Perusryhmä ja peiteavaruus. Pekka Pankka

Perusryhmä ja peiteavaruus Pekka Pankka 26. lokakuuta 2014

Lukijalle Kysymys: Voiko taulun ripustaa kahdella naulalla niin, että taulu tippuu, jos kumpi tahansa nauloista poistetaan? Ensimmäinen reaktio tähän kysymykseen saattaa olla, että mitä tekemistä sillä on matematiikan kanssa. Kysymys on kuitenkin hyvin matemaattinen ja tehtävä on itseasiassa mahdollista mallintaa niin, että kysymykseen saadaan tyhjentävä vastaus. Kysymystä voidaan nimittäin myöskin kysyä, kun taulu halutaan ripustaa kolmella, neljällä tai k:lla naulalla, missä k 2. Voidaan myös kysyä eroaako tilanne mitenkään yhden naulan tilanteesta. Tätä viatonta kysymystä voi lähestyä algebrallisen topologian keinoin ja paljastuu, että ongelma on kuin luotu tulkittavaksi perusryhmän käsitteen avulla. Eräs vastaus kysymykseen onkin aba 1 b 1, joka saadaan tutkimalla kahdesti punkteeratun tason R 2 \ {e 1, e 1 } perusryhmää π 1 (R 2 \ {e 1, e 1 }, 0). Hieman heuristisemmin voisi todeta, että ratkaisu kysymykseen löydetään tutkimalla tason osajoukon R 2 \{e 1, e 1 } reikäisyyttä. 1 Sama kysymys avaruuden reikäisyydestä on klassisen vitsin taustalla, jossa topologi ei erota donitsia ja kahvikuppia toisistaan. Kun tilanne mallinnetaan algebrallisen topologian keinoin 2 paljastuu, että donitsilla ja kahvikupilla on sama perusryhmä. Itseasiasassa paljastuu enemmän: donitsi ja kahvikuppi ovat itseasiassa samoja (eli homotopiaekvivalentteja) niin sanotun homotopiateorian kannalta. 3 Tällä kursilla kurkistetaan algebrallisen topologia perusteisiin juuri homotopiateorian näkökulmasta. Yhtenä tavoitteena on selvittää, miksi aba 1 b 1 on vastaus yllä esitettyyn ripustuskysymykseen ja mitä se oikein tarkoittaa. Samalla klassinen vitsi tulee puhki selitetyksi. Kurssin tarkoituksena on siis esitellä homotopiateorian peruskäsitteet kuten homotopiaekvivalenssi ja perusryhmä sekä tutustua tapoihin ratkaista topologia kysymyksiä niiden avulla. Kurssi alkaa topologisesti, mutta perusryhmään määrittelemisen jälkeen painopiste alkaa siirtymään kohti algebrallisempia kysymyksiä. Tavoitteena onkin tarkastella, miten topologisesti on mahdollista määritellä käsitteitä, joilla on luonnollinen algebrallinen rakenne ja kuinka algebraa voi hyödyntää topologisten ongelmien ratkaisussa. Tämä prosessi konkretisoituu erityisesti peiteavaruuksien 1 Perusryhmän määritelmä selittää osaltaan, miten ripustusongelma voidaan tulkita kysymyksenä joukon R 2 \{e 1, e 1} reikäisyyteen. Tämän mallinnusongelman problematiikka jätetään (tarkoituksella) lukijalle. 2 Jätetään jälleen lukijan harteille. 3 Mallinnuksen voi tehdä myös niin, että joukot ovat samoja (eli homeomorfisia) topologian kannalta. 1

luokittelussa. Peiteavaruudet ovat erittäin tehokas työkalu avaruuden perusryhmää tutkittaessa ja peiteavaruuksien tunteminen antaa arvokasta algebrallista tietoa tutkittavasta ryhmästä. Tämä kurssimateriaali poikkeaa totutusta. Tavanomaisen luento-opetuksen sijaan kurssi opetetaan syksyllä 2014 niin sanotulla kisällimenetelmällä (tai käänteisen luokkahuoneen metodilla 4 ). Menetelmän ajatuksena on, että opiskelijat opiskelevat kurssin materiaalia luentojen kuuntelemisen sijaan suoritettavien tehtävien avulla. Tehtävien ratkaisut tulisikin ajatella sellaisena osana kurssimateriaalia, joka tuotetaan kurssin aikana. Tehtäviä suoritetaan sekä itsenäisesti että ohjatusti kurssin ohjaajan kanssa keskustellen. Materiaali on jaettu lukuihin ja kurssin ohjaaja kokoaa saavutetut tulokset, kun luku on käsitelty. Tämä materiaali on tarkoitettu yhden periodin kurssille. Tällä metodilla on pitkät perinteet topologian opetuksessa. Tunnettu geometrinen topologi R.L. Moore 5 (1882-1974) kehitti 1910-luvulla Mooren metodina tunnettua opetustapaa, jossa opiskelijoille annettiin lähdemateriaalin sijaan tarvittavat määritelmät ja lauseiden väitteet. Opiskelijoiden tarkoituksena oli löytää tarvittavat todistukset väitteille. Tämä luentomoniste keskittyy hyvin rajatusti tarkasteltavaan materiaaliin. Opiskelun tueksi on hyvä pitää käsillä topologian ja algebran lähdemateriaalia. Topologian esitiedoiksi riittää mainiosti metrisen topologian alkeiskurssin tiedot ja lähdemateriaaliksi esimerkiksi J. Väisälän kirja Topologia I. Tarvittavat algebran tiedot rajoittuvat ryhmäteorian alkeisiin ja tarvittava materiaali on katettu jokaisessa ensimmäiselle algebran yliopistokursille suunnatussa materiaalissa kuten vaikkapa kirjassa J. Häsä, L. Oinonen, J. Rämö Johdatus abstraktiin algebraan. Kurssien Metriset avaruudet ja Algebra IA tiedot ja materiaalit, kuten J. Parkkosen moniste Algebra I riittävät siis hyvin esitiedoiksi. Kurssin aikana tarvitaan joitakin käsitteitä yleisen topologian puolelta. Tarvittavaa materiaalia on käsitelty liitteessä ja tarvittavat asiat todistetaan kurssin aikana. Kiinnostunut lukija voi kuitenkin täydentää tietojaan esimerkiksi J. Väisälän kirjasta Topologia II. Koska käsillä oleva teksti on ensisijaisesti tarkoitettu kurssimateriaaliksi, tätä monistetta tuskin voi hyödyntää lähdeteoksena tai muuten kattavana lähteenä. Lukijaa suositellaankin tutustumaan A. Hatcherin kirjaan Algebraic topology. Kirjasta on nopeasti muodostumassa algebrallisen topologian oppikirjojen moderni klassikko, eikä vähiten siksi, että kirja on saatavilla PDF-muodossa tekijän verkkosivulla. Kirja sopii myös erittäin hyvin algebrallisen topologian itseopiskelumateriaaliksi jatko-opiskelijoille. Tässä kurssimateriaalissa käsiteltävät asiat sisältyvän Hatcherin kirjan lukuun 1. 4 engl. reverse classroom 5 Yksi tunnetuimmista Mooren lauseista on 2-ulotteisen pallon S 2 tunnistamisen mahdollistava karakterisointi. R.H.Bingin myöhemmin todistama hieman yksinkertaisemmin esitettävä versio tästä lauseesta on seuraava: Olkoon X kompakti, yhtenäinen, lokaalisti yhtenäinen, metrinen avaruus, joka ei ole piste. Tällöin X on homeomorfinen pallon S 2 kanssa, jos yksikään kahden pisteen joukko ei separoi avaruutta X ja jokainen ympyrän S 1 upotus avaruuteen X separoi sen. 2

Sisältö 1 Peruskäsitteitä 5 1.1 Homotopia.................................. 5 1.2 Esimerkkejä.................................. 6 1.3 Homotooppisuus relaationa......................... 7 1.4 Lisää tehtäviä................................. 8 2 Homotopiaekvivalenssi 9 2.1 Määritelmiä.................................. 9 2.2 Esimerkkejä.................................. 11 2.2.1 Retraktit............................... 11 2.2.2 Kutistuvat avaruudet........................ 11 2.2.3 Torukset................................ 12 2.3 Huomioita................................... 13 2.4 Lisää tehtäviä................................. 13 3 Perusryhmä 14 3.1 Silmukat.................................... 14 3.2 Silmukkahomotopia.............................. 15 3.3 Perusryhmän määritelmä.......................... 16 3.4 Perusryhmä ja kuvaukset.......................... 18 3.5 Kantapiste ja polkukomponentti...................... 19 3.6 Lisää tehtäviä................................. 20 4 Perusryhmän sovelluksia 21 4.1 Brouwerin kiintopistelause.......................... 21 4.2 Tuloavaruudet................................. 22 4.3 Kahdesti punkteerattu taso......................... 22 4.4 Pallot S n................................... 24 4.5 Huomioita................................... 24 4.6 Lisää tehtäviä................................. 25 5 Peitekuvaukset ja -avaruudet 26 5.1 Määritelmiä.................................. 26 5.2 Homotopian nosto.............................. 27 3

