1 sup- ja inf-esimerkkejä

Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat lukiomatematiikasta tutun lauseen, jonka mukaan jatkuvalla funktiolla on nollakohta sellaisella välillä, jolla funktio vaihtaa merkkiä. Tämä on kuitenkin yksi niistä 3 4:stä perustuloksesta, joiden todistaminen "alkeellisesti" on hankalaa. Lause seuraa erikoistapauksena tämän kurssin loppuosan yhtenäisyyttä koskevista tuloksista, mutta tässä esimerkkinä todistus, jossa tarvitaan ainoastaan supremumin käsitettä ja sen ominaisuuksia. Lause 1.1 Olkoon C R ja c = sup C. Tällöin on olemassa (nouseva) jono (c n ) joukon C alkioita, jolle lim c n = c. Todistus: Voisimme yrittää valita c n = c 1/n, mutta nämä luvut eivät yleensä kuulu joukkoon C. Sen vuoksi päättelyä täytyy tarkentaa seuraavalla tavalla. Koska c 1 ei ole joukon C yläraja, niin on olemassa c 1 C, jolle c 1 > c 1. Koska c 1/2 ei ole joukon C yläraja, niin on olemassa c 2 C, jolle c 2 > c 1/2. Koska c 1/3 ei ole joukon C yläraja, niin on olemassa c 3 C, jolle c 3 > c 1/3. Jatkamalla tällä tavalla saadaan joukon C alkioista jono (c n ), jolle c 1/n < c n < c kaikilla n N. Suppiloperiaatteesta (tai helposti suoraankin) seuraa, että lim c n = c. Jos halutaan muodostaa nouseva jono, niin ensimmäisen vaiheen jälkeen valitaan aina c n+1 max(c n, c 1/n). Huomaa, että tapauksessa c C ei aina voida muodostaa aidosti nousevaa jonoa. Seuraava jatkuvuuden määritelmä on yhtäpitävä tavallisen ε-δ-määritelmän kanssa; tähän palataan myöhemmin kurssilla. Määritelmä 1.1 Olkoon A R, f : A R ja a A. Funktio f on jatkuva pisteessä a, jos kaikille joukon A jonoille (a n ) pätee: lim a n = a lim f(a n ) = f(a). Funktio f on jatkuva joukossa A, jos se on jatkuva jokaisessa pisteessä a A. 1

Käytännössä jatkuvuus tarkoittaa siis kaavaa ( ) lim f(a n) = f lim a n suppeneville jonoille (a n ). Lause 1.2 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio, jolle f(a)f(b) < 0. Tällöin f(c) = 0 jollakin c ]a, b[. Todistus: Voidaan olettaa, että f(a) > 0 ja f(b) < 0, koska vastakkainen tapaus palautuu tähän tutkimalla jatkuvaa funktiota f. Merkitään C = {x [a, b] f(x) > 0}. Tällöin a C ja b on joukon C yläraja, joten joukko C on epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu. On siis olemassa c = sup C [a, b]. Osoitetaan, että f(c) = 0. Jatkuvuudesta seuraa, että c b. Valitaan niin suuri n 0 N, että c + 1/n 0 < b. Koska c = sup C, niin c + 1/n C, joten f(c + 1/n) 0 kaikilla n n 0. Jatkuvuuden perusteella tästä saadaan ( f(c) = f ) lim (c + 1/n) = lim f(c + 1/n) 0. Vastakkainen epäyhtälö saadaan seuraavalla tavalla. Valitaan edellisen lauseen perusteella joukon C pisteistä jono (c n ), joka suppenee kohti lukua c. Koska c n C, niin f(c n ) > 0. Jatkuvuuden perusteella tästä seuraa ( ) f(c) = f lim c n 0. Näistä epäyhtälöistä seuraa, että f(c) = 0, ja lause on todistettu. Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R n jatkuva; ts. tapauksessa n = 2 on r(t) = (x(t), y(t)) ja funktiot x, y : [a, b] R ovat jatkuvia. Käyrän C = r[a, b] = {r(t) t [a, b]} kaarenpituus on { n } l = sup r(t k ) r(t k 1 ) a = t 0 < t 1 < < t n = b, n N. Supremum otetaan siis kaikkien parametrivälin [a, b] äärellisten jakojen suhteen. Ainoastaan murtoviivan C tapauksessa kaarenpituus saadaan suoraan jonkin yksittäisen jaon avulla. 2

