Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä. Erityisesti kohtaa 4) tarvitaan hyvin usein tässä kurssissa. Lause 3.3 Olkoon m annettu positiivinen kokonaisluku. Kongruenssi (mod m) toteuttaa seuraavat ehdot: 1) a ª a (mod m) (refleksiivisyys) 2) Jos a ª b (mod m), niin b ª a (mod m) (symmetrisyys) 3) Jos a ª b (mod m) ja b ª c (mod m), niin a ª c (mod m) (transitiivisuus) 4) Jos a ª b (mod m), c ª d (mod m), r œ ja n œ +, niin seuraavat kongruenssit ovat voimassa: (i) (a c) ª (b d) (mod m) (ii) r a ª r b (mod m) (iii) a c ª b d (mod m) (iv) a n ª b n (mod m) 5) Jos k a ª k b (mod m) ja syt(k, m) = 1, niin a ª b (mod m). Todistus: 1) Koska a a = 0 = 0 ÿ m, niin määritelmän nojalla a ª a (mod m). 2) Jos a ª b (mod m), niin m» a b, ts. a b = k ÿ m Hk œ L. Siis b a = H kl ÿ m, ts. m» b a, ts. b ª a (mod m). 3) Jos a ª b (mod m) ja b ª c (mod m), niin eräille k, l œ pätee a b = k ÿ m ja b c = l ÿ m. Nyt a c = (a b) + (b c) = H k + l L ÿ m, jossa ( k + l ) œ. Siis a ª c (mod m). 4) Olkoon a ª b (mod m), c ª d (mod m), r œ ja n œ +. Tällöin eräille k, l œ pätee
Salakirjoitus 2 a b = k ÿ m ja c d = l ÿ m. (i) Meillä on Ha cl Hb dl = Ha bl Hc dl = k ÿ m l ÿ m = H k l L ÿ m, missä ( k ± l ) œ. Siis Ha cl ª Hb dl (mod m). (ii) Tässä ra rb = r ÿ Ha bl = r ÿ Hk ÿ ml = Hr ÿ kl ÿ m, ja siis ra ª rb (mod m). (iii) Luvut a ja c voidaan kirjoittaa myös muotoon a = b + k ÿ m ja c = d + l ÿ m. Näin ollen ac = Hb + k ÿ ml Hd + l ÿ ml = bd + Hbl + kd + klml ÿ m, joten ac bd = Hbl + kd + klml ÿ m, ja siis ac ª bd (mod m). (iv) Kun n = 1, on oletuksen a ª b (mod m) nojalla a n = a 1 = a ª b = b 1 = b n (mod m). Tehdään induktio-oletus, että a k ª b k (mod m), ts. oletetaan, että väite on tosi, kun n = k. Valitaan nyt kohdassa (iii) c = a k ja d = b k. Tällöin kohdan (iii) ja induktio-oletuksen nojalla saadaan: a k+1 = a(a k ) = ac ª bd = b(b k ) = b k+1 (mod m). Näin ollen väite on induktioperiaatteen nojalla tosi aina kun n œ +. 5) Tulos seuraa suoraan Lemmasta 3.1, koska tässä tapauksessa on d = sythk, ml = 1. Kun [a] ja [b] œ m, voidaan määritellä Ñ (3.3) [a] + [b] = [a+b] [a]ÿ[b] = [a ÿ b] Osoitetaan, että nämä yhteen- ja kertolaskuoperaatiot ovat hyvin määriteltyjä, toisin sanoen laskutoimitukset kohdassa (3.3) ovat riippumattomia jäännösluokkien edustajista. Todistus: Edustakoot a 1 ja a keskenään samaa jäännösluokkaa, samoin b 1 ja b. Tällöin siis [a 1 ] = [a] ja [b 1 ] = [b], ts. a 1 ª a (mod m) ja b 1 ª b (mod m). Lauseen 3.3 (kohta 4) nojalla a 1 + b 1 ª a + b (mod m) a 1 ÿ b 1 ª a ÿ b (mod m). Näin ollen @a 1 + b 1 D = @a + bd @a 1 ÿ b 1 D = @a ÿ bd ja siis HMäär. 3.3L HMäär. 3.3L @a 1 D + @b 1 D = @a1 + b 1 D = @a + bd = @ad + @bd HMäär. 3.3L HMäär. 3.3L @a 1 D ÿ @b 1 D = @a1 ÿ b 1 D = @a ÿ bd = @ad ÿ @bd. Täten laskutoimitukset kohdassa (3.3) ovat riippumattomia jäännösluokkien edustajista ja määritely (3.3) on ristiriidattomasti tehty. Ñ
Salakirjoitus 3 Esimerkki 3.6 Esitetään jäännösluokkien avulla joukkojen 2 ja 5 yhteen- ja kertolaskutaulut: 2 : +» @0D @1D -» - - @0D» @0D @1D @1D» @1D @0D ÿ» @0D @1D -» - - @0D» @0D @0D @1D» @0D @1D 5 : +» @0D @1D @2D @3D @4D @0D» @0D @1D @2D @3D @4D @1D» @1D @2D @3D @4D @0D @2D» @2D @3D @4D @0D @1D @3D» @3D @4D @0D @1D @2D @4D» @4D @0D @1D @2D @3D ÿ» @0D @1D @2D @3D @4D @0D» @0D @0D @0D @0D @0D @1D» @0D @1D @2D @3D @4D @2D» @0D @2D @4D @1D @3D @3D» @0D @3D @1D @4D @2D @4D» @0D @4D @3D @2D @1D Esimerkki 3.7 Ratkaise joukossa 5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} yhtälö [3] x + [2] = [4]. Ratkaisu: [3] x + [2] = [4] + [3] ó [3] x + [2] + [3] = [4] + [3] Tässä [2] + [3] = [5] = [0] ja [4] + [3] = [7] = [2]. ó [3] x + [0] = [2] ó [3] x = [2] Edellisen Esimerkin 3.6 kertotaulun neljännen rivin mukaisesti on jäännösluokalla [3] kerrottaessa voimassa: ÿ» @0D @1D @2D @3D @4D @3D» @0D @3D @1D @4D @2D Näin ollen [3] ÿ[4] = [2], toisin sanoen [3] x = [2] täsmälleen silloin kun x = [4]. Huomautus Olkoon m anettu positiivinen kokonaisluku. Kirjallisuudessa luvun a œ edustamasta jäänösluokasta [a] œ m käytetään myös merkintää @ad m. Usein käytetään myös lyhyempiä alle- tai päälleviivausmerkintöjä a tai ā ( modulo m). Kun jäännösluokilla lasketaan jatkuvasti, eikä sekaannuksen vaaraa ole, voidaan pelkällä luvulla merkitä sen edustamaa jäännösluokkaa. Siis esimerkiksi näin: (3.4) 4 + 4 = 3 (mod 5). Tämän salakirjoituskurssin Osassa 2 onkin usein käytännöllistä laskea kuten kohdassa (3.4). Tässä osassa kuitenkin merkitsemme mieluummin näin:
Salakirjoitus 4 4 + 4 = 8 ª 3 (mod 5) tai näin: [4] + [4] = [8] = [3] (mod 5). Esimerkki 3.8 Etsi jakojäännös, kun a) 2 2002 jaetaan luvulla 5 b) 2 2007 jaetaan luvulla 11 c) 3 3003 jaetaan luvulla 6 d) 44( 2 200 + 3 3333 ) jaetaan luvulla 7 Ratkaisu: Käytetään Lauseen 3.3 kohtaa 4). Usein on mahdollista laskea myös hieman eri tavoilla. a) 2 2 ª 1 (mod 5) Siis 2 2002 = H2 2 L 1001 ª H 1L 1001 = 1 ª 4 (mod 5). Jakojäännös on 4. Huomaa, että jakojäännös ei määritelmän mukaan ole koskaan negatiivinen, b) 2 2 = 4 (mod 11) 2 3 = 8 ª 3 (mod 11) 2 4 = 2 ÿ 2 3 ª 2 ( 3) ª 6 ª 5 (mod 11) Huom: 6 + 11 = 5. 2 5 = 2 ÿ 2 4 ª 2 5 = 10 ª 1 (mod 11) Siis 2 2007 = 2 5ÿ401+2 = 2 2 ÿh2 5 L 401 ª 4 ÿ H 1L 401 = 4 ( 1) = 4 ª 7 (mod 5). Huom: 4 + 11 = 7. Jakojäännös on 7. c) 3 2 = 9 ª 3 (mod 6) 3 3 = 3 ÿ 3 2 ª 3ÿ3 ª 3 (mod 6) Koska 3 n = 3 ÿ 3 n-1, näemme induktiivisesti, että 3 n ª 3 (mod 6). Siis 3 3003 ª 3 (mod 6). Jakojäännös on 3. d) Tässä siis 44( 2 200 + 3 3333 ) jaetaan luvulla 7. 44 = 6ÿ7 + 2 ª 2 (mod 7) 2 3 ª 1 (mod 7) 2 200 = 2 2 ÿ2 3ÿ66 = 2 2 ÿ H2 3 L 66 ª 4ÿ1 = 4 (mod 7)
Salakirjoitus 5 3 3 = 27 ª 6 ª 1 (mod 7) 3 3333 = H3 3 L 1111 ª H 1L 1111 ª 1 (mod 7) Siis 44( 2 200 + 3 3333 ) ª 2(4 1) = 2ÿ3 = 6 (mod 7). Jakojäännös on 6. Harjoituksia 18 Kertaa Lauseen 3.3 kohdan 4 (iii) todistus: Olkoon m annettu positiivinen kokonaisluku, a ª b (mod m) ja c ª d (mod m). Tällöin a c ª b d (mod m). 19 Esitä joukkojen 8 ja 9 yhteen- ja kertolaskutaulut. 20 Ratkaise joukossa 7 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]} yhtälö [2] x + [3] = [4]. 21 Etsi jakojäännös, kun a) 10 515 jaetaan luvulla 7 (5) b) 8 391 jaetaan luvulla 5 (2) c) 7 348 jaetaan luvulla 11 (9) d) 3 323 jaetaan luvulla 7 (5) e) 127 ÿ H10 515 + 3 323 L jaetaan luvulla 7(3) Laske sopivasti jakojäännöksillä ja merkitse kaikki välivaiheet näkyviin. Oikea vastaus on merkitty valmiiksi sulkeiden sisään. 22 Etsi jakojäännös, kun a) 2 203 jaetaan luvulla 5 (3) b) 3 4567 jaetaan luvulla 6 (3) c) 55 ÿ H 2 203 + 3 4567 L jaetaan luvulla 7(0) Laske sopivasti jakojäännöksillä ja merkitse välivaiheet näkyviin. Oikea vastaus on tässäkin merkitty valmiiksi sulkeiden sisään. 23 Oletetaan tunnetuksi tulos P(b) ª P(c) (mod m), kun P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + + a n-1 x + a n ; a i œ ; ja b ª c (mod m). Olkoon lisäksi q n-numeroinen kokonaisluku ja sen peräkkäiset numerot a 1, a 2,..., a n ; a i œ {0, 1,..., 9}. Osoita, että 9» q jos ja vain jos 9» (a 1 + a 2 + + a n ). Onko luku 987654321 jaollinen 9:llä?