5.3 Ympyrän perusryhmä............................ 30 5.4 Yleinen nostolause.............................. 31 5.5 Algebran peruslause............................. 33 5.6 Lisää tehtäviä................................. 34 6 Peiteavaruudet ja peiteryhmät 35 6.1 Alkeishavaintoja peiteavaruuksista..................... 35 6.2 Yhdestiyhtenäinen peiteavaruus....................... 36 6.3 Peiteryhmä.................................. 37 6.4 Säikeet ja perusryhmä............................ 38 6.5 Peiteryhmä ja perusryhmä.......................... 39 6.6 Peiteavaruuksien luokittelu......................... 40 7 Universaalipeiteavaruus 43 7.1 Yleinen konstruktio.............................. 43 7.1.1 Avaruuden X konstruktio...................... 44 7.1.2 Avaruuden X topologia....................... 45 7.1.3 Avaruus X on peiteavaruus..................... 47 7.1.4 Avaruus X on yhdestiyhtenäinen.................. 47 7.2 Projektiiviset avaruudet RP n ja Möbiuksen nauha............ 48 7.3 Lisää tehtäviä................................. 49 8 Kahdesti punkteerattu taso ja vapaat ryhmät 50 8.1 Ryhmä F 2................................... 50 8.2 Cayley-graafi Cay(F 2, S)........................... 52 8.3 Cayley graafista universaalipeitteeseen R.................. 53 A Yleiset topologiset avaruudet 56 A.1 Esimerkkejä.................................. 56 A.2 Topologian kanta............................... 57 A.3 Jatkuvat kuvaukset.............................. 58 A.4 Tekijätopologia................................ 59 B Kompleksitaso 61 4

Luku 1 Peruskäsitteitä Heuristisesti homotopiateorialla tarkoitetaan jatkuvan muuntamisen teoriaa. 1 Tässä luvussa tarkastellaan homotopiateorian peruskäsitteitä kuten kuvausten homotooppisuutta ja avaruuksien homotopiaekvivalenssia. Luvun tarkoituksena on esitellä tarvittava käsitteistö perusryhmän määrittelemiseksi ja antaa esimerkkejä homotooppisista kuvauksista ja homotopiaekvivalenteista avaruuksista. Luvun aikana huomataan, että joissakin konkreettisissa tilanteissa on helpompaa konstruoida haluttu homotopia kuin osoittaa, ettei vaadittavaa homotopiaa ole olemassa. Ellei toisin mainita, X, Y ja Z ovat metrisiä avaruuksia. Lisäksi kaikki tarkasteltavat kuvaukset ovat jatkuvia ellei toisin mainita. Tuloavaruuksissa on käytössä tulometriikka ja osajoukoissa indusoitu metriikka. Eukliidiset avaruudet (eli avaruudet R n ) varustetaan tavallisella euklidisella metrikkalla, joka on euklidisen normin indusoima ellei toisin mainita. Tehtävät osoittavat, että tarkasteltavat kysymykset eivät kuitenkaan ole luonteeltaan metrisiä ja kysymyksissä ei olisi tarpeen kiinnittää juuri tätä metriikkaa. Tärkeämpää on tietää, millä topologialla avaruus R n on varustettu eli mitkä ovat sen avoimet joukot. On kuitenkin huomattava, että vaikka teoria voidaan esittää suoraan yleisien topologisisten avaruuksien kontekstissa, ei näin saavutetusta yleisyydestä ole kurssin alkupuolella eristyistä hyötyä. Tarvitsemme yleisiä topologia avaruuksia luvussa 7 ja palaamme niihin silloin. Siihen asti käytämme termiä avaruus tarkoittamaan metristä avaruutta, ja luvusta 7 lähtien (takautuvasti) tarkoittamaan topologista avaruutta. Yleisestä topologiasta kiinnostunut lukija voi toki jo tässä vaiheessa tutustua liitteeseen A. 1.1 Homotopia Jatkuvan muuntamisen idea tulee esille jo homotopian määritelmässä. Määritelmä 1.1.1. Olkoot f : X Y ja g : X Y jatkuvia kuvauksia. Jatkuva kuvaus H : X [0, 1] Y on homotopia kuvauksesta f kuvaukseen g, jos H(x, 0) = f(x) ja H(x, 1) = g(x) kaikilla x X. 1 Homotopian suora käännös voisi olla esimerkiksi samapaikkaisuus, mutta termiä ei yleensä käännetä lainkaan. 5

Tehtävä 1. Määritellään kuvaukset f : R R 2 ja g : R R 2 kaavoilla f(x) = (x, cos x) ja g(x) = (x, sin x) kaikilla x R. Osoita, että kuvaus H : R [0, 1] R 2, on homotopia f:stä g:hen. (x, s) (x + (1 s)s, (1 s) cos x + s sin x), Määritelmä 1.1.2. Jatkuvia kuvauksia f : X Y ja g : X Y sanotaan homotooppisiksi, jos on olemassa homotopia kuvauksesta f kuvaukseen g. Tällöin merkitään f g. Huomautus 1.1.3. On tärkeää huomata, että määritelmän nojalla homotooppisella kuvauksilla on samat lähtö- ja maaliavaruudet. Erityisesti tulee huomata, että kuvaukset f : X Y, g : X fx ja h: A Y ovat kaikki (formaalisti) eri kuvauksia, jos fx Y ja A X aito osajoukko, vaikka kuvaukset g ja h olisi määritelty kaavoilla g(x) = f(x) kaikilla x X ja h(x) = f(x) kaikilla x A. Jatkossa tämä on erittäin tärkeää, koska tarkasteltaessa kahden avaruudelta X avaruudelle Y määritellyn kuvauksen homotooppisuutta, kuvausten välisellä homotopialla on sama maaliavaruus Y. Homotopian käsitteen havainnollistamiseksi on hyvä tehdä seuraavat huomiot. Seuraavissa tehtävissä f : X Y ja g : X Y ovat jatkuvia kuvauksia ja H : X [0, 1] Y homotopia f:stä g:hen. Tehtävä 2. Olkoon s [0, 1]. Tällöin h s : X Y, h s (x) = H(x, s), on jatkuva kuvaus. Määritelmä 1.1.4. Olkoon J R väli. Jatkuvaa kuvausta α: J Z väliltä J avaruuteen Z sanotaan poluksi. Jos α: [a, b] Z on polku suljetulta (aidolta) väliltä [a, b] avaruuteen Z, niin sanotaan, että α on polku pisteestä z 0 Z pisteeseen z 1 Z, jos α(a) = z 0 ja α(b) = z 1. Tehtävä 3. Olkoon x 0 X. Tällöin α x0 : [0, 1] Y, α x0 (s) = H(x 0, s) on polku pisteestä f(x 0 ) pisteeseen g(x 0 ). 1.2 Esimerkkejä Seuraavissa tehtävissä tarkastellaan esimerkkejä kuvausten välisistä homotopioista. Merkintä 1.2.1. Tason R 2 joukkoa S 1 = {x R 2 : x = 1} kutsutaan (euklidiseksi) yksikköympyräksi. 2 Seuraavassa kolmessa tehtävässä f : S 1 R 2 \{0} on inkluusiokuvaus x x. Lisäksi g : S 1 R 2 \ {0} on kuvaus x x. 2 Kaavassa x on pisteen x = (x 1, x 2) euklidinen normi eli x 2 = (x 1, x 2) 2 = x 2 1 + x 2 2. 6

Tehtävä 4. Olkoon ι: R 2 \{0} R 2 inkluusiokuvaus ι(x) = x. Osoita, että on olemassa homotopia Ĥ : S1 [0, 1] R 2 kuvauksesta ˆf = ι f : S 1 R 2 kuvaukseeen ĝ = ι g : S 1 R 2. Tehtävä 5. Kokeile antaako edellisen tehtävän homotopian Ĥ kaava homotopian H : S1 [0, 1] R 2 \ {0} kuvauksesta f kuvaukseen g. Jatkokysymys: Jos näin ei ole, niin etsi homotopia H : S 1 [0, 1] R 2 \ {0}. 3 Tehtävä 6. Olkoon j : R 2 \ {0} R 3 \ {0} inkluusiokuvaus x (x, 0). Osoita, että kuvaukset f = j f : S 1 R 3 \ {0} ja g = j g : S 1 R 3 \ {0} ovat homotooppisia. 1.3 Homotooppisuus relaationa Homotopiateorian perushavaintoja on, että kuvausten homotooppisuus on ekvivalenssirelaatio. Merkintä 1.3.1. Joukko C(X, Y ) = {f : X Y : f on jatkuva} on kaikkien jatkuvien kuvausten avaruudelta X avaruudelle Y joukko. Kuvausten f C(X, Y ) ja g C(X, Y ) homotooppisuus, jota siis merkitään f g, määrittelee relaation joukossa C(X, Y ). 4 Lause 1.3.2. Joukon C(X, Y ) relaatio on ekvivalenssirelaatio. Lauseen 1.3.2 todistus on jaettu seuraavaan kolmeen tehtävään. Näissä tehtävissä f, g ja h ovat jatkuvia kuvauksia X Y. Tehtävä 7. Osoita, että f f. Tehtävä 8. Jos f g, niin g f. Tehtävä 9. Jos f g ja g h, niin f h. Todista lause 1.3.2. Määritelmä 1.3.3. Jatkuvan kuvauksen f C(X, Y ) homotopialuokka on f:n ekvivalenssiluokka [f] relaatiossa eli joukko [f] = {g : X Y : g f}. 3 Jatkokysymys 2 (extra): Vaihda kuvaus g kuvaukseen h: S 1 R 2 \{0}, (x, y) (x, y) ja konstruoi homotopia Ĥ : S1 [0, 1] R 2 kuvauksesta ˆf = ι f kuvaukseen ĝ = ι g. Kokeile nyt löytää homotopia f g. (Myöhemmin havaitaan, että tälläistä homotopiaa ei voi löytää. Kuvaukset j f : S 1 R 3 \ {0} ja j h: S 1 R 3 \ {0} kuitenkin ovat homotooppisia, kun j : R 2 \ {0} R 3 \ {0} on sama kuvaus kuin tehtävässä 6.) 4 Formallisti kirjoitettaisiin = {(f, g) C(X, Y ) C(X, Y ): f g}, mutta tälläinen formaali hienostelu johtaa jatkossa vain varsinaisen asian hämärtymiseen. 7