Toisaalta voidaan osoittaa, että kaarenpituus saadaan aina myös tasaväliseen jakoon perustuvan raja-arvon kautta, eli tapauksessa [a, b] = [0, 1] muodossa l = lim n r(k/n) r((k 1)/n). Todistus ei ole aivan alkeellinen, koska se vaatii ns. tasaisen jatkuvuuden käsitteen tuntemisen. Riemann-integraali. Olkoon f : [a, b] R rajoitettu funktio; ts. on olemassa sellainen vakio C R, että f(x) C kaikilla x [a, b]. Muodostetaan välin [a, b] jako ja siihen liittyvä yläsumma a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b S = n M k (x k x k 1 ), M k = sup{f(x) x k 1 x x k }, ja alasumma s = n m k (x k x k 1 ), m k = inf{f(x) x k 1 x x k }. Aina pätee: (i) Kun jako tihenee, niin s kasvaa ja S pienenee. (ii) s S, vaikka ne laskettaisiin eri jakopisteillä. Perustelu: (i) Tutkitaan, mitä tapahtuu, kun lisätään yksi uusi jakopiste kerrallaan. (ii) Jos s ja S lasketaan samoilla jakopisteillä, niin väite on selvä, koska m k M k kaikilla k. Muussa tapauksessa tarkastellaan tihennettyä jakoa, jossa on mukana molempien jakojen kaikki pisteet. Väite seuraa tällöin kohdasta (i). Funktion f yläintegraali välillä [a, b] on I + = inf{s S on johonkin jakoon liittyvä yläsumma}, ja vastaava alaintegraali välillä [a, b] on I = sup{s s on johonkin jakoon liittyvä alasumma}. 3

Aina pätee I I +. Funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b], jos I + = I. Tällöin merkitään b a f(x) dx = I +. Supremumin ja infimumin määritelmistä seuraa: Funktio f on Riemannintegroituva välillä [a, b] jokaista ε > 0 vastaa sellainen jako, jossa S s < ε. 2 Täydellisyysaksioma Reaalilukujen joukon erottaa rationaalilukujen joukosta Q Täydellisyysaksioma, eli jokin seuraavista keskenään yhtäpitävistä ominaisuuksista: (i) Jos A R on ylhäältä rajoitettu joukko, niin sillä on pienin yläraja sup A R. (ii) Nouseva ja ylhäältä rajoitettu reaalilukujono (a n ) n N suppenee kohti raja-arvoa L R. (iii) Jos (I n ) n N on pienenevä jono (inkluusion suhteen, eli I n+1 I n kaikilla n) suljettuja välejä I n R, niin leikkaus I n. n=1 Todistuksen idea: (i) (ii) (iii) (i). (i) (ii): Oletetaan, että (i) on voimassa ja olkoon (a n ) nouseva ja ylhäältä rajoitettu jono. Oletuksesta (i) seuraa, että on olemassa L = sup{a n n N} R. Osoitetaan, että lim a n = L. Olkoon ε > 0. Koska L ε ei ole joukon {a n n N} yläraja, niin on olemassa sellainen n ε N, että a nε > L ε. Koska (a n ) on nouseva, niin a n a nε > L ε kaikilla n n ε. Tällöin siis L ε < a n L < L + ε aina, kun n n ε. Tästä seuraa, että lim a n = L, joten ominaisuus (ii) on todistettu. (ii) (iii): Oletetaan, että (ii) on voimassa ja olkoon (I n ) n = ([a n, b n ]) n pienenevä jono suljettuja välejä. Ehdosta I n+1 I n seuraa, että a n+1 a n ja b n+1 b n kaikilla n N. Lisäksi a n b n b 1 ja b n a n a 1 kaikilla n. 4

Näin ollen jono (a n ) on nouseva ja ylhäältä rajoitettu, jono (b n ) laskeva ja alhaalta rajoitettu. Oletuksesta (ii) ja sen käänteisestä muodosta (ii) seuraa, että on olemassa raja-arvot a = lim a n R, b = lim b n R. Lisäksi suppiloperiaatteen nojalla pätee a b. Kun osoitetaan, että I n = [a, b], n=1 niin ominaisuus (iii) on todistettu. (Tapaus a = b on mahdollinen, mutta OK!) a) n=1i n [a, b]: Olkoon x n=1i n. Tällöin x I n kaikilla n, ts. a n x b n kaikilla n, joten suppiloperiaatteen nojalla a x b; ts. x [a, b]. b) [a, b] n=1i n : Olkoon x [a, b]. Koska (a n ) on nouseva ja (b n ) laskeva, niin a n a x b b n kaikilla n; ts. x I n kaikilla n. Näin ollen x n=1i n. (iii) (i): Oletetaan, että (iii) on voimassa ja olkoon A R ylhäältä rajoitettu joukko. Valitaan aluksi sellainen a 0 Z, että a 0 ei ole joukon A yläraja, mutta b 0 = a 0 +1 on. Merkitään c 0 = (a 0 +b 0 )/2 R ja tarkastellaan kahta eri tapausta. Jos c 0 on joukon A yläraja, niin valitaan a 1 = a 0 ja b 1 = c 0. Jos c 0 ei ole joukon A yläraja, niin valitaan a 1 = c 0 ja b 1 = b 0. Yleisessä tapauksessa jatketaan samalla periaatteella. Jos pisteet a n ja b n on valittu, niin merkitään c n = (a n + b n )/2 R ja tarkastellaan kahta eri tapausta. Jos c n on joukon A yläraja, niin valitaan a n+1 = a n ja b n+1 = c n. Jos c n ei ole joukon A yläraja, niin valitaan a n+1 = c n ja b n+1 = b n. Näin saadaan jono sisäkkäisiä välejä I n = [a n, b n ] R, jossa n:nnen välin pituus on 1/2 n. Ehdosta (iii) seuraa nyt, että n=1i n. Koska välien pituus lähestyy nollaa, niin leikkauksessa voi olla ainoastaan yksi piste c R; toisin sanoen I n = {c} ja lisäksi epäyhtälöiden n=1 lim a n = lim b n = c c 2 n a n c b n c + 2 n perusteella. Osoitetaan vielä lopuksi, että c = sup A, jolloin ominaisuus (i) on todistettu. 5

