FUNKTIOT JA MATRIISIT

FUNKTIOT JA MATRIISIT Matti Vaarma 6. heinäkuuta 017 B

SISÄLTÖ 1. Funktiot ja yhtälöt 1 1.1 Funktion määritelmä ja merkinnät................... 1 1. Yhdistetty funktio............................. 1.3 Funktion kuvaaja............................. 1.4 Paloittain määritelty funktio....................... 3 1.5 Polynomifunktio............................. 3 1.5.1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio............. 4 1.5. Toisen asteen polynomifunktio................. 5 1.6 Polynomiyhtälö.............................. 5 1.6.1 Ensimmäisen asteen yhtälö................... 5 1.6. Toisen asteen yhtälö....................... 6 1.7 Rationaalifunktio............................. 7 1.8 Rationaaliyhtälö.............................. 7 1.9 Potenssifunktio.............................. 8 1.10 Potenssiyhtälö............................... 9 1.11 Trigonometrinen funktio......................... 9 1.1 Trigonometrinen yhtälö......................... 10 1.13 Eksponenttifunktio............................ 11 1.14 Eksponenttiyhtälö............................. 11 1.15 Logaritmifunktio............................. 1 1.16 Logaritmiyhtälö.............................. 1. Matriisit 14.1 Matriisin määritelmä........................... 14. Matriisien yhteenlasku.......................... 14.3 Matriisien kertominen reaaliluvulla (skalaarilla)........... 15.4 Matriisin transpoosi............................ 15.5 Neliömatriisi, lävistäjämatriisi, yksikkömatriisi............ 15.6 Matriisitulo................................ 16.7 Determinantti............................... 17.8 Käänteismatriisi.............................. 17.9 Lineaarinen yhtälöryhmä matriisitulona................ 18 II

3. Esimerkkejä 19 LIITTEET A. Lukujoukot ja välit 45 A.1 Lukujoukot................................. 45 A. Välit..................................... 46 B. Gaussin eliminointimenetelmä 47 B.1 Gaussin eliminointimenetelmä..................... 47 B.1.1 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen (tapaus n n).. 47 B.1. Käänteismatriisi.......................... 49 III

1 FUNKTIOT JA YHTÄLÖT 1.1 Funktion määritelmä ja merkinnät E1 E E3 Funktio on kahden joukon A ja B välinen sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon täsmälleen yhden joukon B alkion y. Funktion f alkioon liittämää alkiota y merkitään y = f () ja kutsutaan funktion arvoksi. Funktion määrittelyjoukko on joukko, joka muodostuu kaikista niistä alkioista, joilla funktio on määritelty. Funktion arvojoukko on joukko, joka muodostuu funktion kaikista arvoista. A f y = f () B Kuva 1.1: Funktio f kuvaa määrittelyjoukon A alkion arvojoukon B alkioksi y eli funktion arvoksi f (). E4 E5 Tässä materiaalissa määrittelyjoukot ja arvojoukot ovat jatkossa lukujoukkoja ja funktion säännöt matemaattisia lausekkeita. Lähinnä tarkastellaan reaalifunktioita eli funktioita, joissa sekä määrittely- että arvojoukko ovat reaalilukujen osajoukkoja. Jos määrittelyjoukkoa ei ole ilmoitettu, määrittelyjoukko on laajin mahdollinen reaalilukujen osajoukko, jossa funktion lauseke on määritelty. määrittelyjoukko funktion muuttuja syöte (input) f : N R f () = 3 f (5) = 5 3 funktion nimi funktion nimi funktion nimi arvojoukon sisältävä joukko funktion lauseke funktion arvo (output) Kuva 1.: Funktioon liittyviä merkintöjä ja niiden tulkinta. 1

1. Yhdistetty funktio E6 E7 Olkoon funktio f : A B ja funktio g : B C. Funktioiden f ja g yhdistetty funktio g f on funktio (g f )() = g( f ()) f g f g f () g( f ()) A B C Kuva 1.3: Funktio f kuvaa alkion alkioksi f (). Edelleen, g kuvaa alkion f () alkioksi g( f ()). Yhdistetty funktio g f kuvaa alkion suoraan alkioksi g( f ()). E8 Yhdistetyssä funktiossa g f funktiota g sanotaan ulkofunktioksi ja funktiota f sisäfunktioksi. On hyvä huomata, että yleisesti g f = f g. 1.3 Funktion kuvaaja Funktion f kuvaaja on kaikkien määrittelyjoukon alkioiden ja niitä vastaavien funktion arvojen f () muodostamien pisteiden (, f ()) joukko. Jokaiselle määrittelyjoukon alkiolle piirretään siis koordinaatistoon piste (, f ()). Funktion nollakohdat ovat ne luvut, joissa kuvaaja leikkaa -akselin eli f () = 0. ( 1, f ( 1 )) f ( ) y f ( 1 ) (, f ( )) 1 Kuva 1.4: Funktion f kuvaaja saadaan piirtämällä pisteet (, f ()) jokaiselle määrittelyjoukon alkioille. Käytännössä pisteitä piirretään äärellinen määrä. Funktion määrittelyjoukko on usein äärettömän suuri, esimerkiksi R. Tällöin ei ole mahdollista piirtää kaikkia pisteitä (, f ()). Sen sijaan koordinaatistoon piirretään äärellinen määrä pisteitä (, f ()) ja sommitellaan kuvaaja kulkemaan

E9 E10 näiden kautta. Monet laskimet ja tietokoneohjelmat yhdistävät pisteet suoralla viivalla: kun pisteitä on tarpeeksi tiheässä, kuvaaja näyttää sileältä. 1.4 Paloittain määritelty funktio Paloittain määritelty funktio on funktio, joka on määritelty alifunktioiden avulla siten, että jokaisen alifunktion määrittelyjoukko on osa pääfunktion määrittelyjoukosta. Reaalifunktioilla alifunktiot on määritelty väleittäin. Paloittain määriteltyä funktiota f merkitään aaltosulkeilla, esimerkiksi f () = {, kun < 0, kun 0 E11 Funktion f kuvaaja muodostuu piirtämällä kunkin alifunktion kuvaaja sen omalla määrittelyvälillä. 3 1 f () = {, kun < 0, kun 0 3 1 0 1 3 Kuva 1.5: Paloittain määritellyn funktion f kuvaaja muodostuu piirtämällä kunkin alifunktion kuvaaja sen omalla määrittelyvälillä. 1.5 Polynomifunktio Polynomifunktio on funktio, joka voidaan kirjoittaa muotoon f () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0 a n = 0 missä n N 0 ja termit a 0, a 1,..., a n ovat vakioita. Polynomifunktion määrittelyjoukko on R. Korkeimman termin a n n eksponenttia n kutsutaan polynomifunktion asteeksi. Usein sovelluksissa käytettyjä polynomifunktioita ovat ensimmäisen ja toisen asteen polynomifunktiot. Polynomifunktioiden kuvaajia on monenlaisia. Yhteistä kaikille on, että ne ovat jatkuvia. 3

y y f () = 3 3 + f () = 4 3 + Kuva 1.6: Vasen: esimerkki kolmannen asteen polynomifunktion kuvaajasta. Oikea: esimerkki neljännen asteen polynomifunktion kuvaajasta. E1 Polynomifunktio f voidaan jakaa tekijöihinsä polynomiyhtälön f () = 0 ratkaisujen eli funktion f nollakohtien 1,,..., n avulla seuraavasti. f () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0 = a n ( 1 )( ) ( n ) 1.5.1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio on funktio, joka voidaan kirjoittaa muotoon f () = a + b a = 0 E13 missä a ja b ovat vakioita. Ensimmäisen asteen polynomifunktion määrittelyjoukko on R. Ensimmäisen asteen polynomifunktion f () = a + b kuvaaja on suora. Kulmakerroin a kertoo kuinka monta yksikköä suora nousee y-suunnassa, kun siirrytään yksi yksikkö oikealle -suunnassa. Jos a > 0, suora on nouseva. Jos a < 0, suora on laskeva. Vakiotermi b kertoo sen y-akselin kohdan, jossa suora leikkaa y-akselin. y f () = 1 + 1 Kuva 1.7: Esimerkki ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaajasta. 4

