Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä. Ratkaisu: Gaussin lain integraalimuoto d = sähkökenttä Gaussin pinnan kohdalla Q I 0 d = pinta-alkiovektori Gaussin pinnalla Q I = suljetun Gaussin pinnan sisään jäävä varaus = Gaussin pinnan ala ε 0 = 8,8542. 10-12 As/Vm a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella Piirretään ensin sähkökentän kenttäviivat Alla olevassa kuvassa on piirretty tasaisesti varatun pallon aiheuttaman sähkökentän kenttäviivoja. Koska pallon varaus on positiivinen, sähkökentän suunta on poispäin pallosta.
Valitaan Gaussin pinta ja piirretään se kuvaan. Pallosymmetrisille varausjakaumille valitaan Gaussin pinnaksi suljettu pallokuori, sylinterisymmetrisille suljettu sylinterikuori, tasoille sylinteri tai kuutio. Nyt siis valitaan pallo, jonka säde on r. Alla olevassa kuvassa on edellinen kuva, johon on lisätty Gaussin suljettu pinta. Gaussin suljettu pinta r Piirretään pinta-alkiovektorit Gaussin pinnalle. Pinta-alkiovektorit ovat aina kohtisuorassa pintaa vastaan. Alla olevassa kuvassa on edellinen kuva, johon on lisätty pinta-alkiovektoreita. Gaussin suljettu pinta r Huomaat, että sähkökenttävektorit ja pinta-alkiovektorit ovat yhdensuuntaisia joka kohdassa Gaussin pinnalla.
Lasketaan Gaussin lain vasen puoli Gaussin lain vasen puoli saadaan laskettua seuraavasti: d koska -vektorit ja -vektorit ovat yhdensuuntaisia. (Katso edellä oleva kuva.) voidaan ottaa integraalimerkin eteen, koska se on vakio Gaussin pinnan kohdalla symmetrian vuoksi. tarkoittaa Gaussin pinnan pinta-alaa, joka on r-säteisen pallon pinta-ala Nyt Gaussin lain vasen puoli saatiin muotoon 4r Lasketaan Gaussin lain oikea puoli Gaussin lain oikea puoli on 2 2 4 r Q I 0 Q I tarkoittaa Gaussin pinnan sisäpuolelle jääviä varauksia. Tässä tapauksessa Q I = Q. Yhdistetään lopuksi Gaussin lain vasen ja oikea puoli ja ratkaistaan yhtälöstä sähkökenttä. 4r Q Q 2 2 0 4 0r ähkökentän suuruus on nyt laskettu. uunta on r eli säteen suunta. uuntaa ei saada laskettua tällä menetelmällä vaan se täytyy päätellä.
b) Lasketaan sähkökenttä pallon sisäpuolella Lasketaan Gaussin lain vasen puoli Gaussin lain vasen puoli lasketaan muuten samalla tavalla kuin a)-kohdassa, mutta valitaan Gaussin pinta pallon sisäpuolelta. ähkökenttää on myös pallon sisäpuolella, ja sen suunta on keskipisteestä poispäin. Gaussin suljettu pinta r Tuloskin on sama kuin a)-kohdassa 4r Lasketaan Gaussin lain oikea puoli Gaussin lain oikea puoli on 2 Q I 0 Q I tarkoittaa Gaussin pinnan sisäpuolelle jääviä varauksia. Nyt Gaussin pinnan sisäpuolelle jää vain osa pallon kokonaisvarauksesta Q. Koska varaus Q on tasaisesti varautunut palloon, saadaan Gaussin pinnan sisäpuolelle jäävä varaus laskettua tilavuuksien suhteella.
Koko pallon tilavuus: 4 3 πr3 Gaussin pallon tilavuus: 4 3 πr3 Nyt Gaussin pinnan sisälle jäävä osuus Q:sta on Q I = 4 3 πr3 Qr 3 Q = 4 R 3 3 πr3 Yhdistetään lopuksi Gaussin lain vasen ja oikea puoli ja ratkaistaan yhtälöstä sähkökenttä. 4r 2 3 Qr R 3 Qr 4 R 0 0 ähkökentän suuruus on nyt laskettu. uunta on r eli säteen suunta. uuntaa ei saada edellenkään laskettua tällä menetelmällä vaan se täytyy päätellä. 3
simerkki 2.2: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti hyvin pitkään ympyräpohjaiseen sylinteriin, jonka pituus on L ja pohjan säde R. Laske sähkökenttä sylinterin ulkopuolella etäisyydellä r sylinterin keskiakselista. Ratkaisu: Gaussin lain integraalimuoto d = sähkökenttä Gaussin pinnan kohdalla Q sis 0 d = pinta-alkiovektori Gaussin pinnalla Q I = suljetun Gaussin pinnan sisään jäävä varaus = Gaussin pinnan ala ε 0 = 8,8542. 10-12 As/Vm Piirretään sähkökentän kenttäviivat Alla olevaan kuvaan on piirretty sähkökentän kenttäviivoja sylinterin ulkopuolelle. 2R
Piirretään kuvaan Gaussin pinta. ylinterisymmetrisille varausjakaumille valitaan suljetuksi Gaussin pinnaksi sylinteri. Alla olevassa kuvassa on systeemiin lisätty Gaussin suljettu pinta, joka on ympyräpohjainen sylinteri, jonka pituus on l ja pohjan säde r. r 2R l Gaussin suljettu pinta
Piirretään pinta-alkiovektorit Gaussin pinnalle. Pinta-alkiovektorit ovat kohtisuorassa pintaa vastaan. Alla on edellinen kuva, johon on lisätty muutamaan kohtaan Gaussin pinnalle pinta-alkiovektorit. r 2R l Gaussin suljettu pinta Kuvasta nähdään, että Gaussin pintana toimivan sylinterin vaipalla ja d ovat yhdensuuntaisia. Gaussin sylinterin päissä sen sijaan ja d ovat kohtisuorassa. Kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, niiden välinen pistetulo tulee nollaksi. Näin käy Gaussin sylinterin päissä. Kun vektorit ovat yhdensuuntaisia, niiden välinen pistetulo tulee pelkäksi itseisarvojen tuloksi eli tässä tapauksessa :ksi. Näin käy vaipalla. (dellä on sovellettu kaavaa: kulma.) A B A B cos, missä α on vektoreiden A ja B välinen
Lasketaan Gaussin lain vasen puoli. Gaussin lain vasen puoli saadaan laskettua jakamalla sylinterin pinnat kahteen osaan: d d d 0 vaippa päät vaippa vaippa vaippa 2rl ja d ovat yhdensuuntaisia vaipalla. ylinterin päissä ja d ovat kohtisuorassa. saatiin ottaa pois integraalimerkin sisältä, sillä sähkökentän itseisarvo on vakio vaipan alueella, koska vaippa on vakioetäisyydellä r sisäsylinterin pinnasta. Tällöin integraali vaippa kuvaa pelkkää sylinterin vaipan alaa, joka on 2πrl. Gaussin lain vasen puoli saatiin kuntoon. Lasketaan Gaussin lain oikea puoli. Q I Gaussin lain oikealla puolella tarkoittaa Gaussin pinnan sisään jäävää varausta. Gaussin sylinterin pituus on l. Varattu sylinteri, jonka pituus on L, sisältää varauksen Q. Gaussin pinnan sisään jää varaus Q I = l L Q.
Yhdistetään Gaussin lain vasen ja oikea puoli ja ratkaistaan yhtälöstä -kenttä. Nyt saadaan Gaussin laki muotoon: 2rl Ql L 0 2 Q rl. 0 ähkökentän suunta on säteen suunta u r. uuntaa ei saada Gaussin lain integraalimuodosta. e päätellään.
simerkki 2.3: Hyvin laajan tason vakiovaraustiheys (tilavuusyksikköä kohden) on ρ. Tason paksuus on x. Laske sähkökenttä tason molemmilla puolilla. Ratkaisu: Gaussin lain integraalimuoto d = sähkökenttä Gaussin pinnan kohdalla Q sis 0 d = pinta-alkiovektori Gaussin pinnalla Q I = suljetun Gaussin pinnan sisään jäävä varaus = Gaussin pinnan ala ε 0 = 8,8542. 10-12 As/Vm Piirretään sähkökentän kenttäviivat Alla olevassa kuvassa on piirretty laajan tasaisesti varatun tason aiheuttamia sähkökenttäviivoja. Levyä katsotaan sivusta. x
Gaussin pinnan valinta ja piirtäminen kuvaan. Tasosymmetrisille varausjakaumille valitaan suljetuksi Gaussin pinnaksi sylinteri. Myös kuutio ja suorakulmainen särmiö käyvät. Alla olevassa kuvassa on tehtävässä esiteltyyn systeemiin lisätty sylinterin muotoinen Gaussin suljettu pinta. ylinterin pohjan pinta-ala on. Pinta-alkiovektoreiden piirtäminen Gaussin pinnalle. Pinta-alkiovektorit ovat kohtisuorassa pintaa vastaan. Alla olevassa kuvassa on edellinen kuva, johon on lisätty pinta-alkiovektorit.
Huomataan, että -kenttä ja pinta-alkiovektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan sylinterin vaipalla. ylinterin päissä -kenttä ja pinta-alkiovektorit ovat yhdensuuntaisia. Gaussin lain vasemman puolen laskeminen. Gaussin lain vasen puoli saadaan laskettua jakamalla sylinterin pinnat kolmeen osaan: d d d vaippa vasen pää Tämä lauseke voidaan sieventää seuraavasti oikea d pää d 0 vaippa koska vaipalla -kenttä ja pinta-alkiovektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. oikea pää d oikea pää koska -kenttä ja pinta-alkiovektorit ovat yhdensuuntaisia sylinterin oikean päädyn kohdalla. oikea pää oikea pää voidaan ottaa integraalimerkin eteen, koska se on vakio. Jäljelle jäänyt integraali on pelkkä oikean päädyn ala, joka on. Vasemmalle päädylle saadaan samalla tavalla ja samoin perusteluin vasen pää d
Gaussin lain vasen puoli saa siis muodon d 0 2 Gaussin lain oikean puolen laskeminen. Q I Gaussin lain oikealla puolella tarkoittaa Gaussin pinnan sisään jäävää varausta. Gaussin sylinterin pohjan pinta-ala on. Gaussin sylinteri leikkaa tasaisesti varatusta levystä alueen, jonka paksuus on x ja pinta-ala. Tämän alueen tilavuus on x. Levyn varaustiheys on ρ, joten tämä Gaussin pinnan sisään jäävä osuus levystä sisältää varauksen Q I = xρ. Gaussin lain oikea puoli saa muodon Q I ε 0 = xρ ε 0 Yhdistetään Gaussin lain vasen ja oikea puoli ja ratkaistaan yhtälöstä -kenttä. 2 = xρ ε 0 = xρ 2ε 0