Alkeislogiikassa negaatiota merkitään vakiintuneesti yksipaikkaisella operaatiolla. Proposition p

Kielto ja kierto Ahti-Veikko Pietarinen ja Gabriel Sandu 1. Kiellosta kiertoon Alkeislogiikassa negaatiota merkitään vakiintuneesti yksipaikkaisella operaatiolla. Proposition p kieltoa ei-p esitetään liittämällä operaatio p:n eteen, p. Augustus De Morganin mukaan nimettyjen päättelysääntöjen mukaan negaatio kääntää kaavan polariteetin vaihtamalla keskenään kahden loogisen konnektiivin, konjunktion ja disjunktion, sekä yleisemmässä ensimmäisen kertaluvun kielten tapauksessa eksistenssi- ja universaalikvanttorin. Muihin loogisiin vakioihin kuten kvanttoreihin verrattuna negaation taival logiikan historiassa on ollut erikoisen tasainen. Koska negaatiota Boolen algebran joukko-opillisessa tulkinnassa edustaa komplementaatio, ja koska Boolen algebra hankki vakaan aseman lauselogiikan peruskalkyylinä, tämä yksinkertaiselta vaikuttava operaatio sai elää pitkään rauhassa. Kunnes. Frank Ramsey ehdotti, että: Voisimme esimerkiksi ilmaista negaatiota sanan ei lisäämisen sijaan kirjoittamalla sen, mikä kielletään, ylösalaisin (Ramsey 1990/1929, 42). Ramsey ei ollut ensimmäinen negaatioon luovasti suhtautunut loogikko, mutta hänen havaintonsa herätti enemmän huomiota kuin aiempi Charles S. Peircen graafien avulla 1890-luvulla esittämä tapa kuvata kieltoa tekona tai prosessina, joka väitteeseen tai assertioon on liitettävä kiellon aikaansaamiseksi. Ramseyn tavoin Peirce esitti ajatuksen negaatiosta väitteen ympärikääntämisenä, sen kiertona. Prosessiluonteinen negaatio hylkää Boolen algebran mukaisen joukko-opillisen tulkinnan ja tarjoaa tilalle vakavasti otettavan geometrisen vaihtoehdon. Vaihtoehdon luonne ei yleisesti ole tiedossa. Käsillä olevan kirjoituksen tarkoituksena on valaista tapoja ymmärtää negaatiota sisältöön liitettynä aktiivisena, eikomplementaarisena siirtymänä sisällön käänteiseen, ylösalaiseen, ympäri kierrettyyn puoleen. 1

Samoihin aikoihin Ramseyn kanssa julkaisi puolalainen loogikko Jan Łukasiewicz totuustaulut, joissa esiintyi kolmas totuusarvo mahdollisuus, ja jota toisin kuin muissa moniarvologiikoissa kieltooperaatio ei muuta totuudeksi eikä epätotuudeksi. Peirce oli ennakoinut tällaisen vahvan, epätotuuden ja totuuden raja-arvona käsitetyn negaation vuonna 1909. Hänen uraauurtava käsikirjoituksensa kolmiarvoisesta logiikasta ja totuustauluista tuli julkisuuteen vasta 1960-luvulla (Fisch & Turquette 1966). Łukasiewiczin ansioksi on katsottava, että hän yleisti totuustaulut edelleen ääretönarvoisille rationaaliluvuin esitetyille totuuksille. Kahden negaation kilpailu 1900-luvun logiikassa oli kuitenkin epäreilu. Eräs varhainen perinteisen logiikan kiellon ja luonnollisen kielen suhdetta arvioinut kielitieteilijä tanskalainen Otto Jespersen (1917) totesi, että loogikkojen säännöille löytyy harvoin tukea aidoista kielenkäyttötilanteista. Kielitieteilijöiden varoituksista huolimatta perinteisen negaation ilmaisemaa ei-totuutta (Kirjoitus ei ole luonteva) ei osattu, ei haluttu, tai vielä vakavammin sitä ei tarvinnut erottaa vahvan negaation edustamasta epätotuudesta (Kirjoitus on epäluonteva). Myöhemmin oivallettiin, että jako kahteen negaatioon voidaan tehdä peliteoreettisen semantiikan ja uuden, niin sanotun riippumattomuusystävällisen logiikan (Independence-Friendly, IF-logiikan) avulla. 