1.5. Toisen asteen polynomifunktio Toisen asteen polynomifunktio on funktio, joka voidaan kirjoittaa muotoon f () = a + b + c a = 0 E14 missä a, b ja c ovat vakioita. Toisen asteen polynomifunktion määrittelyjoukko on R. Toisen asteen polynomifunktion f () = a + b + c kuvaaja on paraabeli. Jos a > 0, paraabelin sanotaan aukeavan ylöspäin. Jos a < 0, paraabelin sanotaan aukeavan alaspäin. Vakiotermi c kertoo sen y-akselin kohdan, jossa paraabeli leikkaa y-akselin. Termin b vaikutusta ei käsitellä tässä yhteydessä. y y 3 + + Kuva 1.8: Toisen asteen polynomifunktion f () = a + b + c kuvaaja on ylös- tai alaspäin aukeava paraabeli. 1.6 Polynomiyhtälö Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan kirjoittaa muotoon a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0 = 0 a n = 0 E15 Polynomiyhtälöllä on korkeintaan n ratkaisua. Polynomiyhtälön ratkaiseminen riippuu yhtälön asteesta n. Ensimmäisen ja toiseen asteen polynomiyhtälölle on olemassa yksinkertaiset ratkaisukaavat. Korkeamman asteen yhtälöt kannattaa ratkaista laskimella. 1.6.1 Ensimmäisen asteen yhtälö Ensimmäisen asteen yhtälö on yhtälö, joka voidaan esittää seuraavassa muodossa. a + b = 0 a = 0 E16 Ensimmäisen asteen yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu. 5

E17 E18 Ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen on paras selittää esimerkkien avulla. Tällaisia yhtälöitä esiintyy monissa sovelluksissa. Graafisesti ensimmäisen asteen yhtälön a + b = 0 ratkaisu vastaa suoran y = a + b ja -akselin leikkauspisteen -koordinaattia. y (, 0) y = a + b Kuva 1.9: Graafisesti ensimmäisen asteen yhtälön a + b = 0 ratkaisu vastaa suoran y = a + b ja -akselin leikkauspisteen -koordinaattia. 1.6. Toisen asteen yhtälö Toisen asteen yhtälö on yhtälö, joka on voidaan esittää seuraavassa muodossa. a + b + c = 0 a = 0 E19 E0 E1 Toisen asteen yhtälöllä on korkeintaan ratkaisua. Toisen asteen yhtälö ratkaistaan muokkaamalla yhtälö ylläolevaan muotoon ja käyttämällä seuraavaa ratkaisukaavaa. Vaillinainen toisen asteen yhtälö, eli yhtälö, jossa b = 0 tai c = 0, voidaan ratkaista myös ilman ratkaisukaavaa. = b ± b 4ac a Ratkaisukaavassa neliöjuuren sisällä olevaa lauseketta b 4ac = D kutsutaan diskriminantiksi. Diskriminantin arvosta voidaan päätellä yhtälön ratkaisujen määrä. Jos D > 0, yhtälöllä on ratkaisua Jos D = 0, yhtälöllä on 1 ratkaisu Jos D < 0, yhtälöllä ei ole ratkaisuja Graafisesti toisen asteen yhtälön ratkaisut vastaavat paraabelin y = a + b + c ja -akselin leikkauspisteiden -koordinaatteja. Riippuen diskriminantista D, leikkauspisteitä on kaksi, yksi tai nolla. 6

y y y D > 0 D = 0 D < 0 Kuva 1.10: Graafisesti toisen asteen yhtälön a + b + c = 0 ratkaisut vastaavat paraabelin y = a + b + c ja -akselin leikkauspisteiden -koordinaatteja. Riippuen diskriminantista D, leikkauspisteitä on kaksi, yksi tai nolla. 1.7 Rationaalifunktio Rationaalifunktio on funktio, joka voidaan kirjoittaa muotoon f () = P() Q() E missä P() ja Q() ovat polynomifunktioita. Rationaalifunktion määrittelyjoukkoon kuuluvat kaikki reaaliluvut R paitsi luvut, joilla nimittäjä Q() saa arvon nolla. Rationaalifunktion kuvaajia on monenlaisia. Yhteistä kuvaajille on, että nimittäjän nollakohdissa eli kohdissa, joilla Q() = 0 kuvaajaan tulee hyppy. y 1 Kuva 1.11: Esimerkki rationaalifunktion kuvaajasta. Nimittäjän nollakohdassa = kuvaajaan tulee hyppy. 1.8 Rationaaliyhtälö Rationaaliyhtälö on yhtälö, joka voidaan kirjoittaa muotoon P() Q() = 0 7

E3 E4 missä P() ja Q() ovat polynomifunktioita. Sovelluksissa P ja Q ovat usein ensimmäisen ja toisen asteen polynomifunktioita. Rationaaliyhtälöt voidaan usein muokata verrannoksi. Tällöin yhtälö voidaan kertoa ristiin, ja rationaaliyhtälöstä saadaan polynomiyhtälö. 1.9 Potenssifunktio Potenssifunktio on funktio, joka voidaan kirjoittaa muotoon f () = a n missä a ja n ovat vakioita. Potenssifunktion määrittelyjoukko riippuu siitä, mihin lukujoukkoon eksponentti n kuuluu. Rajoitutaan seuraavassa tilanteisiin, joissa n on positiivinen tai negatiivinen kokonaisluku. Jos n on positiivinen kokonaisluku, niin määrittelyjoukko on R Jos n on negatiivinen kokonaisluku, niin määrittelyjoukko on R, = 0 Jos potenssifunktion f () = n eksponentti n on positiivinen pariton kokonaisluku, funktion f kuvaaja on symmetrinen origon suhteen. Jos n on positiivinen parillinen kokonaisluku, kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen. Molemmissa tapauksissa kuvaajat ovat jatkuvia. Usein sovelluksissa käytetään vain osaa, jossa 0. y y 3 4 Kuva 1.1: Vasen: Potenssifunktion f () = n kuvaaja on symmetrinen origon suhteen jos n on positiivinen pariton kokonaislukuluku. Oikea: Jos n on positiivinen parillinen kokonaisluku, kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen. Jos potenssifunktion f () = n eksponentti n on negatiivinen pariton kokonaisluku, funktion f kuvaaja on symmetrinen origon suhteen ja kohdassa nolla kuvaajaan tulee hyppy. Jos n on negatiivinen parillinen kokonaisluku, kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen ja kohdassa nolla kuvaajaan tulee hyppy. Usein sovelluksissa käytetään vain osaa, jossa 0. 8

y y 3 4 Kuva 1.13: Vasen: Potenssifunktion f () = n kuvaaja on symmetrinen origon suhteen jos n on negatiivinen pariton kokonaisluku. Oikea: Jos n on negatiivinen parillinen kokonaisluku, kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen. 1.10 Potenssiyhtälö Potenssiyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon esiintyy potenssissa. Usein sovelluksissa tavataan potenssiyhtälö, joka voidaan kirjoittaa muotoon n = a E5 missä n on luonnollinen luku. Ylläoleva potenssiyhtälö saadaan ratkaistua ottamalla yhtälön molemmista puolista juuri n. Tällöin potenssiyhtälöstä saadaan ensimmäisen asteen yhtälö. Juurta ottaessa pitää huomioida n. Kun n on pariton: n = a n n = n a n n parittomille juurille pätee n = = n a Kun n on parillinen: n = a n n = n a jos a 0, niin n n parillisille juurille pätee n = = n a = ± n a 1.11 Trigonometrinen funktio Sinifunktio on funktio f () = sin, missä sin on suunnatun kulman kehäpisteen y-koordinaatti. Määrittelyjoukko on R ja arvojoukko [ 1, 1] 9

Kosinifunktio on funktio f () = cos, missä cos on suunnatun kulman kehäpisteen -koordinaatti. Määrittelyjoukko on R ja arvojoukko [ 1, 1] Tangenttifunktio on funktio f () = tan, missä tan = sin cos. Määrittelyjoukko on R, = 90 + n 180, n Z ja arvojoukko R E6 Sini- ja kosinifunktio ovat molemmat jaksollisia funktioita ja niiden jakso π. E7 Toisin sanoen sini- ja kosinifunktion arvot toistuvat π:n välein. 1 y π 3π cos sin π π 1 π π 3π π Kuva 1.14: Sini- ja kosinifunktion kuvaaja välillä [ π, π]. Molemmat funktiot ovat jaksollisia ja niiden jakso on π. Myös tangenttifunktio on jaksollinen funktio. Sen perusjakso on π. y π 3π π π π π 3π π Kuva 1.15: Tangenttifunktion kuvaaja välillä [ π, π]. Tangenttifunktion perusjakso on π. Huomaa kohdat, joissa tangenttifunktiota ei ole määritelty. 1.1 Trigonometrinen yhtälö Trigonometrinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon esiintyy trigonometrisen funktion sisällä. Useat sovelluksissa käytettävät trigonometriset yhtälöt voidaan esittää seuraavassa muodossa. sin α = a 1 a 1 cos α = a 1 a 1 tan α = a 10

