1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (positiividefiniittisyys) aina, kun v, w, u V ja λ R. Reaalinen sisätuloavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on sisätulo avaruudessa V. Yleensä tällöin sanotaan, että V on sisätuloavaruus. Vektoreiden v ja w sisätulolle v w käytetään yleisesti merkintää v w ja puhutaan pistetulosta. Lemma 1. Reaalinen sisätulo on lineaarinen molempien argumenttiensa suhteen eli αv + βu w = α v w + β u w ; (1) ja v αw + βz = α v w + β v z ; (2) v + u w + z = v w + v z + u w + u z (3) aina, kun α, β R ja v, u, w, z V. Todistus. Kohta (1): Käytetään ensin aksiomia b ja sitten aksiomia c, jolloin V.P. = αv + βu w = αv w + βu w = α v w + β u w = O.P. 1

Esimerkki 1. Joukko R n, n Z + on reaalinen sisätuloavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ) R n, y = (y 1,..., y n ) R n pistetulo määritellään asettamalla x y = x i y i. (4) Todistus. Määritelmän 1 kohta a: Lasketaan x y = Kohta b: Lasketaan x i y i = y i x i = y x. (x + z) y =(x 1 + z 1,..., x n + z n ) (y 1,..., y n ) = (x i + z i )y i = x i y i + z i y i = x y + z y. Kohta c: Lasketaan (λx) y =(λx 1,..., λx n ) (y 1,..., y n ) = (λx i )y i = λ x i y i = λ x y. Kohta d: Olkoon x 0. Nyt ainakin yksi x k 0, jolloin x 2 k > 0. Siten x x = x 2 i x 2 k > 0. (5) Huomautus 1. Koska 0 0 = 0, (6) niin avaruuden R n sisätulolle (4) pätee x x = 0 x = 0. (7) Myöhemmin todistetaan, että (7) on voimassa yleisemminkin. 2

Määritelmä 2. Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (konjugaatti-symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (positiividefiniittisyys) aina, kun v, w, u V ja λ C. Esimerkki 2. Joukko C n, n Z + on kompleksinen sisätuloavaruus, kun vektoreiden z = (z 1,..., z n ) C n, w = (w 1,..., w n ) C n pistetulo määritellään asettamalla z w = z i w i. (8) Lemma 2. ja Todistetaan aluksi tapaus (9): Koska 0 = 0 0, niin aksiomin nojalla 0 v = v 0 = 0 v V ; (9) v v = 0 v = 0; (10) v v 0 v V. (11) λv w = λ v w 0 v = 0 0 v = 0 0 v = 0 v V. (12) Otetaan tuloksesta (12) kompleksikonjugaatit, jolloin saadaan Käytetään sitten aksiomia v w = w v, jolloin 0 v = 0 v V. (13) v 0 = 0 v = 0 v V. (14) 3

Todistetaan seuraavaksi tapaus (10): Tuloksen (9) erikoistapauksena Mutta aksiomin d mukaan 0 0 = 0. (15) v v > 0, kun v 0. (16) Siispä v v = 0 v = 0. (17) Esimerkki 3. Tarkastellaan kuvausta : R 4 R 4 R, missä kaikilla vektoreilla x, y R 4. Valitaan x = (1, 0, 0, 0), jolloin x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 (18) x x = 1 < 0, joten ehto Määritelmän 1 ehto d) ei ole voimassa. Siten kuvaus (18) ei ole sisätulo. Esimerkki 4. Vektoriavaruuteen C([a, b], R) = {f : [a, b] R f on jatkuva}, missä a < b, saadaan (reaalinen) sisätulo asettamalla f g = b a f(t)g(t)dt (19) kaikilla f, g C([a, b], R). Todistus. Aluksi todetaan, että suppeneva reaalinen integraali on reaaliluku. Määritelmän 1 kohdat b ja c seuraavat integraalin lineaarisuudesta seuraavasti αf + βh g = b (αf + βh)(t)g(t)dt = a b α a f(t)g(t)dt + β b 4 a h(t)g(t)dt = α f g + β h g.

Kohta d. Olkoon f O. Tällöin f(t) 2 vakio > 0, jollain välillä [c, d] [a, b]. Siten Esimerkki 5. Vektoriavaruuteen f f = b a f(t) 2 dt > 0. (20) C([a, b], C) = {f : [a, b] C f on jatkuva}, missä a < b, saadaan Hermiten sisätulo asettamalla kaikilla f, g C([a, b], C). Esimerkki 6. f g = b a f(t)g(t)dt (21) Esimerkin 4 kuvaus ei ole sisätulo avaruudessa F([a, b], R), sillä funktiolle { 1, kun x = a f(x) = 0, kun x ]a, b] pätee f F([a, b], R) ja f 0, mutta 1.2 Normiavaruus Määritelmä 3. f f = b a f 2 (t)dt = 0. Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; (b) v = 0 v = 0; (c) λv = λ v v V ja λ K; 5

(d) v + w v + w v, w V (kolmioepäyhtälö). Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Tällöin sanotaan lyhyesti, että V on normiavaruus. Tärkeitä normiavaruuksia ovat sisätuloavaruudet, nimittäin sisätulon avulla saadaan normi. Lause 1. Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus asettamalla Tällöin on normi. : V R v = v v = v v v V. (22) Todistus. Koska niin neliöjuuren arvo on reaaliluku ja Siten saadaan kuvaus v v 0 v V, (23) v = v v 0 v V. (24) : V R 0, joka todistaa myös normin määritelmän kohdan a. Kohta b: Tuloksen (10) nojalla v v = 0 v = 0, (25) joten Kohta c: Aluksi reaalinen tapaus. Olkoon λ R. Lasketaan v = v v = 0 v = 0. (26) λv = (λv) (λv) = λ 2 v v = λ v v = λ v. Vielä kompleksitapaus. Olkoon λ C. Lasketaan λv = (λv) (λv) = λλv v = = λ 2 v v = λ v v = λ v. Ennen kolmioepäyhtälön todistusta esitetään Cauchy-Schwarzin epäyhtälö. 6

Lause 2. Kuvaukselle (22) pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö kaikilla v, w V. Todistus. Kirjoitetaan Tällöin v w v w (27) z := w 2 v (v w)w. z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0. (28) Siten w 4 v 2 = w 2 v w 2 v = Tästä saadaan ja edelleen (27). Kohta d: Aluksi reaalinen tapaus. Tarkastellaan lauseketta (z + (v w)w) (z + (v w)w) = z z + 2(v w)z w + (v w) 2 w w = w 2 v 2 v w 2 z 2 + v w 2 w 2 v w 2 w 2. v + w 2 = (v + w) (v + w) = v v + v w + w v + w w = mistä saadaan v 2 + 2v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 = ( v + w ) 2, v + w v + w aina, kun v, w V. Sitten kompleksitapaus, missä tarvitaan tulosta Nyt z + z 2 z. (29) v + w 2 = (v + w) (v + w) = v v + v w + w v + w w = v 2 + v w + v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 = ( v + w ) 2, 7

mistä saadaan v + w v + w aina, kun v, w V. Seurauksena saadaan sisätulonormin kolmioepäyhtälöt Lemma 3. Sisätulonormille pätee Esimerkki 7. v w v + w v + w (30) Avaruudessa R n vektorin x = (x 1,..., x n ) sisätulonorminormi x = x x = x 2 1 +... + x 2 n (31) antaa vektorin pituuden (Eukleideen pituuden). Lauseen 1 mukaan sisätulonormi ja siten myös Eukleideen pituus-funktio (31) toteuttavat normin aksiomit - erityisesti kolmioepäyhtälön x y x + y x + y (32) - lisäksi pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö Esimerkki 8. x y x y. (33) Avaruudessa R 2 vektorin (x, y) Eukleideen pituus (x, y) = x x = x 2 + y 2 (34) antaa (suorakulmaisen) nelikulmion lävistäjän pituuden sekä yleistää perinteisen Pythagoraan lauseen. Esimerkki 9. Avaruudessa R 3 vektorin (x, y, z) Eukleideen pituus (x, y, y) = x x = x 2 + y 2 + z 2 (35) antaa (suorakulmaisen) suuntaissärmiön lävistäjän pituuden yleistäen kaksiulotteisen Pythagoraan lauseen. 8

Olkoon V sisätuloavaruus. Jos v, w V \ {0}, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla 1 v w v w 1 (36) Tämä antaa mahdollisuuden määritellä vektorien v ja w välinen kulma α asettamalla cos α = v w v w. (37) Lauseke v w antaa vektoreiden v ja w välisen etäisyyden. Tällöin kosinilause saadaan yleistettyä sisätuloavaruuksiin. Lemma 4. Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V \ {0}. Tällöin v w 2 = v w v w = v 2 + w 2 2 v w 1.3 Ortogonaalisuus Määritelmä 4. = v 2 + w 2 2 cos α v w. Vektorit v ja w ovat ortogo- Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V. naaliset, jos v w = 0. Tällöin käytetään merkintää v w. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos 0 / T ; v w v, w T, v w. Epätyhjä joukko T V on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen ja v = 1 kaikilla v T. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan; Vektori v on kohtisuorassa vektoria w vastaan; Esimerkki 10. 9