Merkintä 1.3.4. Jatkuvien kuvausten C(X, Y ) homotopialuokkien joukkoa merkitään [X, Y ] = {[f]: f C(X, Y )}. Yleisellä tasolla voidaan (ehkä) ajatella, että homotopiateorian tarkoituksena on ymmärtää avaruuksien X ja Y välisten jatkuvien kuvausten homotopialuokat [X, Y ]. Vaikka tätä voisikin pitää teorian tavoitteena, on teorialla muitakin tavoitteita (ja sovelluksia!) kuten myöhemmin huomaamme. Joitakin huomioita homotopialuokkien joukosta. Seuraavissa tehtävissä ϕ: X Y ja ψ : Y Z ovat jatkuvia kuvauksia. Tehtävä 10. Olkoot f : X Y ja g : X Y homotooppisia jatkuvia kuvauksia. Tällöin ψ f ψ g. Tehtävä 11. Kaava [f] [ψ f] määrittelee kuvauksen ψ : [X, Y ] [X, Z]. 5 Tehtävä 12. Olkoot f : Y Z ja g : Y Z homotooppisia jatkuvia kuvauksia. Tällöin f ϕ g ϕ. Tehtävä 13. Kaava [f] [f ϕ] määrittelee kuvauksen ϕ # : [Y, Z] [X, Z]. 1.4 Lisää tehtäviä Tehtävä 14. Olkoon V normiavaruus 6 ja olkoot f 0 : X V ja f 1 : X V jatkuvia kuvauksia. Tällöin f 0 f 1. Tehtävä 15. Olkoon S n = {x R n+1 : x = 1}, missä n 0, ja olkoot f 0 : X S n ja f 1 : X S n jatkuvia kuvauksia, joilla ei ole antipodaalisia arvoja eli f 0 (x) f 1 (x) kaikilla x X. Tällöin f 0 f 1. Tehtävä 16. Osoita vastaesimerkillä, että seuraava väite on väärin: Jos h: S 1 S 1 on homotooppinen kuvauksen h 0 : S 1 S 1, x x, kanssa, niin on olemassa x 0 S 1, jolle pätee h(x 0 ) = x 0. 5 Sanotaan myös, että kuvaus ψ on hyvin määritelty. Tässä tapauksessa tulee siis osoittaa, että [ψ g] = [ψ f] kaikilla g [f]. 6 Vektoriavaruus varustettuna normilla : V [0, ). 8

Luku 2 Homotopiaekvivalenssi Homotooppisuus määrittelee ekvivalenssirelaation kahden avaruuden välisten jatkuvien kuvausten joukkoon, eli antaa tavan samaistaa jatkuvia kuvauksia. Homotopiaekvivalenssin käsite antaa vastaavasti tavan samaistaa avaruuksia. 2.1 Määritelmiä Määritelmä 2.1.1. Jatkuva kuvaus f : X Y on homotopiaekvivalenssi, jos on olemassa sellainen jatkuva kuvaus g : Y X, jolle pätee g f id X ja f g id Y. Tällöin sanotaan, että kuvaus g on kuvauksen f homotopiakäänteiskuvaus. Lisäksi sanotaan, että avaruudet X ja Y ovat homotopiaekvivalentit ja merkitään X Y. Aloitetaan negatiivisella esimerkkillä avaruuksista, jotka eivät ole homotopiaekvivalentteja. Esimerkki 2.1.2. Olkoot X = {0} R ja Y = { 1, 1} R. Osoitetaan vastaoletuksella, että X Y. Oletetaan, että on olemassa homotopiaekvivalenssi f : X Y ja olkoon g : Y X kuvauksen f homotopiakäänteiskuvaus. Tällöin g(f(0)) = 0 ja f(g(1)) = f(g( 1)) = f(0). Koska f(0) = 1 tai f(0) = 1, niin riittää tilanteen symmetrisyyden nojalla tarkastella tapausta f(0) = 1. (Tapaus f(0) = 1 jätetään kiinnostuneelle lukijalle.) Koska g on kuvauksen f homotopiakäänteiskuvaus, on olemassa homotopia H : Y [0, 1] Y kuvauksesta f g kuvaukseen id Y. Huomataan aluksi, että Y [0, 1] = { 1, 1} [0, 1] = ({ 1} [0, 1]) ({1} [0, 1]). ja että {k} [0, 1] on yhtenäinen molemmilla k { 1, 1}. Erityisesti siis {1} [0, 1] on yhtenäinen. Koska H on jatkuva, niin H({1} [0, 1]) on yhtenäinen. Koska avaruuden Y yhtenäiset komponentit ovat {1} ja { 1} niin saadaan, että H({1} [0, 1]) { 1} tai H({1} [0, 1]) {1}. Tämä on nyt ristiriita, sillä H(1, 0) = f(g(1)) = f(0) = 1 ja että H(1, 1) = id Y (1) = 1. 9

Tehtävä 17. Olkoot X, Y, ja Z avaruuksia. Tällöin X X. Jos X Y, niin Y X. Jos X Y ja Y Z, niin X Z. Huomautus 2.1.3. Mikäli C on joukko (metrisiä) avaruuksia, niin edellisen tehtävän perusteella homotopiaekvivalenssi määrittelee tähän joukkoon ekvivalenssirelaation. On kuitenkin tärkeää huomata, että ei ole olemassa kaikkien (metristen) avaruuksien joukkoa. 1 Homotopiaekvivalenssi on yksi tapa samaistaa avaruuksia topologiassa. Toinen (yleisempi) tapa on homeomorfisuus. Näistä homeomorfisuus on vahvempi seuraavassa mielessä. Tehtävä 18. Homeomorfiset avaruudet ovat homotopiaekvivalentteja. Itseasiassa homeomorfismi f : X Y on myös homotopiaekvivalenssi. Homotopiaekvivalenssin merkitys on siinä, että avaruudet voivat olla homotopiaekvivalentteja olematta homeomorfisia. Näin ollen homotopiaekvivalenssi antaa joustavamman tavan samaistaa avaruuksia. Merkintä 2.1.4. Avaruuden R n+1 joukkoa S n = {x R n+1 : x = 1} kutsutaan (euklidiseksi) yksikköpalloksi 2 tai n-palloksi 3. Huomaa, että S 0 = {±1} R. Tehtävä 19. Kuvaus ρ: R n \ {0} S n 1, x x/ x, on homotopiaekvivalenssi. Tehtävä 20. Avaruudet R n \ {0} ja S n 1 eivät ole homeomorfisia. Toisaalta homotopiaekvivalenssi säilyttää avaruuksien homotopiaominaisuuksia, kuten seuraavat tehtävät osoittavat. Tehtävä 21. Olkoon ϕ: X Y homotopiaekvivalenssi. Tällöin kuvaus ϕ # : [Y, Z] [X, Z] on bijektio. Tehtävä 22. Olkoon ψ : Y Z homotopiaekvivalenssi. Tällöin kuvaus ψ : [X, Y ] [X, Z] on bijektio. 1 Tämä on helppo havaita vaikkapa seuraavalla klassisella argumentilla: Oletetaan, että on olemassa kaikkien metristen avaruuksien joukko M eli M = {(S, d S): d S on metriikka joukossa S}. Olkoon nyt S kaikkien niiden joukkojen kokoelma, jotka esiintyvät kokoelmassa M eli S = {S : (S, d S) M}. Koska M on joukko, niin S on joukko. Näin ollen on olemassa {0, 1}-metriikka d joukossa S eli (S, d) M. Näin ollen S S. Tämä on ristiriita, koska joukko ei voi olla itsensä alkio. 2 Kaavassa x on jälleen pisteen eukliden normi x 2 = (x 1,..., x n+1) 2 = x 2 1 + + x 2 n+1 3 engl. n-sphere 10