E8 E9 E30 E31 Tällaisilla trigonometrisilla yhtälöillä on äärettömästi ratkaisuja. Ylläolevan kaltainen yhtälö ratkaistaan jollakin seuraavista kaavoista, joissa n Z. sin α = a α = sin 1 (a) + n 360 tai α = 180 sin 1 (a) + n 360 cos α = a α = cos 1 (a) + n 360 tai α = cos 1 (a) + n 360 tan α = a α = tan 1 (a) + n 180 1.13 Eksponenttifunktio Eksponenttifunktio on funktio f () = a E3 jossa kantaluku a > 0 ja a = 1. Eksponenttifunktion määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko R. Jos eksponenttifunktion f () = a kantaluku a > 1, funktion f kuvaaja on kasvava (sanotaan eksponentiaalisesti kasvavaksi). Jos 0 < a < 1, kuvaaja on vähenevä (eksponentiaalisesti vähenevä). y f () = e ( ) g() = 1 Kuva 1.16: Eksponenttifunktion f () = e kantaluku on suurempi kuin yksi, joten f on eksponentiaalisesti kasvava. Eksponenttifunktion g() = ( 1 ) kantaluku on nollan ja yhden välissä, joten g on eksponentiaalisesti vähenevä. 1.14 Eksponenttiyhtälö Eksponenttiyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon esiintyy eksponentissa. Usein sovelluksissa tavataan eksponenttiyhtälö, joka voidaan kirjoittaa muotoon a = b missä a > 0, a = 1 ja b on vakio. 11

E33 E34 Ylläoleva eksponenttiyhtälö saadaan ratkaistua ottamalla yhtälön molemmista puolista logaritmi. Tällöin eksponenttiyhtälöstä saadaan ensimmäisen asteen yhtälö. a = b log a = log b log a = log b = log b log a log log a = log a 1. asteen yhtälö 1.15 Logaritmifunktio Logaritmifunktio on funktio f () = log a missä kantaluku a > 0 ja a = 1. Logaritmifunktion määrittelyjoukko on positiivisten reaalilukujen joukko R +. Jos logaritmifunktion f () = log a kantaluku a > 1, funktion f kuvaaja on kasvava. Jos 0 < a < 1, kuvaaja on vähenevä. y f () = ln g() = log 1/ Kuva 1.17: Logaritmifunktion f () = ln kantaluku on suurempi kuin yksi, joten f on kasvava. Logaritmifunktion g() = log 1/ kantaluku on nollan ja yhden välissä, joten g on vähenevä. 1.16 Logaritmiyhtälö Logaritmiyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon esiintyy logaritmin sisällä. Usein sovelluksissa tavataan logaritmiyhtälö, joka voidaan kirjoittaa muotoon log a = b missä a > 0, a = 1 ja b on vakio. Ylläolevan logaritmiyhtälön ratkaisemiseksi survaistaan kantaluku a yhtälön molemmille puolille. Tällöin logaritmiyhtälöstä saadaan ensimmäisen asteen 1

E35 yhtälö. log a = b a log a = a b = a b survaistaan a a log a = 1. asteen yhtälö 13

MATRIISIT.1 Matriisin määritelmä Matriisi A on suorakulmioksi järjestetty lukujen joukko. a 11 a 1 a 1n a A = 1 a a n... a m1 a m a mn E36 E37 Matriisin A dimensiota merkitään m n tai A m n, missä m on A:n rivien lukumäärä ja n on A:n sarakkeiden lukumäärä. Matriisia on usein hyödyllistä ajatella taulukoksi, josta otsikot on poistettu. Matriisissa olevia lukuja kutsutaan myös alkioiksi. Matriisin A rivillä i ja sarakkeessa j olevaa alkiota merkitään a ij. Pystyvektori on matriisi, jossa on vain yksi sarake. Vaakavektori on matriisi, jossa on vain yksi rivi.. Matriisien yhteenlasku E38 Kahden m n matriisin A ja B yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. a 11 + b 11 a 1n + b 1n a A + B = 1 + b 1 a n + b n.. a m1 + b m1 a mn + b mn Erotus määritellään vastaavasti. Jos matriisit A ja B eivät ole samankokoisia, yhteentai vähennyslaskua ei voida suorittaa. Nollamatriisi 0 m n on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia. Matriisien yh- 14

teenlasku toteuttaa seuraavat säännöt. A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = A A + ( A) = 0.3 Matriisien kertominen reaaliluvulla (skalaarilla) E39 Matriisi A m n kerrotaan reaaliluvulla eli skalaarilla r siten, että A:n jokainen alkio kerrotaan skalaarilla r. ra 11 ra 1n ra ra = 1 ra n.. ra m1 ra mn Matriisien kertominen skalaarilla toteuttaa seuraavat säännöt. r(sa) = (rs)a r(a + B) = ra + rb (r + s)a = ra + sa.4 Matriisin transpoosi E40 Matriisin A m n transpoosi on matriisi An m T, jonka i:nellä rivillä ovat A:n i:nnen sarakkeen alkiot. Transponointi muuttaa siis A:n sarakkeet riveiksi ja päinvastoin. A = ( 3 7 6 8 15 ) 3 6 A T = 7 8 15.5 Neliömatriisi, lävistäjämatriisi, yksikkömatriisi Matriisi A on neliömatriisi jos siinä on yhtä monta riviä ja saraketta. Toisin sanoen, A on neliömatriisi, jos sen dimensio on n n. Lävistäjämatriisi on neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat mitä tahansa lukuja ja kaikki muut alkiot nollia. Neliömatriisin A lävistäjäalkiot ovat alkiot a ij, joilla 15

i = j. Yksikkömatriisi I on lävistäjämatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä. ( ) a 11 a 1 a 1 a a 11 0 0 0 a 0 0 0 a 33 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Kuva.1: neliömatriisi, 3 3 lävistäjämatriisi ja 4 4 yksikkömatriisi I..6 Matriisitulo Matriisien A ja B matriisitulo AB on määritelty ainoastaan jos A:n sarakkeiden lukumäärä on sama kuin B:n rivien lukumäärä. Tulomatriisissa C = AB on yhtä monta riviä kuin A:ssa ja yhtä monta saraketta kuin B:ssä. A m n B n p = C m p E41 E4 Matriisin C alkio c ij lasketaan matriisin A rivin i transpoosin ja B:n sarakkeen j pistetulona. Matriisitulo toteuttaa seuraavat säännöt. (AB)C = A(BC) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC (rs)ab = (ra)(sb) E43 Huomaa, että sääntö AB = BA ei toteudu yleisesti. Yksikkömatriisi I on matriisien ykkönen eli sille pätee IA = A AI = A Tulon transpoosi toteuttaa seuraavan laskusäännön. (AB) T = B T A T 16