a) Luku c on joukon A yläraja: Jos x A, niin x b n kaikilla n, joten suppiloperiaatteen nojalla x lim b n = c. b) Jos c R on joukon A yläraja, niin c c: Vastaoletus: Joukolla A on yläraja c < c. Koska lim a n = c, niin jollakin indeksillä n 1 on voimassa a n1 > c (valitaan raja-arvon määritelmässä esim. ε = (c c )/2). Jonon (a n ) valinnan perusteella a n1 ei ole joukon A yläraja, joten sitä pienempi luku c ei voi sekään olla yläraja. Tämä ristiriita osoittaa vastaoletuksen vääräksi, joten väite on todistettu. 3 Ylinumeroituvuus Lause 3.1 Reaalilukujen joukko on ylinumeroituva, ts. ei ole olemassa surjektiota f : N R. Todistus. (Cantorin diagonaalimenetelmä) Riittää osoittaa, että äärettömien 0 1-jonojen joukko on ylinumeroituva, koska tällaiset jonot a vastaavat yksikäsitteisellä tavalla desimaalilukuja 0,a [0, 1]. Vastaoletus: Kaikki 0 1-jonot voidaan indeksöidä luonnollisten lukujen avulla muodossa 1. jono = a 1 = a 11 a 12 a 13... 2. jono = a 2 = a 21 a 22 a 23... 3. jono = a 3 = a 31 a 32 a 33...... Tässä siis a mn = m:nnen jonon n:s alkio {0, 1}. Tarkastellaan luettelosta muodostettua diagonaalijonoa d = a 11 a 22 a 33... ja muodostetaan uusi jono d vaihtamalla jonon d jokainen alkio operaatiolla a 1 a. Tällöin siis 0 1 ja 1 0. Saatu jono d ei kuitenkaan voi esiintyä yllä olevassa listassa: se ei ole a 1, koska jonojen 1. termit ovat erisuuret; se ei ole a 2, koska jonojen 2. termit ovat erisuuret. Yleisesti, d ei ole a n, koska jonojen n:nnet termit ovat erisuuret. Tämä ristiriita osoittaa vastaoletuksen vääräksi, joten lause on todistettu. 6

4 Irrationaaliluvut Lause 4.1 Reaaliluku 2 on irrationaalinen. Todistus. Vastaoletus: On olemassa sellaiset p Z ja q N, että 2 = p/q. Voidaan olettaa, että p ja q ovat keskenään jaottomia, eli niiden suurin yhteinen tekijä on 1. Oletuksesta seuraa 2 = p 2 /q 2, eli p 2 = 2q 2. Tämä tarkoittaa, että p 2 on parillinen, joten p on parillinen (koska parittoman neliö on pariton: (2n+1) 2 = 2(2n 2 +2n)+1). On siis olemassa k N, jolle p = 2k. Sijoittamalla aikaisempaan yhtälöön saadaan (2k) 2 = 2q 2 eli q 2 = 2k 2. Näin ollen q 2 on parillinen, joten myös q on parillinen. Molemmat luvut p ja q ovat siis parillisia, joka on ristiriita. Vastaoletus on siis väärä, ja lause on todistettu. Lause 4.2 (i) Kahden eri reaaliluvun välissä on aina rationaaliluku (ja itse asiassa äärettömän monta). (ii) Kahden eri reaaliluvun välissä on aina irrationaaliluku (ja itse asiassa äärettömän monta). Todistus. (i) Olkoot r < s reaalilukuja. Koska s r > 0, niin on olemassa q N, jolle 1/q < s r. Koska jonon (p/q) p N peräkkäisten termien erotus on 1/q, täytyy jonkin niistä sijaita avoimella välillä ]r, s[. Toistamalla vastaava päättely nähdään, että tällaisia rationaalilukuja on äärettömän monta. (ii) Olkoon taas r < s. Valitaan aluksi kohdassa (i) saatu rationaaliluku r < p/q < s. Tämän jälkeen voidaan valita niin suuri n N, että 2 n < s p q. Luku x = p q + 2 n ]r, s[ on nyt vaadittu irrationaaliluku, koska vastaoletuksesta x = a/b, a Z, b N, seuraa ristiriita ( a 2 = n b p ) Q. q Toistamalla päättely saadaan äärettömän monta tällaista irrationaalilukua. 7