Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi.
|
|
- Riitta-Liisa Ranta
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tehtävä A1 Kirjoita essee aiheesta: Perinnöllinen informaatio ja geneettinen koodi. Vastaa esseemuotoisesti, älä käytä ranskalaisia viivoja. Piirroksia voi käyttää. Vastauksessa luetaan ansioksi selkeä näkökulma aiheeseen, ja kyky esittää asiat täsmällisesti ja ytimekkäästi. Vastauksen maksimipituus on noin 300 sanaa. 300 sanan tultua täyteen uudessa virkkeessä alkavaa tekstiä ei huomioida osana vastausta!
2 Esseetehtävän pisteytys Jäsennys ja käsitteellinen selkeys 10% 50% 5% Informaatio on aina koodattu johonkin muotoon. 10% Geneettinen informaatio lineaarinen digitaalikoodi, merkkijonoja (esim. ACGTGCTTGCTAG. jotka koostuvat emäskolmikoista (kodoni. Informaatioteoreettisesti tehokas tapa käsitellä ja välittää informaatiota. 10% Koodattu informaatio toteutuu aina jossain aineellisessa substraatissa tai mediassa. 5% Biologiassa se on DNA. 5% Geneettisen informaation tulkintansa t. merkityksensä vasta suhteessa fenotyyppiin. Perintötekijöiden vaikutukset määrittelevät mistä informaatiosta on kysymys (esim. ruskeasilmäisyyden geeni on sitä vain silmän geenien kontekstissa, organismissa jossa pigmenttiproteiini vaikuttaa silmien väriin. 5% Pelkkä rakenne (bittijono, emäsjärjestys ei määrittele fenotyypin ominaisuutta muuten kuin organismin kontekstissa. 5% Organismin rakenne = proteiinien rakenne. 5% Geneettinen informaatio, kuten informaatio ylipäätään, ei ole vielä täysin tyydyttävästi ymmärretty käsite. 30% Biologisissa järjestelmissä on valtavasti informaatiota Syynä kombinatoriikka. Geneettinen informaatio on mikrotasolla (molekyylitasolla Genomi koodaa tiiviisti, pakatussa muodossa, organismin perinnöllistä rakennetta. Genomin muoto säätelee kehittyvän organismin muotoa. Kehitystä säätelee geneettinen ohjelma, ominaisuudet eivät ole sellaisenaan 1:1 löydettävissä geeneistä. Geenejä on vähän organismin monimutkaisuuteen nähden (vrt. mato tämä tarkoittaa että informaatitoa on pakattu. Ei vain informaatiosisällön kvantitatiivinen määrä. Geneettinen informaatio on merkityksellistä, ei vain bittejä. Merkitys ei ole kuitenkaan sama kuin merkitysinformaatio ihmiselle merkityksellisen informaation tapauksessa (esim. teksti, jonka ymmärtäminen vaatii subjektiivisen tulkinnan. Geenien keskinäiset vuorovaikutukset tuovat monimutkaisuutta. Risteytymislait. Molekyylitasolla aine ja energia käyttäytyy kvantittuneesti, rakenne on riittävän pysyvä (vain kvantittuneisuuden ansiosta näin pieni rakenne ei hajoa lämpimässä. 10% Holistinen, emergentistinen systeemitason organismin rakenteen suhteuttaminen molekkyylirakenteeseen tarvitaan, ei vain bottom up reduktionismi, joka on sävyttänyt molekyylibiologiaa tähän asti? Laskostuminen. Variaatio määräytyy geenien koodaamasta emäsjärjestyksestä käsin, mutta tämän järjestyksen tunteminen ilman fysikaalista kontekstia ei kerro miten laskostuminen todella tapahtuu. Mutaatiot ne eivät ole vain poikkeamia. Ne voivat olla yksilölle tuhoisia, mutta variaatio on myös yksilöllisyyden ja evoluution perusta! Roska DNA (jonka merkitys tai merkityksettömyys ei kuitenkaan ole vielä nykyään ihan selvä. Geneettisen informaation merkitys ei ole sama asia kuin mentaalisen informaation propositionaalinen merkitys
3 Tehtävä B1 a Millä lausejoukon M lauseissa esiintyvien atomilauseiden totuusarvoilla kaikki joukon M lauseet ovat tosia? { S ( P P,( A B ( Q R, A B, B S}. M = VASTAUS: A B Q R S P on tosi on epätosi voi olla tosi tai epätosi PERUSTELU: P & ~P on ristiriita, ja siten aina epätosi (P voi olla tosi tai epätosi. Näin ollen disjunktio S V P & ~P on tosi vain jos S on tosi. Koska S on tosi, implikaatio B ~S on tosi vain jos B on epätosi. Näin ollen implikaatio A B on tosi vain jos A on epätosi. Koska A on epätosi, on disjunktio ~A V B tosi, ja näin ollen (~A V B (~Q & R tosi vain jos Q on epätosi ja R on tosi.