E44.7 Determinantti Neliömatriisin A = ( a11 ) a 1 determinantti det(a) on reaaliluku a 1 a a det(a ) = 11 a 1 a 1 a = a 11 a a 1 a 1 E45 Neliömatriisin A 3 3 = Neliömatriisin A 4 4 = det(a 4 4 ) = ( a11 a 1 a 13 ) a 1 a a 3 determinantti det(a) on reaaliluku a 31 a 3 a 33 a 11 a 1 a 13 det(a 3 3 ) = a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 a a 3 = a 11 a 3 a 33 a a 1 a 3 1 a 31 a 33 + a a 1 a 13 a 31 a 3 a 11 a 1 a 13 a 14 a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 a 41 a 4 a 43 a 44 ( a11 a 1 a 13 a 14 ) a 1 a a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 determinantti det(a) on reaaliluku a 41 a 4 a 43 a 44 a a 3 a 4 = a 11 a 3 a 33 a a 1 a 3 a 4 34 a 4 a 43 a a1 a 31 a 33 a a 1 a a 4 34 44 a 41 a 43 a + a13 a 31 a 3 a a 1 a a 3 34 44 a 41 a 4 a a14 a 31 a 3 a 33 44 a 41 a 4 a 43 Näin jatkamalla determinantti voidaan määritellä kaikille neliömatriiseille A n n..8 Käänteismatriisi Neliömatriisi A n n on kääntyvä, jos on olemassa neliömatriisi B n n siten, että AB = BA = I E46 Matriisia B kutsutaan matriisin A käänteismatriisiksi ja merkitään A 1. Voidaan todistaa, että jos jo jompikumpi ylläolevista ehdoista AB = I tai BA = I toteutuu, niin B on A:n käänteismatriisi A 1. Lisäksi voidaan todistaa, että matriisi A on kääntyvä jos ja vain jos det(a) = 0. Jos neliömatriisit A ja B ovat kääntyviä, voidaan todistaa, että myös A 1, A T ja 17

AB ovat kääntyviä. Lisäksi käänteismatriisille pätevät seuraavat säännöt. (A 1 ) 1 = A (AB) 1 = B 1 A 1 (A T ) 1 = (A 1 ) T.9 Lineaarinen yhtälöryhmä matriisitulona Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on m yhtälöä ja n tuntematonta, on yhtälöryhmä a 11 1 + a 1 +... + a 1n n = b 1. =. a m1 1 + a m +... + a mn n = b m Termit 1,,..., n ovat tuntemattomia ja termit a ij ja b i tunnetaan. Tällainen yhtälöryhmä voidaan esittää matriisitulon avulla lyhyesti A = b E47 missä a 11 a 1 a 1n 1 b 1 A =... =. b =. a m1 a m a mn n b m Jos yhtälöryhmässä on yhtä monta tuntematonta kuin yhtälöä, A on n n neliömatriisi. Jos A on kääntyvä, yhtälöryhmän ratkaisu saadaan käänteismatriisin A 1 avulla. A = b A 1 A = A 1 b I = A 1 b = A 1 b kerrotaan vasemmalta A 1 :lla 18

3 ESIMERKKEJÄ E1 Funktio käsitteenä (tehdas) Ajatellaan tehdasta, joka valmistaa rauta-, kupari- ja kultamalmista vastaavan metallin harkkoja. Esimerkiksi, jos tehtaaseen tuodaan kuparimalmia, tehdas tuottaa kupariharkkoja. Vastaavasti raudalle ja kullalle. Tällainen tehdas on funktio, sillä se liittää jokaiseen määrittelyjoukon alkioon (jonkin metallin malmiin) täsmälleen yhden arvojoukon alkion (kyseisen metallin harkon). Käsite Merkitys nyt Kommentti sääntö valmista syötemalmista harkkoja määrittelyjoukko rauta-, kupari- ja kultamalmi tehdas ei osaa käsitellä esimerkiksi viljaa tai tukkeja arvojoukko rauta-, kupari- ja kultaharkot mitään muuta tehdas ei tuota E Funktio käsitteenä (etunimikone) Ajatellaan konetta, jonne voidaan syöttää etunimiä. Kone palauttaa kunkin syötetyn etunimen kirjainten lukumäärän. Matti Etunimi Koneen palaute Matti 5 Anna 4 Johannes 8 ETUNIMIKONE 5 Tällainen kone on funktio, sillä se liittää jokaiseen määrittelyjoukon alkioon (etunimi) täsmälleen yhden arvojoukon alkion (kyseisen etunimen kirjainten lukumäärän). 19

Käsite sääntö määrittelyjoukko arvojoukko Merkitys nyt palauta etunimen kirjainten lukumäärä kaikki etunimet kaikki luvut, jotka kone palauttaa, kun sinne on syötetty kaikki etunimet E3 Funktio käsitteenä (joukkojen väliset säännöt) Ovatko seuraavat säännöt funktioita? 0 1 A B A B Ratkaisu a) Sääntö ei ole funktio, koska eräs joukon A alkio liitetään kahteen joukon B alkioon. b) Sääntö on funktio, koska funktio liittää jokaiseen joukon A alkioon täsmälleen yhden joukon B alkion. Useaan joukon A alkioon voidaan liittää sama joukon B alkio. Tähän voidaan liittää taulukko. Käsite Merkitys nyt Kommentti sääntö piirretty kuvaan nuolilla määrittelyjoukko, ja mikään muu arvo ei kelpaa arvojoukko tämä on ainoa arvo, jonka funktio palauttaa E4 Funktio käsitteenä (reaalifunktio) Olkoon funktio f () = ja sovitaan, että f on määritelty vain luvuilla { 1, 0, 1, }. Lasketaan funktion f arvot kaikille määrittelyjoukon alkioille. f ( 1) = ( 1) = 1 f (0) = 0 = 0 f (1) = 1 = 1 f () = = 4 0

Funktion f arvojoukko muodostuu kaikista funktion arvoista. Joukkoihin ei kuitenkaan ole tapana lukea samaa alkiota kuin kerran, joten arvojoukko on nyt kolmen alkion joukko {0, 1, 4}. Funktio f on reaalifunktio, sillä sekä määrittelyjoukko että arvojoukko ovat reaalilukujen osajoukkoja. Käsite Merkitys nyt Kommentti sääntö f () = määrittelyjoukko { 1, 0, 1, } reaalilukujen osajoukko arvojoukko {0, 1, 4} reaalilukujen osajoukko E5 Reaalifunktion määrittelyjoukkoa ei annettu Olkoon funktio f () = 1. Mikä on funktion f määrittelyjoukko? Ratkaisu Koska määrittelyjoukkoa ei ole annettu, määrittelyjoukko on laajin mahdollinen reaalilukujen osajoukko, jossa funktio on määritelty. Lauseke f () = 1 on määritelty kaikilla muilla reaaliluvuilla paitsi nollalla. Tämä voidaan merkitä esimerkiksi R, = 0. Vaihtoehtoisesti voidaan merkitä määrittelyjoukon olevan { R = 0} tai R \ {0}. E6 Yhdistetty funktio käsitteenä (tehdas) Ajatellaan esimerkin 1 funktiotehdasta, joka jalosti rauta-, kupari- ja kultamalmista kyseisen metallin harkkoja. Ajatellaan lisäksi toista tehdasta, joka valmistaa sinne tuoduista metalliharkoista kyseisestä metallista tehtyjä putkia. Kuljettamalla ensimmäisestä tehtaasta valmistetut harkot toiseen tehtaaseen, saadaan tuotettua putkia. Näiden kahden funktiotehtaan yhdistetty funktio tarkoittaisi tehdasta, jonne tuodaan rauta-, kupari- tai kultamalmia, ja joka valmistaa malmista kyseistä metallia olevia putkia. 1

E7 Yhdistetyn funktio lauseke Olkoon f () = 1 ja g() =. Muodosta ( f g)() ja (g f )(). Ratkaisu Yhdistetty funktio f g määritellään ( f g)() = f (g()). Funktioon f () sijoitetaan siis :n paikalle g(). ( f g)() = f (g()) f () = 1 = 1 g() g() = = 1 ( ) = + + 1 Funktio (g f )() muodostetaan vastaavasti, mutta toisin päin. (g f )() = g( f ()) g() = = ( f ()) f () f () = 1 = (1 ) (1 ) = Huomaa, että ( f g)() = (g f )(). E8 Sisä- ja ulkofunktioon jakaminen Jaa seuraavat funktiot sisä- ja ulkofunktioon s() ja u(). Ratkaisu a) f () = ( + 1) 3 b) f () = 1 3 a) Sisä- ja ulkofunktiot ovat s() = + 1 ja u() = 3 koska u(s()) = (s()) 3 = ( + 1) 3

b) Sisä- ja ulkofunktiot ovat s() = 3 ja u() = 1 koska u(s()) = 1 s() = 1 3 E9 Funktion kuvaajan piirtäminen (paraabeli) Piirrä funktion f () = 1 kuvaaja. Ratkaisu Koska funktion f määrittelyjoukkoa ei ole annettu, se on laajin mahdollinen joukko, jossa funktion lauseke on määritelty. Lauseke f () = 1 on määritelty kaikilla reaaliluvuilla, joten määrittelyjoukko on R. Määrittelyjoukko R on äärettömän suuri, joten kaikkia pisteitä (, f ()) ei voida piirtää. Valitaan määrittelyjoukosta muutama luku ja lasketaan niitä vastaavat arvot y = f (). On kätevää taulukoida arvot. Kun taulukko on valmis, piirretään pisteet (, f ()) koordinaatistoon. Lopuksi sommitellaan kuvaaja kulkemaan näiden pisteiden kautta. f () = 1 5 1 1 0 1 1 1 1 y E10 Funktion kuvaajan piirtäminen (tietokone) Monet sovellukset piirtävät pisteet (, f ()) tietyin :n välein ja yhdistävät pisteet suoralla viivalla. Kun pisteitä on tarpeeksi tiheässä, kuvaaja näyttää sileältä. Oheisessa kuvassa on esitetty funktion f () = sin kuvaaja sadalla ja kymmenellä pisteellä suoralla viivalla yhdistettynä. Vaikka sadan pisteen kuvaaja näyttää sileältä, kuvaajan tarkentaminen osoittaa, että kuvaaja ei ole sileä. 3