Koska 0 w = 0 w V eli 0 w w V, niin nollavektori on kohtisuorassa kaikkia avaruuden vektoreita vastaan. Edelleen, koska nollavektorin sisältävä joukko on lineaarisesti sidottu, niin nollavektoria ei haluta mukaan ortogonaaliseen joukkoon. Nimittäin, ortogonaalisista joukoista on tarkoitus muodostaa kantoja, joiden on syytä olla lineaarisesti vapaita. Olkoon K kunta ja n Z +, tällöin K n on lineaariavaruus kunnan K yli. Merkitään e k = (0,..., 1,..., 0) K n, missä k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia aina, kun k = 1, 2,..., n. Tiedetään, että vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli. Olkoon nyt K n = R n, missä sisätulona on (4) tai K n = C n, missä sisätulona on (8). Esimerkki 11. Joukko ortonormaali. E n := {e 1,..., e n } (38) Esimerkki 12. Tarkastellaan vektoriavaruuden sisätuloa Lasketaan C([ 1, 1], R) = {f : [ 1, 1] R f on jatkuva}, f g = 1 t = 1 1 1 1 f(t)g(t)dt. (39) tdt = 0, (40) joten funktiot 1 ja t ovat kohtisuorassa ja joukko {1, t} on ortogonaalinen. Lasketaan normit 1 = 2, t = 2/3. (41) Siten joukko {1, t} ei ole ortonormaali. 10

Lause 3. Olkoot V (reaalinen tai kompleksinen) sisätuloavaruus ja S V ortogonaalinen. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton. Muistettakoon, että nollavektori ei kuulu ortogonaaliseen joukkoon. Todistus. Tutkitaan joukon S äärellistä osajoukkoa J := {s 1,..., s n }, jonka alkioille s 1,..., s n S siis pätee s k s l = 0 aina, kun k l. Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s 1 +... + a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s 1 +... + a n s 1 s n = s 1 0 a 1 s 1 s 1 = 0. (42) Koska s 1 0, niin s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. Edetään induktiolla tulokseen a 1 =... = a n = 0, joka todistaa joukon J lineaarisen vapauden. Siten kaikki joukon S aäärelliset osajoukot ovat lineerisesti vapaita, joten määritelmän nojalla S on lineaarisesti vapaa. Määritelmä 5. Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. Esimerkki 13. Avaruuden K n luonnollinen kanta {e 1,..., e n } on ortonormaali kanta. Ortonormitus tarkoittaa annetun vektorin jakamista sen normilla, jolloin tuloksena saadaan vektori, jonka pituus on 1. Lemma 5. Olkoon v V, v 0. Tällöin Todistus. f := v/ v f = 1. (43) f 2 = f f = v v v v = 1 v 2 v v = 1 v 2 v 2 = 1. Lause 4. Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Tällöin vektorin v V koordinaatit kannassa S saadaan kaavasta λ i = v i v v i v i (44) kaikilla 1 i n. Erityisesti jos S on ortonormaali, niin λ i = v i v. 11

Todistus. Vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys Ottamalla sisätulo v = λ 1 v 1 +... + λ n v n. v i v = λ 1 v i v 1 +... + λ i v i v i +... + λ n v i v n = λ i v i v i. josta saadaan väite (44). Lause 5. Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Tällöin kaikilla v, w V pätee Parsevalin yhtälö v w = v v i v i w. (45) Lause 6. Jos vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys v = λ 1 v 1 +... + λ n v n, niin v = n v v i 2 = n λ 2 i. (46) 2016: 1. välikoe tähän asti. 1.4 Gram-Schmidt Lause 7. Olkoot V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen ortogonaalinen joukko {w 1,..., w k } V, että w 1,..., w k = v 1,..., v k. (47) Todistus. Suoritetaan Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmä: 12

Asetetaan w 1 = v 1, Tällöin esimerkiksi w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 3 = v 3 v 3 w 2 w 2 v 3 w 1 w 1 w 2 w 2 w 1 w 1... w k = v k v k w k 1 w k 1... v k w 1 w 1. w k 1 w k 1 w 1 w 1 w 2 w 1 = v 2 w 1 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = 0, w 3 w 1 = v 3 w 1 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 w 1 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = v 3 w 1 0 v 3 w 1 = 0. Yleisemmin induktiolla. Olkoon l 2. Induktio-oletus: Olkoot w i w j = 0 aina, kun l > i > j. Induktioaskel: Lasketaan sisätulo w l w i = v l w i 0... 0 v l w i w i w i w i w i 0... 0 = 0. Lause 8. Jokaisella äärellisulotteisella sisätuloavaruudella V {0} on ortonormaali kanta. Esimerkki 14. Tarkastellaan avaruuden R 4 vektoreita v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (5, 1, 1, 1) ja v 3 = ( 3, 3, 1, 3). Etsitään aliavaruudelle H = v 1, v 2, v 3 ortonormaali kanta. 13

Käytetään Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmää, jolloin w 1 = v 1 = (1, 1, 1, 1), w 2 = v 2 (v 2 w 1 ) (w 1 w 1 ) w 1 = (5, 1, 1, 1) 5 1 + 1 1 (1, 1, 1, 1) 1 + 1 + 1 + 1 = (4, 2, 0, 2), ja w 3 = v 3 (v 3 w 2 ) (w 2 w 2 ) w 2 (v 3 w 1 ) (w 1 w 1 ) w 1 = v 3 12 6 + 0 6 16 + 4 + 0 + 4 w 2 3 + 3 + 1 + 3 4 = (0, 0, 0, 0). Koska w 3 = 0, niin {v 1, v 2, v 3 } on lineaarisesti riippuva. Ylläolevasta nähdään, että vektori v 3 on lineaarikombinaatio vektoreista v 1 ja v 2, joten H = v 1, v 2. Nyt {v 1, v 2 } on lineaarisesti riippumaton, joten {w 1, w 2 } on avaruuden H ortogonaalinen kanta. Normittamalla vektorit saadaan ortonormaali kanta {f 1, f 2 }, missä f 1 = w 1 w 1 = 1 2 1.5 Hypertaso (1, 1, 1, 1) ja f 2 = w 2 w 2 = 1 24 (4, 2, 0, 2) = ( 2 6, 1 6, 0, w 1 ) 1. 6 Määritelmä 6. Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. Jos dim K V = 2, niin hypertaso on origon kautta kulkeva suora. 14

Jos dim K V = 3, niin hypertaso on origon kautta kulkeva taso. Jos dim K V = 4, niin hypertaso on origon kautta kulkeva 3-ulotteinen aliavaruus eli hypertaso. Lemma 6. Olkoon n V \ {0} annettu ja dim K V = k Z +. Tällöin joukko N := {x V n x = 0} (48) muodostaa (k 1)-ulotteisen hypertason ja joukko x 0 + N = {x V n (x x 0 ) = 0} (49) muodostaa (k 1)-ulotteisen affiinin hypertason. Olkoon seuraavassa e 1,..., e k avaruuden V ortonormaali kanta ja vektoreiden n ja x esitykset siinä: n = n 1 e 1 +... + n k e k = (n 1,..., n k ), (50) x = x 1 e 1 +... + x k e k = (x 1,..., x k ) (51) vastaavine koordinaattiesityksineen. Todistus. Joukolle (48) saadaan koordinaattiesitys N := {x = (x 1,..., x k ) n 1 x 1 +... + n k x k = 0}, (52) missä ehdon n 0 nojalla ainkin yksi koordinaatti n j 0, olkoon vaikka n 1 0. Siten x 1 = 1 n 1 (n 2 x 2 +... + n k x k ) (53) ja edelleen x = x 1 e 1 +...+x k e k = x 2 ( n 2 e 1 +e 2 )+...+x k ( n k e 1 +e k ) := x 2 f 2 +...+x k f k. n 1 n 1 (54) Niinpä N = f 2,..., f k, (55) missä f 2,..., f k on lineaarisesti vapaa ja siten kanta ja dim K N = k 1. Lemma 7. Olkoon dim K V = k Z +. Tällöin V :n hypertaso H voidaan esittää muodossa H = {x V n x = 0} (56) jollakin n V \ {0} sekä vastaava affiini hypertaso x 0 + H muodossa x 0 + H = {x V n (x x 0 ) = 0}. (57) 15

Todistus. Hypertaso on (k 1)-ulotteinen aliavaruus, joten on olemassa sellainen ortonormaali joukko g 1,..., g k 1, että H = g 1,..., g k 1, dim K H = k 1. (58) Edelleen on olemassa g k / H, g k V. Lauseen I:7 kohdan (34) nojalla g 1, g 2,..., g k on lineaarisesti vapaa ja siten V :n kanta, joka ortonormitetaan tarvittaessa ja käytetään samoja merkintöjä. Niinpä, jos x H, niin x = β 1 g 1 +... + β k 1 g k 1 + 0 g k. (59) Valitaan n = 0 g 1 +... + 0 g k 1 + 1 g k, jolloin n x = 0. (60) Tutkitaan pisteen t V etäisyyttä hypertasosta H. Määritelmä 7. Olkoon V normiavaruus ja = S V. Tällöin pisteen t V etäisyys joukosta S on inf t s. (61) s S Tutkitaan pisteen t V etäisyyttä hypertasosta H. Voidaan osoittaa, että pisteen etäisyys hypertasosta on kohtisuoraetäisyys. Lemma 8. Olkoon dim K V = k Z + ja n V \ {0}. Tällöin hypertason H = {x V n x = 0} (62) ja pisteen t V välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n t n (63) Todistus. Ortonormitetaan n: ˆn = n/ n. Koska ˆn H, niin etäisyys l on vektorin αˆn pituus α, missä αˆn on vektorin t ja sen H:lla olevan projektion p H välinen etäisyysvektori eli t p = αˆn. Koska p ˆn ja t = p + αˆn, niin Siten 0 = p ˆn = (t αˆn) ˆn = t ˆn αˆn ˆn = t ˆn α. (64) Affiini hypertaso voidaan kirjoittaa muodossa α = t ˆn = t n n. (65) x 0 + H = {x V n x = b}, b = n x 0. (66) 16

Lemma 9. Olkoon dim K V = k Z + ja n V \ {0}. Tällöin affiinin hypertason x 0 + H = {x V n (x x 0 ) = 0} (67) ja pisteen t V välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n (t x 0) n = n t b n (68) Esimerkki 15. Olkoon V = R 3, n = (n 1, n 2, n 3 ), w = (x, y, z) ja w 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Nyt affiini hypertaso on muotoa w 0 + H = {w R 3 n (w w 0 ) = 0} = {(x, y, z) R 3 n 1 x + n 2 y + n 3 z = b := n 1 x 0 + n 2 y 0 + n 3 z 0 }. (69) Affiinin hypertason ja pisteen t = (t 1, t 2, t 3 ) R 3 saadaan kaavasta l = n (t w 0) = n n 1 (t 1 x 0 ) + n 2 (t 2 y 0 ) + n 3 (t 3 z 0 ) n 2 1 + n 2 2 + n 2 3 välinen etäisyys l = n 1 t 1 + n 2 t 2 + n 3 t 3 b. (70) n 2 1 + n 2 2 + n 2 3 1.6 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8. Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. Ortogonaalikomplementti, ortogonaalinen komplementti, kohtisuora komplementti Merkintä 1. h A h A. Lemma 10. Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin ortogonaalikomplementti A on V :n aliavaruus. 17

Lemma 11. Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Jos dim K V = n ja dim K A = k, niin A A = {0}, (71) dim K A = n k. (72) Määritelmä 9. Olkoon V sisätuloavaruus, t V ja A aliavaruus. Pisteen t kohtisuora projektio PROJ A (t) = p aliavaruudelle A on yksikäsitteinen piste p, joka toteuttaa ehdot p A; p + h = t; (73) h A. Palataan hetkeksi Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmän, Lauseen 7 pariin. Olkoon V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Olkoon j k 1 ja A := {w 1,..., w j } V ortogonaalinen. Muodostetaan alkio w j+1 = h A seuraavasti. Valitaan alkio v j+1 = t / A ja asetetaan: p A; p + h = t; (74) h A. Joten Tällöin 0 = h w l = (t p) w l p = β 1 w 1 +... + β j w j ; p + h = t; h w 1 =... = h w j = 0; w i w l = 0, i l. t w l = p w l = (β 1 w 1 +... + β j w j ) w l = β l w l w l Niinpä saadaan uusi kohtisuora vektori (75) β l = t w l w l w l. (76) w j+1 := h = t p = v j+1 v j+1 w 1 w 1 w 1 w 1... v j+1 w j w j w j w j. (77) 18