2. Peliteoreettinen semantiikka ja IF-logiikka Peliteoreettisessa semantiikassa kaavan totuus mallissa M määritellään voittostrategian olemassaolona pelaajalle, jonka tehtävänä on tuottaa kaavaa verifioivia yksilöitä. Kutsuttakoon pelaajaa Verifioijaksi (V). Epätotuus M :ssä määritellään vastaavasti voittostrategian olemassaolona vastapuolen pelaajalle, Falsifioijalle (F), jonka tehtävänä on tuottaa kaavaa falsifioivia yksilöitä (Hintikka 2002; Hintikka & Sandu 1997; Pietarinen 2004a; Sandu 1993; 1994). IF-logiikassa sallitaan perinteisestä logiikasta poiketen kvantifioitujen muuttujien ja loogisten 2

konnektiivien välillä semanttista riippumattomuutta. Esimerkiksi kaavan että eksistentiaalikvanttori x ei riipu, toisin sanoen on semanttisessa mielessä poistettu x ysxy sijasta voidaan sanoa, universaalikvanttorin x vaikutuspiiristä. Merkitään tätä lisäämällä kaavaan vinoviiva: x( y/ x) Sxy. Kun IF-logiikan kaavoja tulkitaan peliteoreettisessa semantiikassa, saadaan riippumattomuudelle luonnehdinta epätäydellisen informaation peleinä. Hakiessaan yksilöä muuttujalle y mallin rakenteen universumista ei informaatio pelaajan F tekemästä valinnasta muuttujalle x ole pelaajan V käytettävissä. Epätäydellisestä informaatiosta seuraa, että IF-logiikassa esiintyy määräytymättömiä kaavoja. Nähdään, että x( y/ x) Sxy ei ole tosi eikä epätosi kahden tai useamman yksilön muodostamissa tulkituissa rakenteissa. Vaikka kieli olisi kokonaan tulkittu, ei kolmannen poissuljetun laki ole voimassa atomikaavoja monimutkaisemmille ilmauksille. Kaavojen merkityksen osittaisuudesta puolestaan seuraa, ettei IF-logiikan kaavan epätotuus mallissa M tarkoita samaa kuin sen ei-totuus M :ssä. Vastaavasti kaavan totuus mallissa ei tarkoita sen ei-epätotuutta samassa mallissa. Syntyy kaksi negaatiota: heikko negaatio ϕ ilmaisee, että semanttisessa pelissä G( ϕ, M) ei ole olemassa voittostrategiaa pelaajalle V. Vahva negaatio ~ϕ ilmaisee, että ϕ on epätosi mallissa M, eli pelissä G( ϕ, M) on voittostrategia pelaajalle F. Heikkoa negaatiota voidaan luonnehtia prosessin, aktiviteetin tai semanttisten pelien tapauksessa voittostrategian poissaolona, absenssina. Loogisesta järjestelmästä riippuen absenssi voi kohdistua esimerkiksi todistusprotokolliin, kuten intuitionistisessa logiikassa. Ei-oleminen tai esiintymättömyys täytyy kuitenkin ilmaista metakielen ilmauksen ei avulla. Tästä seuraa ongelma, voidaanko tällä tavoin ensinkään antaa negaatiolle itsenäistä määritelmää. Vahvaa negaatiota voidaan puolestaan luonnehtia operaationa, jota sovelletaan johonkin prosessiin, tapahtumaan, aktiviteettiin tai transformaatioon itseensä. Se on sikäli affirmatiivinen, ettei se kiellä 3

prosessin tai aktiviteetin olemassaoloa, vaan pyrkii tuottamaan sen käänteisen puolen. Peliteoreettisessa semantiikassa vahva negaatio toteutetaan pelaajien roolien ( F V ja V F) sekä voittokonventioiden vaihtona (V voittaa jos atomikaava p on tosi V voittaa jos p on epätosi; F voittaa jos p on epätosi F voittaa jos p on tosi). Vahvan ja heikon negaation totuustaulut näyttävät siis tältä: ϕ ~ϕ ϕ 0 1 1?? 1 1 0 0 Vahva ja heikko negaatio sulautuvat toisiinsa perinteisessä ensimmäisen kertaluvun logiikassa. Voidaan osoittaa, että IF-kaava ϕ on määriteltävissä ensimmäisen kertaluvun logiikassa täsmälleen silloin, kun ϕ ja ϕ ilmaisevat voittostrategian olemassaolon peleissä G( ϕ, M) ja G( ϕ, M) (Sandu 1993). Peliteoreettisen semantiikan edustama negaatio ei siis ole heikko, kontradiktorinen negaatio, joka sovellettuna IF-kaavaan antaisi informaatiota niiden mallien luokan komplementeista, joissa kaava on tosi. Totuusarvokuiluja voi esiintyä myös atomilauseissa, mikäli mallit ovat osittaisia. Näin on, jos yhdiste niistä malleista M +, joissa ϕ on tosi, ja niistä malleista M, joissa ϕ on epätosi, on aito osajoukko mallista M. Tällöin negaatiot eroavat toisistaan myös sellaisissa ensimmäisen kertaluvun logiikan kaavoissa, joissa ei esiinny IF-logiikan vinoviivausta. 3. Kahden kiellon väkeä: negaatio komplementaationa Heikon negaation totuus on ilmaistava seuraavasti: ϕ on tosi M :ssä jos ja vain jos ϕ ei ole tosi M :ssä. Proposition kielto esittää siis väitteen, joka on tosi täsmälleen niissä asiantiloissa M, joissa propositio on epätosi. Heikko negaatio vaihtaa proposition ilmentämien partitioiden puolet keskenään. 4

Heikko negaatio voidaan lisätä IF-kieleen tämän määritelmän avulla. Kaava ϕ on tosi M :ssä jos ja vain jos ei ole niin, että ϕ on siinä tosi, eli pelaajalla V ei ole voittostrategiaa pelissä G( ϕ, M). Vastaavasti ϕ ei ole tosi M :ssä jos ja vain jos ei ole niin, että ϕ on siinä epätosi, eli pelaajalla F ei ole voittostrategiaa pelissä G( ϕ, M). Semantiikan rajoituksista johtuen heikko negaatio ei voi kuitenkaan yleisessä tapauksessa esiintyä kuin joko koko kaavan tai atomikaavojen edessä. Toinen negaatioon tavanomaisesti liitetty ominaisuus on kaksoisnegaatio: ϕ on tosi M :ssä jos ja vain jos ϕ on tosi M :ssä. Niin heikon kuin kaksoisnegaation määritelmissä on jo itsessään mukana käsitys negaatiosta metakielessä annettuna operaationa. Wittgenstein havaitsi tämän toteamuksessaan: Haluaisimme sanoa: Negaatiolla on ominaisuus, että kahdennettuna se tuottaa affirmaation. Mutta sääntö ei luonnehdi negaatiota, se konstituoi negaation (Wittegnstein 1978, 7). Kaksoisnegaatiota kritisoitiin aikaisemminkin: Jos tavallisella kielellä olisi mitään vaikutusvaltaa logiikan muotoihin, ylivoimaisesti suurimmassa osassa ihmisten kieliä kaksi negaatiota vahvistaisivat toisiaan (Peirce 1931 58; 3.481, 1896). Edelleen: Joissain kielissä kaksi negatiivia synnyttää affirmatiivin. Ne ovat loogisia kieliä. [...] Toisissa, todennäköisesti enemmistön kielissä kaksoisnegatiivi säilyy negatiivisena. Ne ovat kvantitatiivisia kieliä. Niitä puhuvien ihmisten voisi otaksua olevan hyväntahtoisempia ja filosofisempia. Kvantitatiivinen negaatio [...] ei todellakaan sisällä mitään huonoa päättelyä (Peirce 1967; käsikirjoitus 283: 120 1, 1905). Näiden huomioiden myötä Peirce tuli havainneeksi kielitieteilijöiden myöhemmin negatiiviseksi konkordiksi kutsuman ilmiön kyvyn luokitella maailman kieliä negaation käyttäytymisen mukaan kahteen pääluokkaan. Vallitseva käsitys negaation ensisijaisuudesta kvalitatiivisena lausenegaationa kvantitatiivisen verbinegaation kustannuksella on Kantin loogisen analyysin ohjelman ja kategoriaopin perintöä. Luonnollisten ja loogisten kielten negatiivi-ilmausten ero tulee selville myös niin sanottujen negatiivisten polariteettiyksiköiden kuten mikään, kukaan, tuumaakaan tai vähääkään yhteydessä. Näiden yksiköiden on väitetty tarvitsevan deklaratiivisissa lauseissa ympäristöönsä jonkin negatiivi-ilmauksen, negatiivisen 5

implikatuurin tai negaatiokonstruktion. Vaihtoehtoisesti voidaan kuitenkin ajatella, että polariteettiyksiköiden kieliopilliset esiintymät saadaan vertailemalla niiden merkitystä sellaisten lauseiden kanssa, joissa esiintyy negatiivisten yksiköiden vastinpareja, kuten kaikki, paljon tai suuresti (Pietarinen 2001). Negaation rooli kieliopillisuuden muodostumisessa saattaa siis olla arveltua vähäisempi. Varhainen psykolingvisti Jacob Van Ginneken (1877 1945) tiivisti sanoman toteamalla, että negaatio luonnollisessa kielessä ei ole looginen negaatio vaan resistanssin tuntemuksen ilmaus (Jespersen 1917, 68). 4. Negaatio geometrisenä konverssina Kuten todettiin, esiintyi taipumus siirtyä prosessiluonteiseen negaatioon jo Ramseyn toteamuksessa kielletyn asian kääntämisestä ylösalaisin kieltosanan liittämisen sijaan. Myös Wittgenstein ennakoi negaation konverssia: Joku voisi osoittaa ymmärryksensä väitelauseesta Kirja ei ole punainen heittämällä punaisen pois mallia valmistaessaan (Wittgenstein 1978, 10). Muistakaamme myös Platonin dialogeista kohta, missä Vieras ihmettelee olemattoman luonnetta: Miten voi syyllistymättä ristiriitaisuuteen sanoa, että valhetta tai luuloa [epätotuutta] on todella olemassa, on äärimmäisen vaikea kysymys (Sofisti: 236e 237a). Toteamusten taustalla on ajatus, että proposition kielto esittää väitteen, joka kuvaa asiantilojen käänteistä puolta, konverssia. Ajatusta ei osattu aikoinaan systematisoida. Peliteoreettinen semantiikka on sittemmin selittänyt sitä pelaajien roolivaihdoksena sekä voittokonventioiden kääntönä. Toinen, konverssille läheinen vahvan negaation ilmentymä on lineaarisen logiikan kaavan ϕ lineaarinen negaatio ϕ (Girard 2001). Lineaarisen negaation perusajatuksena on havaintosymmetrisyys, havaintoja vastaavien käänteisten asiantilojen tai prosessien logiikan tavoittaminen. Esimerkiksi hiukkasen liikettä radalla vastaa antihiukkasen liike vastakkaiseen suuntaan. Silmälasien puuttuminen työpöydältä on eisilmälasien oloa pöydällä. Lineaarisen logiikan negaatio siis selittää, että jokaista havaittua asiantilaa 6

vastaa symmetrinen, käänteinen asiaintila. On huomionarvoista, että lineaarisen negaation perusidea juontuu Peircen vuonna 1883 esittämästä relatiivien algebrasta. Myös Peircen myöhemmässä diagrammeihin perustuvassa graafien logiikassa tapahtui siirtymä uudenlaiseen negaatioon. Nämä eksistentiaaligraafeiksi kutsutut menetelmät koostuvat kolmesta perusmerkistä: graafien rinnastuksesta assertioarkilla (sheet of assertion), leikkauksesta (cut) graafin ympäri ja leikatun alueen kierrosta akselinsa ympäri, sekä identiteettiviivoista (line of identity) predikaattitermien välillä. Rinnastusta voidaan ajatella kommutatiivisena konjunktiona, leikkausta negaationa, sekä identiteettiviivoja eksistenssinä, predikaationa ja identiteettinä (Pietarinen 2004b). Oheinen lainaus kertoo, kuinka negaatio toteutetaan graafien geometriassa: Mikäli Grafisti halajaa kieltää graafin, on hänen piirrettävä se versolle, ja sitten, ennen toimittamista Tulkitsijalle, suoritettava Leikkaukseksi kutsuttu sektio läpi Arkin, ja koko kiellettävän Graafi-instanssin ympäri, ja sitten kierrettävä irrotettu palanen ylösalaisin paljastaakseen sen karkeamman pinnan, joka kuljettaa negativoitua Graafi-instanssia. Tämä palasen kierto on ymmärrettävä erottamattomana osana leikkauksenteko-operaatiota (olen halukas sanomaan, että kierto yksinään tuottaa kiiston). (Peirce 1931 58; 4.556, 1898, alkuperäinen korostus) Kierto-operaatiota luonnehtikoon seuraava kolmivaiheinen sarjakuva leikkauksen suorittamisesta eksistentiaaligraafissa G, jota vastaa predikaattilogiikan kaava x( Px Qx) : 1 Q Q Q P P P A: Leikkauksen piirto Q:n ympäri B: Leikatun alueen kierto C: Leikatun alueen kääntöpuoli paljastaa G:n assertioarkin versolle. Q:n kiiston assertioarkin karkealla pinnalla, rektolla. Koska kierto-operaatiossa vain leikkauksen sisäpinta käännetään ympäri, tuli Peirce tehneeksi eron avoimien ja suljettujen joukkojen välille. Mikäli negaatioon lasketaan mukaan myös leikkausraja, se edustaa suljettua joukkoa, jonka komplementti on avoin. Kysymyksessä on siis heikko negaatio. Mikäli 7

pelkkä alueen kierto riittää, edustaa negaatio avointa joukkoa, jonka komplementti sisältää leikkausrajan. Syntyy vahva negaatio, sillä avoimen joukon sulkeuma vaatisi heikon negaation. Kun heikko negaatio asetetaan vahvan eteen, voidaan saatua yhdelmää ajatella sulkeumaoperaattorina, joka tekee avoimesta joukosta (esim. leikkauksen sisäpuolesta) suljetun. Kappaleessa 7 havaitaan, että kahden negaation muodostamaa sulkeumaoperaattoria tulee tarkastella modaalioperaattorina. Negaatiolla leikkauksena on Peircen havaitsema läheinen yhteys modaliteetti-ilmauksiin: Jos sanomme ihmisestä, että hän ei ole synnitön, esitämme synnitöntä jonakin, jolla on paikka vain ideaalisessa maailmankaikkeudessa, tai sen osassa joka sisältää kuvitellun synnittömän olijan, ja jonka määrätietoisesti lohkaisemme kyseessä olevan ihmisen identiteetistä (Peirce 1931 1958; 4.552fn, 1896). Peirce esitti modaliteetteja negaation kaltaisesti, tosin yhtenäisestä leikkauksesta poiketen katkonaisen leikkauksen avulla. Sen tarkoitus on ilmaista, että jokin ei mahdollisesti ole tai että jokin on mahdoton. Siinä kiertooperaatio paljastaa karkean kiistopinnan sijaan uusia mahdollisia maailmoja. Diagrammilogiikat ovat saaneet pontta heterogeenisten järjestelmien kuten käsitegraafien tutkimuksesta. Käsitteiden väliset relaatiot ja identiteetit perustuvat niissä ei-kielellisiin, ikonisiin esittämistapoihin. On ennakoitavissa, että ikoniset ja heterogeeniset järjestelmät tulevat tarjoamaan merkittäviä tiedon-, ajattelunja päättelynesittämismenetelmiä tietokone- ja verkkoteknologian tarpeisiin. Yhteenvetona todettakoon, että vahva negaatio ei ole komplementaarinen, vaan geometrinen operaatio, joka vaihtaa propositioiden ilmentämien prosessien puolet, kuten esimerkiksi pelaajien roolit, keskenään. 5. Negaatio epäonnistumisena Ohjelmointikielet ja laskennallinen logiikka ovat tuoneet logiikan keskuuteen negaatiotyypin, jota kutsutaan negaatioksi epäonnistumisena. Sen mukaan ei-ϕ on tosi, mikäli ϕ ei ole johdettavissa annetusta teoriasta, tai mikäli päämääränä oleva loogisissa ohjelmointikielissä maaleiksi kutsuttujen klausuulien samaistaminen ei onnistu. Johdettavuus merkitsee faktan päättelyä annatusta lausejoukosta. Päättelyllä tarkoitetaan tieto- tai tietämyskantaan tai tietokoneohjelman tietueisiin kohdistettuja hakuja ja niiden 8

tuloksia. Epäonnistumista ei tule yhdistää prosessiluonteiseen negaatioon. Mikäli tehdään suljetun maailman olettamus, negaatio epäonnistumisena määrittelee konverssin sijaan klassisen epätotuuden ja tuottaa heikon negaation. Suljetun maailman olettamuksella tarkoitetaan tietokannan kykyä varastoida kaikki päättelyssä tarvittava tieto. Varastoimattomat tai johtamattomat väitteet ovat suoraan epätosia klassisen epätotuuden mielessä. Oletuksen myötä luovutaan niin osittaisista malleista (ts. osittain tulkituista predikaateista) kuin kaikesta muustakin epävarmuudesta. Vallitsevuudestaan huolimatta suljetun maailman oletus johtaa epäuskottaviin tapauksiin agentin episteemisiä tiloja käsittelevissä järjestelmissä, joissa faktojen epätotuuksia päätellään agentin tiedon tai jopa uskomusten muodostumisen epäonnistumisen seurauksina. Mikäli suljetun oletuksesta luovutaan, vastaa negaatio epäonnistumisena vahvaa negaatiota. Siinä ei siis ole kyse laadullisesti uudesta negaatiotyypistä. Osoitus negaation määrittelemisen monimutkaisuudesta logiikkaohjelmoinnissa on puute kehämäisten päättelyrelaatioiden systemaattisista estomenetelmistä. Ohjelma voi joutua silmukkaan, mikäli faktojen ja johtopäätösten predikaatit riippuvat toisistaan. Ohjelmien kerrostaminen (stratification) on suosittu heuristiikka. Kerrostetuissa ohjelmissa tulee fakta määritellä tietokannan alemman tason predikaatein ennen negaation soveltamista. Täten syntyvissä laajennetuissa logiikkaohjelmissa on käytössä kaksi negaatiota, toinen epätotuutta ja toinen ei-totuutta varten. Kerrostetuilla ohjelmilla on aikaisemmin huomioimaton, mutta merkittävä yhteys kokeellisiin havaintoihin negaatioihin liittyvistä kognitiivisista tulkintaprosesseista. 6. Kokeellisia tuloksia Negaation ymmärtämisen on sanottu edellyttävän affirmatiivisen väitelauseen synnyttämän representaation varustamista jollain merkillä tai liittämällä siihen päättelyitä. Tätä on luonnehdittu kokeellisiin, kielen ymmärtämisprosesseja kartoittaviin neurotieteen tuloksiin vedoten monin tavoin. Fauconnierin (1994) 9

mukaan lauseen positiivinen osa toteutuu kontrafaktuaalisissa avaruuksissa. Manktelow & Over (1990) ovat esittäneet, että negaatio synnyttää mentaalisia representaatioita lauseen presuppositioista ja implikaatioista. Esimerkkinä edellisestä voisi olla lauseen Auto ei ole punainen esittäminen kontrafaktuaalisessa muodossa Mikäli auto olisi olemassa, se olisi ei-punainen. Jälkimmäistä voisi kuvata liittämällä lauseen Tuolla miehellä ei ole kenkiä tulkintaan affirmatiivinen Tuolla miehellä on kengät yhdessä sen negeroidun muodon seurausten (esim. Tuolla miehellä on kylmä, Tuo mies on köyhä) kanssa. Vertailtaessa reaktioaikoja affirmatiivisten lauseiden (Luiska oli liukas) ja niiden negaatioiden (Luiska ei ollut liukas) jälkeisissä päätöksentekotilanteissa havaittiin, että jälkimmäiset hidastivat kielen ymmärrystä (esim. onko märkä oikea sana) (Hasson 2004). On päätelty, että negaatio modifioi olemassa olevia assosiaatioita, eli tapahtuu neuraalinen esto, inhibiitio. Negaation muodostuminen on resurssiherkkä prosessi. Kokeellinen havainto varmentaa sen, mitä Boëthius [n.505] esitti kehottamalla sanomaan: Luvuista jotkut ovat alkulukuja, toiset ei-alkulukuja sillä mikäli kielto sanotaan ensin, tulee henkilön ymmärtämisessä viive esittämäämme asiaa koskien (Kretzmann & Stump 1997, 23). Kokeita vahvan ja heikon negaation synnyttämien tulkintaprosessien erojen tutkimiseksi ei tietääksemme ole tehty. Eräs mahdollisuus olisi testata predikaattien kiellon ja predikaattitermien kiellon ymmärtämistä. 7. Predikaattitermin kielto Kielen tutkimuksessa on Aristoteleesta alkaen erotettu predikaatin (Hän ei ole luotettava) ja predikaattitermin kielto (Hän on epäluotettava). Predikaattikiellon on katsottu muodostavan affirmaatioiden (Hän on luotettava) kanssa ristiriitaisuuksia (contradictories) ja predikaattitermin kiellon kanssa vastakohtaisuuksia (contraries). Vastaava jaottelu esiintyy verbilausekkeissa ulkoisen ja sisäisen kiellon erona (He doesn t believe p, He disbelieves p). 10