4 b Millä lausejoukon N lauseissa esiintyvien atomilauseiden totuusarvoilla kaikki joukon N lauseet ovat tosia? N = { B ( A ( Q S, ( B Q, S R}. VASTAUS: A B Q R S P on tosi on epätosi voi olla tosi tai epätosi PERUSTELU: B & ~Q perusteella B on tosi, ja Q on tosi. Muista lauseista ei voi sanoa mitään. (Tai tarkalleen ottaen voidaan sanoa että A, S ja R ovat joko kaikki tosia tai kaikki epätosia. Ei voi kuitenkaan sanoa, kumpia.
5 c Millä lausejoukon O lauseissa esiintyvien atomilauseiden totuusarvoilla kaikki joukon O lauseet ovat tosia? { S Q, ( A B ( P P,( A B R, Q, B}. O = VASTAUS: A B Q R S P on tosi on epätosi voi olla tosi tai epätosi PERUSTELU: B on annettu, eli B on tosi. ~Q perusteella Q on epätosi. Koska Q on epätosi ja S V Q tosi, S on tosi. Koska P & ~P on ristiriita, ja siten aina epätosi (P voi olla tosi tai epätosi on toisen lauseen implikaation etujäsen ~(A B epätosi, eli A B on tosi. Näin ollen implikaation (A B R nojalla R on tosi. Koska B on tosi, A voi olla tosi tai epätosi.
6 Tehtävä B Premissit: Kaikki pitävät niistä jotka pitävät itsestään. Tarja on joko Suomen presidentti tai Ruotsin presidentti. Jos joku pitää Suomen presidentistä, niin kukaan ei pidä Tarjasta. Suomen presidentti pitää itsestään. Johtopäätös: Tarja on Ruotsin presidentti. a b Formalisoi lauseet predikaattilogiikassa ja johda johtopäätös premisseistä. Onko premissien nojalla mahdollista, että Suomen presidentti ja Ruotsin presidentti ovat sama henkilö? Perustele suomeksi.
7 a Symbolien tulkinnat: ( y a P, pitää y:stä (predikaatti t a Tarja (yksilötermi, erisnimi VAIHTOEHTO 1, formalisoidaan ilmaisut Suomen presidentti ja Ruotsin presidentti predikaatti ilmaisuina: ( y a B, :n on y:n presidentti (predikaatti s a Suomi (yksilötermi, erisnimi r a Ruotsi (yksilötermi, erisnimi TAI F ( a on Suomen presidentti (predikaatti S( a on Ruotsin presidentti (predikaatti VAIHTOEHTO, formalisoidaan ilmaisut Suomen presidentti ja Ruotsin presidentti vakioina: s a Suomi (yksilötermi, erisnimi r a Ruotsi (yksilötermi, erisnimi B :n presidentti (funktiotermi, määräinen kuvaus TAI ( a p a Suomen presidentti (yksilötermi, erisnimi q a Ruotsin presidentti (yksilötermi, erisnimi
8 Premissit (malli vaihtoehto 1 mukaan (1 Kaikki pitävät niistä jotka pitävät itsestään. ( P(, yp( y, ( Tarja on joko Suomen presidentti tai ruotsin presidentti. ( t, s B( t r B, (3 Jos joku pitää Suomen presidentistä niin kukaan ei pidä Tarjasta. (( B(, s P( y, z ( B( z y, (4 Suomen presidentti pitää itsestään. ( B(, s P(,
9 Premissit (malli vaihtoehto mukaan (1 Kaikki pitävät niistä jotka pitävät itsestään. ( P(, yp( y, ( Tarja on joko Suomen presidentti tai ruotsin presidentti. ( s t B( r t = B = (3 Jos joku pitää Suomen presidentistä niin kukaan ei pidä tarjasta. ( P(, B( s y( P( y, (4 Suomen presidentti pitää itsestään. ( B( s B( s P,