2.2 Esimerkkejä 2.2.1 Retraktit Tehtävän 19 kuvaus ρ on erikoistapaus retraktiosta. 4 Määritelmä 2.2.1. Olkoon A X osajoukko. Jatkuva kuvaus f : X A on retraktio, jos f(x) = x kaikilla x A. Joukkoa A sanotaan tällöin avaruuden X retraktiksi. Tehtävän 19 mukaan siis yksikköpallo S n 1 on avaruuden R n \{0} retrakti. Tehtävän 19 tapauksessa retraktio on homotopiaekvivalenssi. Esimerkki 2.2.2. Huomaa, että retraktin ei tarvitse olla homotopiaekvivalenssi. Esimerkin antaa vaikkapa vakiokuvaus h: {0, 1} {0} (eli kuvaus x 0), joka on retrakti, mutta ei ole kuitenkaan ole homotopiaekvivalenssi, koska avaruudet {0, 1} ja {0} eivät ole homotopiaekvivalentteja esimerkin 2.1.2 perusteella. Merkintä 2.2.3. Olkoon x R n ja r > 0. Merkitään avaruuden R n x-keskistä r- säteistä avointa kuulaa B n (x, r) = {y R n : y x < r}. Origokeskistä r-säteistä avointa kuulaa merkitään B n (r) = B n (0, r). Avaruuden R n avointa yksikkökuulaa merkitään B n = B n (1). Vastaavat suljetut kuulat ovat B n (x, r), B n (r) ja B n. Merkitään myös S n 1 (x, r) = B n (x, r) = {y R n : y x = r}. Tehtävä 23. Olkoon r > 0 ja A = B n (2r)\ B n (r). 5 Tällöin A ja Ā ovat homotopiaekvivalentteja avaruuden R n \ {0} kanssa. Lisäksi Ā on avaruuden R n \ {0} retrakti, mutta A ei ole. Tehtävä 24. Osajoukko ( R 2 \ {0} ) {0} on avaruuden R 3 \ {(0, 0, t): t R} retrakti. 2.2.2 Kutistuvat avaruudet Tasosta R 2 tiedämme, että R 2 {0}, sillä tason R 2 identtinen kuvaus on homotooppinen vakiokuvauksen R 2 R 2, x 0, kanssa. Taso R 2 onkin erikoistapaus kutistuvasta avaruudesta. Määritelmä 2.2.4. Avaruus X on kutistuva, jos identtinen kuvaus id: X X on homotooppinen (jonkin) vakiokuvauksen X X, x x 0, missä x 0 X, kanssa. Homotooppisessa mielessä kutistuvat avaruudet ovat erittäin yksinkertaisia. 6 4 Luonnollinen suomennos voisi olla vetäymä. Ei yritetä kääntää tätä termiä. 5 Joissakin yhteyksissä joukkoa A kutsutaan rengasalueeksi (engl. ring domain). 6 Kutistuvat avaruudet eivät ole niin tylsiä kuin tämän perusteella voisi luulla. Whitehead osoitti 1935, että on olemassa pallon S 3 sellainen kompakti osajoukko Wh S 3 (Whiteheadin kontinuumi), että S 3 \ Wh on kutistuva, mutta ei ole homeomorfinen punkteeratun pallon S 3 \ {e 4} kanssa. Erityisesti tästä seuraa, että on olemassa R 3 :n avoin aito osajoukko, joka on kutistuva, mutta ei ole homeomorfinen R 3 :n kanssa. Tulos romutti Whiteheadin oman todistuksen Poincarén konjektuurille (jonka todisti vasta Perelman). 11

Tehtävä 25. Jos X on kutistuva, niin X on homotopiaekvivalentti pisteen kanssa eli homotopiaekvivalentti jokaisen avaruuden P kanssa, joka sisältää vain yhden pisteen. Kutistuvuus myös säilyy homotopiaekvivalenssissa. Tehtävä 26. Jos X on kutistuva ja Y X, niin Y on kutistuva. Homotopian mielessä kuvaukset kutistuvalta avaruudelta tai kutistuvalle avaruudelle ovat yksinkertaisia. Tehtävä 27. Jos Y on polkuyhtenäinen 7 avaruus ja X on kutistuva avaruus, niin joukot [X, X], [X, Y ] ja [Y, X] ovat yksiöita. 2.2.3 Torukset Tässä luvussa tarkastellaan hieman konkreettisia esimerkkejä torusten muodossa. Sääntö 2.2.5. Jatkossa eukliidisen avaruuden R n vektorilla e k tarkoitetaan avaruuden R n standardikannan vastaavaa alkiota eli e k = (x k,1,..., x k,n ), missä x k,j = 0 ja x k,k = 1 kaikilla j = 1,..., n ja k = 1,..., n. Joukkoa D = {v + r (cos(2πs)v + sin(2πs)e 3 ) R 3 : v S 1 {0}, 0 r 1/2, 0 s 1} R 3, kutsutaan tällä kurssilla täydeksi 3-torukseksi (engl. solid 3-torus) 8. Jos avaruus X on homeomorfinen osajoukon D R 3 kanssa, kutsutaan jatkossa myös avaruutta X täydeksi 3-torukseksi. Täysi 3-torus D on itseasiassa helpompi ymmärtää tuloavaruutena. Tehtävä 28. Kuvaus f : B2 S 1 D, f(x, y) = (y, 0) + x 2 on homeomorfismi. (Kaavassa x = (x 1, x 2 ).) ( x1 x (y, 0) + x ) 2 x e 3, Tehtävä 29. Täysi 3-torus D on homotopiaekvivalentti yksikköympyrän S 1 kanssa. Täyden 3-toruksen D reunaa D kutsutaan torukseksi (tai 2-torukseksi). 9 Usein torukseksi kutsutaan tuloavaruutta S 1 S 1. Seuraavien tehtävien perusteella, terminologiassa ei ole ristiriitaa. Huomaa, että B 2 S 1 R 2 R 2. Tehtävä 30. Olkoot A X ja B Y osajoukkoja. Tällöin osajoukon A B X Y reuna on (A B) = ( ( A) B ) ( Ā ( B) ). Tehtävä 31. Joukon D R 3 reuna on homeomorfinen tulon S 1 S 1 kanssa. 7 Avaruus Y on polkuyhtenäinen, jos kaikilla pisteillä x, y Y on olemassa polku γ : [0, 1] Y, joka yhdistää pisteet x ja y, eli γ(0) = x ja γ(1) = y. 8 Joku voisi kutsua donitsiksi. 9 Jos avaruus Y on homeomorfinen osajoukon D R 3 kanssa, kutsutaan jatkossa myös avaruutta Y 2-torukseksi. 12

2.3 Huomioita Tässä luvussa olemme osoittaneet, että kaikilla n 1 pallo S n 1 on avaruuden R n \ {0} retrakti eli erityisesti R n \ {0} S n 1. Fakta 2.3.1. On syvällinen tulos, että S n 1 ei ole homotopiaekvivalentti pisteen kanssa millään n 1, eli että S n 1 ei ole koskaan kutistuva. Tällä kurssilla osoitamme, että S 1 {0}. Todistamme tuloksen seuraavasti: (1) Määrittelemme avaruuden perusryhmän ja osoitamme, että se on homotopia-invariantti 10, (2) osoitamme, että pisteen perusryhmä on triviaali ja (3) lopuksi osoitamme, että avaruudella S 1 on epätriviaali perusryhmä. Samaa argumenttia ei voi käyttää pallojen S n tapauksessa, kun n 2, sillä niiden perusryhmät ovat triviaaleja. Tässä tapauksessa on luonnollisempaa käyttää joko homotopiateorian sijasta muita algebrallisen topologian metodeja esimerkiksi homologiaa tai kohomologiaa tai tarkastella pallon S n niin sanottuja korkeampia homotopiaryhmiä ja osoittaa, että [S n, S n ] ei ole yksiö. Nämä tulokset jäävät kuitenkin tämän kurssin ulkopuolelle. 11 2.4 Lisää tehtäviä Tehtävä 32. Olkoot Q = [ 1, 1] [0, 2] ja Q = [ 1, 1] [ 2, 0] tason R 2 neliöitä ja E = Q Q. Olkoon R = R 2 \ {(0, 1), (0, 1)} (eli kahdesti punkteerattu taso ). Osoita, että E on avaruuden R retrakti. Tehtävä 33. Olkoon E kuten tehtävässä 32. Osoita, että E S 1 (e 2, 1) S 1 ( e 2, 1), missä e 2 = (0, 1). Tehtävä 34. Normiavaruuden V joukko A on tähtimäinen, jos on olemassa sellainen piste x 0 A, että jana [x 0, x] = {(1 t)x 0 + tx V : 0 t 1} sisältyy joukkoon A kaikilla x A. Osoita, että tähtimäinen joukko on kutistuva. Anna esimerkki kutistuvasta joukosta A R 2, joka ei ole tähtimäinen. Tehtävä 35. Tarkastele aakkosia ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZÅÄÖ tason R 2 osajoukkoina. Argumentoi 12, että aakkoset jakautuvat korkeintaan neljään homotopiaekvivalenssiluokkaan. Argumentoi, että luokkia on tasan neljä, jos tiedetään, että S 1 {0} E ja S 1 E, missä E on kuten tehtävässä 32. Tehtävä 36. Osoita, että topologin sinikäyrä ei ole tason R 2 kutistuva osajoukko. S = {(x, sin(1/x)) R 2 : x > 0} 10 Eli että homotopiaekvivalenteilla avaruuksilla on isomorfiset perusryhmät. 11 Katso esimerkiksi Hatcher Algebraic topology tai luentomuistiinpanot kurssille Johdatus differentiaalimuotohin. 12 Heuristinen argumentti esimerkiksi piirtämällä riittää. 13

Luku 3 Perusryhmä Avaruuden perusryhmä koostuu silmukoiden homotopialuokista. Heuristisesti perusryhmä kerää tiedon silmukoilla tunnistettavista reikäisyydestä ja tavoista kiertää näitä reikiä. 3.1 Silmukat Määritelmä 3.1.1. Avaruuden X polku α: [a, b] X on silmukka, jos α(a) = α(b). Pistettä α(a) sanotaan silmukan α kantapisteeksi. Koska silmukka alkaa ja päättyy kantapisteeseensä, voidaan silmukoita helposti yhdistää. Tehtävä 37. Olkoot a < b < c ja α: [a, b] X ja β : [b, c] X silmukoita, joiden kantapiste on x 0 X. Tällöin α β : [a, c] X, { α(t), t [a, b] α β(t) = β(t), t [b, c] on silmukka, jonka kantapiste on x 0. Vaikka vaikkuttaakin laskutoimitukselta sellaisten silmukoiden joukossa, joilla on sama (kiinnitetty) kantapiste, ei kyseessä ole hyvin määritelty laskutoimitus, sillä silmukkaa β α ei ole määritelty. Tämän ongelman voi ratkaista esimerkiksi seuraavasti. Merkintä 3.1.2. Olkoon x 0 X. Merkitään S(X, x 0 ) = {α: [0, 1] X : α on silmukka ja α(0) = x 0 }. Tehtävän 37 argumentti osoittaa, että seuraava laskutoimitus on hyvin määritelty. Määritelmä 3.1.3. Olkoon x 0 X. Laskutoimitusta : S(X, x 0 ) S(X, x 0 ) S(X, x 0 ), (α, β) αβ, missä αβ : [0, 1] X on silmukka { α(2t), t [0, 1/2] αβ(t) = β(2(t 1/2)), t [1/2, 1], kutsutaan silmukoiden yhdistämikseksi. 14

Tämä laskutoimitus on olennaisesti käyttökelvoton esimerkiksi seuraavista syistä. Tehtävä 38. Laskutoimitus joukossa S(X, x 0 ) ei ole liitännäinen 1 eikä sillä ole neutraalialkioita 2. Edellisen tehtävän avulla on myöskin helppo huomata, että jo tapauksessa X = [0, 1] ja x 0 = 0 avaruus C(X, x 0 ) on aivan liian monimutkainen verrattuna alkuperäiseen avaruuteen X. Ajatuksena onkin samaistaa silmukoita sopivilla homotopioilla eli siirtyä tarkastelemaan silmukoiden eräitä homotopialuokka. 3.2 Silmukkahomotopia Ennen varsinaisia määritelmiä motivoidaan niiden merkitystä seuraavalla havainnolla. Tehtävä 39. Olkoon α: [0, 1] X silmukka, jonka kantapiste on x 0 X. Tällöin α on homotooppinen vakiokuvauksen [0, 1] X, t x 0, kanssa. Kuten edellisessä tehtävässä havaittiin, silmukan määritelmässä oleva vaatimus päätepisteiden samuudesta ei rajoita silmukan kutistuvuutta lainkaan. Erityisesti siis havaitaan, että kaikki joukon S(X, x 0 ) silmukat ovat itseasiassa homotooppisia keskenään. Näin ollen pelkkä silmukoiden homotooppisuus ei kerro avaruudesta X mitään. Tilanne kuitenkin muuttuu mikäli vaaditaan, että myös käytetty homotopia säilyttää kantapisteen erikoisaseman. Määritelmä 3.2.1. Olkoot α: [0, 1] X ja β : [0, 1] X avaruuden X silmukoita, joilla on sama kantapiste x 0 X. Jatkuva kuvaus H : [0, 1] [0, 1] X on silmukkahomotopia 3 silmukasta α silmukkaan β, jos (a) H(t, 0) = α(t) ja H(t, 1) = β(t) kaikilla t [0, 1] ja (b) H(0, s) = x 0 = H(1, s) kaikilla s [0, 1]. Jatkossa huomataan, että vaatimus, että silmukkahomotopia ei voi lainkaan siirtää kantapistettä x 0, rajoittaa huomaatavasti silmukoiden välisiä (silmukka)homotopioita. Määritelmä 3.2.2. Silmukoita α: [0, 1] X ja β : [0, 1] X, joilla on sama kantapiste x 0 X, sanotaan homotooppisiksi silmukoiksi, jos on olemassa silmukkahomotopia silmukalta α silmukkaan β. Koska silmukkahomotopia on olennaisessa roolissa jatkossa, ottamme käyttöön seuravan säännön. Sääntö 3.2.3. Mikäli α ja β ovat avaruuden X silmukoita, joilla on sama kantapiste, niin merkkinnällä α β tarkoitetaan, että α ja β ovat homotooppisia silmukoita eli on olemassa silmukkahomotopia silmukalta α silmukalle β, ellei toisin mainita. Jatkossa [α] tarkoittaa kaikkien silmukan α kanssa homotooppisten silmukoiden joukkoa. 1 Laskutoimitus on liitännäinen, jos a(bc) = (ab)c kaikilla alkioilla a, b, c. 2 Laskutoimituksen neutraalialkio on alkio e, joka toteuttaa ae = a = ea kaikilla alkioilla a. 3 Nimitys ei ole yleisessä käytössä, mutta sitä käytetään tällä kurssilla. 15

Silmukkahomotopiassa asetettu rajoite kantapisteen siirrolle on itseasiassa hyvin luonnollinen, kun havaitaan, että avaruuden X silmukat itseasiassa vastaavat jatkuvia kuvauksia yksikköympyrältä S 1 avaruuteen X. Silmukkahomotopia voidaan tällöin tulkita yksikköympyrällä määriteltyjen kuvausten homotopiana. Seuraavissa tehtävissä θ : [0, 1] S 1 on jatkuva kuvaus t (cos(2πt), sin(2πt)). Tehtävä 40. Olkoon ˆα: S 1 X jatkuva kuvaus. Tällöin α = ˆα θ : [0, 1] X on silmukka, jonka kantapiste on ˆα(e 1 ). Tehtävä 41. Olkoon α: [0, 1] X silmukka, jonka kantapiste on x 0 X. Tällöin on olemassa jatkuva kuvaus ˆα: S 1 X, joka toteuttaa ehdot α = ˆα θ ja ˆα(e 1 ) = x 0. Tehtävä 42. Olkoon H : [0, 1] [0, 1] X silmukkahomotopia silmukalta α: [0, 1] X silmukalle β : [0, 1] X ja olkoot ˆα: S 1 X ja ˆβ : S 1 X jatkuvia kuvauksia, kuten edellisessä tehtävässä. Tällöin on olemassa homotopia Ĥ : S1 [0, 1] X kuvauksesta ˆα kuvaukseen ˆβ, joka toteuttaa ehdon H = Ĥ (θ id) eli H(x, s) = Ĥ(θ(x), s) kaikilla x X ja s [0, 1]. Lisäksi (a) Ĥ(e 1, s) = ˆα(e 1 ) kaikilla s [0, 1] ja (b) Ĥs : S 1 X, x Ĥ(x, s), on jatkuva kuvaus jokaisella s [0, 1]. Mainitaan vielä ennen perusryhmän määrittelyyn siirtymistä, että silmukkahomotopia on itseasiassa erikoistapaus yleisemmästä relatiivisen homotopian määritelmästä. Määritelmä 3.2.4. Olkoon A X osajoukko ja olkoot f : X Y ja g : X Y jatkuvia kuvauksia, jotka yhtyvät joukossa A eli f(x) = g(x) kaikilla x A. Jatkuva kuvaus H : X [0, 1] Y on homotopia kuvauksesta f kuvaukseen g joukon A suhteen, jos (a) H(x, 0) = f(x) ja H(x, 1) = g(x) kaikilla x X ja (b) H(x, s) = f(x) = g(x) kaikilla x A ja s [0, 1]. Tällöin sanotaan, että kuvaukset f ja g ovat homotooppisia joukon A suhteen ja merkitään f g rela. Huomautus 3.2.5. Luvuissa 1 ja 2 todistetuilla tuloksilla homotopioista (esimerkiksi tehtävillä 10 ja 12) on vasteneensa myös relatiiviselle homotopioille. Käsittelemme näitä tuloksia myöhemmin tässä luvussa. 3.3 Perusryhmän määritelmä Merkintä 3.3.1. Olkoon x 0 X ja merkitään π 1 (X, x 0 ) = {[α]: α S(X, x 0 )} eli π 1 (X, x 0 ) on silmukoiden joukon S(X, x 0 ) silmukkahomotopialuokkien joukko. 16

Joukon S(X, x 0 ) laskutoimitus laskeutuu ekvivalenssiluokkien joukkoon π 1 (X, x 0 ). Tehtävä 43. Laskutoimitus : π 1 (X, x 0 ) π 1 (X, x 0 ) π 1 (X, x 0 ), [α] [β] := [αβ], on hyvin määritelty eli alkio [αβ] on riippumaton homotopialuokkien [α] ja [β] edustajien valinnasta. Tämä laskutoimitus tekee joukosta π 1 (X, x 0 ) ryhmän. Lause 3.3.2. Pari (π 1 (X, x 0 ), ) on ryhmä. 4 Osoittaaksemme, että (π 1 (X, x 0 ), ) on ryhmä, tulee osoittaa, että laskutoimitus on liitännäinen, että sillä on neutraalialkio ja että jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Seuraavissa tehtävissä α, β ja γ ovat avaruuden silmukoita, joiden kantapiste on x 0, eli joukon S(X, x 0 ) alkioita. Lisäksi e x0 : [0, 1] X, t x 0. Tehtävä 44. Laskutoimitus on liitännäinen eli [α]([β][γ]) = ([α][β])[γ]. Tehtävä 45. Vakiosilmukan e x0 homotopialuokka [e x0 ] on laskutoimituksen neutraalialkio. Tehtävä 46. Alkion [α] käänteisalkio on homotopialuokka [α 1 ], missä α 1 : [0, 1] X on silmukka t α(1 t). Lauseen 3.3.2 todistus. Tehtävien 44 46 perusteella (π 1 (X, x 0 ), ) on ryhmä. Huomautus 3.3.3. Tehtävän 46 polkua α 1 kutsutaan polun α käänteispoluksi. Määritelmä 3.3.4. Ryhmä π 1 (X, x 0 ) on avaruuden X perusryhmä kantapisteessä x 0 X. Huomautus 3.3.5. Ryhmän π 1 (X, x 0 ) neutraalialkio on vakiosilmiukan c x0 : [0, 1] X, t x 0, homotopialuokka [c x0 ]. Jatkossa tätä neutraalialkiota merkitään lyhyesti joko symbolilla e (kuten usein algebrassa) tai symbolilla 1 (kuten usein homotopiateoriassa) 5. Luvun 2 perusteella tunnemme jo joidenkin avaruuksien perusryhmiä. Korollaari 3.3.6. Kutistuvan avaruuden X perusryhmä pisteessä x 0 X on triviaali, eli π 1 (X, x 0 ) = {[c x0 ]}. Erityisesti π 1 (R n, 0) = {[c 0 ]} kaikilla n 1. Löytääksemme kuitenkin yhdenkin avaruuden, jonka perusryhmä ei ole triviaali, joudumme näkemään vaivaa. Tärkein tälläinen avaruus on yksikköympyrä S 1. Luvussa 5.3 osoitamme seuraavan faktan. Olkoon k Z ja merkitään α k : [0, 1] S 1, t (cos(2πkt), sin(2πkt)). Fakta 3.3.7. Ryhmä π 1 (S 1, e 1 ) on isomorfinen kokonaislukujen ryhmän (Z, +) kanssa ja kuvaus I : Z π 1 (S 1, e 1 ), k [α k ], on isomorfismi. Vaikka tämä tulos on mahdollista osoittaa myös suoraan, on se luonnollisinta osoittaa hyödyntäen peiteavaruuksien teoriaa. Tämän vuoksi lykkäämme tämän faktan todistusta. Koska monia perusryhmään liittyviä yleisiä tuloksia voidaan havainnollistaa hyödyntäen ympyrän perusryhmää, otetaan tämä fakta kuitenkin jo käyttöön. 4 Jatkossa merkkinnällä π 1(X, x 0) tarkoitetaan juuri tätä ryhmää. 5 Ei siis saa sekoittaa lukuun 1 Z. 17

3.4 Perusryhmä ja kuvaukset Eräs tärkeimmistä perusryhmään ominaisuuksista on, että avaruuksien välinen kuvaus indusoi homomorfismin vastaavien perusryhmin välille. Syntyvää kuvausta kutsutaan indusoiduksi kuvaukseksi. Lause 3.4.1. Olkoon x 0 X ja f : X Y jatkuva kuvaus. Tällöin kaava [α] [f α] määrittelee kuvauksen f : π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, f(x 0 )), joka on homomorfismi. Todistus. Osoitetaan ensin, että f on hyvin määritelty. Todistus oleellisesti sama kuin tehtävän 10 argumentti. Olkoot α: [0, 1] X ja α : [0, 1] X silmukoita, joiden kantapiste on x 0. Tällöin f α ja f α ovat silmukoita, joiden kantapiste on f(x 0 ). Oletetaan nyt, että α α. Tällöin on olemassa silmukkahomotopia H : [0, 1] [0, 1] X silmukasta α silmukkaan α. Olkoon F = f H : [0, 1] [0, 1] Y. Tällöin F on silmukkahomotopia silmukasta f α silmukkaan f α. Näin ollen f α f α. Kuvaus f on siis hyvin määritelty. Osoitetaan nyt, että f on homomorfismi. Olkoot [α], [β] π 1 (X, x 0 ). Koska silmukoiden yhdistämisen määritelmästä seuraa suoraan f (αβ) = (f α)(f β), niin pätee f ([α][β]) = f [αβ] = [f (αβ)] = [(f α)(f β)] = [f α][f β] = f [α]f [β]. Kuvaus f on siis homomorfismi. Tällä lauseella on tärkeitä (mutta helppoja) seurauksia. Tehtävä 47. Olkoot f : X Y ja g : Y Z jatkuvia kuvauksia ja x 0 X. Tällöin (g f) = g f, missä f : π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, f(x 0 )), g : π 1 (Y, f(x 0 )) π 1 (Z, g(f(x 0 )) ja (g f) : π 1 (X, x 0 ) π 1 (Z, (g f)(x 0 )). Tehtävä 48. Jos f : X Y on homotopiaekvivalenssi, niin f : π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, f(x 0 )) on isomorfismi kaikilla x 0 X. 6 Lause 3.4.2. Olkoon x 0 X ja olkoot f : X Y ja g : X Y jatkuvia kuvauksia. Jos f g rel{x 0 }, niin f = g : π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, f(x 0 )). Todistusta varten tarvitsemme pienen muistinvirkistyksen. Tehtävä 49. Olkoot X,X,Y,Y ja Z (metrisiä) avaruuksia. Olkoot lisäksi f : X Y ja f : X Y jatkuvia kuvauksia. Tällöin f f : X X Y Y on jatkuva kuvaus. Jos lisäksi h: Y Y Z on jatkuva kuvaus, niin kuvaus h (f f ): X X Z on jatkuva. 6 Kuten luennolla 24.9. keskusteltiin, tämä tehtävä on täysin väärässä paikassa. Sen voi tehdä kahdella mahdollisella tavalla. Vaihtoehto 1: (1 piste) Lisäämällä oletuksen, että kuvauksella f on homotopia käänteiskuvaus g : Y X, jolle pätee g f id X rel{x 0} ja f g id Y rel{f(x 0)}. Tällöin voi hyödyntää tehtävää 47 ja lausetta 3.4.2. Vaihtoehto 2: (3 pistettä) Ratkaise tehtävä hyödyntäen kantapisteen vaihtoon liittyviä tekniikoita ja lausetta 3.5.3. Vinkkejä todistuksen vaiheista löytyy Kopasta. 18

Lauseen 3.4.2 todistus. Olkoon α: [0, 1] X silmukka, jonka kantapiste on x 0. Osoitetaan, että f α g α. Tällöin f [α] = g [α], joka todistaa väitteen. Olkoon F : X [0, 1] Y homotopia kuvauksesta f kuvaukseen g joukon {x 0 } suhteen, ja määritellään H : [0, 1] [0, 1] Y, H(t, s) = F (α(t), s). Tällöin H on itseasiassa yhdistetty kuvaus H = F (α id [0,1] ). Muistinvirkistyksen perusteella α id [0,1] : [0, 1] [0, 1] X [0, 1] on jatkuva kuvaus ja siten myös H on jatkuva kuvaus. Koska H(t, 0) = F (α(t), 0) = f(α(t)), H(t, 1) = F (α(t), 1) = g(α(t)) ja H(0, s) = F (α(0), s) = x 0 = F (α(1), s) = H(1, s) kaikilla t, s [0, 1], niin H on vaadittu homotopia. Huomautus 3.4.3. Yleisenä algebrallisena huomiona sanottakoon, että homomorfismin f π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, f(x 0 )) kuva eli joukko on aliryhmä. f π 1 (X, x 0 ) = {f [α] π 1 (Y, f(x 0 )): [α] π 1 (X, x 0 )} π 1 (Y, f(x 0 )). Sovelletaan kuvauksista saatuja tuloksia vielä retraktioihin. Tehtävä 50. Olkoon A X retrakti ja x 0 A. Tällöin ι π 1 (A, x 0 ) π 1 (X, x 0 ) on injektio, missä ι: A X on inkluusio x x. 3.5 Kantapiste ja polkukomponentti Kuten edellä on huomattu, kantapisteellä x 0 X on tärkeä rooli perusryhmän π 1 (X, x 0 ) määritelmässä ryhmärakenne perustuu vahvasti kantapisteen käyttöön. Monissa tilanteissa ei kuitenkaan varsinaisesti tarvise tietää mikä kantapiste on valittu, sillä tulokset ovat usein tästä valinnasta riippumattomia. Tarkastelemme nyt kantapisteeseen ja sen valintaan liittyviä seikkoja. Olennainen havainto on, että perusryhmä π 1 (X, x 0 ) riippuu (oleellisesti) ainoastaan pisteen x 0 polkukomponentista avaruudessa X. Määritelmä 3.5.1. Pisteen x 0 X polkukomponentti on osajoukko C(X, x 0 ) = {x X : On olemassa pisteet x 0 ja x yhdistävä polku avaruudessa X.} Määritelmä 3.5.2. Avaruus X on polkuyhtenäinen, jos C(X, x 0 ) = X jollakin (eli kaikilla) x 0 X. Tehtävä 51. Perusryhmät π 1 (X, x 0 ) ja π 1 (C(x, x 0 ), x 0 ) ovat isomorfisia. Tarkemmin sanottuna inkluusiokuvauksen ι: C(X, x 0 ) X, x x, indusoima homomorfismi ι : π 1 (C(X, x 0 ), x 0 ) π 1 (X, x 0 ) on isomorfismi. Tarkastellaan nyt kantapisteen vaihtoa polkukomponentin sisällä. Olkoon γ : [0, 1] X polku, joka lähtee pisteestä x 0 eli γ(0) = x 0. Merkitään x 1 = γ(1). Ensimmäinen havainto on, että polku γ siirtää kantapisteen x 0 pisteeseen x 1 seuraavassa mielessä. 19

Tehtävä 52. Olkoon α: [0, 1] X silmukka, jonka kantapiste on x 0, eli α S(X, x 0 ). Tällöin polku γ 1 αγ : [0, 1] X, γ 1 (3t), t [0, 1/3] γ 1 αγ(t) = α(3(t 1/3)), t [1/3, 2/3] γ(3(t 2/3)), t [2/3, 1] on silmukka, jonka kantapiste on x 1, eli γ 1 αγ S(X, x 1 ). Lisäksi tämä kantapisteen siirto sopii yhteen silmukkahomotopian kanssa. Lause 3.5.3. Kuvaus Φ γ : π 1 (X, x 0 ) π 1 (X, x 1 ), [α] [γ 1 αγ], on isomorfismi. Todistus on kolmevaiheinen. Tehtävä 53. Kuvaus Φ γ : π 1 (X, x 0 ) π 1 (X, x 1 ), [α] [γ 1 αγ], on hyvin määritelty eli [γ 1 α γ] = [γ 1 αγ], kun silmukoille α S(X, x 0 ) ja α S(X, x 0 ) pätee α α. Tehtävä 54. Kuvaus Φ γ [α], [β] π 1 (X, x 0 ). on homomorfismi eli Φ γ ([α][β]) = (Φ γ [α]) (Φ γ [β]) kaikilla Tehtävä 55. Homomorfismi Φ γ 1 on homomorfismin Φ γ käänteiskuvaus. Lauseen 3.5.3 todistus. Tehtävän 53 perusteella kuvaus Φ γ on hyvin määritelty. Koska Ψ γ on homomorfismi ja sillä on käänteiskuvaus, on se isomorfismi. Huomautus 3.5.4. Lauseen 3.5.3 perusteella polkuyhtenäisen avaruuden X kaikki perusryhmät π 1 (X, x), missä x X, ovat isomorfisia keskenään. Tämän vuoksi, polkuyhtenäisten avaruuksien kohdalla, perusryhmän π 1 (X, x 0 ) kantapiste jätetään usein merkitsemättä ja merkitään lyhyesti π 1 (X). Tällä merkinnällä tarkoitetaan mitä tahansa (abstraktia) ryhmää 7, joka on isomorfinen jonkin (ja siten kaikkien) perusryhmän π 1 (X, x 0 ) kanssa. On kuitenkin parempi välttää liiallisia samaistuksia ja jatkossakin kirjaamme ylös myös kantapisteen. 3.6 Lisää tehtäviä Tehtävä 56. Olkoot γ : [0, 1] X ja γ : [0, 1] X polkuja pisteestä x 0 pisteeseen x 1. Tällöin Φ γ = Φ γ, jos γ γ rel{0, 1}. Tehtävä 57. Mitä voit sanoa ryhmästä π 1 (X, x 0 ), jos Φ γ γ S(X, x 0 ). = id kaikilla silmukoilla Tehtävä 58. Olkoot σ 0 : S 1 X ja σ 1 : S 1 X jatkuvia kuvauksia, joille pätee σ 0 (e 1 ) = σ 1 (e 1 ). Olkoot lisäksi γ k : [0, 1] X silmukoita pisteessä σ 0 (e 1 ), jotka on määritelty kaavoilla γ k (t) = σ k ((cos(2πt), sin(2πt)). Osoita, että σ 0 σ 1 rel{σ(e 1 )} 8, jos ja vain jos γ 0 γ 1 rel{0, 1} (eli silmukoina). 7 Voidaan myös ajatella ryhmien π 1(X, x) isomorfialuokkana. 8 Pahoittelen unohdusta aikaisemmasta versiosta. 20

Luku 4 Perusryhmän sovelluksia Tässä luvussa esitellään joitakin sovelluksia, jotka voidaan todistaa heti, kun ympyrän S 1 perusryhmä tunnetaan. Todistettavia tuloksia varten hyödynnämme seuraavia faktoja, jotka todistetaan luvussa 5. Olkoon k Z ja merkitään α k : [0, 1] S 1, t (cos(2πkt), sin(2πkt)). Fakta 4.0.1. Ryhmä π 1 (S 1, e 1 ) on isomorfinen kokonaislukujen ryhmän (Z, +) kanssa ja kuvaus I : Z π 1 (S 1, e 1 ), k [α k ], on isomorfismi. Tämän faktan vaikein osa on osoittaa, että [α 1 ] = I(1) virittää ryhmän π 1 (S 1, e 1 ). 1 Tätä varten tulee osoittaa, että [α 1 ] 0. Lisäksi tulee osoittaa, että muut alkiot ovat homotopialuokan [α 1 ] monikertoja. Näistä tiedoista seuraa lähes välittömästi, että I on isomorfismi. 4.1 Brouwerin kiintopistelause Määritelmä 4.1.1. Piste x 0 f(x 0 ) = x 0. X on kuvauksen f : X X kiintopiste, jos pätee Brouwerin kiintopistelause tasossa on seuraava tulos. Lause 4.1.2. Jatkuvalla kuvauksella f : B2 B 2 on kiintopiste. Lauseen todistus perustuu vastaoletukseen ja seuraavaan konstruktioon. Oletaan, että kuvauksella f : B2 B 2 ei ole kiintopistettä. Tehtävä 59. Jos jatkuvalla kuvauksella f : B2 B 2 ei ole kiintopistettä, niin jokaisella z B 2 on olemassa yksikäsittenen t z (0, ) jolle pätee f(z) + t z (z f(z)) = 1. 1 Alkio a virittää ryhmän G, jos G = a = {a k : k Z}. 21

Tehtävä 60. Kuvaus ϕ: B2 S 1, z f(z) + t z (z f(z)), missä t z (0, ) on kuten edellisessä tehtävässä, on jatkuva retraktio. Brouwerin kiintopistelauseen todistus. Jos kuvauksella f ei ole kiintopistettä, on olemassa retraktio ϕ: B2 S 1. Näin ollen inkluusiokuvaus ι: S 1 B 2, x x, indusoi injektion ι : π 1 (S 1, e 1 ) π 1 ( B 2, e 1 ) tehtävän 50 perusteella. Tämä on ristiriita, koska B 2 on kutistuva, joten π 1 ( B 2, e 1 ) on triviaali ryhmä, mutta π 1 (S 1, e 1 ) on epätriviaali. Huomautus 4.1.3. Brouwerin kiintopistelause korkeammissa ulottovuuksissa sanoo, että jatkuvalla kuvauksella B n B n on kiintopiste. Tämän todistaminen tapauksessa n > 2 ei kuitenkaan seuraa perusryhmään nojautuvalla argumentilla, sillä π 1 (S n, e 1 ) on triviaali kaikilla n 2 (kuten myöhemmin osoitamme). 4.2 Tuloavaruudet Tuloavaruuden perusryhmä on tulontekijöiden perusryhmien tulo. Tehtävä 61. Olkoot p X : X Y X ja p Y : X Y Y projektiokuvaukset (x, y) x ja (x, y) y. Tällöin homomorfismi P = ((p X ), (p Y ) ) : π 1 (X Y, (x 0, y 0 )) π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, y 0 ), [α] ((p X ) [α], (p Y ) [α]), on isomorfismi. Korollaari 4.2.1. Avaruuden S 1 S 1 perusryhmä π 1 (S 1 S 1, (e 1, e 1 )) on (isomorfinen) additiivisen ryhmän Z Z kanssa. Koska avaruuksien B 2 S 1 ja S 1 S 1 perusryhmät tunnetaan nyt hyvin, voidaan niitä käyttää kuvausten tutkimiseen. Seuraavissa tehtävissä D R 3 on kiinteä 3-torus kuten luvussa 1. Tehtävä 62. Olkoon x 0 S 1 S 1. Inkluusiokuvaus ι: S 1 S 1 B 2 S 1 ei ole homotooppinen rel{x 0 } vakiokuvauksen x x 0 kanssa. Tehtävä 63. Olkoon x 0 = (1, 0, 0). Homeomorfismi f : D D, (x, y, z) (x, y, z), ei ole homotooppinen rel{x 0 } identtisen kuvauksen id D : D D kanssa. Tehtävä 64. On olemassa homeomorfismi ϕ: D D, joka ei ole minkään jatkuvan kuvauksen f : D D rajoittuma. 4.3 Kahdesti punkteerattu taso Hyödynnetään nyt perusryhmän ja kuvausten välisestä suhteestä saatuja tuloksia ja osoitetaan, että kahdesti punkteeratun tason perusryhmä on epätriviaali ja että se ei ole isomorfinen punkteeratun tason perusryhmän kanssa. Koska homeomorfismi indusoi isomorfismin perusryhmien välille, voidaan siis tästä erityisesti päätellä, että R 2 \{e 1, e 1 } 22

ei ole homeomorfinen punkteeratun tason R 2 \ {0} eikä tason R 2 kanssa. Merkitään R = R 2 \ {e 1, e 1 } ja R = R 2 \ {0}. Olkoot ι + : R R 2 \ {e 1 } ja ι : R R 2 \ { e 1 } inkluusioita x x. Olkoot myös α + : [0, 1] R, t e 1 (cos(2πt), sin(2πt)), ja α : [0, 1] R, t e 1 + (cos(2πt), sin(2πt)), silmukoita avaruudessa R. Silmuikolla on yhteinen kantapiste, origo. Tehtävä 65. Tällöin [ι + α + ] 1 ja [ι + α ] = 1 ryhmässä π 1 (R 2 \{e 1 }, 0). Vastaavasti [ι α ] 1 ja [ι α + ] = 1 ryhmässä π 1 (R 2 \ { e 1 }, 0). Korollaari 4.3.1. Tällöin [α + ] 1 ja [α ] 1 ryhmässä π 1 (R, 0). Lisäksi [α + ] [α ]. Tämän korollaarin taustalla on (triviaali!) algebrallinen oivallus: Olkoon ϕ: G H homomorfismi ryhmältä G ryhmälle H. Tällöin ϕ kuvaa neutraalialkion neutraalialkiolle eli ϕ(e G ) = e H. Tämän väitteen kontrapostio on sanoo, että g e G, jos ϕ(g) e H. Korollaarin 4.3.1 todistus. Koska (ι + ) [α + ] = [ι + α + ] 1 ryhmässä π 1 (R 2 \ {e 1 }, 0), niin [α + ] 1 ryhmässä π 1 (R, 0). Vastaavasti todistetaan, että [α ] 1. Toisaalta, jos pätisi [α + ] = [α ], niin (ι + ) [α + ] = (ι + ) [α ] = [ι + α ] = 1. Tämä on ristiriita, joten [α + ] [α ]. Korollaarin 4.3.1 argumentilla voidaan itseasiassa todistaa paljon enemmänkin. Tehtävä 66. Kumpikaan alkiosta [α + ] ja [α ] ei ole toisensa monikerta 2 eli [α ] [α + ] k millään k Z eikä [α + ] [α ] k millään k Z. Erityisesti [α + ] [α ] 1. Korotetaan seuraava havainto lauseeksi, koska siinä käytämme ensimmäistä kertaa algebrallista päättelyä topologisessa kysymyksessä. Lause 4.3.2. Avaruudet R = R 2 \ {e 1, e 1 } ja R = R 2 \ {0} eivät ole homeomorfisia. Aloitetaan kahdella algebrallisella havainnolla. Tehtävä 67. Olkoon ϕ: Z Z isomorfismi additiiviselta ryhmältä (Z, +) itselleen. Tällöin joko ϕ = id tai ϕ = id. Tehtävä 68. Olkoon G ryhmä, joka on isomorfinen ryhmän (Z, +) kanssa, ja ψ : G G isomorfismi. Tällöin joko ψ = id tai ψ(a) = a 1 kaikilla a G. Tehdään myös helppo topologinen havainto avaruudesta R. Olkoon θ : R R jatkuva kuvaus x x. Tehtävä 69. Tällöin θ on homeomorfismi, joka totettaa ehdot θ θ = id, θ(0) = 0 ja θ α + = α. Koska lauseen 4.3.2 muotoilussa ei ole kiinnitetty huomiota kantapisteisiin, tehdään vielä yksi havainto. 2 Huomaa, että a n = (a 1 ) n = (a n ) 1 kaikilla n N. 23

Tehtävä 70. Jokaisella x 0 R 2 \{0} on olemassa homeomorfismi g : R 2 \{0} R 2 \{0}, jolle pätee g(x 0 ) = e 1. Lauseen 4.3.2 todistus. Oletetaan, että on olemassa homeomorfismi h: R R. Olkoon x 0 = h(0) ja g : R R tehtävän 70 homeomorfismi. Tällöin f = g h: R R on homeomorfismi, jolle pätee f(0) = e 1. Näin ollen f : π 1 (R, 0) π 1 (R, e 1 ) on isomorfismi. Olkoon nyt θ : R R tehtävässä 69 käsitelty homeomorfismi. Tällöin homomorfismi θ : π 1 (R, 0) π 1 (R, 0) on isomorfismi. Koska π 1 (R, e 1 ) on isomorfinen ryhmän Z kanssa, niin näin ollen myös π 1 (R, 0) on isomorfinen ryhmän Z kanssa. Tehtävän 68 perusteella tällöin pätee joko θ = id tai θ = id. Näin ollen pätee joko [α ] = θ [α + ] = [α + ] tai [α ] = θ [α + ] = [α + ] 1. Tämä on ristiriita tehtävän 66 tuloksen kanssa. Avaruudet R ja R eivät siis ole homeomorfisia. 4.4 Pallot S n Vaikka kysymys ei olekkaan sovelluksesta, osoitetaan vielä luvun lopuksi, että pallojen S n perusryhmät ovat triviaaleja kaikilla n 2. Kysymys sinänsä ei ole aivan triviaali, vaikka siltä ensinäkemältä vaikuttaakin. Jatkossa oletetaan, että pätee n 2. Aloitetaan positiivisista tuloksista. Tehtävä 71. Olkoon P = {te n+1 R n+1 : t 0} ja σ : [0, 1] R n+1 \ P silmukka pisteessä e n+1. Tällöin σ on (silmukka)homotooppinen vakiopolun kanssa. Tehtävä 72. Olkoon γ : [0, 1] S n sellainen silmukka, että e n+1 γ[0, 1]. Tällöin γ on homotooppinen vakiopolun kanssa. Sitten huonot uutiset. Tehtävä 73. On olemassa silmukka σ : [0, 1] S n, joka on surjektio. Ongelma voidaan kuitenkin helposti korjata, koska olemme olettaneet n 2. Tehtävä 74. Olkoon silmukka σ : [0, 1] S n, jolle pätee σ(0) e n+1. Tällöin on olemassa silmukan σ kanssa homotooppinen silmukka γ : [0, 1] S n, joka ei saa arvoa e n+1 eli e n+1 γ[0, 1]. Tehtävien 72 ja 74 avulla voidaan nyt päätellä haluttu tulos. Tehtävä 75. Pallon S n (n 2) perusryhmä π 1 (S n, e 1 ) on triviaali. 4.5 Huomioita Lauseen 4.3.2 todistuksessa käytettiin tietoa, että π 1 (R 2 \ {e 1, e 1 }, 0) = Z. Tämä perusryhmä (luonnollisesti) tunnetaan tarkastikkin. Fakta 4.5.1. Ryhmä π 1 (R 2 \ {e 1, e 1 }, 0) on isomorfinen kahden alkion virittämän vapaan ryhmän F 2 kanssa. Tämä todistetaan luvussa 8. 24