Predikaattitermin kieltoa ei ole loogis-semanttiselta kannalta liiemmälti tutkittu, vaan se on tyypillisesti joko jätetty kielitieteellisen pragmatiikan hetteille tai samastettu predikaattikiellon kanssa. Predikaattitermikielto (epäluotettava) on tyypillisesti vahvempi kuin predikaattikielto (ei luotettava). Loogiselta kannalta predikaattitermikielto vastaa peliteoreettisen semantiikan, IF-logiikan ja osittaisten mallien vahvan negaation ideaa. Ei ole myöskään epäluonteva ajatella vastakkaisuuksien pätevän ristiriidoista poiketen yhtäaikaisesti (Paavo ei ole luotettava eikä epäluotettava, joskaan ei Paavo ei ole luotettava ja Paavo on luotettava). Tavanmukainen peliteoreettisen semantiikan muotoilu kuitenkin estää muotoa ( ϕ ~ ϕ) tai ( ϕ ~ ϕ) olevien lauseiden totuuden. Helppo semantiikan yleistys on tällöin luopua semanttisten pelien tiukasti kilpailullisesta luonteesta ja sallia pelin tulosarvoiksi molempien pelaajien voittoja eli ei-nollasummaiset pelit. Totuudella on ylijäämää, mitä assertioiden paikalliset esittämistavat (Paavo on rehellinen perheenisänä muttei poliitikkona) ilmentävät. Muutoksesta ei seuraa voittostrategioiden olemassaoloa molemmille pelaajille, joten ristiriitaiset väitteet ( ϕ ϕ) eivät muodostu tosiksi (Pietarinen 2000). Mikäli lauseesta Paavo ei ole epäluotettava ei tule päätellä lausetta Paavo on luotettava vaan Paavo on luotettava jonakin (esim. perheenisänä), voidaan tällaisten paikallisten esittämistapojen ajatella edustavan tunnetun terminologian mukaan eri mahdollisia maailmoja. Mikäli lisäksi oletetaan predikaattitermikiellon vastaavan vahvaa negaatiota ja predikaattikiellon heikkoa negaatiota, saadaan määritelmä, jonka mukaan kaksi negaatiota yhdessä vastaavat modaalista mahdollisuusoperaattoria, ~ ϕ :: = ϕ. Koska välttämättömyys on mahdollisuuden duaali ( ϕ :: = ~ ~ ϕ = ~ ~~ ϕ = ~ ϕ), saadaan modaalinen välttämättömyysoperaatio vastaavasti kahtena kieltona, predikaatin totuutena jokaisen paikallisen esittämistavan suhteen. Negaatiolla ja modaliteetilla on siis jo antiikista aavisteltu yhteys. Ei ole myöskään sattuma, että Peirce käytti leikkausoperaatiota niin kiellon kuin mahdollisuuden ilmentämiseksi. 11

8. Johtopäätökset Loogiselta kannalta eri tavoin käyttäytyviä negaatioita voidaan tuottaa lähes rajattomasti. Kaksoisnegaation laki voi päteä vain yhteen suuntaan, tai heikko negaatio vain riittävien tai välttämättömien ehtojen suhteen. Atomikaavan ei-totuus (vastaavasti ei-epätotuus) voi johtaa F:n (vastaavasti V:n) voittoon peliteoreettisen semantiikan voittokonventioissa. Totuusehdoissa voittostrategian olemassaolo voidaan määritellä ilmaisemaan kaavan ei-totuutta pelaajalle F ja ei-epätotuutta pelaajalle V. Yhteistä näille tavoille on kuitenkin kahden periaatteellisen kieltomenettelyn säilyminen: onko jotain vai ei, ja että onko se, mitä on, näin, vai onko se toisinpäin. Peircen mukaan negaation käsite [...] ei ole ensinkään logiikan oppisana vaan esilooginen (Peirce 1931 58; 2.379, 1901). Mistä negaatiosta Peirce puhui? Luetaan eteenpäin: Negaatio-opin tarkastelu havainnollistaa Pragmatisismin periaatetta logiikassa. Pragmatistilla on näköpiirissään kirkas tavoite loogisia kysymyksiä selvittäessään. Hän haluaa varmentua totuuden yleisistä ehdoista. Koska semanttisten pelien säännöt määrittelevät vahvan negaation, ja koska peliteoreettinen semantiikka on totuusehtosematiikkaa, on vahva negaatio Peircen toteamuksen myötä näistä kahdesta ensisijainen, primitiivinen operaatio. Kielto olevaisen kiertona sen käänteiseksi ilmentymäksi ei varmaankaan ole ollut täysin tuntematon asia? Ei niin. Nyāya-filosofian mukaan objektin poissaolo (abhāva) voidaan nähdä annetussa paikassa (Matilal 1968). Jos ruukku ei ole edessäni maassa, sijaitsee maassa ruukun abhāva (vrt. lineaarinen negaatio). Vastaavasti negatiivinen kopula (Vaate ei ole ruukku) merkitsee ruukun abhāva:aa vaatteessa, vaatteen ja ruukun välistä yhteensopimattomuutta, niiden eroa tai differenssiä, elealaisen Vieraan toteamaa ei-p:n ja sen-mikä-eroaa-p:stä välistä yhteyttä. Viitteet 1 Tarkalleen ottaen graafi G edustaa predikaattilogiikan kaavan lisäksi myös kaavaa xpx Qx ja on siten verrattavissa 12

dynaamisen logiikan esitystapoihin. Kirjallisuus Fauconnier, Gilles (1994), Mental Spaces: Aspects of Meaning Construction in Natural Language, 2. laitos, Cambridge University Press, Cambridge. Fisch, Max & Atwell Turquette (1966), Peirce s Triadic Logic, Transactions of the Charles S. Peirce Society 11, 71 85. Girard, Jean-Yves (2001), Locus Solum: from the rules of logic to the logic of rules, Mathematical Structures in Computer Science 11, 301 506. Hasson, Uri (2004), Some similarities and differences between negation and affirmation, käsikirjoitus. Hintikka, Jaakko (2002), Negation in logic and in natural language, Linguistics and Philosophy 25, 585 600. Hintikka, Jaakko & Gabriel Sandu (1997), Game-theoretical semantics, teoksessa van Benthem & ter Meulen (toim.) Handbook of Logic and Language, Amsterdam: Elsevier, s. 361 410. Jespersen, Otto (1917), Negation in English and Other Languages, Andr. Fred. Høst & Søn, København. Kretzmann, Norman & Eleanor Stump (toim.) (1997), Logic and the Philosophy of Language: The Cambridge Translations of Medieval Philosophical Texts, Cambridge University Press, Cambridge. Manktelow, K.I. & D.E. Over (1990), Inference and Understanding, Routledge, London. Matilal, Bimal Krishna (1968), The Navya-Nyāya Doctrine of Negation: The Semantics and Ontology of Negative Statements in Navya-nyāya Philosophy, Harvard University Press, Cambridge. Peirce, Charles S. (1931 58), Collected Papers of Charles Sanders Peirce, 8 vols., Charles Hartshorne, Paul Weiss & A. W. Burks (toim.), Harvard University Press, Cambridge. Peirce, Charles S. (1967), Käsikirjoitukset, Houghton Library, Harvard University, luetteloinut Richard Robin, Annotated Catalogue of the Papers of Charles S. Peirce, University of Massachusettes Press, Amherst, 1967. Pietarinen, Ahti-Veikko (2000), Logic and coherence in the light of competitive games, Logique et Analyse 171 172, 371 391. 13

Pietarinen, Ahti-Veikko (2001), What is a negative polarity item?, Linguistic Analysis 31, 165 200. Pietarinen, Ahti-Veikko (2004a), Semantic games in logic and epistemology, teoksessa D. Gabbay, J. P. Van Bengedem, S. Rahman & J. Symons (toim.) Logic, Epistemology and the Unity of Science, Kluwer, Dordrecht. Pietarinen, Ahti-Veikko (2004b), Peirce s magic lantern: moving pictures of thought, Transactions of the Charles S. Peirce Society: A Quarterly Journal of American Philosophy, ilmestyy. Ramsey, Frank Plumpton (1990/1929), Philosophical Papers, Cambridge University Press, Cambridge. Sandu, Gabriel (1993), On the logic of informational independence and its applications, Journal of Philosophical Logic 22, 29 60. Sandu, Gabriel (1994), Some aspects of negation in English, Synthese 99, 345 360. Wittgenstein, Ludwig (1978), Philosophical Grammar, University of California Press, Columbia. 14