10 Mallitodistus 1 ( Suomen presidentti formalisoitu predikaattina [ B( t, s ] 1 4, ( B(, s P( [ B( t, s ] 1 B ( t, s P( t, 3 y( ( B(, s P( y, z ( B( z, [ B( t, s P ( t, 4 ] 1 T ( B(, s P(, ( B ( t, s P( t, z ( B( z, B ( t, s P( t, E 1 B ( t, s P( t, z ( B( z, E E P ( t, P ( t, T P ( t, P( t, T ( B ( t, r B ( t, s B( t, r B ( t, E r [ B ( t,r ] 1 B ( t, r E Mallitodistus ( Suomen presidentti formalisoitu vakiona, tässä funktioterminä [ t = B( s ] 1 4 P, t = B = ( B( s B( s P ( t, ( s t B( r = E 3, ( B( s B( s 4 P, ( P( y B( s y, ( B( s P, ( P(, B( s y( P( y ( P(, B( s y ( P( y, P ( t, T P ( t, P( t, T ( t = B( r E t = B( r [ t = B( r ] 1 E t = B( r ( P(, yp( y 1, ( B( s, B( s yp( y B( s P, T E E
11 b Kaikki pitävät niistä jotka pitävät itsestään, ja Suomen presidentti pitää itsestään, joten kaikki pitävät Suomen presidentistä. Jos joku pitää Suomen presidentistä, kukaan ei pidä Tarjasta. Kukaan ei siis pidä Tarjasta. Tarjakaan ei siis pidä itsestään. Mutta Suomen presidentti pitää itsestään, joten hän ei voi olla Tarja. Tarja on kuitenkin joko Suomen tai Ruotsin presidentti. Koska hän ei ole Suomen presidentti on hänen oltava Ruotsin presidentti. Suomen presidentin on näin ollen oltava joku muu kuin Tarja, ts. Tarja on Suomen presidentti ja joku muu on Ruotsin presidentti. Jos voimassa on presuppositiot, että jokaisella maalla on vain yksi presidentti, on tästä seurauksena se että sama henkilö ei voi olla sekä Suomen että Ruotsin presidentti, koska Suomen presidentti on Tarja ja Ruotsin presidentti joku tuntematon. Näitä presuopositioita ei kuitenkaan ole sinällään annettu premisseissä. Eli sikäli kuin nämä presuppositiot eivät ole voimassa, voi hyvin olla olemassa joku muu kuin Tarja, joka on sekä Ruotsin presidentti että Suomen presidentti.
12 Tehtävä B3 Todista induktion avulla että n ensimmäisen positiivisen kokonaisluvun summa on n(n+1/, eli lause P( n 1: n = n( n + 1 Väite pätee ensimmäiselle positiiviselle kokonaisluvulle, eli P(n on tosi kun n = 1: 1(1 + 1 P(1 :1 =. Oletetaan P(n mielivaltaiselle n (induktio oletus ja johdetaan väite sen seuraajalle, P(n+1: Olkoon (induktio oletus P( n : n = nyt n( n + 1. P(n nojalla n( n n + ( n + 1 = + ( n + 1 n( n ( n + 1 = n + 3n + = ( n + 1( n + = ( n + 1(( n =. Eli oletuksella P(n on johdettu väite ( n (( n P( n + 1 : n + ( n + 1 =. On siis osoitettu lause P(n P(n+1 mielivaltaiselle positiiviselle kokonaisluvulle n. Todistuksen täydentää induktio askel P(1 P(n P(n+1 Siis: P(n pätee kaikille positiivisille kokonaisluvuille.
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LisätiedotLOGIIKKA johdantoa
LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
LisätiedotLoogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
LisätiedotKirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:
1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation
LisätiedotLAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,
LisätiedotVastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
LisätiedotValitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.
MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi
LisätiedotFI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:
LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi
LisätiedotPredikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka
Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
Lisätiedot3. Predikaattilogiikka
3. Predikaattilogiikka Muuttuja mukana lauseessa. Ei yksikäsitteistä totuusarvoa. Muuttujan kiinnittäminen määrän ilmaisulla voi antaa yksikäsitteisen totuusarvon. Esimerkki. Lauseella x 3 8 = 0 ei ole
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
LisätiedotEkvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa
Määritelmä 1 Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
Lisätiedot4.3. Matemaattinen induktio
4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta
LisätiedotT Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.144 Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 2 5.11.2005 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R A
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotT-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003
T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R
LisätiedotPikapaketti logiikkaan
Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös
LisätiedotRatkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
LisätiedotT kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut
T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun juureen
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotT Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut
T-79.146 Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotRatkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoot A, B ja C propositiolauseita. Näytä, että A (B C) (A B) (A C). Ratkaisu: Yksi tapa
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotLogiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:
Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi
LisätiedotTehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)
Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
LisätiedotTodistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.
3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotPropositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E.
Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Perusaksioomat: Laki 1: Kukin totuusfunktio antaa kullekin propositiolle totuusarvoksi joko toden T tai epätoden
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan
LisätiedotRatkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):
Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje
LisätiedotRatkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotLisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei
LisätiedotMatemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja
Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
LisätiedotPredikaattilogiikkaa
Predikaattilogiikkaa UKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Kertausta ogiikan tehtävä: ogiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotTieteenfilosofia 2/4. Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia
Tieteenfilosofia 2/4 Heikki J. Koskinen, FT, Dos. Helsingin yliopisto / Suomen Akatemia 1 Viisauden sanoja Aristoteleelta Aristoteles (De int. 1.): Ääneen puhutut sanat ovat sielullisten vaikutusten symboleja
LisätiedotKonnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa.
Johdanto Lauselogiikassa tutkitaan sekä syntaktisella että semanttisella tasolla loogisia konnektiiveja ja niiden avulla muodostettuja kaavoja sekä myös formaalia päättelyä. Tarkastelemme aluksi klassisen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
LisätiedotT Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.3001 Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3 3.4) 21. 24.3.2006 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio
LisätiedotLogiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.
TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came
LisätiedotT Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka )
T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka 10.3. 11.4) 26. 30.3. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 10.5 Allaolevat kolme graafia pyrkivät selventämään
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
Lisätiedot1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit
1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotModus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju.
JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },
LisätiedotSurjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.
5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotIlpo Halonen 2005. 1.3 Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2
uonnehdintoja logiikasta 1 Johdatus logiikkaan Ilpo Halonen Syksy 2005 ilpo.halonen@helsinki.fi Filosofian laitos Humanistinen tiedekunta "ogiikka on itse asiassa tiede, johon sisältyy runsaasti mielenkiintoisia
LisätiedotMonisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät.
Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät. Tehtäviä on osittain muokattu, jotta ne vastaisivat paremmin kokeilumonistetta Rantala & Virtanen, Logiikan peruskurssi.
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä0. ym.,
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 0 Joukko-oppi ja logiikka Todistukset logiikassa Predikaattilogiikka Induktioperiaate Relaatiot
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
LisätiedotDFA:n käyttäytyminen ja säännölliset kielet
säännölliset kielet TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. marraskuuta 2015 Sisällys toiminta formaalisti Olkoon M = (Q, Σ, δ, q 0, F) deterministinen
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
LisätiedotLogiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg.
Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Olkoon L = {Lontoo, P ariisi, P raha, Rooma, Y hteys(x, y)}. Kuvan 3.1. kaupunkiverkko vastaa seuraavaa L-mallia
Lisätiedot= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 11
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle
LisätiedotLogiikka I. Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ. Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. 1 Johdanto Mitä logiikka on?... 3
Φ Logiikka I Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mitä logiikka on?.............................. 3 2 ropositiologiikka 4 2.1 Lauseet...................................
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotEsimerkkimodaalilogiikkoja
/ Kevät 2005 ML-4 1 Esimerkkimodaalilogiikkoja / Kevät 2005 ML-4 3 Käsitellään esimerkkeinä kehyslogiikkoja Valitaan joukko L kehyksiä S, R (tyypillisesti antamalla relaatiolle R jokin ominaisuus; esim.
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedot