mz } = { a + km k Z }. a + mz = { x Z a x } = { x Z a x (mod m) }. 6.9. Esimerkki. Olkoon A äärellinen joukko ja E joukon Sym(A) ekvivalenssirelaatio, jolle f E g ε f = ε g, kun f, g Sym(A). On jo todettu, että E on kongruenssi kuvausten yhdistämisen suhteen. Neutraalialkion id A ekvivalenssiluokka on { f Sym(A) id A E f } = { f Sym(A) ε ida = ε f } = { f Sym(A) ε f = 1 } = Alt(A). Jos g on pariton, niin edellisen lemman nojalla alkion g ekvivalenssiluokka on { f Sym(A) ε f = ε g = 1 } = Sym(A) Alt(A) = { g h h Alt(A) }. 6C. Normaali aliryhmä Tähän mennessä on todettu, että jokaista ryhmän (G, ) kongruenssia vastaa aliryhmä (H, ), joka määrää kongruenssin täysin. Toisaalta jokainen aliryhmä ei synny kongruenssista eikä näin ollen määrää mitään kongruenssia. 6.10. Esimerkki. Tarkastellaan symmetristä ryhmää (Sym(A), ), missä A = {0, 1, 2}, ja sen kaksialkioista aliryhmää (H, ) = ( 0 1 ). Osoitetaan, että H ei ole neutraalialkion ekvivalenssiluokka millään (Sym(A), ),:n kongruenssilla. Oletetaan nimittäin, että olisi kongruenssi, jolle id A ( 0 1 ). Tällöin id A = ( 0 1 2 ) ( 0 1 2 ) 1 ( 0 1 2 ) ( 0 1 ) ( 0 1 2 ) 1 = ( 1 2 ). Siis neutraalialkion ekvivalenssiluokka sisältää alkiot ( 0 1 ) ja ( 1 2 ), mutta nämä virittävät koko ryhmän (Sym(A), ). Siis neutraalialkion ekvivalenssiluokka on Sym(A) H. 6.11. Lemma. Olkoon (G, ) ryhmä, kongruenssi laskutoimituksen suhteen ja H neutraalialkion ekvivalenssiluokka. Tällöin kaikilla h H, x G pätee x h x 1 H. Todistus. Olkoon e ryhmän (G, ) neutraalialkio. Kun h H, x G, niin x x, e h, x 1 x 1 x e x h, x 1 x 1 e = x x 1 = (x e) x 1 x h x 1 x h x 1 H. 4

6.12. Määritelmä. Ryhmän (G, ) aliryhmä (H, ) on normaali, jos kaikilla h H ja x G pätee x h x 1 H. Tätä merkitään (H, ) (G, ). Huomautus. Jos (G, ) on Abelin ryhmä eli on vaihdannainen, niin sen kaikki aliryhmät ovat normaaleja, koska jos (H, ) (G, ) ja x G, h H, niin x h x 1 = x x 1 h = h H. 6.13. Lause. Olkoon (G, ) ryhmä. a) Jos on kongruenssi lakutoimituksen suhteen, niin (H, ) (G, ), missä H on neutraalialkion e G ekvivalenssiluokka. Lisäksi on sivuluokkien määräämää ositusta G/H vastaava ekvivalenssirelaatio. b) Jos (H, ) (G, ), niin asettamalla x y x 1 y H saadaan ekvivalenssirelaatio, joka on kongruenssi. Lisäksi H on tällöin neutraalialkion ekvivalenssiluokka. Todistus. a) Olkoon ryhmän (G, ) kongruenssi ja H = { x G e x }. Lemmassa 6.5 on jo todettu, että (H, ) (G, ). Lisäksi lemmasta 6.11 seuraa, että (H, ) on (G, ):n normaali aliryhmä. Se, että on ositusta G/H vastaava ekvivalenssirelaatio, on lemman 6.7 sisältö. b) Oletetaan, että (H, ) (G, ). Asetetaan = { (x, y) G G x 1 y H }. Olkoot x, y, z G. 1) x 1 x = e H, joten x x. 2) Jos x y, niin x 1 y H, joten koska (H, ) on aliryhmä, y 1 x = (x 1 y) 1 H. Siis y x. 3) Jos x y z, niin x 1 y, y 1 z H. Siis x 1 z = (x 1 y) (y 1 z) H eli x z H. Siis on ekvivalenssirelaatio. Olkoot x, x, y, y G. Oletetaan, että x x ja y y eli x 1 x, y 1 y H. Tutkitaan, onko x y x y. Merkitään g = (x y) 1 (x y ) = y 1 (x 1 x ) y ( y 1 (x 1 x ) y ) (y 1 y ). Koska (H, ) (G, ) ja x 1 x H, niin y 1 (x 1 x ) y H. y 1 y H, niin g H. Siis x y x y ja on kongruenssi. Neutraalalkion e G ekvivalenssiluokka on { x G e x } = { x G x = e 1 x H } = H. Koska myös 6D. Tekijäryhmä Edellisten alilukujen tulosten myötä ollaan valmiita määrittelemään tekijäryhmän käsite. Kerrataan tekijäryhmän konstruktioon liittyvät vaiheet: Lähdetään liikkeelle 5

jostakin ryhmästä (G, ). Ideana on samastaa alkioita keskenään jonkin ekvivalenssirelaation välityksellä. Jotta lopputulokseen saataisiin järkevä laskutoimitus, relaation on oltava kongruenssi. Koska kongruenssit ja normaalit aliryhmät (H, ) vastaavat toisiaan, samastusprosessin määrittää aivan yhtä hyvin normaali aliryhmä (H, ). Alkio x G muuntuu samastuksessa alkioksi x H G/H. Joukkoon G/H määritellään laskutoimitus niin, että kun X, Y G/H, valitaan x X ja y Y, ja asetetaan X Y = Z, missä Z G/H on se alkio, joksi x+y G muuntuu samastuksessa. Relaation kongruenttiudesta seuraa, että näin määritelty on hyvinmääritelty. Koska itse asiassa X = x H, Y = y H ja Z = (x y) H, päädytään seuraavaan määritelmään. 6.14. Määritelmä. Ryhmän (G, ) tekijäryhmä normaalin aliryhmänsä (H, ) suhteen on ryhmä (G/H, ), missä laskutoimitus on määritelty seuraavasti: kun x, y G, niin (x H) (y H) = (x y) H. Huomautus. 1) Tekijäryhmän laskutoimitusta on yleensä tapana merkitä samalla symbolilla kuin alkuperäisen ryhmän, vaikka laskutoimituksesta oikeastaan ovat eri laskutoimituksia, eli yo. tapauksessa :llä :n asemasta. 2) Joukon G/H jokainen alkio on muotoa x H, missä x G, joten laskutoimitus on määritelty kaikille G/H:n pareille. Laskutoimitus on hyvinmääritelty: Olkoon normaalia aliryhmää (H, ) vastaava kongruenssi. Olkoot x, x, y, y G sellaiset, että x H = x H ja y H = y H. Tällöin x x, y y x y x y (x y) H = (x y ) H, sillä on kongruenssi ja alkiota g G vastaava ekvivalenssiluokka on g H. 6E. Lagrangen lause Ks. Metsänkylä & Näätänen tai Landin. 6