1 y 6 4 4 6 sin, n = 100 sin, n = 10 1 E11 Paloittain määritelty funktio 4, kun < 1 Olkoon f () = +, kun 1 3 + 10, kun > a) Laske f (0) ja f ( 5) b) Piirrä funktion f kuvaaja Ratkaisu a) Kun funktioon f sijoitetaan jokin syöte, sijoitus tehdään siihen alifunktioon, jonka määrittelyvälillä on. syöte alifunktioon f (0) = 0 + f () = + = f ( 5) = ( 5) syöte alifunktioon 4 ( 5) f () = 4 = 7 b) Funktion f kuvaaja muodostuu piirtämällä kunkin alifunktion kuvaaja sen omalla määrittelyvälillä. 4 4 3 1 1 3 4 E1 Polynomifunktion jako tekijöihin (toinen aste) Jaa polynomifunktio f () = + 4 6 tekijöihinsä. 4

Ratkaisu Ratkaistaan ensin polynomiyhtälö f () = 0 eli yhtälö 3 + 4 6 = 0. + 4 6 = 0 = 1 tai = 3 Kyseessä on toisen asteen polynomifunktio, joten nollakohtatermejä tulee. f () = a ( 1 )( ) a = 1 = 1 = 3 = ( 1)( ( 3)) = ( 1)( + 3) Tuloksen voi tarkistaa kertomalla tulon auki. E13 Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaajan termit Oheisen kuvan ensimmäisen asteen polynomifunktion f kulmakerroin kertoo, että suora nousee yksikköä y-suunnassa, kun siirrytään yksi yksikkö oikealle -suunnassa. Vakiotermi puolestaan kertoo, että suora leikkaa y-akselin kohdassa 1. Funktion g kulmakerroin kertoo, että suora laskee (negatiivinen kulmakerroin) /3 yksikköä y-suunnassa, kun siirrytään yksi yksikkö oikealle -suunnassa. Vaihtoehtoisesti voidaan ajatella: suora laskee yksikköä y-suunnassa, kun siirrytään 3 yksikköä oikealle -suunnassa. Vakiotermi kertoo, että suora leikkaa y-akselin kohdassa 1. y y g() 3 + 1 f () = 1 E14 Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja Oheisissa kuvissa on havainnollistettu kerrointen a, b ja c vaikutusta toisten asteen polynomifunktion f () = a + b + c kuvaajaan. Lyhyesti: a vaikuttaa paraabelin leveyteen ja ylös- tai alaspäin aukeavuuteen, b:n vaikutus on monimutkaisempi ja c kertoo paraabelin ja y-akselin leikkauskohdan. 5

y y y 4 + E15 Kolmannen asteen polynomiyhtälö laskimella Seuraava yhtälö on kolmannen asteen polynomiyhtälö. 3 + 8 5 10 = 0 Laskin antaa sille kolme eri ratkaisua. 0,818 tai 1,7 tai 7,097 E16 Ensimmäisen asteen yhtälö: perusteet Ratkaise yhtälö ( 3) = 5 + 10 Ratkaisu ( 3) = 5 + 10 + 6 = 5 + 10 5 = 10 6 7 = 4 = 4 7 avataan sulut siirretään :n sisältävät termit vasemmalle ja muut oikealle (etumerkit vaihtuvat siirrettäessä) yhtälön voi kertoa tai jakaa puolittain samalla luvulla. jaetaan nyt :n kertoimella : ( 7) voi ilmoittaa myös desimaalilukuna E17 Ensimmäisen asteen yhtälö: kaavat Ratkaise kaavasta PV = nrt termi T. 6

Ratkaisu Kaavat ratkaistaan kuten muutkin ensimmäisen asteen yhtälöt. PV = nrt nrt = PV T = PV nr käännetään yhtälö, jolloin saadaan T:tä sisältävät termit vasemmalle ja muut oikealle : nr E18 Ensimmäisen asteen yhtälö: yhteinen tekijä εt 1 εt = T 1 Ratkaise kaavasta εt 1 εt = T 1 termi T 1. Ratkaisu Joskus yhtälön ratkaisussa täytyy ottaa yhteinen tekijä. siirretään T 1 :n sisältävät termit vasemmalle ja muut oikealle otetaan vasemmalla puolella yhtei- εt 1 T 1 = εt nen tekijä T 1 T 1 (ε 1) = εt : (ε 1) T 1 = εt ε 1 E19 Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen Ratkaise toisen asteen yhtälö 6 = 5 Ratkaisu Muokataan yhtälö 6 = 5 muotoon a + b + c = 0 viemällä kaikki termit yhtälön toiselle puolelle. Saadaan 5 6 = 0. Ratkaisut saadaan sijoittamalla 7

ratkaisukaavaan. = b ± b 4ac a = ( 5) ± ( 5) 4 1 ( 6) 1 = 5 ± 49 = 6 tai = 1 a = 1 b = 5 c = 6 E0 Vaillinaisen toisen asteen yhtälön ratkaiseminen (b = 0) Ratkaise toisen asteen yhtälö 8 = 0 Ratkaisu Koska yhtälö ei sisällä -termiä eli b = 0, kyseessä on vaillinainen toisen asteen yhtälö, joka voidaan ratkaista ilman ratkaisukaavaa. (Ratkaisukaavaa saa toki käyttää.) 8 = 0 = 8 = 4 = 4 molemmista puolista a = a = = ± E1 Vaillinaisen toisen asteen yhtälön ratkaiseminen (c = 0) Ratkaise toisen asteen yhtälö 3 + 7 = 0 Ratkaisu Koska yhtälö ei sisällä vakiotermiä eli c = 0, kyseessä on vaillinainen toisen asteen yhtälö, joka voidaan ratkaista ilman ratkaisukaavaa. (Ratkaisukaavaa saa toki käyttää.) 3 + 7 = 0 ( 3 + 7) = 0 otetaan yhteinen tekijä 8

Jotta ylläolevasta tulosta voi tulla nolla, joko = 0 tai 3 + 7 = 0 (tulon nollasääntö). Saadaan siis kaksi ensimmäisen asteen yhtälöä. = 0 3 + 7 = 0 = 9 Alkuperäsen toisen asteen yhtälön ratkaisut ovat siis = 0 tai = 9. E Rationaalifunktion määrittelyjoukko Mikä on rationaalifunktion f () = Ratkaisu Etsitään nimittäjän nollakohdat. 4 3 6 määrittelyjoukko? 6 = 0. asteen yhtälö = tai = 3 Funktion f määrittelyjoukko on siis R, = tai = 3. E3 Rationaaliyhtälön ratkaiseminen verrannolla Ratkaise rationaaliyhtälö Ratkaisu 1 = 1 + 1 Muokataan rationaaliyhtälö verrannoksi. 1 = 1 + 1 1 = + + 1 1 + 1 1 = + 1 + 1 + 1 = + = ± 1 lavennetaan termillä + 1 samannimiset, summataan kerrotaan ristiin. asteen yhtälö E4 Rationaalikaavan ratkaiseminen (resistanssi) Ratkaise R kaavasta 1 R = 1 R 1 + 1 R 9

Ratkaisu Muokataan rationaaliyhtälö verrannoksi. 1 R = 1 R 1 + 1 R 1 R = R R 1 R + R 1 R 1 R 1 R = R 1 + R R 1 R R 1 R = R(R 1 + R ) lavennetaan 1 R 1 termillä R ja 1 R termillä R 1 samannimiset, summataan kerrotaan ristiin 1. asteen yhtälö R = R 1R R 1 + R E5 Potenssiyhtälö Ratkaise seuraavat potenssiyhtälöt. Ratkaisu a) 4 3 = 3 b) 4 = 16 a) 4 3 = 3 : 4 3 = 8 3 3 = 3 8 3 = b) 4 = 16 4 4 4 = 4 16 = = ± E6 Funktion cos kuvaaja Yksikköympyrän avulla hahmottaa, miten funktion cos kuvaaja syntyy. Aloitetaan kulmasta = 0 ja edetään 30 välein positiiviseen suuntaan. Taulukoidaan kutakin kulmaa vastaava arvo cos (tietokoneelta). Piirretään pisteet koordinaatistoon. 30

150 10 90 60 30 1 y 180 10 40 70 300 0 330 90 180 70 360 1 / 0 30 60 90 10 150 180 10 40 70 300 330 cos 1 0,87 0,5 0 0,5 0,87 1 0,87 0,5 0 0,5 0,87 Seuraava yksikköympyrän kierros piirtäisi jakson [360, 690 ] ja niin edelleen. Kuvaaja on loputon. Kun käydään läpi myös negatiiviset kulmat, kuvaaja piirtyy negatiiviselle -akselille. E7 Trigonometristen funktioiden kuvaaja sovelluksissa Jotkin aaltoliikettä ja värähtelyä käsittelevät fysikaaliset mallit sisältävät trigonometrisia funktioita. Yksi esimerkki on ajasta t riippuva siniaalto y(t) = A sin(ωt + φ) missä A on aallon amplitudi, ω on kulmanopeus ja φ on vaihe-ero. Siniaallon amplitudi A vaikuttaa aallon suuruuteen. Siniaalto saa arvoja väliltä [ A, A]. 1 y π 3π sin 0,5 sin π π 1 π π 3π π Siniaallon kulmanopeus ω vaikuttaa aallon värähtelytiheyteen. 31

1 y π 3π sin sin π π 1 π π 3π π Siniaallon vaihe-ero φ määrää missä kohtaa värähtelyjaksoa aalto on. Jos φ > 0 aalto siirtyy taaksepäin. Jos φ < 0 aalto siirtyy eteenpäin. 1 y π 3π π sin sin( + π/) π 1 π π 3π π E8 Trigonometrisillä yhtälöillä on äärettömästi ratkaisuja Ratkaistaan yhtälö sin = 0,5 Laskimen komento sin 1 (.5) antaa tuloksen = 30. Tämä on yksi ratkaisu, mutta ratkaisuja on enemmänkin. Sini sin tarkoittaa kulman kehäpisteen y-koordinaattia. Yhtälön sin = 0,5 ratkaisuksi käyvät täten ne kulmat, joiden kehäpisteen y-koordinaatti on 0,5. Piirretään yksikköympyrään vaakasuora jana korkeudelle 0,5. Kulmat, joiden kehäpiste on tällä janalla, kelpaavat ratkaisuksi. 30 Aloitetaan kulmasta 0 ja lähdetään kiertämään yksikköympyrää positiiviseen suuntaan. Ensimmäinen kulma, jonka kehäpiste osuu vaakajanalle on 30. Kun jatketaan eteenpäin, myös toisen kulman kehäpiste osuu janalle. Symmetrian perusteella tämä kulma on 180 30 = 150. 3

Ratkaisuksi kelpaavia kulmia on kuitenkin enemmän. Kun jatketaan kulmasta 150 positiiviseen suuntaan päästään taas kulmaan, jonka kehäpiste on janalla. Kulma on 30 + 360 = 390. Vastaavasti kulma 150 + 360 = 510 on ratkaisu. Yleisesti, yhtälön sin = 0,5 ratkaisuksi käyvät kulmat 30 ja 150 sekä näiden monikerrat. Ratkaisuja on siis äärettömästi. Nämä äärettömän monta ratkaisua voidaan listata seuraavasti kun n Z. = 30 + n 360 tai = 180 30 + n 360 = 150 + n 360 Havainnollistetaan tilannetta myös aste-y-koordinaatistossa. Piirretään koordinaatistoon funktioiden sin ja 0,5 kuvaajat. Ratkaisuja ovat kaikki -akselin kohdat, joissa kuvaajat leikkaavat toisensa; näitä kohtia on äärettömästi. 1 y 70 360 360 70 1 E9 Siniyhtälö Ratkaise yhtälö sin = 1 Ratkaisu Käytetään siniyhtälön ratkaisukaavaa. sin α = a α = sin 1 (a) + n 360 tai α = 180 sin 1 (a) + n 360 sin = 1 = sin 1 ( 1 ) + n 360 tai = 180 sin 1 ( 1 ) + n 360 = 45 + n 360 = 180 45 + n 360 =,5 + n 180 = 67,5 + n 180 Havainnollistetaan ratkaisuja piirtämällä kulmat yksikköympyrään. 33

E30 Kosiniyhtälö Ratkaise yhtälö cos( 30 ) = 1 Ratkaisu Käytetään kosiniyhtälön ratkaisukaavaa. cos α = a α = cos 1 (a) + n 360 tai α = cos 1 (a) + n 360 cos( 30 ) = 1 cos( 30 ) = 1 ( ) ( ) 30 1 = cos 1 + n 360 tai 30 1 = cos 1 + n 360 30 = 60 + n 360 30 = 60 + n 360 = 90 + n 360 = 30 + n 360 Havainnollistetaan ratkaisuja piirtämällä kulmat yksikköympyrään. E31 Tangenttiyhtälö Ratkaise yhtälö tan(3) = 4 34

Ratkaisu Käytetään tangenttiyhtälön ratkaisukaavaa. tan α = a α = tan 1 (a) + n 180 tan(3) = 4 3 = tan 1 (4) + n 180 3 75,96 + n 180 5,3 + n 180 Havainnollistetaan ratkaisuja piirtämällä kulmat yksikköympyrään. E3 Eksponenttifunktio mallina (hajoavan aineen määrä) Hajoavan aineen määrää tietyllä ajanhetkellä a(t) voidaan mallintaa eksponenttifunktiolla a(t) = a 0 ( ) t 1 t 1/ missä t on aika, a 0 on aineen määrä ajanhetkellä t = 0 ja t 1/ puoliintumisaika. Puoliintumisaika on aika, jonka kuluttua puolet aineesta on hajonnut eli aineen määrä on puolittunut. Erään lääkkeen määrä puolittuu elimistössä kuuden tunnin välein. Jos lääkeannos on 100 mg, kuinka paljon sitä on mallin mukaan elimistössä vuorokauden kuluttua? 35

Ratkaisu Lääkkeen määrää voidaan ennustaa ylläolevalla eksponenttiyhtälöllä a(t) = a 0 (1/) t t 1/ a 0 = 100 mg t 1/ = 6 h t = 4 h a(4 h) = 100 mg (1/) 4 h 6 h 6 mg E33 Eksponenttiyhtälön ratkaiseminen logaritmilla Ratkaise yhtälö 6 5 3+1 = 18 Ratkaisu 6 5 3+1 = 18 : 6 5 3+1 = 3 muodossa a = b ln ln 5 3+1 = ln 3 log a r = r log a (3 + 1) ln 5 = ln 3 1. asteen yhtälö : ln 5 3 + 1 = ln 3 ln 5 = ln 3 ln 5 1 3 Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää jonkin muun kantaista logaritmia. Tulos näyttää erilaiselta, mutta on sama. 6 5 3+1 = 18 : 6 5 3+1 = 3 log 5 log 5 5 3+1 = log 5 3 log a r = r log a (3 + 1) log 5 5 = log 5 3 log a a = 1 3 + 1 = log 5 3 = log 5 3 1 3 36

E34 Symbolinen eksponenttiyhtälö (puoliintumisaika) Ajassa t 1/ puoliintuvan aineen määrä a(t) voidaan laskea kaavasta a(t) = a 0 ( ) t 1 t 1/ missä t on aika, a 0 on aineen määrä ajanhetkellä t = 0 ja t 1/ puoliintumisaika. a) Ratkaise kaavasta t. b) Lääkkeen pitoisuus elimistössä puoliintuu kuudessa tunnissa. Jos lääkeannos on 100 mg, kuinka kauan kestää, että lääkettä on elimistössä jäljellä 8 mg? Ratkaisu Ratkaistaan yhtälö t:n suhteen. a(t) = a 0 (1/) t t 1/ : a 0 a(t) a 0 ln a(t) a 0 = (1/) t t 1/ = ln(1/) t t 1/ ln a(t) a 0 = t t 1/ ln(1/) nyt muodossa a = b ln log a r = r log a 1. asteen yhtälö t = a(t) ln a 0 ln(1/) t 1/ Sijoitetaan ratkaistuun kaavaan a(t) = 8 mg, a 0 = 100 mg ja t 1/ = 6 h. t = ln 8 mg 100 mg ln(1/) 6 h h E35 Logaritmiyhtälön ratkaiseminen Ratkaise yhtälö 4 ln = 1 37

Ratkaisu 4 ln = 1 : ( 4) ln = 3 nyt muodossa log a = b survaistaan e yhtälön alapuolelta e ln = e 3 logaritmin määritelmä a log a = = e 3 1. asteen yhtälö = e 3 E36 Matriisin dimensio Oheisen matriisin A dimensio on 4 koska siinä on riviä ja 4 saraketta. ( ) 0 13 5 A = 1 1 4 3 E37 Matriisin alkioihin viittaminen Oheisen matriisin A alkio a 1 = 5, koska matriisin rivillä ja sarakkeessa 1 oleva luku on 5. Vastaavasti a 13 = 4. 8 6 4 A = 5 0 4 18 17 E38 Matriisien yhteenlasku ( ) ( ) 1 3 3 7 10 Olkoon A = ja B =. Laske A + B. 4 5 6 14 0 6 38

Ratkaisu Matriisit lasketaan yhteen komponenteittain. ( ) ( ) 1 3 3 7 10 A + B = + 4 5 6 14 0 6 ( ) 1 + 3 + 7 3 + ( 10) = 4 + 14 5 + 0 6 + ( 6) ( ) 4 9 7 = 18 5 0 E39 Matriisien kertominen skalaarilla (ja laskujärjestys) ( ) 1 3 Olkoon A = ja B = 4 5 6 ( 0 1 0 1 ). Laske A + B. Ratkaisu Kerto- ja vähennyslaskun suhteen noudatetaan normaalia laskutoimitusjärjestystä: ensin kertolasku, sitten yhteenlasku. ( ) ( ) 1 3 0 1 A + B = + 4 5 6 0 1 ( ) ( ) 1 3 0 4 = + 4 5 6 0 4 ( ) 1 4 7 = 4 3 E40 Vektoreiden transpoosi Transponointi muuttaa pystyvektorin vaakavektoriksi ja päinvastoin. 1 = 0 T = ( ) 1 0 E41 Matriisitulon perusteet 1 ( ) 3 4 Olkoon A 3 = 4 5 ja B =. Laske matriisitulo AB ja BA. 1 3 6 39

Ratkaisu Ennen matriisitulon laskemista tarkistetaan onko tulo määritelty eli onko A:n sarakkeiden lukumäärä sama kuin B:n rivien lukumäärä. Tätä varten on mukava kirjoittaa matriisien dimensiot peräkkäin: (3 ) ( ). Jos keskimmäiset luvut ovat samat, tulo on määritelty. Lisäksi reunimmaiset luvut kertovat tulomatriisin koon, 3. Tulomatriisin C = AB alkio c 11 on matriisin A rivin 1 transpoosin ja matriisin B sarakkeen 1 pistetulo: 1 3 + 1 = 5. Alkio c 1 on puolestaan matriisin A rivin transpoosin ja matriisin B sarakkeen pistetulo: 4 3 + 5 1 = 17. Jatketaan näin kaikille C:n alkioille. 1 ( ) 3 4 AB = 4 5 1 3 6 1 3 + 1 1 4 + = 4 3 + 5 1 4 4 + 5 3 3 + 6 1 3 4 + 6 5 8 = 17 6 15 4 Tuloa BA ei ole määritelty, sillä B:n sarakkeiden lukumäärä () ei ole sama kuin A:n rivien lukumäärä (3). Kirjoittamalla ( 3) ( ) nähdään, että keskimmäiset luvut eivät ole yhtäsuuret. E4 Matriisitulo, vektorit ja transpoosi ( ) ( ) ( ) 1 0 0 Olkoon A =, = ja y =. Laske seuraavat matriisitulot. 3 4 1 1 a) A b) y T c) T A 40

Ratkaisu a) Matriisitulo A on määritelty, sillä ( ) ( 1). Tulomatriisin kertaluku on 1 eli pystyvektori. ( ) ( ) 1 0 A = 3 4 1 ( ) 1 0 + 1 = 3 0 + 4 1 ( ) = 4 b) Matriisitulo y T on määritelty, sillä ( 1) (1 ). Tulomatriisin kertaluku on. Huomaa että kahden vektorin matriisitulosta voi syntyä matriisi. ( ) y T 0 ( ) = 0 1 1 ( ) 0 0 0 ( 1) = 1 0 1 ( 1) ( ) 0 0 = 0 1 c) Matriisitulo T A on määritelty, sillä (1 ) ( ) ( 1). Tulomatriisin kertaluku on 1 1. Huomaa, että matriisitulosta voi syntyä myös reaaliluku. Kolmen tai useamman matriisin tulo on laskettava osissa, kaksi matriisia kerrallaan. ( ( ) ( ) ( )) ( ) T 1 0 A = 0 1 3 4 1 ( ) ( ) 0 = 3 4 1 = 4 41

E43 Matriisitulo symboleilla Matriisitulon laskusäännöillä voidaan sieventää seuraava lauseke. (I + A)B B = IB + AB B = B + AB B = AB E44 E45 Determinantti matriisille ( ) 1 Olkoon A =. Tällöin A:n determinantti det(a) lasketaan seuraavasti. 3 5 a 11 a 1 a 1 a = a 11a a 1 a 1 1 3 5 = 5 ( 1) 3 = 13 Determinantti 3 3 matriisille Lasketaan seuraava 3 3 determinantti. a 11 a 1 a 13 a a 3 a 1 a a 3 = a 11 a 31 a 3 a 33 a 3 a 33 a a 1 a 3 1 a 31 a 33 + a a 1 a 13 a 31 a 3 5 0 0 4 0 = 5 6 3 0 3 0 ( ) 4 6 0 + 0 4 0 6 3 = 5(0 0 3) + (4 0 6) + 0 = 54 E46 Käänteismatriisin toteaminen Matriisi A = ( 1 1 0 ) 0 1 0 ja B = 1 0 1 ( 1 1 0 ) 0 1 0. Onko B matriisin A käänteismatriisi A 1? 1 1 1 4

Ratkaisu Matriisi B on A:n käänteismatriisi A 1, jos AB = I tai BA = I. 1 1 0 1 1 0 AB = 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 = I Siis, B on matriisin A käänteismatriisi A 1. E47 Yhtälöryhmän esittäminen matriisitulona + y z = 4 Esitä seuraava yhtälöryhmä matriisimuodossa. 4y 6 = 3 z = y Ratkaisu Ensin muokataan yhtälöryhmää siten, että kaikki tuntemattomat muuttujat ovat yhtälön vasemmalla puolella ja vakiot oikealla puolella. + y z = 4 3 + 4y = 6 y + z = 0 Seuraavaksi kirjoitetaan matriisi A siten, että se sisältää muuttujien kertoimet. Ajattele, että sarakkeiden otsikot ovat, y ja z ja rivien otsikot yhtälö 1, yhtälö ja yhtälö 3. Kirjoitetaan samalla myös muuttujavektori, joka on tuntemattomista muuttujista koostuva pystyvektori. Kirjoitetaan vielä vakiovektori b, jossa ovat yhtälön oikealla puolella olevat vakiot. 1 1 4 A = 3 4 0 = y b = 6 0 1 1 z 0 43

Tällöin yhtälöryhmä voidaan esittää matriisitulona A = b. Varmistaudutaan tästä kertomalla matriisitulo: 1 1 4 3 4 0 y = 6 0 1 1 z + y z 3 + 4 y + z = 0 4 6 0 44

A LUKUJOUKOT JA VÄLIT A.1 Lukujoukot Merkintä A tarkoittaa, että on joukon A alkio eli kuuluu joukkoon A. Merkintä / A tarkoittaa, että ei kuulu joukkoon A. Luonnollisten lukujen joukkoon N kuuluvat lukumäärää ilmaisevat luvut. N = {1,, 3,...} Merkitään N 0 :lla luonnollisten lukujen joukkoa, joka sisältää nollan. Kokonaislukujen joukko Z sisältää joukon N lisäksi luonnollisten lukujen vastaluvut ja nollan. Z = {...,, 1, 0, 1,,...} Rationaalilukujen joukko Q sisältää kokonaislukujen Z lisäksi luvut, jotka voidaan esittää kokonaislukujen avulla murtolukumuodossa. { m Q = n } m, n Z, n = 0 Irrationaaliluvut ovat lukuja, jotka eivät kuulu rationaalilukuihin Q. Toisin sanoen irrationaalilukuja ei voida esittää kokonaislukujen avulla murtolukumuodossa. Tällaisia lukuja ovat esimerkiksi π ja. Reaalilukujen joukko R sisältää rationaalilukujen Q lisäksi irrationaaliluvut. Reaalilukuja voidaan havainnollistaa lukusuoralla. R Q Z N Kuva A.1: Lukujoukoista laajemmat sisältävät suppeammat joukot. 1 0 1 Kuva A.: Reaalilukuja voidaan havainnollistaa lukusuoralla, jonne jokainen reaaliluku voidaan sijoittaa. Lukusuoralle on sijoitettu luku. 45

A. Välit Avoin väli ]a, b[ on väli, joka sisältää kaikki reaaliluvut a < < b. Päätekohdat a ja b eivät kuulu väliin. ]a, b[= { R a < < b } Suljettu väli [a, b] on väli, johon päätekohdat kuuluvat. [a, b] = { R a b } Puoliavoin väli on väli, jonka toinen päätekohta kuuluu väliin, mutta toinen ei. ]a, b[ [a, b] [a, b[ ]a, b] a b a b a b a b Kuva A.3: Avoin-, suljettu- ja kaksi puoliavointa väliä. Avointa päätekohtaa merkitään tyhjällä ympyrällä ja suljettua täytetyllä ympyrällä. Positiivisia reaalilukuja merkitään R + = ]0, [ 46

B GAUSSIN ELIMINOINTIMENETELMÄ B.1 Gaussin eliminointimenetelmä Gaussin eliminointimenetelmä algoritmi, jolla voidaan ratkaista lineaarisia yhtälöryhmiä. Algoritmilla voidaan ratkaista myös kääntyvän matriisin A käänteismatriisi A 1. Menetelmässä operoidaan matriisia alkeisrivioperaatioilla, joita on kolme: Kerrotaan matriisin rivi nollasta eroavalla vakiolla Lisätään matriisin rivi (kerrottuna nollasta eroavalla vakiolla) toiseen riviin Vaihdetaan rivien paikkaa Menetelmän vaiheet on paras selittää esimerkin avulla. B.1.1 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen (tapaus n n) Olkoon A = b E48 E49 E48 matriisimuodossa esitetty lineaarinen yhtälöryhmä, missä A on n n kerroinmatriisi, on n 1 tuntematon pystyvektori ja b on n 1 pystyvektori. Tällainen yhtälöryhmä voidaan ratkaista Gaussin eliminointimenetelmällä. Kirjoitetaan matriisi ( A b ). Muokataan tämä alkeisrivioperaatioilla muotoon ( I c ). Tällöin yhtälöryhmän ratkaisut nähdään suoraan. Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Gaussin eliminointimenetelmällä (tapaus ) { + y = 14 Ratkaise yhtälöpari Gaussin eliminointimenetelmällä. + 4y = 47

Ratkaisu Yhtälöparin kerroinmatriisi A = ( 1 1 4 ) ja b = ( 14 ). Kirjoitetaan matriisi ( A b ) ja muokataan se alkeisrivioperaatioilla muotoon ( I c ). ( ) 1 14 ( A c ) = 1 4 lisätään 1. rivi luvulla 1 kerrottuna. riviin ( ) 1 14 kerrotaan 1. rivi luvulla 1 0 9 9 kerrotaan. rivi luvulla 9 ( ) 1 1 7 0 1 lisätään. rivi luvulla 1 kerrottuna 1. riviin ( ) 1 0 6 nyt ( I c ) 0 1 Tämä vastaa yhtälöryhmää { = 6 y = mikä on ryhmän ratkaisu. E49 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Gaussin eliminointimenetelmällä (tapaus 3 3) + y = 6 Ratkaise yhtälöpari z = 3 z = 5 Gaussin eliminointimenetelmällä. 48

Ratkaisu Yhtälöparin kerroinmatriisi A = ( 1 0 1 0 1 0 0 1 ) ja b = ja muokataan se alkeisrivioperaatioilla muotoon ( I c ). 1 0 6 ( A c ) = 1 0 1 3 0 0 1 5 1 0 6 0 1 3 0 0 1 5 1 0 6 0 0 0 0 1 5 1 0 0 8 0 0 ( 63 0 0 1 5 1 0 0 8 0 1 0 1 nyt ( I c ) 0 0 1 5 5 ). Kirjoitetaan matriisi ( A b ) lisätään 1. rivi luvulla 1 kerrottuna. riviin lisätään 3. rivi. riviin lisätään. rivi 1. riviin kerrotaan. rivi luvulla 1 = 8 Tämä vastaa yhtälöryhmää y = 1 z = 5 mikä on ryhmän ratkaisu. B.1. Käänteismatriisi E50 E51 E50 Olkoon neliömatrisi A n n kääntyvä. Tällöin A:n käänteismatriisi A 1 voidaan muodostaa seuraavasti. Kirjoitetaan matriisi ( A I ). Muokataan tämä alkeisrivioperaatioilla muotoon ( I B ). Tällöin B on A:n käänteismatriisi A 1. Käänteismatriisin etsiminen matriisille Olkoon A = ( ) 1 1 0. Selvitä A 1. 49

Ratkaisu Kirjoitetaan matriisi ( A I ) ja muokataan se muotoon ( I A 1 ). ( ) 1 1 1 0 lisätään 1. rivi luvulla kerrottuna ( A I ) = 0 0 1. riviin ( ) 1 1 1 0 kerrotaan. rivi luvulla 1 0 1 ( ) 1 1 1 0 0 1 1 1 lisätään. rivi 1. riviin ( ) 1 1 0 0 0 1 1 1 nyt ( I A 1 ) Siis, Matriisin A = ( ) 1 1 0 käänteismatriisi A 1 = kirjoitettuna A 1 = 1 ( 0 1 ) 1. ( 0 1 1 1 ) tai ilman murtolukuja E51 Käänteismatriisin etsiminen 3 3 matriisille Olkoon A = ( ) 1 0 1 1. Selvitä A 1. 0 1 50

Ratkaisu Kirjoitetaan matriisi ( A I ) ja muokataan se muotoon ( I A 1 ). 1 0 1 0 0 ( A I ) = 1 1 0 1 0 Siis, Matriisin A = 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 3 0 1 1 1 0 lisätään 1. rivi luvulla 1 kerrottuna. riviin kerrotaan. rivi luvulla 3 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 3 3 3 0 lisätään. rivi 3. riviin 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 3 3 3 0 kerrotaan 3. rivi luvulla 3 4 4 1 0 0 3 3 3 1 1 0 1 0 0 0 1 1 3 3 3 0 lisätään 4. rivi luvulla 3 kerrottuna 1 1 3. riviin 0 0 1 4 4 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 lisätään. rivi 1. riviin 0 0 1 1 1 3 4 4 0 0 3 1 1 0 1 0 1 1 1 kerrotaan 1. rivi luvulla 1 0 0 1 1 1 3 4 4 1 0 0 3 1 1 4 4 0 1 0 1 1 1 nyt ( I A 1 ) 0 0 1 1 1 3 4 4 3 4 1 1 4 1 1 1 tai ilman mur- 1 4 1 3 4 tolukuja kirjoitettuna A 1 = 1 4 ( ) 1 0 1 1 käänteismatriisi A 1 = 0 1 ( 3 1 ) 4. 1 3 51