284 = º Î Ø Ú Ø. A = kanta korkeus. A 1/2suunn = kanta+kanta 2

Samankaltaiset tiedostot
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý

ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»

ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø

Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»


Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely

Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º

(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº

Symmetriatasot. y x. Lämmittimet

È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»

p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º


ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼

ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý

F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.

Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ

:: γ1. g 1. :: γ2. g 2

d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j

F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.

A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =

ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø


Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º

λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó

Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø


ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È

x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n

{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.

2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð

q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =

Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾

A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061

139/ /11034 = 0.58


Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÆÁ Å Ä ÊÇ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Ì Ú Ø ÐÑ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ò ØØ Ð

¾º C A {N A } K N A º A B N B

0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)

C A B, A D B A B E. A B C, A C B Ø B A C.

Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).

Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º

½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø

P(E i ) P( ) = 0. P(A A c ) = P(A)+P(A c ) = 1. P( ) = 1 P(Ω) = 0. P(E 1 E n ) = P(E 1 )+ +P(E n ). i=1. i=1

T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =

x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...

P F [L θ U] P F [L θ U] 1 α, 0 < α < 1,

P(r, ϕ t) = P(z, e it ) = 1 z 2 e it z 2, Ñ z = reiϕ. f(z + re iϕ )dϕ. f(z) = 1. f(z) f(z 0 ).

Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

º F(+, + ) = 1 F(, ) = F(, y) = F(x, ) = 0 й

(AB) ij = p. k=1 a ikb kj. AA 1 = A 1 A = I.

Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼

Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ

ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½

x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =

f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼

Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò

Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò

ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð

ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ

Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon

ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú

½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1

k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)

 ΠËÃ Ä Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ø ÙÒØ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ Ð Ø ÐÓ ÒÒ ¹Ã Ë ÐÑÒÐ Ò Ø Ó Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ò Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ Ð

f(x) =, x = 0,1,...,100. P(T 20) = P( X 50 20) 0.

F(x) = P(X x), x R. F(x) = 1º

x α 1... x (v ṽ)φdx = 0

Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ

Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ

MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,

Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ

Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö

À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò

Transkriptio:

ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ÒÓ¹Ã Ö Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ò Ý Ò Ð ØÓ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½¾

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÈÝØ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ Ó Ú ÔÙØÙÐÓ º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø ¾º½ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ù Ð Ò ØÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÌÓ ØÙ ÖØÓ Ò ÚÙÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Î Ò Ò ØÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÈÖ ÒØØ Ö Ð Ò ØÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º ÄÓÓÑ ³Ò ØÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º Ì Ó ÌÓÒ Ò ØÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÌÓ ØÙ ÙÙÒÒ ÒÒÓÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÐ ØÓ Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½¼ ÃÓ Ò Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ¾ º½ ÃÓÐÑ Ó Ø Ó Ú ÑÖ Ø ÐÑ ÔÙØÙÐÓ º º º º º º º º ¾ º¾ ÈÝØ ÓÖ Ò Ý ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÖÑ Ø³Ò ÙÙÖ Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø ÒÚ ØÓ ¾

½ ÂÓ ÒØÓ ÌÑ ÔÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ ØØ Ð ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ø Ð Ò Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Òº ÌÝ Ò ØÓ Ò Ò ÔÙÓÐ ØØ Ð Ð Ù Ò ØÓ Ø Ñ Ø Ô ÓÑ ØÖ Ò ÒÒ Ð¹ Ø ØÓ Ò ÔÙÓÐ Ò ØØÝ ÐÙ ÙØ ÓÖ Ò ÚÙÐÐ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò ÓÐÑ Ó Òº ½º½ ÈÝØ ÓÖ ÈÝØ ÓÖ Ë ÑÓ Ð Ò Ò Òº ¹ ¼¼ ÃÖºµ ÝÒØÝ Ë ÑÓ Ò Ö ÐÐ ÃÖ ¹ º ÀÒ ÓÔ Ð Ð Å Ð ØÓ Ò Ñ Ò Ö Ò ÓÔÔ Ð Ò ÑÙØØ Ñ Ø Ù Ø Ð ÐØ ÝÔØ Ò ËÝÝÖ Ò ÝÐÓÒ Ò Ñ Ò Ô Ö ØÝ Ò¹ Ø Ø Ò Ó Ò Ñ Ø Ñ Ø Òº ÀÒ ØØÙ Ë ÑÓ Ò ÓÔ ÒØÓÑ Ø Ó Ò Ð Ò Ñ ÓÔ ØØ Ñ Ø Ñ Ø ÐÓ Ó ÚÙØØ Ñ ØØ Ù Ø Ò Ò Ñ Ò ØÝ Øº ÈÝØ ÓÖ ÑÙÙØØ Ø Ð¹ÁØ Ð Ò ÖÓØÓÒ Ò Ô ÖÙ Ø ÒÒ ÔÝØ Ó¹ Ö Ð Ò Ú Ð ÙÒÒ Òº ÌÑÒ Ú Ð ÙÒÒ Ò Ò Ø ÑÙÓ Ó ØÙ Ú Ø ÈÝØ Ó¹ Ö Ò ÒÒÓ ÑÑ Ø ÐÙÓØ ØØ Ú ÑÑ Ø ÓÔÔ Ð Ø º Ø Ø Ø Ö Ò Ñ Ø ÔÝØ ÓÖ Ð ÐØ ØÙÒÒ ØÙØ Ø ÓÚ Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ñ Ñ Ø Ò Ò ÓÔÔ Ð Ò ÐÐ Ø ÓØ ÓÐ Ú Ø Ý Ø Ò Ø Ô ØØ Ò Ð º Î Ø ÈÝØ ÓÖ Ò ÙÓÐØÙ Ú Ð ÙÒÒ Ò Ð ÒÒÙØØÙ Ø ØÓ Ô ÚÙÓØ Ñ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ø ÚÙÓØØ ÑÝ ÑÑ Ò ÐÒÝØ ÔÝØ ÓÖ Ð Ò Ò ÐÓÐ Ó ÓÐ Ó Ö ÝÐ ÔÝØ ÓÖ Ð Ø Ò ÚÙØØ Ñ Ø ØÓ º ÈÝØ ÓÖ Ò Ò ÑÑ Ø Ø Ø ÐÐ Ø ØÝ Ø ØØ Ð ÚØ Ø Ø Ø ØØ ¹ Ò Ò ÒÓØ Ò ÓÔ ØØ Ò Ò Ò ÑÑ Ò ØØ Å ÓÒ Ô ÐÐÓÒÑÙÓØÓ Ò Òº ÅÙ ¹ Ø ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÓÐ ØÙ Ó Ø ÈÝØ ÓÖ Ò ÑÙ Ø ÓÔ Ø ØØ Ò ÓÐ ¹ Ò Ò ÓÖ Ù Ò ÐØ Ò Ô ØÙÙ Ò Ù Ø Øº Ë Ò ÑÙ Ò Ò Ò ÓÖ Ù Ò Ù Ø Ø ÚÓ Ø Ò ÐÑ Ø ÐÙ Ù Ò Ù Ø Ò º à ÐØ ÓØ ÓÚ Ø Ý Ø Ö Ð¹ Ð ÓÚ Ø Ó Ø Ú Ò Ò ÒÚÓ Ñ ÙÙ ÐÐ ØÓ Ø Ò Ó ØÓ Ò Ò Ð Ø ÓÒ ÖØ Ò ÑÑ Ò Ñ ØØ Ò Òº Ò ÓÔ Ò ÐÙ Ù Ù Ø Ò Ý Ò ÖØ ÙÙ ÈÝØ ÓÖ Ò Ù ÓÑ Ò Ñ Ð¹ Ñ Ò Ù Ò ÓÓ ØÙÚ Ò ÐÙÚÙ Ø Ò Ò Ù Ø Ø ÓØ Ò Ò Ø Ó ÐÙ Ù¹ Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ØÙØ Ñ Ø º ÄÙ Ù Ò ØÙØ Ñ Ø ÙÖ Ø Ó Ø ÐÙ ÙØ ÓÖ ØØ ØÙÐÓ ÙØ Ò Ñ Ö ÐÙ Ù Ò ØÝ ÐÐ ÝÝ Ý ØÚÐÐ ÝÝ ÒØ ÐÐ ÙÙ º ÌÝ ÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù ÓÒ Ø Ò ÙÑÑ ¹ Ñ Ö ÐÙ Ù 6 ÓÒ ØÝ ÐÐ Ò Ò ÐÐ 6 = 1 + + 3 ÐÙÚÙØ 1 3 ÓÚ Ø ÐÙÚÙÒ 6 Ø Ó Øº ÄÙÚÙØ ÓÚ Ø Ý ØÚÐÐ Ó Ò ÓÚ Ø ØÓ Ò Ò ØÓ Ò Ø ¹ Ò ÙÑÑ º ÄÙ ÙÔ Ö 0 84 ÓÒ Ý ØÚÐÐ Ò Ò ÐÐ 0 = 1 5 11 ½

84 = 1 + + 4 + 5 + 10 + 11 + 0 + + 44 + 55 + 110º Î Ø Ú Ø 84 = 1 71 0 = 1++4+71+14º ÄÙÚÙØ ÓÚ Ø Ñ ÐÐ ÑÝ Ô Ò ÑÑØ Ý ØÚÐÐ Ø ÐÙÚÙغ ÄÙ Ù 10 ÓÒ ÒØ ÐÐ Ò Ò ÐÐ ÓÒ ÙÑÑ ÐÙÚÙ Ø 1 3 4º ÌÙÒÒ ØÙ ÑÑ Ø ÔÝØ ÓÖ Ð Ø Ò ÒÒ Ø ÓÚ Ø ÖÖ Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ø¹ Ø ÐÝ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ò Ò ØÓ Ø Ñ Ò Òº ÈÝØ Ó¹ Ö Ò Ð Ù ØØ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ ÓÒ ÝÐÐ Ò ÝØ ØØÝ ÑÑ Ò Ò Ñ Ö ÝÔØ Ð Ø Ñ ÒÑ ØØ Ö Ø Ñ ØØ Ú Ø Ó Ö Ó Ò Ò Æ Ð Ò ØÙÐÚ Ò Ð¹ Ò Ñ Ø Ô ÖØÑÐÐ ÙÓÖ Ò ÙÐÑ Ò Ô Ò Ó ØØ Ñ ÐÐ ÓÐÑ ÓÒ ÑÙÓØÓ Ò ÖÙ ÓÒ ÚÙ Ò Ù Ø Ø ÓÐ Ú Ø3 : 4 : 5º (3,4,5) ÓÒ ØÙÒÒ ØÙ Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ð ÐÙÚÙØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ¾º½º½º ½ ¹½ ½º¾ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ Ó Ú ÔÙØÙÐÓ Ã ÙÐÓØØ Ú ÖÙÙ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ø Ó ÙÚ Ó Ø ÙÓÖ Ò ÚÙй Ð º ÃÙÚ ÓØ Ø Ò Ò ÑÙ Ò ÑÓÒØ Ó ÙÐÑ Ñ ÐÐ ÚÙ ÙÚ ÓÓÒ ØÙÐ º ÅÖ Ø ÐÑ ½º¾º½º ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò Ð ÙÐÑ ÓÒ ÃÙÚ ½ µµ Ô ÒØ ¹ Ð Ð ¹ Ø Ò ÖØÓÑ ÐÐ ÙÚ ÓÒ ÒØ ÓÖ Ù ÒÒ A = kanta korkeus. ½º½µ ÃÓÐÑ ÓÒ ÃÙÚ ½ µµ Ô ÒØ ¹ Ð Ð Ø Ò Ý ØÐ ÐÐ A = kanta korkeus, ½º¾µ Ñ ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ú Ø Ú Ò ÙÓÖ ÙÐÑ ÓÒ Ð Ø ÐÐ ÙÓÖ ÙÐÑ Ó Ò ØØÙ Ø Ò Ñ Ò Ó Ó Ò ÓÐÑ ÓÓÒº ÈÙÓÐ ÙÙÒÒ Ò ÃÙÚ ½ µµ Ô ÒØ ¹ Ð Ò Ý ØÐ ÐÐ A 1/suunn = kanta+kanta korkeus, ½º µ Ó ÒØ ÚÙØ ÓÚ Ø ÔÙÓÐ ÙÙÒÒ Ò Ñ Ò ÙÙÒØ Ø ÚÙغ ÅÓÒ ÙÐÑ Ó Ø Ñº ÓÐÑ ÓØ ABC A B C µ ÒÓØ Ò Ý Ø Ò Ú Ó Ò ÓÚ Ø Ý ÒÑÙÓØÓ Ø ¹ Ó Ó Øº ÃÙÚ ÓØ ÚÓ Ò ØØ ÔÐÐ Ò Ö ØÒ ÖØÑÐÐ Ø Ô Ð Ñ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ö Ò Ð ÚÙØ Ý ØÝÚغ Ø Ò ÚÝÝØØ Ñ Ö ØÒ ABC = A B C º Ø Ò Ú ÙÚ Ó ØÓ Ò Ú Ø Ú Ø ÚÙØ ÓÚ Ø Ý Ø Ô Ø Ø Ò Ø Ñ Ö ØÒ AB = A B º ¾

µ µ µ ÃÙÚ ½ µ ËÙÓÖ ÙÐÑ ÓEFGH µ ÃÓÐÑ ÓAEC µ ÈÙÓÐ ÙÙÒÒ ABCD ÃÙÚ ¾ Ø Ò ÚØ ÓÐÑ ÓØ ABC A B C º Ä Ù ½º¾º¾º à ÓÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú Ñ Ð ½º ÅÓÐ ÑÑ Ø ÓÐÑ Ó Ø Ð ÝØÝÝ ÓÐÑ Ý Ø Ô Ø ÚÙ º ¾º ÃÓÐÑ Ó ÓÒ Ý Ø Ô Ø ÚÙ ÚÙ Ò ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ º º ÃÓÐÑ Ó ÓÒ Ý Ø ÙÙÖØ ÙÐÑ Ò Ò ÚÐ Ò Ò ÚÙ ÓÒ Ý Ø Ô Ø ÑÓÐ ÑÑ ÓÐÑ Ó º º ÃÓÐÑ Ó ÓÒ Ý Ø ÙÙÖØ ÙÐÑ Ý Ý Ø Ô Ø ÚÙº ÌÓ ØÙ º ÃÓÐÑ Ó Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ ÑÓÒ Ö Ð Ø ÑÙÙÒ ÑÙ ÚÙÐÐ ½ ÓØ Ò ØÓ ØÙ ÚÙÙØ Ø Ò Ø Ý Ø Ý º

¾ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø Ì ÐÙÚÙ ÓÒ Ô Ø Ø ÐØÝ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò Ò ÑÝ Ø ÐØÝ Ö Ð ØÓ ØÙ Ó Ò Ò ØÓ ØÙ Ø Ò Ø Ù Ø º ¾º½ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Å ÐÐ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø ØÙØØÙ Ø ØØ Ò ÝÔÓØ ÒÙÙ Ò Ù Ø Ø ÖØÓ¹ Ú Ð Ù Ø ØØ Ò Ò Ð Ò ÙÑÑ ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò ÝÔÓØ ÒÙÙ Ò Ò Ð º ÌØ Ð Ù ØØ ÙØ ÙØ Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù º ÃÙÚ ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Ó ÓÐÐ ÓÒ Ø Ø Ø x y ÝÔÓØ ÒÙÙ zº Ä Ù ¾º½º½º ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù µ ÂÓ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ø Ø¹ Ø Ò Ô ØÙÙ Ø ÓÚ Ø x y Ò Ò Ò Ò Ò Ð Ò ÙÑÑ ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò ÝÔÓØ ÒÙÙ Ò Ô ØÙÙ Ò z Ò Ð x +y = z. ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ ÝÚ Ò ÑÓÒ Ö Ð Ø ÑÓÒ Ò Ö Ò º ÌÓ ØÙ ÓÚ Ø ÓÓÒÒ Ø Ñ Ö ÄÓÓÑ ½¼ Ó ÓÑÓÐÒÝ º ¾º¾ Ù Ð Ò ØÓ ØÙ Ù Ð Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Ó Ð ÒÓ Ò ÚÙÓ¹ Ò ¾¼¹¾ ¼ ÃÖº ÑÙÓ Ó Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÐÐ ØÙÒÒ ØÙÒ ØÓ ØÙ Ò Ó ¹ ÝØ ØÒ ÝÚ ÓÐÑ Ó Ò Ý Ø Ò ÚÝÝ ÓÑ Ò ÙÙØØ Ä Ù ½º¾º¾µº Ù¹ Ð Ò ØÙÒÒ ØÙ Ò Ø Ó ³ Рس ÓÐ ÓÑ ØÖ Ò ÓÔÔ Ö ÝÐ Ò ØÙ Ò¹ Ò Ò ÚÙÓ Ò Ò ÐÙ Ñ ØØÓÑ Ò ÒØ ØÝ Ò ÓÔ Ó Ò Ö Ô ÒÓÒ ¹ ØØÝÑ Ò Ð Ò Ø ØÝ Ò Ô ÒÓ Ò º Ð ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÓÑ ØÖ Ò

Ô ÖÙ ØØ Ø ÓÐ ØÙ Ø Ó ØØÙ ÙÙÖ ÑÖ Ð Ù Ø º Ã Ö ÐØ ÝÚ Ò Ú Ò Ù Ð Ò ÓÑ ØÙÐÓ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ ÓÒ Ò ÒÓ ÓØ Ô ØÒ Ò Ò ÓÑ Ò Òº Ì Ó ÓÒ ÓÔ ØØ ÒÙØ Ø ÑÐÐ Ò ØÓ ¹ Ø Ñ Ò Ñ Ó Ø Ò ØÖ ÝØ Ò ÓÔÔ Ö Ò º ¾ ¹¾ Ä Ù ¾º¾º½º ÃÓÐÑ Ó Ó ÓÒ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ØÓØ ÙØØ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò a +b = c Ñ Ð Ò Ø Ø Ø ÓÚ Ø a b Ò ÝÔÓØ ÒÙÙ ÓÒ cº ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ Ð Ø Ð ÐÐ ÙÓÖ ÙÐÑ Ø ÓÐÑ Ó Ø ÓÒ ÚÙ ÐÐ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ò Ð Ø ÙÚ µº ÃÙÚ ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Ó ÓÒ ÚÙØ a b cº ÃÙÚ µ ÓÐ Ú Ò ÓÐÑ ÓÒ DBC Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ A DBC = a a Ñ ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ú Ø Ú Ò Ò Ð ÒDBAE Ô ÒØ ¹ Ð Ø a º ÃÓÐÑ ÓÒABG Ô ÒØ ¹ Ð A ABG = c h ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ò ÔÙÓÐ Ø ÙÓÖ ÙÐÑ Ó Ø BGJK ÓÒ Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ chº ÌÙÐ Ú Ð Ó Ó ØØ ØØ ÓÐÑ ÓØ DBC ABG ÓÚ Ø Ý Ø Ò ÚØ Ð DBC = ABG ÓÐÐÓ Ò a = chº Æ Ð Ò DBAE ÚÙØ ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ø ÓØ Ò DB = BA.

µ µ ÃÙÚ µ ÓÐÑ Ó DBC Ò Ð DBAE µ ÓÐÑ Ó ABG ÙÓÖ ÙÐÑ Ó BGJK Ë ÑÓ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÝ Ò Ð CBGF º ÃÙÚ µµ ÓÒ ÚÙ Ò Ô ØÙÙ Ø ÓÚ Ø c ÓÐÐÓ Ò BC = BG. Ä ÓÐÑ Ó Ò Ú Ø Ú Ò ÚÙ Ò ÚÐ ÓÐ Ú ÙÐÑ ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ ÐÐ DBC = DBA+ ABC = 90 + ABC = ABC + CBG = ABG. Ë Ô ÓÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ý Ø Ò ÚØ Ý Ø Ò ÚÝÝ Ð Ù Ò (sks) ÒÓ ÐÐ º ÃÓ ÓÐÑ Ó Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ø ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ø ÑÝ Ò Ø Ú Ø Ú Ò Ò Ð Ò DBAE ÙÓÖ Ùй Ñ ÓÒ BGJK Ô ÒØ ¹ Ð Ø ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ø ÃÙÚ µµº Î Ø Ú Ø ØÓ Ø Ø Ò Ò Ð ACHI ÙÓÖ ÙÐÑ Ó CFJK Ý Ø ÙÙÖ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ º ¾º ÌÓ ØÙ ÖØÓ Ò ÚÙÐÐ º à ÖØÓ Ò ÚÙÐÐ ØÓ Ø Ó Ö Ì Ø Ò ÉÙÖÖ ¹ ¼½µ Ó ÓÐ Ô Ø¹ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÝÝ Ó Ø Ø Ø Ø Ð ÐÓ Ó Ò Ò ÑÝ ÒØ Ó Ò Ö Ð Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò Ø Øº ÀÒ ØÙØ Ñ Ø Ñ Ø ¹ ÓÑ ØÖ Ø Ð ØÓØ Ø Ø ÐÙ ÙØ ÓÖ ÑÙ Ð Ø Øغ

µ µ ÃÙÚ µ ÒÑÙÓØÓ Ø ÓÐÑ ÓØ DBC ABG µ Ø ÙÙÖ Ø Ò Ð Ùй Ñ ÓØ µ µ µ ÃÙÚ µ ÓÐÑ Ó BCI Ò Ð ACHI µ Ú µ Ú ÌÑ ØÓ ØÙ Ð Ø Ð ÐÐ a¹ b¹ ÚÙ Ø Ò Ð Øº Æ Ð Ø Ø Ø Ò Ú Ö Ò ÓÐÐÓ Ò Ò Ò Ý Ø Ô ÒØ ¹ Ð ÑÙÓ Ó ØÙÙ a +b ÃÙÚ µµº Æ Ð Ò ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ó Ó Ø ÙÓÖ ÙÐÑ Ø ÓÐÑ Ó¹ Ø ÃÙÚ Ò µ¹ Ó Ò ÑÙ Ø Ô ÖØÑÐÐc Ò Ñ ØØ Ø Ò Ø ÓØ Ð ¹ Ú Ø Ò Ð Ò ÒÙÖ º à ÖØÑÐÐ Ò Ð b ÓÐ Ú ÓÐÑ ÓØ Ú Ø Ô ÚÒ 90 ÃÙÚ ½¼ µµ ØÓ Ø ÓÐÑ ÓØ ÑÝ ØÔ ÚÒ Ñ Ò Ú ÖÖ Ò ÃÙÚ ½¼ µµ Ò Ò Ò Ð ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø c ÃÙÚ ½¼ µµº Ë a +b = c º

µ µ ÃÙÚ µ Ò Ð ACHI ÙÓÖ ÙÐÑ Ó CFJK µ ÄÓÔÙÐÐ Ò Ò Ô ÒØ ¹ ÐÓ Ò Ú Ø ÚÙÙ µ µ ÃÙÚ µæ Ð Ø a b º µ Æ Ð Ò Ñ Ò Ò ÓÐÑ Ó º ¾º Î Ò Ò ØÓ ØÙ Ä ÓÒ Ö Ó Î Ò ÓÐ Ø Ð Ð Ò Ò Ö Ò Ò Ò ÝÐ Ò ÖÓ ½ ¾¹½ ½ µº ÀÒ ÓÐ Ø Ñ Ò Ò Ö Ø Ñ Ð Ö ÙÚ ÒÚ Ø Ö Ø Ø Ú ¹ Ø Ø Ð ÑÙÙ Ó Ö Ð º ÀÒ ØØÒÝØ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÙÙ¹ ÐÙÚ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ ØØ Ð ÑØغ ÀÒ ØØ Ð Ù ÐÐ ØÓ ØÙ Ò Ó Ý ÝÒÒ ØÒ Ý Ø Ò Ú ÙÚ Ó Ø º ÃÙÚ Ò ½½ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ô Ø ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Ó Ò ÚÙ ÐÐ ÓÐ ¹ Ú Ø Ò Ð Ø Ò Ò ÑÝ ÝÐ ÑÖ Ø ÙÓÖ ÙÐÑ Ø ÓÐÑ ÓØ ÓØ ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ø Ù Ò Ð ÙÔ Ö Ò Ò ÓÐÑ Óº Æ Ð ÙÐÑ ÓØ ABFJ JGCA EBCH EDIH ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú ÒÒ ÐÐ Ø Ð ÝØÝÝ Ý Ø Ô Ø Ø ÚÙØ a

µ µ µ ÃÙÚ ½¼ µ ÃÓÐÑ ÓÒ ÖØÓº µ ÌÓ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÖØÓ µ Æ Ð c º ÃÙÚ ½½ Ì ÖÚ Ö Ò Ò ÓÐÑ Óº b c Ô Ø ÚÙ Ó ÓÒ 45 ÙÐÑ ÚÙÙÒ a Ò Òº Ë Ô A ABFJ +A JGCA = A EBCH +A EDIH. ÃÓ Ò Ò c = a +b º A ABFJ +A JGCA = c + A ABC A ABFJ +A JGCA = a +b + A ABC,

¾º ÈÖ ÒØØ Ö Ð Ò ØÓ ØÙ ÅÓÒ Ý Ú ÐØÓ Ò ÔÖ ÒØØ ÓÒ Ô ØÒÝØ Ñ Ø Ñ Ø ØÖ Òº Ñ Ö¹ ÓÖ Ï Ò ØÓÒ Ö Ñ Ä ÒÓÐÒ Ø ÍÐÝ Ëº Ö ÒØ ÚØ Ø ÓÐÐ Ø Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð ÐÐ ÑÙØØ ÝØØ ÚØ Ñ Ø Ñ Ø Ô Ð ÓÒº Ä ÒÓÐÒ Ø Ú ØØ ÐÙ Ò Ò Ù Ð Ò Ð Ø Ý Ø Ò ÝÑÑÖØÑÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ñ Ö ØÝ Ò Ö ÒØ Ý ÝÒ Ñ Ø Ñ Ø ÓÐÐ Ò ¹ ØØ Ò ÓØ Ú º Ý Ú ÐØÓ Ò ÔÖ ÒØØ Âº º Ö Ð ½ ½¹½ ½µ ÓÔ ØØ Ú ÐÑ ØÙ¹ Ñ Ò Ð Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÐÐ Ó ÓÐ ÓÔ ÐÐÙØ Ó Ò Ñ¹ Ñ Òº ÀÒ Ú ØØ Ð Ø Ø Ñ Ø ÐÑ ÑÙØØ Ñ Ò ÓÐÐ ÐÐ Ó¹ Ò Ô ÖØ ÐÐ Ò Ø Ú Ð ØØ Ò Ò ØØ Ò Ó Ò ÔØÝ ÓÖ ÐÐ ÖÑ ¹ ÙÒÒ º ÀÒ Ø Ú Ð ØØ Ò Ó Ò ÐÓÔÔÙÔÙÓÐ ÐÐ ÓÒ Ö Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÐÐ ØÓ ØÙ Ò Ó ÓÒ ÝØ ØÒ ÚÙ ÔÙÓÐ ¹ ÙÙÒÒ Ø º ÃÙÚ ½¾ ÓÒ Ñ ÒÐ Ø ÙÓÖ ÙÐÑ Ø ÓÐÑ ÓØ Ó Ò ÚÙÐÐ Ò Ò ÔÙÓÐ ÙÙÒÒ ÓÒ ÚÙ Ò Ô ØÙÙ Ø ÓÚ Ø a bº ÈÙÓÐ ¹ ÙÙÒÒ Ò ÓÖ Ù Ò ØÐÐ Ò a+bº ÃÙÚ ½¾ ÈÙÓÐ ÙÙÒÒ ÓÒ ÒÒ Ø ÓÚ Ø a b ÓÖ Ù a+bº ÈÙÓÐ ÙÙÒÒ Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ð Ø Ò Ý ØÐ ÐÐ ½º µº Ë Ô ÙÚ ÓÒ Ô ÒØ ¹ Ð Ò A = a+b (a+b). ¾º½µ ÌÓ ÐØ ÙÚ Ó ÓÒ ÓÐÑ ÙÓÖ ÙÐÑ Ø ÓÐÑ ÓØ º Ã Ñ ÒÐ ¹ ÓÐÑ Ó Ó Ò ÚÙØ ÓÚ Ø a b c ÚÙ Ò a c ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ ÓÐ ÓÓÒ ½¼

β ÚÙ Ò b c ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ αº ÃÓ ÓÐÑ ÓØ ÓÚ Ø ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò α + β = 90 º ÌÐÐ Ò ÑÝ ÙÙÖ Ò ÓÐÑ Ó ÓÒ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÐÐ ÚÙ Ò c c ÚÐ Ò ÙÐÑ Ò Ö Ó ØØÙÙ Ñ Ò Ó Ø Ò Ù Ò ÙÐÑ Ø α β ÑÙÓ Ó Ø Ò Ó Ó ÙÐÑ Ò 180 º ÃÓÐÑ Ó Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ø Ð Ø Ò Ý ØÐ ÐÐ ½º¾µ ØÑÐÐ Ý ØÐ Ø ¾º½µ ¾º¾µ Ò ÓØ Ò a +b = c º ¾º A = a b + a b + c c. ¾º¾µ (a+b) (a+b) = a b+a b+c c, ÄÓÓÑ ³Ò ØÓ ØÙ º ˺ ÄÓÓÑ ½ ¾¹½ ¼µ ÓÒ Ö Ó ØØ ÒÙØ ØÙÒÒ ØÙÒ Ø Ó Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø Ñ ÙÐ Ø Ò Ò ÑÑ Ò ÖÖ Ò ÚÙÓÒÒ 197º ÀÒ ØØ Ö ØÓ ØÙ Ø Òº Ö Ò Ø ÓÒ ØÓ ØÙ Ó ÝØ ØÒ ÝÚ ¹ ÓÐÑ ÓÒ ÐÐ Ô ÖÖ ØØÝ ÝÑÔÝÖ ÓÐÑ Ó Ò Ý Ø Ò ÚÝÝØØ ÃÙÚ ½ µ ½½ º ÃÙÚ ½ ÄÓÓÑ ³Ò ØÓ ØÙ º ½½

ÇÐ ÓÓÒ ABC ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Ó ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø ÝÑÔÝÖÒ O Ø Ò¹ ÒØ Ø Ð ÝÑÔÝÖÒ Ô Ø Ø ÓÒ Ó ÐÐ ÓÐÑ ÓÒ ÚÙÐÐ Ý Ø Ô Ø Ñ Ø¹ º ÃÓ ÝÑÔÝÖÒ Ô Ø ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ù Ô ¹ Ø Ò Ò ÓÐÑ Ó ÓÒ Ý Ø Ò Ú ÓÐÑ Ó Ø ÓØ Ø Ú Ø Ð ÙÔ Ö Ò ÓÐÑ ÓÒ ÙØ Ò Ö Ú Ø Ò Ó Ò ÓÐÑ ÓÒ Ý Ö ÓÒ ÝÑÔÝÖÒ Ô Ø º ÃÙÚ ½ µº Å Ö ØÒ ÝÑÔÝÖÒ ÓÐÑ ÓÒ Ð Ù Ô Ø Ø E F Gº ÃÙÚ ½ ÄÓÓÑ ³Ò ØÓ ØÙ º ÆÝØ Ò Ä Ù Ò ½º¾º¾ ¹ Ó Ò ÑÙ Ò Ý Ø Ò Ú ÓÐÑ Ó Ø AEO = AFO CEO = CGO BGO = BFOº Ë Ô AE = AF BG = BF CE = CG º ÌÓ ÐØ Ó ÙÐÑ Ø FAE AEO OFA ÓÚ Ø ÙÓÖ ÙÐÑ ØÝØÝÝ ÑÝ ÙÐÑ Ò EOF ÓÐÐ ÙÓÖ ÐÐ Ò ¹ Ð ÙÐÑ ÓÒ ÙÐÑ Ò ÙÑÑ ÓÒ 360 = 4 90 º Â Ó Ú Ö Ø ÚÙØ FO EO ÓÚ Ø Ý Ø Ô Ø Ø ÑÝ ÚÙØ AF AE ÓÚ Ø Ý Ø Ô Ø Ø ÓØ Ò ÙÚ Ó AFOE ÓÒ Ò Ð ÓÒ ÚÙ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ rº Ë Ò ÚÙ Ò Ô ØÙÙ a = AC = AE +EC, b = AB = AF +FB c = BC = BG+GC, Ó Ø ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÚÙ Ò FB EC Ð Ù FB = AB AF = b r EC = a AE = a r. ½¾

Ë Ô c = BG+GC = BF +CE. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò Ð Ù Ò ÚÙ Ò FB EC Ý ØÐ Ø Ò ÓØ Ò c = b r +a r, c+r = a+b. ÃÓÖÓØ Ø Ò Ý ØÐ Ò ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔÙÓÐ Ø ØÓ Ò ÔÓØ Ò Ò ÓØØ Ô ØÒ Ð Ñ¹ Ñ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ÑÙÓØÓ (c+r) = (a+b) c +4cr +4r = a +ab+b. ÆÝØ c = a + b Ó 4cr + 4r = abº ÃÙ Ø Ò Ò 4cr + 4r ÚÓ ÓÐÐ Ù¹ ÙÖ ÑÔ Ý Ø ÙÙÖ Ø Ô Ò ÑÔ Ù Ò abº ÂÓ 4cr + 4r > ab Ò Ò c + 4cr +4r > a +ab+b ÓÐÐÓ Ò c+r > a+b Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ð Ù¹ Ô Ö Ò Ý Ø ÙÙÖÙÙ Ý ØÐ Ò Ò º Î Ø Ú Ø Ó 4cr + 4r < ab Ò Ò c +4cr+4r < a +ab+b c+r < a+b Ñ Ò ÓÒ Ñ ÓØØÓÑÙÙ º Ë Ô 4cr+4r = ab, Ñ Ø ÙÖ ØØ c = a +b. ¾º Ì Ó ÌÓÒ Ò ØÓ ØÙ ÎÙÓÒÒ ½ Å Ø Ñ Ø Ì Ö ¹Ð Ø ØØ Ò ÙÖ Ú ØÓ ØÙ Ó ÓÒ Ì Ó ÌÓÒ Ò Ò ÓØ º ÇÐ ÓÓØ Ý Ø Ò Ú ÓÐÑ ÓØ ABC EAD Ø Ò ØØ ÚÙ AE ÓÒ ¹ Ó Ø ØØÙAC ÙÚ Ò ½ ÑÙ Ø º Ø ØÒ Ô Ø Ø C D ÓÐÐÓ Ò Ò ÓÐÑ Ó ACDº ÌÑÒ ÓÐÑ ÓÒ Ô ÒØ ¹ Ð ÚÓ Ò ÐÑÓ ØØ ÐÐ Ø Ú ÐÐ A ACD = AD CF ¾º µ Ø ØÓ ÐØ A ACD = ED AC. ¾º µ ½

ÃÙÚ ½ ÃÓÐÑ ÓØ ABC EADº µ µ ÃÙÚ ½ µ ÃÓÐÑ Ó Ò ÙÓÖ Ø ÙÐÑ Ø µ Ë ÚÙ Ò ÙÙ Ø Ñ Ö ÒÒغ ÃÙÚ ½ µ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÓÐÑ Ó Ò ÙÓÖ Ø ÙÐÑ Ø ÓØ Ò ÚÓ Ò Ð ÓÐÑ Ó Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ø ÐÔÓ Ø º Î Ö Ò ÙÚ Ò ½ µ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ ÚÙØ Ø Ò ØØ Ý ØÐ Ø ¾º µ ¾º µ ÚÓ Ò Ñ Ö Ø c (c x) = b b. ¾º µ ÃÓ ÙÐÑ AFB ÓÒ ÙÓÖ B ÐØÝÝ ÓÐÑ ÓÓÒABC ØØ ÓÐÑ ÓÓÒ ABF Ò Ò ÓÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ý Ø Ò ÚØ ÓØ Ò x a = a c, ½

Ñ Ø ÙÖ ØØ x = a c. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÑ Ý ØÐ Ò ¾º µ Ò c (c a c ) = b b, Ó Ø Ú ÒØÑÐÐ Ò c = a +b. ¾º ÌÓ ØÙ ÙÙÒÒ ÒÒÓÐÐ ËÙÙÒÒ ÒÒ Ò ÑÙ Ò ÃÙÚ ½ µ ÙÙÒÒ Ò ÐÐ ÚÙ ÐÐ Ø ØÝ Ò Ò Ð Ò Ô ÒØ ¹ Ð Ø Ý Ø Ò ÓÚ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ø Ù Ò ÙÙÒÒ Ò Ð ¹ Ó Ò Ò Ð Ò ÙÑÑ º Å Ø Ñ ØØ Ø Ö Ó Ø ØØÙÒ Ý ØÐ ÒÝØØ Ù¹ Ö Ú ÐØ t s + t+s = ( t + s ) µ µ µ ÃÙÚ ½ ËÙÙÒÒ ÒÒ Ò ÙÚ Óغ ÌÓ Ø Ø Ò ÙÙÒÒ ÒØ Ú ØÓÖ Ò ÚÙÐÐ º Î ØÓÖ ÓÒ ÙÙÖ ÓÐÐ ÓÒ ÙÙÒØ ÙÙÖÙÙ º ½

È Ø ¹ Ð Ð Ö ØÙÐÓ a b ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú ØÓÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ò ØØ Ð Ø Ò Ú ØÓÖ Ø ÑÙØØ Ú Ø Ù Ò Ð Ö ÖÚÓº È Ø ØÙÐÓ¹ ÓÔ Ö Ø Ó ÓÒ ÚÓ Ñ Ú ÒÒ ÙÙ Ð a b = b a Ó ØØ ÐÙÐ a (b + c) = a b + a cº Ë Ð Ö ØÙÐÓ Ð Ø Ò Ñ Ò ÙÙÒØ Ø Ò Ý ¹ Ú ØÓÖ Ò ØÙÐÓØ Ý Ø Ò Ñ Ö ÙÒ a = î + 3ĵ b = 7î 9ĵ Ò Ò a b = ( 7)+3( 9) = 14 7 = 41. Î ÒÒ ÙÙ Ò Ó ØØ ÐÙÐ Ò ÙÖ Ù Ò ÚÓ Ò Ð Ú ØÓÖ Ò a b Ú ØÓÖ ÙÑÑ Ò a+b Ô Ø ØÙÐÓ Ø Ò Ò Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ (a+b) (a+b) = a a+a b+b a+b b = a a+a b+b b. ÃÙÒ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ú ØÓÖ Ò d Ô ØÙÙ Ð ÒÓÖÑ Ô Ø ØÙÐÓ Ø Ò Ò d = d d Ò ÐÐ Ø Ý ØÐ Ø a+b = a +a b+ b. Ä ÚÓ Ò Ð Ú ØÓÖ Ò ÖÓØÙ Ò ÒÓÖÑ a b = (a b) (a b) = a a a b b a+b b = a a b+ b. Ä Ñ ÐÐ Ý Ø Ò ÐÐ Ò Ò Ý ØÐ Ý ØÐ ¾º µ Ò a+b + a b = a +a b+ b + a a b+ b = a + b +a b a b = ( a + b ), ¾º µ Ñ Ø Ô Ø Ò ÙÙÒÒ ÒÒ º Ë ÐÐÓ Ò ÙÒ ÙÙÒÒ ÓÒ ÙÓÖ ÙÐÑ Ó ÃÙÚ ½ µ Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ò Ú Ø Ò Ó Ø ÙÓÖ º ÂÓ Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø Ó Ø ÙÓÖ ØÓ Ò Ú Ø Ò Ò Ò Ô Ø ØÙÐÓ ÓÒ ÒÓÐÐ º Ñ Ö Ý Ú ØÓÖ Ø a = î b = ĵ ÓÚ Ø Ó Ø ÙÓÖ ØÓ Ò Ú Ø Ò a b = î ĵ = 1 0+0 1 = 0º ½

ÃÙÚ ½ ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÙÙÒÒ º ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò ÙÙÒÒ Ò Ø Ô Ù a b ÓØ Ò ÚÓ Ò Ð a b = a a b+ b = a + b 0 = a + b a+b = a +a b+ b = a + 0+ b = a + b, ÓØ Ò Ô Ø Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Òº Ì Ø ÙÓÑ Ø Ò ÑÝ ØØ ÙÓ¹ Ö ÙÐÑ ÓÒ Ð Ø ÓÚ Ø Ý Ø Ô Ø Øº ¾º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÐ ØÓ Ø Ñ Ò Ò È Ø Ò ÓÐ Ø ØØ Ò ØØ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ ÚÓ ØÓ Ø Ú Ò Ð Ö Ò ÓÑ ØÖ Ò ÚÙÐÐ Ý ØÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø ØÓ ØÙ Ø ÓÐÐÙØ Ð ÝØÝÒÝغ Æ Ò Ù Ó ÑÝ º ˺ ÄÓÓÑ ÓÓØ Ò Ö Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø º ÎÙÓÒÒ ¾¼¼  ÓÒ Ñ Ó Ó ØØ ÓÐ ØÙ Ò ÚÖ º ½ ½

ÃÙÚ ½ ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Óº ÃÙØ Ò ØÙÒÒ ØØÙ ÙÓÖ ÙÐÑ ÓÐÑ Ó ÃÙÚ ½ µ ÙÐÑ Ò Ò Ó Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø Ø Ò ÝÔÓØ ÒÙÙ Ò Ù Ø Ò ÙÖ Ú Ø sinα = Ú Ø Ò Ò Ø ØØ hypotenuusa = a c ¾º µ cosα = Ú Ö Ò Ò Ø ØØ = b hypotenuusa c. ¾º µ ÇÐ ÓÓÒ ÙÓÖ ÙÐÑ ÓÐÑ Ó ÙÓÖ Ò ÙÐÑ Ò Ð ÙÐÑ Ø α βº ÃÓ Ý ÓÒ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Ó ÙÐÑ Ø α β ÓÚ Ø ÚÐ ÐØ ]0, π[º ÇÐ Ø Ø Ò Ð ØØ α < β ÓÐÐÓ Ò ÑÝ 0 < β α < π º ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò ÙÚ Ø ¾¼ ÔØ ÐÐ ÖÓØÙ Ò Ò Ò Ó Ò Ò Ð Ù Ú Øº Ä Ù ÚÓ Ò sin(β α) = sinβcosα cosβsinα ¾º µ cos(β α) = cosβcosα+sinβsinα. ¾º½¼µ Æ Ò Ð Ù ÚÓ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ØÓ Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù º ÇÐ ÓÓÒ x ]0, π[ ÓÐ ÓÓÒ y Ñ Ø Ò ÐÙ Ù ÚÐ Ø 0 < y < x < π º ÌÐÐ Ò x y ØØ x y Ó ØØÙÚ Ø ÚÐ ÐÐ ]0, π [º ÃÝØØÑÐÐ Ý ØÐ Ø ¾º½¼µ ¾º µ ½

ÃÙÚ ¾¼ ÖÓØÙ Ò Ò Ó Ò º Ò ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ÙÖ Ú Ð Ù cosy = cos(x (x y)) = cosxcos(x y)+sinxsin(x y) = cos xcosy +cosxsinxsiny +sin xcosy +sinxcosxsiny = (cos x+sin x)cosy, Ó ÚÓ Ò ÔÙÓÐ ØØ Ò cosy ÐÐ ÐÐ cos :]0, π [ ]0,1[ Ð Ó Ò Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÚÐ ÐØ ]0,1[º ÌÐÐ Ò Ò cos x+sin x = 1º Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÙÙÒ Ý ØÐ Ò Ò Ò Ó Ò Ò Ð Ù Ø Ý ØÐ Ò ¾º µ ¾º µ ÑÙ Ò Ò Ð Ù cos x+sin x = 1 ÑÙÓØÓÓÒ ( ) b ( a ) + = 1, c c Ó ÚÓ Ò ÖØÓ ÔÙÓÐ ØØ Ò c ÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ò ¾º½¼ ÃÓ Ò Ð Ù b +a = c. ÃÓ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ Ò ØÝÐÔÔ¹ Ø ÖÚ Ö Ø Ò ÓÐÑ Ó Ò ÚÙØ ÐÚ Ø ØØݺ ÃÝØ ØØ Ó Ò Ð Ù ØØ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò ÓÐÑ ÓÓÒ Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÓØ Ò Ó Ò Ð Ù ÓÒ Ð ÒÒÙ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ø º ½

Ä Ù ¾º½¼º½º ÂÓ a b ÓÚ Ø ÓÐÑ ÓÒ Ò ÚÙÒ Ô ØÙÙ Ø γ ÓÒ Ò Ò ÚÐ Ò ÙÐÑ Ò ÙÙÖÙÙ Ò Ò c = a +b ab cosγ, Ó ÚÙ c ÓÒ ÙÐÑ Ò γ Ú Ø Ò Ò ÚÙº ÃÙÚ ¾½ Ì ÖÚ Ö Ò Ò ÓÐÑ Óº ÌÓ ØÙ º 1 Ì ÖÚ Ö Ø ÓÐÑ Ó Ø ÃÙÚ ¾½µ Ò ÙÓÖ Ùй Ñ Ø ÓÐÑ ÓØ Ô ÖØÑÐÐ ÓÐÑ ÓÓÒ ÓÖ Ù Ò x Ó ÚÙÒ b Ó ¹ Ò Ó Ò Ô ØÙÙ Ø ÓÚ Ø y z Ð b = y + zµº ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ÑÙ Ò Ò Ý ØÐ c = x +y. ¾º½½µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò y = b z x Ò z Ò Ð Ù Ø cosγ = z a z = acosγ sinγ = x a x = asinγ ÙÐÑ Ò γ Ó Ò Ò Ò Ò ÚÙÐÐ Ô ØÒ Ý ØÐ ÑÙÓØÓÓÒ c = x +(b z) = (asinγ) +(b acosγ). ¾¼

ÌØ Ð Ù ØØ Ú ÒØÑÐÐ Ô ØÒ ØÙÐÓ Ò c = a +b abcosγ. ÃÙÒ ÓÐÑ Ó ÓÒ ØÝÐÔÔ ÓÐÐ Ò ÃÙÚ Ò ¾¾ Ø Ô Ù º Å Ö ØÒ ÓÐÑ ÓÒ ÓÖ ÙØØ x ÐÐ ÓÐÐÓ Ò Ò ÙÓÖ ÙÐÑ Ø ÓÐÑ ÓØ º ÌÓ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÝÔÓØ ÒÙÙ ÓÒ c ØÓ Ò Ò Ø ØØ a+y ÙÒ Ø ØÓ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÝÔÓØ ÒÙ¹ Ù ÓÒ b Ø ØØ yº ÃÙÚ ¾¾ ÌÝÐÔÔ Ö Ò Ò ÓÐÑ Óº ÌÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÑ ÐÐ ÙÓÖ ÙÐÑ ÐÐ ÓÐÑ ÓÐÐ Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù¹ Ò ÑÙ Ò Ò ØÝ c = x +(a+y) ¾º½¾µ È Ò ÑÑ Ø ÓÐÑ Ó Ø Ò ÐÑÓ Ø ØØÙ ÙÐÑ Ò α Ò Ó Ò sinα = x b cosα = y b x = bsinα y = bcosα ÅÙÙØØ Ñ ÐÐ ÙÐÑ α ÙÐÑ γ Ò ÐÐ Ø Ý ØÐ Ø ÖÓØÙ Ò Ò Ò Ó Ò Ò Ð Ù ÚÓ Ò ¾º µ ¾º½¼µ ÚÙÐÐ x = bsinα = bsin(π γ) = b(sinπcosγ cosπsinγ) = b(0 cosγ ( 1) sinγ) = b sinγ ¾½

y = bcosα = bcos(π γ) = b(cosπcosγ +sinπsinγ) = b(( 1) cosγ 0 sinγ) = b ( cosγ) Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ ÒÝØ ÒÑ x Ò y Ò Ð Ù Ø Ý ØÐ Ò ¾º½¾µ Ô ØÒ ÑÙÓ¹ ØÓÓÒ c = x +(a+y) = (bsinγ) +(a+b( cosγ)), ÓØ Ú ÒØÑÐÐ Ò c = a +b abcosγ, Ó ÓÒ ÐÙØØÙ Ð Ù º 3 ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ø Ô Ù ÙÐÑ γ ÓÒ 90 ÓÐÐÓ Ò Ó Ò ¹ Ð Ù Ø Ò c = a +b abcosγ = a +b ab 0 = a +b, Ð Ô ÝØÒ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò Ñ ÓÒ ØÓ ÙÓÖ ÙÐÑ ÐÐ ÓÐÑ Ó Ð¹ Ð º ÃÓ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ò Ó Ø 3 ÙÓÑ Ø Ò ØØ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÓÒ ÃÓ Ò Ð Ù Ò Ö Ó Ø Ô Ù ÐÐ ÔØ Ú Ò ÙÓÖ ÙÐÑ ÐÐ ÓÐÑ Ó ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ò Ð Ù ÔØ ÒÐ ÐÐ ÓÐÑ Ó ÐÐ º Ñ Ö ¾º½¼º¾º Ë ÐÚ Ø Ô Ð ÓÒ Ó Ø Ø ÖÚ Ø Ò Ó Ð ÒØ Ò Ø Ù ÃÙ¹ Ú ¾ µ ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ÑÙÓØÓ Ò Ò Ò Ý ÚÙ ÓÒ 3 Ñ ØÖ ØÓ Ò Ò,5 Ñ ØÖ º Ë ÚÙ ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ 3 Ñ ØÖ Ú Ø Ò ÓÐ Ú Ò ÙÐÑ Ò ÙÙÖÙÙ ÓÒ 60 º Ê Ø Ùº ÃÝØ ØÒ Ó Ò Ð Ù ØØ ¾º½¼º½ ÓÒ ÑÙ Ò c = a +b ab cosγ. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ò c = 3 a =,5 γ = 60 ÖØÑÐÐ c ØÓ ÐÐ ÔÙÓÐ Ò Ý ØÐ Ò Ý ØÐ Ø 0 = b +abcosγ +(c a ) ÌÓ Ò Ø Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ú ÐÐ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ø Ø Ý ØÐ Ø b Ò ÖÚÓ b = acosγ ± ( acosγ) 4 ( 1) (c a ) ( 1) =,5cos60 ± (,5cos60 ) 4 ( 1) (3,5 ) ( 1) ¾¾

ÃÙÚ ¾ Ð ÒØ Ò Ø Ù º ÓÐÐÓ Ò Ò Ú Ø Ù Ø b = 0,866 ja b = 3,366. ÃÓ ÚÙÒ Ô ØÙÙ ÚÓ ÓÐÐ Ò Ø Ú Ò Ò Ú Ø Ù Ý ÒÓ Ø Ò b = 3,3mº Ë Ô Ø Ø ÖÚ Ø Ò 3m+,5m+3,3m = 8,8m. ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ ÓÚ Ø ÐÐ ÓÐÑ Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ Ý Ø ÐÑ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Òº ÌÙÒÒ ØÙ Ò ØÐÐ Ò Ò ÓÒ ÓÐÑ Ó µº Ë Ò ØÙÒ Ú Ø Ó ÑÙ Ò Ø ÝÐÓÒ Ð Ø ÝÔØ Ð Ø ÒØ Ò Øº º½ ÃÓÐÑ Ó Ø Ó Ú ÑÖ Ø ÐÑ ÔÙØÙÐÓ ÅÖ Ø ÐÑ º½º½º ÄÙ Ù a ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ b Ó a = kb Ñ k Zº ÌÐÐ Ò Ö Ó Ø Ø Ò b a Ñ ÐÙ Ø Ò b a Ò º ÂÓ b ÐÙ Ù a Ñ Ö ØÒ b aº Ñ Ö ÐÙ Ù 4 ÐÙÚÙÒ 1 ÐÐ 1 = 3 4º ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ 4 1º ÌÓ ÐØ ÐÙ Ù 13 ÓÐ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 4 Ð 4 13º ÅÖ Ø ÐÑ º½º¾º ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù b ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ c ÑÓÒ ÖØ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ó ÓÒ ÐÙ Ù m Ø Ò ØØ b = mcº ¾

ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÂÓ ÐÙ Ù d ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò Ð ÙÐÙÚÙÐÐ p Ò Ò p Ò ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò ÐÙÚÙÒ d Ð ÙØ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÄÙ Ù Ò a b ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÓÒ ÙÙÖ Ò ÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ó ÐÙÚÙØ a bº Å Ö ØÒ syt(a,b) = dº ÅÖ Ø ÐÑ º½º º ÃÙÒ ÐÙ Ù Òa b ÙÙÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ø ÓÒ ½(syt(a,b) = 1) ÐÙÚÙØ ÓÚ Ø ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ð ÙÐÙÚÙغ Ä Ù º½º º ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÝ ØÐ µº ÃÓ ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ a b ÓÒ ÓÐ ¹ Ñ Ý ØØ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ q r ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò a = qb+r Ø Ò ØØ 0 r < b. ÄÙ Ù q r ÙØ ÙØ Ò ÐÙ Ù Ò a b ÓÐ ÙÒ Ó ÑÖ ÒÒ ¹ º ÌÓ ØÙ º Ë ÚÙÙØ Ø Ò Ø Ó Ñº ½ º Ä Ù º½º º ÆÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ a b ÓÒ ÓÐ Ñ Ó Ó¹ Ò ÐÙÚÙØ x y Ø Ò ØØ syt(a,b) = ax+by. ÌÓ ØÙ º Ë ÚÙÙØ Ø Òº ¾½ Ë ÙÖ Ù º½º º ÇÐ ÓÓØ a b ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙغ ÌÐÐ Ò ÓÙ Ó T = {ax+by x,y Z} ÓÒ Ø Ö ÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÒ d = syt(a,b) ÑÓÒ ÖØÓ Ò ÓÙ Óº ÌÓ ØÙ º Ë ÚÙÙØ Ø Òº Ä ÑÑ º½º º ÇÐ ÓÓØ a b ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙغ ÌÐÐ Ò a b ÓÚ Ø ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ð ÙÐÙÚÙØ Ó Ú Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ó ÓÒ ¹ ÐÙÚÙØ x y Ø Ò ØØ 1 = ax+byº ÌÓ ØÙ º ÂÓ a b ÓÚ Ø ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ð ÙÐÙÚÙØ Ò Ò syt(a,b) = 1º ÌÐÐ Ò Ä Ù Ò º½º ÑÙ Ò 1 = ax + byº ÃÒØ Ø ÓÐ Ø Ø Ò ØØ 1 = ax + by Ó ÐÐ Ò x y syt(a,b) = dº ÃÓ d a d b Ò Ò Óй Ð ÙÙ Ø Ó ØÙ Ò º ¾¼ µ d (ax+by) Ø d 1º ÃÓ d ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ó d 1 Ò Ò d = 1 ÓØ Ò syt(a,b) = 1º ¾

Ë ÙÖ Ù º½º½¼º ÂÓ syt(a,b) = d Ò Ò syt( a d, b d ) = 1º ÌÓ ØÙ º ÃÓ a ØØ b ÓÚ Ø ÓÐÐ Ø d ÐÐ Ò Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ¹ ÚÙØ Ð ÑÑ Ò syt Ò Ð Ù Òº ÇÐ ÓÓÒ syt(a,b) = d ÓÐÐÓ Ò Ä Ù Ò º½º ÑÙ Ø ax+by = dº Â Ñ ÐÐ Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ d Ò Ú Ø Ù ax+ by = 1 Ó Ø ÐÐ Ò Ò d d syt(a, b) = 1º d d Ä Ù º½º½½º Ù Ð Ò Ð ÑÑ µº ÂÓ a bc ÐÐÓ Ò ÙÒ syt(a,b) = 1 Ò Ò a cº ÌÓ ØÙ º Ä Ù Ò º½º ÑÙ Ø ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ý ØÐ 1 = ax + by Ó x y ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù º à ÖØÓÑ ÐÐ ØÑ Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ c Ô ØÒ ÑÙÓØÓÓÒ c = 1 c = (ax+by)c = axc+byc = (ac)x+(bc)y. ÃÓ a ac a bc Ò Ò a (acx+bcy) Ñ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÝ ÑÙÓ Ó a cº Ä ÑÑ º½º½¾º ÂÓ p ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù p ab Ò Ò p a Ø p bº ÌÓ ØÙ º ÂÓ p a Ò Ò Ú Ø ÓÒ ØÓ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ p aº ÃÓ p ÓÒ Ð ÙÐÙ Ù Ò Ò ÐÐ ÓÒ ÒÓ Ø Ò Ð ÙØ Ø 1 p Ñ Ø ÙÖ Ø¹ Ø syt(a,p) = 1 ÐÐÓ Ò ÙÒ p aº ÆÝØ Ò Ù Ð Ò Ð ÑÑ Ò º½º½½ ÙÖ Ù Ò ØØ p bº Ä Ù º½º½ º Ö ØÑ Ø Ò Ô ÖÙ Ð Ù µº ÂÓ Ò Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÐÙ Ù n ÓÒ Ó Ó Ð ÙÐÙ Ù Ø ÚÓ Ò ØØ Ý ØØ Ò ØÙÐÓÒ n = p a 1 1 p a p ar r, Ó ÐÙÚÙØ p i ÓÚ Ø Ö Ð ÙÐÙ Ù a i Nº ÌÓ ØÙ º Ë ÚÙÙØ Ø Òº Ã Ø Ó Ñº ½ ¹½ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º½ º ÄÙÚÙÒ a ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò ÓÒ ÖÙ ÒØØ ÐÙÚÙÒ r Ò ÑÓ ÙÐÓ b Ó a = kb+r Ñ k Zº ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ a r (mod b)º Ñ Ö ÐÙ Ù 8 ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØØ ÐÙÚÙÒ Ò ÑÓ ÙÐÓ 3 ÐÐ 8 = 3+ Ñ Ñ Ö ØÒ 8 (mod 3)º È ØÒ ØÙÒÒ ØØÙ Ò ÓÒ ÖÙ Ò ¹ Ý ØÐ Ò Ý Ø Ò¹ ÖØÓÐ ÙØ ÔÙÓÐ ØØ Òº ¾

Ä ÑÑ º½º½ º ÂÓ ab = c n Ñ a,b N syt(a,b) = 1 Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÔÓ Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ a 1 b 1 Ó ÐÐ a = a n 1 b = bn 1 º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓØ a > 1 b > 1º ÂÓ a = p k 1 1 p k p kr r ja b = q j 1 1 q j q js s ÓÚ Ø a Ò b Ò Ð ÙØ Ø Ö ØÑ Ø Ò Ô ÖÙ Ð Ù Ò º½º½ ÑÙ Ò Ô Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ð ØØ syt(a,b) = 1 Ý Ò p i Ð Ý Ý ÐÙ Ù Ò q i ÓÙ Ó Ø º Ë Ô ØÙÐÓÒ ab Ð ÙØ ØÝ ÓÒ ab = p k 1 1 p r k r q j 1 1 q js s. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ c ÓÒ ØØÙ Ð ÙØ Ò ÑÙÓ Ó c = u l 1 1 u l u lt t º Ìй Ð Ò Ó Ø ab = c n ÙÖ ØØ p k 1 1 p r k r q j 1 1 q js s = unl 1 1 u nl u nlt t. Ì Ø Ò Ò ØØ Ð ÙÐÙÚÙØ u 1, u,..., u t ÓÚ Ø p 1, p,..., p r 1, p r, q 1, q,..., q s 1, q s nl 1,..., nl t Ú Ø Ú Ø ÔÓÒ ÒØ Ø k 1,...,k r,j 1,...,j s º Ë Ô Ó Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù k i j i ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ nº ÆÝØ ÚÓ Ò Ñ Ö Ø a 1 = p k 1/n 1 p k /n p kr/n r b 1 = q j 1/n 1 q j /n qs js/n, ÓØ Ò a n 1 = a bn 1 = b Ñ Ø ÐÙØØ Ò Òº ¾ ¹¾ º º¾ ÈÝØ ÓÖ Ò Ý ØÐ ÅÖ Ø ÐÑ º¾º½º ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐÑ Ó (x,y,z) Ó ØÓØ ÙØØ Ð Ù Ò x +y = z ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ syt(x,y,z) = 1º ÂÓ ÓÐÑ Ó ÓÐ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò Ò Ò syt(x,y,z) = d > 1º ÆÝØ Ó x = dm y = dn z = dl Ò Ò ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ë ÙÖ Ù Ø º½º½¼ Ò ØØ syt(m,n,l) = 1 ÓÐÑ Ó (m,n,l) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº ÃÒØ Ò Ó (m,n,l) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó r N Ò Ò (rm,rn,rl) ÓÒ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº Ë ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓØ Ò ÖØÓÑ ÐÐ Ú ÓÐÐ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÓÐÑ Óº ¾

Ä ÑÑ º¾º¾º ÂÓ ÓÐÑ Ó(x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ò syt(x,y) = syt(y,z) = syt(z,x) = 1º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ (x,y,z) ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº ÇÐ ÓÓÒ ÑÝ syt(x,y) = d > 1 p ÐÙÚÙÒ d Ð ÙØ º ÌÐÐ Ò p x p y Ð x = kp y = jp ÙÒ k,j Zµº ÃÓ x +y = z Ð (kp) +(jp) = (p(k+j)) µ Ò Ò Ø ÙÖ ØØp z Ó Ø Ä ÑÑ Ò º½º½¾ ÑÙ Ø p zº ÌÐÐ Òsyt(x,y,z) = pº Ë syt(x,y) = 1º Ë ÑÓ Ò Ò ØÓ Ø ØØÙ ØØ syt(y,z) = syt(z,x) = 1º Ä ÑÑ º¾º º ÂÓ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò Ò Ò ØÓ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙ Ø x Ø y ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ØÓ Ò Ò ÓÒ Ô Ö ØÓÒº ÌÓ ØÙ º ÂÓ ÑÓÐ ÑÑ Ø x y ÓÚ Ø Ô Ö ÐÐ Ø Ð x y Ò Ò ÑÝ x y (x + y )º ÌÐÐ Ò ÙÖ ØØ z z Ä ÑÑ º½º½¾µ ÓÐÐÓ Ò ÑÝ z ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò syt(x,y,z) = Ñ ÓÒ Ö Ø Ö ÔÖ Ñ Ø Ú ÝÝ Ò Ò º ÂÓ x y ÓÚ Ø Ô Ö ØØÓÑ Ø ÓÒ x 1 (mod 4) y 1 (mod 4) ÐÐ Ó n ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ð n n = k +0º ÌÐÐ Ò n 0 (mod ) Ñ Ø ÙÖ ØØ n = k = l 4 + 0 Ð n 0 (mod 4)º ÄÙÚÙÒ n Ô Ö ÐÐ ÙÙ Ø Ó ØÙ Ò ÐÙ Ù n+1 ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÓÐÐÓ Ò n+1 = k +1 Ð n+1 1 (mod )º ÌÐÐ Ò (n+1) 1 (mod 4)º Ë Ô z = x +y 1+1 (mod 4). ÌÑ ÓÒ Ö Ø Ö Ò Ò ØØ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò Ð Ø ÓÚ Ø ÓÒ ÖÙ ÒØØ ÐÙÚÙÒ 0 Ø ÐÙÚÙÒ 1 Ò ÑÓ ÙÐÓ 4º Ë Ô ØÓ Ò Ò ÐÙÚÙ Ø x y ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ØÓ Ò Ò ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Òº ÇÐ Ø Ø Ò Ø Ø Ø ÒÔ Ò ØØ x ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ð xº Ë ÙÖ Ù º¾º º ÂÓ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò x ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò y z ÓÚ Ø Ô Ö ØØÓÑ Øº ÌÓ ØÙ º Ë ØØ y ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ Ðк Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ØØ z ÓÒ Ô Ö ØÓÒº Ë Ò Ó Ó Ø ØØÙ ÙÖ Ú Ø x +y = (n) +(n+1), Ó Ø Ú ÒØÑÐÐ Òx +y = (4n +n)+1º Ì Ò ÚÓ Ò Ó ØØ Ð Ù Ò 4n +n Ô ÐÐ k Z ÓØ Ò x +y = k+1º ÃÓ x +y = z Ò Òz = k+1 Ð z ÓÒ Ô Ö ØÓÒº ÃÓ z ÓÒ Ô Ö ØÓÒ Ò Ò ÑÝ z ÓÒ Ô Ö ØÓÒº ¾

Ä ÑÑ º¾º º ÇÐ ÓÓÒ (x,y,z) ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº ÌÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ð ÙÐÙÚÙØ s t Ó Ø ØÓ Ò Ò ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ØÓ Ò Ò Ô Ö ØÓÒ Ø Ò ØØ s > t ÓÐÑ Ó Ò Ý ØÐ ÐÐ x = st y = s t z = s +t º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ (x,y,z) ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº Ä ÑÑ Ò º¾º Ë ÙÖ Ù Ò º¾º ÒÓ ÐÐ ÐÐÓ Ò ÙÒ x ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò y z ÓÚ Ø Ô Ö ØØÓÑ Øº È Ö ØØÓÑ Ò ÐÙ Ù Ò Ý Ø Ò¹ Ú ÒÒÝ Ð Ù Ø ÙÖ ØØ z y z+y ÓÚ Ø Ô Ö ÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ Ð z y = v z+y = u ÓÐÐÓ Ò Ò Ý ØÐ Ô Ö { z = v +y º½µ z = u y. ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ÙÑÑ Ò ÖÓØÙ Ò Ò Ð Ò ÚÙÐÐ Ò Ì Ø Ò x = z y = (z +y)(z y) = u v. ( x ) = x x = u v = uv. º¾µ ÄÙÚÙØ u v ÓÚ Ø ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ð ÙÐÙÚÙØ ÐÐ Ó syt(u,v) = d > 1 ØÐÐ Ò d (u + v) d (u v) Ñ Ø ÙÖ ØØ d y d z ÓÐÐÓ Ò syt(y,z) = d Ñ ÓÒ Ö Ø Ö Ò Ò ØØ syt(x,y) = 1º Ä ÑÑ Ò º½º½ ÒÓ ÐÐ Ò ØØ Ó ÐÙÚÙØ u v ÓÚ Ø Ò Ð ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò Ñ Ö Ø u = s ja v = t, Ñ s tóú Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙغ ÃÓÖÚ Ñ ÐÐ u v Ò ÐÐ ÐÙÚÙ ÐÐ Ò Ú ÒØÑÐÐ Ý ØÐ Ø º½µ Ó z Ò Ð Ù Ø Ñ Ö ØÒ Ý Ø ÙÙÖ y = u v = s t. Ì Ø Ý ØÐ Ò º½µ ØÓ Ø ÔÙÓÐ Ø Ý ØÐ Ø º¾µ Ò z = v+y = v+u v = u+v = s +t ( x ) x = 4 = 4uv = 4s t. ¾

ÇØØ Ñ ÐÐ Ú Ñ Ø Ý ØÐ Ø Ò Ð ÙÙÖ Ø ÔÙÓÐ ØØ Ò Òx = stº ÃÓ ¹ y > 0 Ò Ò s > tº ÃÓ ÐÙ Ù Ò s t Ý Ø Ò Ò Ø d = syt(s,t)µ ÐÙÚÙÒ y ØØ ÐÙÚÙÒ z Ò Ò Ó Ø syt(y,z) = 1 ÙÖ ØØ syt(s,t) = 1º Î Ð ØÙÐ Ó Ó ØØ ØØ Ó Ó s Ø t ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ØÓ Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ò Òº ÌÑ ÓÒ ØÓØØ ÐÐ Ó ÑÓÐ ÑÑ Ø ÓÐ Ú Ø Ô Ö ÐÐ Ø ÑÝ ÐÙÚÙØ y z ÓÐ Ú Ø Ô Ö¹ ÐРغ Ë ÑÓ Ò Ú Ó ÑÓÐ ÑÑ Ø s ØØ t ÓÐ Ú Ø Ô Ö ØØÓÑ Øº Ë Ô ØÓ Ò Ò ÐÙÚÙ Ø s t ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ØÓ Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÓØ Ò s t (mod )º Ë Ô Ó Ò Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò ÒÒ ØÙ ÐÐ Ý Ø¹ Ð Ðк ÄÙ Ù Ò s t ÚÙÐÐ Ò ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ÔÖ Ñ Ø Ú ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ø º Ñ Ö ÐÐÓ Ò ÙÒ s = 5 t = Ò x = st = 5 = 0 y = s t = 5 = 1 z = s +t = 5 + = 9 Ñ ÓÒ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÐÐ 0 +1 = 841 = 9 º Ä ÑÑ º¾º º ÇÐ ÓÓØ x = st y = s t z = s + t Ñ s t ÓÚ Ø ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ð ÙÐÙÚÙØ Ø Ò ØØ ØÓ Ò Ò Ò Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ØÓ Ò Ò Ô Ö ØÓÒ s > tº ÌÐÐ Ò (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº ÌÓ ØÙ º ÃÓÐÑ Ó(x,y,z) ÓÒ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÐÐx +y = (st) + (s t ) = s 4 +s t +t 4 = (s +t ) = z º Ì ÖÚ Ø Ò Ó Ó ØØ ØØ ÓÐÑ Ó ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Òº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ syt(x,y,z) > 1 ÓÐ ÓÓÒ p ÐÙÚÙÒ d Ð ÙØ º ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ p ÐÐ Ô Ö ØØÓÑ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ y zº ÇÐ ØÙ Ø p y p z ÙÖ ØØ p (z +y) p (z y) Ð p s p t º ÂÓ p t p ÓÐ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò p tº Ë ÑÓ Ò ÑÝ p s ÑÙØØ ØÐÐ Ò syt(s,t) = p 1 Ñ ÓÒ Ö Ø Ö ÓÐ ØÙ Ò Ò º Ì Ø ÙÖ ØØ d = 1 ÓØ Ò (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº Ä ÑÑ Ø º¾º º¾º Ý ØÑÐÐ Ô ØÒ ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò Ä Ù º¾º º ÈÝØ ÓÖ Ò Ý ØÐ µº ÇÐ ÓÓØ x y z ÔÓ Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙ¹ ÚÙØ Ò Ò ØØ x ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Òº ÌÐÐ Ò (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ó Ú Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÒ Ù Ø ÐÐ Ø Ð ÙÐÙÚÙØ s t Ó Ø ØÓ Ò Ò ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ØÓ Ò Ò Ô Ö ØÓÒ Ø Ò ØØ x = st, y = s t ja z = s +t. ¾

ÌÓ ØÙ º Ä Ù ØÓ Ø ØØ Ò ÐÐ Ä ÑÑÓ º¾º º¾º º ÈÖ Ñ Ø Ú ÐÐ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú ÓÑ Ò ÙÙ ÓØ Ò ÐÐ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ Ä ÑÑ º¾º º ÂÓ (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ò Ó Ó x Ø y ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 3º ÌÓ ØÙ º ÂÓ 3 s Ø 3 t Ò Ò 3 x ÓÐÐÓ Ò ÐÐ Ñ Ò ØØÙ Ú Ø ØÓØ ÙØÙÙº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ 3 s 3 tº ÌÐÐ Ò Ò Ò Ð Ö Ð Ø Ú ØÓ¹ ØÓ ½º s = 3k +1 t = 3l+1 ¾º s = 3k +1 t = 3l+ º s = 3k + t = 3l+1 Ø º s = 3k + t = 3l+º ÃÙÒ Ý ÓÒ Ò ÑÑ Ò Ò Ú ØÓ ØÓ Ò Ý ØÐ y = s t = (3k +1) (3l +1) = (9k +6k +1) (9l +6l+1) = 3(3k 3l +k l) ÓØ Ò y ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 3º Ì Ô Ù ¾ Ò ÙÖ Ú y = (3k +1) (3l+) = (9k +6k +1) (9l +1l+4) = 3(3k 3l +k 4l 1) Ð Ô Ø Ò ØÐÐ Ò Ò ØÙÐÓ Ò ØØy ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò3 ÐÐ º Ì Ô Ù ÓÒ Ú Ø Ú Ù Ò Ø Ô Ù ¾ Ú Ñ Ò Ú ØÓ ÓÒ Ø Ô Ù Ò y = s t = (3k +) (3l+) = (9k +1k +4) (9l +1l+4) = 3(3k 3l +4k 4l), ÓØ Ò 3 y ØÐÐ Ò Ò Ú Ø ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ Ó º Ñ Ö ÓÐÑ Ó (1,35,37) Ó x = 1 y = 35 x ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 3 ÐÐ1 = 4 3º ÌÓ ÐØ ÓÐÑ Ó (8,45,53) ÐÙ Ù 45 ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÓÐÑ ÐÐ 45 = 15 3µº ¼

Ä ÑÑ º¾º º ÂÓ (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ò Ø Ö ÐÐ Ò Ý ÐÙÚÙ Ø x y Ø z ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 5º ÌÓ ØÙ º Ä ÑÑ Ò ØÓ Ø Ñ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ò Ð Ò Ó ÒÒ Ñ ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ 5º Ì ÙÐÙ ÓÓÒ ÓÒ ÓÓØØÙ Ò ÑÑ Ø Ò Ð ÐÙ¹ ÚÙØ Ó ÒÒ Ò Òº Ì ÙÐÙ Ó ½ Æ Ð Ò Ó ÒÒ n 1 3 4 5 6 7 8 9 10 n 1 4 9 16 5 36 49 64 81 100 ÒÒ (mod 5) 1 4 4 1 0 1 4 4 1 0 Ì ÙÐÙ Ó Ø ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ò Ð Ò Ó ÒÒ Ú Ò ÐÙÚÙØ 0 1 4 ÙÒ Ø Ò ÐÙÚÙÐÐ 5º ÁØ Ò Ò Ò ÑÝ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ð Ø Ò ÐÙÚÙ ÐÐ 5k 5k +1 5k + 5k +3 5k +4º Ì ÙÐÙ Ó ¾ Â Ó ÒÒ ÐÙ Ù Ò Ð ÒÒ mod(5) 5k 5k 0 5k +1 5k +10k +1 1 5k + 5k +0k +4 4 5k +3 5k +30k +9 4 5k +4 5k +40k +16 1 Ë Ø Ò ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ n Ó ÒÒ 0 1 Ø 4 ÙÒ Ø Ò ÐÙÚÙÐÐ 5º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ x ØØ y ÚØ ÓÐ ÓÐÐ Ø ÐÙÚÙÐÐ 5º ÌÐÐ Ò Ò Ò Ð Ö Ð Ø Ú ØÓ ØÓ ½º x 1 (mod 5) y 1 (mod 5) ¾º x 1 (mod 5) y 4 (mod 5) º x 4 (mod 5) y 1 (mod 5) Ø ½

º x 4 (mod 5) y 4 (mod 5)º ÌÐÐ Ò Ó Ý ÓÒ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò x + y = z µ Ò Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ò Ð Ù ÒØ Ò ÒÓ ÐÐ Ò ÐÐ Ø Ú ¹ Ø Ú Ö ØÝ ½º z = 1+1 (mod 5) ¾º z = 1+4 0 (mod 5) º z = 4+1 0 (mod 5) Ø º z = 4+4 3 (mod 5)º ÃÓ ÐÙÚÙÐÐ z ÚÓ ÓÐÐ Ó ÒÒ Ø Ø 35 ÐÐ ØØ ÐÙÚÙÒ Ò Ð µ Ò Ò Ó ÒÒ ÓÒ 0 Ð 5 ÐÙÚÙÒ zº Ë Ø Ò ØÙÐÓ ØØ Ó x ØØy ÚØ ÓÐ ÐÙÚÙÒ5ÑÓÒ ÖØÓ Ò Ò z ÓÒ Ú Ò ÑÓÒ ÖØ ÓØ Ò Ú ÒØÒ Ý ÓÐÑ Ó Ø (x,y,z) ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 5º ÃÓ Ý ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ò ÓÖ ÒØ Ò Ý ÓÐÑ ÓÒ ÐÙÚÙ Ø ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 ÐÐ syt(x,y,z) = 1º ÌÐÐ Ò Ø Ö ÐÐ Ò Ý ÐÙÚÙ Ø ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 5º ½¾ Ñ Ö ÓÐÑ Ó (84,13,85) Ú Ñ Ò Ò ÐÙ Ù zµ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 ÙÒ Ø ÑÙÙØ ÚØ ÓÐ ÐÐ ÓÐРغ ÌÓ ÐØ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó (60,91,149) Ú Ò x ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò 5 Ðк Ä ÑÑ º¾º½¼º ÂÓ (x,y,z) ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ò ÐÙ Ù x ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 4º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒx = st Ø Ò ØØsyt(s,t) = 1º ÃÓ ØÓ Ò Ò ÐÙÚÙ Ø s t ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ä ÑÑ Ò º¾º ØÓ ØÙ µ Ò Òx = (n)(n+1) = 4n(n+1) = 4(n +n) = 4m ÙÒ n,m Zº ÂÓØ Ò 4 xº ÆÑ ÙÖ Ù Ø Ò ÝÚØ Ø ÙÐÙ Ó Ó ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ ÈÝØ Ó¹ Ö Ò Ý ØÐ Ò ÑÙ Ø º ¾

Ì ÙÐÙ Ó ÈÖ Ñ Ø Ú ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ø s t x = st y = s t z = s +t 1 4 3 5 3 1 5 13 4 1 8 15 17 4 3 4 7 5 5 0 1 9 5 4 40 9 41 6 1 1 35 37 6 3 36 7 45 6 5 60 11 61 7 8 45 53 7 4 56 33 65 7 6 84 13 85 8 1 16 63 65 8 3 48 55 73 8 5 80 39 89 8 7 11 15 113 9 36 77 85 9 4 7 67 97 9 6 108 45 117 9 8 114 17 145 10 1 0 99 101 10 3 60 91 109 10 5 100 75 15 10 7 140 51 149 10 9 180 19 181

º ÖÑ Ø³Ò ÙÙÖ Ð Ù È ÖÖ ÖÑ Ø ½ ¼½¹½ µ ÓÐ Ö Ò Ð Ò Ò Ú Ö Ñ ÖÖ Ø Ð Ñ ¹ Ø Ñ Ø Ó ÓØ ÓÒ ÙØ ÙØØÙ ÖÖ Ø Ð Ó Ò ÙÒ Ò Ó ØÙ Ò Ò Ó ¹ Ø Ò Ñ Ø Ñ ¹Ø Ò Ð ÐÐ º ÖÑ Ø³Ò ØÙØ ÑÙ Ó Ø Ø ÓÐ Ú Ø ÑÙÙÒ ÑÙ Ö ÒØ Ð ¹ ÒØ Ö Ð Ð ÒØ ÑÙØØ ÝÚ Ò ØÖ ÓÒ Ò Ò ÚÙØÙ ¹ Ò ÐÙ ÙØ ÓÖ Ò Ð ÐÐ º ÖÑ Ø³Ò ÙÙÖØ Ð Ù ØØ ÒÓØ Ò ÑÝ ÖÑ Ø³Ò Ú Ñ Ð Ù ÐÐ Ý Ò Ò Ð Ù ÔÝ Ý ÖÑ Ø³Ò Ð Ù Ø Ô ÑÔÒ ØÓ Ø Ñ ØØ º Ë Ò Ø Ò Ù Ø Ò Ò ØÓ Ø ØØÙ Ð ¼ ÚÙÓ Ò ÝÖ ØØÑ Ò Ð Òº ÖÑ Ø³Ò ÙÙÖ Ð Ù ÑÙ ØÙØØ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ Ø ÓÒ Ð ÙÒ ÒÙØ Òº ÌÑ ØÙÒÒ ØØÙ Ð Ù ÙÙÐÙÙ ÙÖ Ú Ø Ä Ù º º½º Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ x n + y n = z n ÓÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù¹ Ö Ø Ù Ó n > º ÌÓ ØÙ º ÌÓ ØÙ ÚÙÙØ Ø Ò Ò ÑÓÒ ÑÙØ ÙÙ Ò ÚÙÓ º Ó ÒØÓ Ò Ý ØÐ ÓÒ ÒÙØ Ò Ñ Ò Ö Ð Ø Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø Ó ØÙØ ÑÙÓØÓ ax+by = c ÓÐ Ú Ý ØÐ Ø Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ ÙÖ Ø Ù¹ º ÖÑ Ø³Ò ÙÙÖ Ò Ð Ù Ò Ý ØÐ ÙØ ÙØ Ò Ù Ò ÔÐ Ò Ö Ó Ò¹ ØÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ Ò ÙÚ ÓÐ ÙÓÖ º ÖÑ Ø³Ò ÙÙÖØ Ð Ù ØØ ÝÚ Ò ÑÓÒ Ø ÝÖ ØØ ÚØ ØÓ Ø ÑÙØØ Ò Ó ¹ Ò ØÙÐ Ú Ö Ð Ù Ò ØÓ ØÙ ÓÒÒ ØÙÒÙØ Ó ÓÒ ÙÙ Ò Ó Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ò Ö Û Ï Ð ÔØÝ ÝÖ ØØÑÒ Øº Ë Ø ÑÒ ÚÙÓ Ò ÙÙÖ ¹ ØÙ Ò Ð Ò Ò ÔÖÝ ØØÑÒ ØÓ ØÙ Ò Ò Ò ÚÙÓÒÒ ½ ÑÙØØ ÓÙØÙ ÓÖ Ñ Ò ÓØ Ò ÐÓÔÙÐÐ Ò Ò ØÓ ØÙ ÙÐ Ø Ò ÚÙÓÒÒ ½ º Ï Ð ÝØØ ØÓ ØÙ Ò ÝÚ Ò ÑÓÒ ÒÐ ÐÙ ÙØ ÓÖ ÓÑ Ò ÙÙ ØÓ ØÙ Ð Ò ÑÙ Ò Ø Ò ÝÐÓÒ Ð Ø Ò Ø Ó Ø ÔØÝ Ò ÐÐ Ô¹ Ø Ò ÝÖ Ò Ò Ò ÑÓ ÙÐ Ö ÙÙØ Òº ÖÑ Ø Ø ØÓ Ø Ð Ù Ò Ó ÔÓØ Ò ÐÐ 3 4 ÚÙÓÒÒ ½ ÖÑ Ø³Ò ÙÙÖ Ð Ù ÓÐ ØÓ Ø ØØÙ Ó ÐÙÚÙÒ n ÖÚÓÓÒ Ñ Ð ÓÓÒ Ø ÑÙØØ Ö Ø Ò ØØ Ó Ó Ð Ù ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº ½ º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÅÖ Ø ÐÑ º º½º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÓÒ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Ó ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ñ ØØ Ø ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Òº ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÐÐ ÚÙØ ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙغ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò ÐØÝÝ ÒÒÓ Ø Ú ÓÑ Ò ÙÙ º

Ä Ù º º¾º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ò Ô ÖÖ ØÝÒ ÝÑÔÝÖÒ ÓÒ Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÓ ØÙ º Å Ö ØÒ ÓÐÑ ÓÒ Ò Ô ÖÖ ØÝÒ ÝÑÔÝÖÒ ØØ r ÓÐÑ ÓÒ ÝÔÓØ ÒÙÙ z Ø ØØ x yº ÃÓÐÑ ÓÒ Ô ÒØ ¹ Ð Ò Ý ØÐ Ø ½º¾µ A = xy. º µ ÃÙÚ Ø ¾ Ò Ò ØØ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÚÓ Ò ÓÐÑ Ò ÓÐÑ ¹ ÓÓÒ Ó Ò Ó Ò ÓÖ Ù ÓÒ ÝÑÔÝÖÒ r ÙÒ Ò ÒØ ÓÒ ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ Ý ÚÙ x y Ø zº ÃÙÚ ¾ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Óº ÆÝØ ÓÐÑ ÓÒ Ð ÚÓ Ò Ñ Ö Ø Ý ØÐ ÐÐ A = xr + yr + zr r(x+y +z) =. º µ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù Ò ÑÙ Òx +y = z º Ä Ù Ò º¾º ÑÙ Ò ÐÐ Ò Ý ØÐ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ø ÓÐÑ ÓØ Ò Ý ØÐ ÐÐ x = st, y = s t ja z = s +t, ÑÙØØ ÙÒ ÐÙØ Ò Ö Ø ÙØ ÓØ Ø Ò ÐÐ Ø Ò ÑÓÒ ÖÖ Ø x = kst, y = k(s t ) ja z = k(s +t ),

Ó k s t ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º Å Ö Ø ÑÐÐ Ý ØÐ Ø º µ º µ Ý Ø ÙÙÖ Ò xy Ó Ø Ò ÝÑÔÝÖÒ Ø ÐÐ Ð Ù = r = r(x+y +z), xy x+y +z. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ x Ò y Ò z Ò Ð Ù Ø Ý ØÐ Ò Ò r = kst k(s t ) kst+k(s t )+k(s +t ), Ñ Ø Ú ÒØÑÐÐ Ò Ø ÐÐ Ý ØÐ r = kt(s t). ÃÓ k,s,t Z Ò Ò Ò Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÑÝ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ð Ø Ò ÖÚÓ ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ùº Ä Ù Ø º¾º ÙÖ ÑÝ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ø Ó Ú ÓÑ Ò ÙÙ ¹ º Ë ÙÖ Ù º º º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ø ØØ Ò Ô ØÙÙ Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 1º ÌÓ ØÙ º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ø Ø Ø ÓÚ Ø x = st y = s t º ÃÓ ÐÙ Ù x Ø y ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 3 Ä ÑÑ º¾º µ ÐÙ Ù x ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙй Ð 4 Ä ÑÑ Ò º¾º½¼ ÑÙ Ò Ò Ò Ö ØÑ Ø Ò Ô ÖÙ Ð Ù Ò º½º½ ÒÓ ÐÐ Ò Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò 1 ÐÐ º Ë ÙÖ Ù º º º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ò ÚÙ Ò Ô ØÙÙ Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò 60 ÐÐ º ÌÓ ØÙ º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÚÙØ ÚÓ Ò ÐÑÓ ØØ ÑÙÓ Ó x = st y = s t z = s +t º Ä ÑÑ Ò º¾º ÑÙ ÒxÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 3 Ä Ñ¹ Ñ º¾º½¼ ÔÙÓÐ Ø Ò ÖØÓÓ ØØ x Ø y ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò 4 ÐÐ Ä ÑÑ Ò º¾º ÑÙ Ø Ó Ù ÚÙ Ø ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 5º Æ Ø Ò Ú Ø Ù ØØ ØÙÐÓ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò ÐÙÚÙÐÐ 60º Ë ÙÖ Ù º º ÓÒ ÙÙ Ö Ð Ø Ú ØÓ ØÓ

½º 3 x 4 x 5 x Ñ Ö ÓÐÑ Ó ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø 60 11 61 (60 = 3 4 5,60 11 61 = 671 60) ¾º 3 x 4 x 5 y Ñ Ö ÓÐÑ Ó 1 35 37 (1 = 3 4 35 = 7 5) ÐÐ 1 35 37 = 15540 = 59 60 º 3 x 4 x 5 z Ñ Ö 4 7 5 (4 = 3 4 5 = 5 5) Ó 4 7 5 = 400 = 70 60 º 3 y 4 x 5 x Ñ Ö ÓÐÑ Ó 40 9 41 ( 4 5 = 40 3 3 = 9) Ñ Ø Ò 40 9 41 = 14760 = 46 60 º 3 y 4 x 5 y Ñ Ö 8 15 17 ( ÐÐ 4 = 8 3 5 = 15) 8 15 17 = 040 = 34 60 º 3 y 4 x 5 z Ñ Ö ÓÐÑ Ó ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø 4 3 5 (4 3 5 = 60) Ä ÑÑ º º º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ô ÒØ ¹ Ð A = x y ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÌÓ ØÙ º 1 ÂÓ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ø Ä ÑÑ Ò º¾º ÑÙ Ò ØÓ Ò Ò ÒØ ÚÙ Ø x Ø y ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ØÓ Ò Ò ÓÒ Ô Ö ØÓÒº ÃÓ ÓÐÑ ÓÒ Ô ÒØ ¹ Ð Ò Ý ØÐ ÐÐ ½º¾µ Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ø ØØ ÚÓ Ò ÐÙÚÙÐÐ Ô ÒØ ¹ Ð Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙÒ ØÙÐÓº ÂÓ Ø ÚÙØ ÓÚ Ø ¹ÔÖ Ñ Ø Ú Ø Ò ÓÒ Ó Ó ÖÖÓØØÙ Ô Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ô Ö ØØÓÑ ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙÐÐ º ÂÓ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ø Ø Ø ÓÚ Ø Ô Ö ÐÐ Ø ÚÓ Ò ÙÑÔ ÐÙ Ù Ø Ò ÐÐ º ÂÓ Ø ÚÙØ ÓÚ Ø ÓÒ Ò Ô Ö ØØÓÑ Ò ÐÙÚÙÒ ÑÓÒ ÖÖ Ø ØÓ Ò Ò Ø ØØ ÓÒ ÐØ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÚÓ Ò ÐÐ º ÂÓØ Ò Ó Ø 1 ÙÖ ØØ Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ÇÒ ÓÐ Ñ ÐÐ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ø Ó ÐÐ ÓÒ Ñ Ô ÒØ ¹ Ð Ú Ò ÐÐ ÓÒ Ö Ñ ØØ Ø ÚÙغ Ë ÑÓ Ò Ð ÝØÝÝ ÓÐÑ Ó Ø Ó Ò Ô Ö Ø ÓÚ Ø Ý Ø Ô Ø Øº Æ Ø Ð ÝØÝÝ ÐÔÓÑÑ Ò ÒÐ Ø Ò ÓÐÑ Ó Ò Ô Ö Ø Ù Ò Ò Ò Ó Ò Ô ØÙÙ Ø ÓÚ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Øº Ì ÙÐÙ ÓÓÒ ÓÒ ÓÓØØÙ ØÐÐ Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ø Ò ÓÐÑ Ó Ò Ø ØÓ º ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ø Ó ÐÐ ÓÒ Ý Ø Ù¹ ÙÖ Ô ÒØ ¹ Ð ÓÒ ØÙØ ÒÙØ ÑÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÙØ Ò Ñ Ö Ó ÒØÓ È ÖÖ ÖÑ Ø Ä Û ÖÖÓÐк Î ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÚÙØ Ô ÒØ ¹ Ð ÓÚ Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ÑÓ Ò ÓÒ ÑÝ Ò Ô ÖÖ ØÝÒ ÝÑÔÝÖÒ Ø Ò Ð Ø Ò Ò ÓÐÑ Ó ÓÒ ÐÐ Ó ÓØ ÚØ ÓÐ Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÃÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ Ø Ò Ñ ØØ Ò ÓÚ Ø ÖÖ Ø ÓÒ Ð Ø ÐÑÓ Ø ØØ ÒÔ Ò Ø Ò Ø ØØ Ò Ö Ò Ò º Ñ Ö

Ì ÙÐÙ Ó ÈÖ Ñ Ø Ú Ø Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ô Ö Ô ÒØ ¹ ÐÓ º ÚÙ Ò Ô ØÙÙ Ø Ô Ö Ô ÒØ ¹ Ð 0, 1, 9 70 10 1, 35, 37 84 10 60, 91, 109 60 730 8, 195, 197 40 730 168, 95, 193 456 7980 40, 399, 401 840 7980 180, 189, 61 630 17010 108, 315, 333 756 17010 364, 7, 365 756 4914 540, 99, 549 1188 6730 0, 459, 509 1188 50490 ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó (3,4,5) ÙÐÑ Ø ÓÚ Ø Ø Ò (36,86989... ;53,13010... ; 90 ) Ö Ò Ò (0,64350...;0,979...;0,78539...)º Ä ÑÖ Ø ÖÚÓØ Ò ÐÐ Ù Ø Ò Ò ÚÓ Ò ÐÑÓ ØØ Ñ Ö Ø Ò ÝÑÑ Ò Ó Ò Ø Ö Ù¹ Ù ÐÐ ÙÐÑ Ø ÓÚ Ø 36,9 53,1 90 º ¾ ÂÓ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ ÓÒ α Ø ØØ α 0 < 100 1 Ò Ò ÒÓØ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÓÐ Ú Ò 0 Ø ØØ Ý Ò Ó Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ β Ó Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ Ø Ò ØØ 0 < β < 90 e Ó Ò Ö Ð ÐÙ Ù ÓÐÐ 0 < e < 1 e < β e < 90 βº ÖÚ Ó Ò ÝÐ Ø ÓØØ Ò ÙÐÑ β Ò Ø Ò ÒØ Ò Ø ÓØ Ò ÒØ Ò ÚÙÐÐ º Å Ö ØÒ ØÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø X = tan(β e)+sec(β e), Y = tan(β +e)+sec(β +e), X = cot(β +e)+csc(β +e) ja Y = cot(β e)+csc(β e). Ä ÓÒ ÓÐ Ø ØØÙ ÝÐ Ø ØØ tan θ = sec θ 1 tanθ = cosθ sinθ secθ = 1 cotθ = cosθ 1 cscθ = º sinθ sinθ cosθ Ä Ù º º º ÇÐ ÓÓØ u v ÔÓ Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙغ ÌÐÐ Ò (1 ) X < u < v Y Ó Ú Ò Ó ÓÐÑ Ó (uv,u v,u +v ) Ð ÚÙ u v Ú Ø Ò ÓÐ Ú ÙÐÑ ÓÒ ÙÙÒÒ ÐÐ Ò β Ø ØØ e Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ ( arctan( u v ) β < e) uv

( ) X < u v < Y Ó Ú Ò Ó ÓÐÑ Ó (uv,u v,u + v ) Ð ÚÙ uv Ú Ø Ò ÓÐ Ú ÙÐÑ ÓÒ ÙÙÒÒ ÐÐ Ò β Ø ØØ e Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ ( arctan( uv u v ) β < e)º ÌÓ ØÙ º 1 ÇÐ Ø Ø Ò ØØX < u < Y ½µºβ Ò e Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ó ØÙ Ò v 1 < X v < uº ÃÓ X < u < Y Ò Ò ÖØÓÑ ÐÐ ÔÝ ØÐ ÐÙÚÙÐÐ 1 v Ò X > u v > Y ÇØØ Ñ ÐÐ ÔÝ ØÐ Ø ÒØ ÐÙÚÙØ ÔÙÓÐ ØØ Ò Ò 1 X < v u < 1 Y. () Ä Ñ ÐÐ Ý Ø Ò Ý ØÐ Ø ½µ ¾µ Ò X 1 X < u v v u < Y 1 Y Ó ÓÒ Ó ØØ Ñ ÐÐ X Ò Y Ò Ð Ù Ø Ò ÔÝ ØÐ Ø ( ) 1 (tan(β e)+sec(β e)) < u tan(β e)+sec(β e) uv v uv u uv v uv ( < (tan(β +e)+sec(β +e)) 1 tan(β +e)+sec(β +e) ÃÙÒ A = tan(a)+sec(a) Ò Ò A 1 ( ) A = (tan(a)+sec(a)) 1, tan(a) + sec(a) Ñ ÚÓ Ò Ð Ý Ø Ò ÓÐÐÓ Ò Ò A 1 A = tan (a)+tan(a)sec(a)+sec (a) 1. tan(a) + sec(a) Ì Ò ÚÓ Ò Ó ØØ ÓÐ ØÙ ØØ tan θ = sec θ 1 ÓÐÐÓ Ò A 1 A = tan (a)+tan(a)sec(a)+tan (a). tan(a) + sec(a) (3) ). (4)

Ë Ú ÒØÑÐÐ Ý ØÐ ÐÓÔÔÙÙÒ Ø Ò ÓØ Ò Ý ØÐ Ø (3) (4) Ò A 1 A = tan(a), tan(β e) < u v uv < tan(β +e). º µ Â Ñ ÐÐ ÔÝ ØÐ Ø ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ Ô ØÒ Ý ØÐ Ò tan(β e) < u v uv < tan(β +e), Ó ÐÐ ÓÐ Ú Ð Ù Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ò ÔÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÐÝ ÑÔ ÚÙ ÒÒº ÇØØ Ñ ÐÐ Ö Ù Ø Ò ÒØ Ø Ý ØÐ Ø Ö¹ ØÑÐÐ β¹ ÙÐÑ Ý ØÐ Ò ÐÐ Ò ( e < arctan u v uv ) β < e. ÌÑ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Ø ÖÚÓ Ò ÚÙÐÐ ( ) arctan β < e, u v uv ÓØ Ò Ø Ò ØÓ Ø ØØÙ Ò ÑÑ Ò Ò Ý ØÐ ØÓ Ò ÙÙÒØ Òº Î Ð ØÓ ¹ Ø Ø Ò Ó ÐØ Ú ÑÑ ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ z = u º ÃÓ ÓÐ Ø ØØÙ ÔÝ ØÐ ÚÓ Ò v Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó º µ Ò Ò Ñ ÐÐ ÑÑ Ò Ò Ð Ù Ø Ò Ó ¹ Ò Ò Ñ Ú Ø ÔÝ ØÐ tan(β e) < u uv v uv < tan(β +e), tan(β e) < u v v u < tan(β +e). ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ ÔÝ ØÐ Ò ÐÐ ÓÒ ÐÙÚÙÒ Ò ÒØ ÐÙÚÙÒ ÖÓØÙ ÓØ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ tan(β e) < z 1 z < tan(β +e), ÓÐÐÓ Ò ÔÝ ØÐ ÚÓ Ò Ø Ò Ó Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ö Òº ÃÙÒtan(β e) < z 1 Ò Ò ÖØÑÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÖØÓÑ ÐÐ z ÐÙÚÙÐÐ z > 0 Ô ØÒ ØÓ Ò Ø Ò ÔÝ ØÐ Ò tan(β e) z + 1 < 0 z > 0 z z +tan(β e)z +1 < 0. ¼

ÌÑÒ Ý ØÐ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ð ÝØÝÚØ ÐÐÓ Ò ÙÒ Ð z = tan(β e)± (tan(β e)) 4 ( 1) 1, ( 1) z = tan(β e)± 4(tan (β e)+1). ÇØØ Ñ ÐÐ Ò Ð ÙÙÖ Ø Ø 4ÙÐÓ ÝØØÑÐÐ ÝÚ ÓÐ ØÙ Ø tan θ = sec θ 1 Ó Ø Ò ØØ tan θ +1 = sec θ Ò z ÐÐ Ð Ù ( tan(β e) ) sec (β e) z =, Ñ Ú Ò ÑÙÓØÓÓÒ z = tan(β e) sec(β e), ÓØ Ò z < tan(β e) sec (β e) Ø z > tan(β e)+sec(β e)º ÃÓ tan(β e) sec(β e) < 0 Ò Ò Ý Ú Ø Ù ÐÐ z < 0 ÓØ Ò X = tan(β e)+sec(β e) < zº Î Ø Ú Ø ØÓ Ø Ø Ò ØØ z < tan(β + e) + sec(β + e) = Y ÙÒ z 1 < tan(β+e) ÐÐ ØÐÐ Òz Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÚÐ ÐØ]0,tan(β+e)+sec(β+e)[º z Ë Ø Ò ØÓ Ø ØØÙ ØØ X < z = u < Y º v Ì Ô Ù Ò ( ) ØÓ Ø Ñ Ò Ò Ñ Ò Ú Ø Ú Ø º ¾ Ñ Ö º º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓÐÑ ÓØ ÓÒ ÚÙØ ÓÚ Ø 0 1 9º ÃÓÐÑ Ó ÓÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ò Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÐÐ Ò ÚÙØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ 0 = 5 1 = 5 9 = 5 + Ð u = 5 v = º ÌÐÐ Ò ÚÙ 1 Ú Ø Ú ÙÐÑ tan 1( 1 0) = 46,39718 µ ÓÒ Ø Ò ÝÑÑ Ò Ó Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ 46,4 Ó X = tan(46,4 0,1)+sec(46,4 0,1) =,4938 Y = tan(46,4 + 0,1) + sec(46,4 + 0,1) = 5,5065 u/v = 5/ =,5 Ð,4938 <,5 < 5,5065µº ÌÓ Ò Ò ÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ α = tan 1( 0 1) = 43,608 ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ò ÝÑÑ ¹ Ò Ó Ò Ø Ö ÙÙ ÐÐ 43,6 ÐÐ X = cot(α+e)+csc(α+e) = cot(43,6+ 0,1)+csc(43,6+0,1) =,4938 Y = cot(α e)+csc(α e) = cot(43,6 0,1)+csc(43,6 0,1) =,5065 ÓØ Ò X < u/v =,5 < Y º ½

Ø ÒÚ ØÓ ØÙ Ò ÓÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ø ØÝ ÔÖ Ñ Ø Ú ØØ ¹ÔÖ Ñ Ø Ú ÓÐÑ Ó Ø ÑÙØØ Ò ÙÙÖ Ò Ø ÐÐÝØ ¹ÔÖ Ñ Ø Ú ÓÐÑ Ó Ø º Ä ÓÐ Ò ÓÐÑ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÝØØÒÝØ Ú Ò Ý ÒÐ Ø ÓÐÑ Ó Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ø Ô Ð ÓÐÑ Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ (st,s t,s +t )º ÂÓ ØØ ØÝ Ø Ð Ø Ò Ð ÒØ Ñ Ò ÚÓ Ò ØÙØ ÑÙ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÓÐÑ Ó Ø ÓØ ÚØ ÓÐ ÔÖ Ñ Ø Ú Ú Ò Ò Ø ÓÒ Ô Ð ÓÒº ÒÒ Ò Ù Ò ÖÑ Ø ÑÙÓ Ó Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ý ØÐ Ò ¾º½º½ ÓÐ Ð Ý ØØÝ Ö Ð ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ø ÔÓ ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó ÐÐ Ñ Ö ÈÝØ Ó¹ Ö Ò ÈÐ ØÓÒ Ù Ð Ò ÒÒ Ø Ó ÐÐ Ð Ý ØØ Ò Ö Ð ÓÐÑ Ó Ø ÑÙØØ ÓÐÑ Ó Ø Ò ÐÐ Ù Ø Ò Ò Ð ÝØÝÒÝØ ½¼ ½ ¹¾¼ º Æ ÒÒ ÓÐ Ò ÐÙÙØ Ò Ð ØÓ ÐØ Ò Ò Ö Ð ÙÙ ØÓ ÐØ Ñ ÒÐ ÙÙ ÓØ Ò ÒØ Ò Ð Ù Ú Ø ØØÓ Ú Ø Ñ ÒÒ ÐÔÓ Ø Òº ÌÓ ÐØ ÓÐ Ò Ø ØÝ Ô ÝØ ØÓ Ø Ñ Ò ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ØØ Ö Ð ÐÐ Ø ÚÓ ÐÐ ÓÐ Ò ÙÓÑ ÒÒÙØ Ñ Ø Ò Ô Ð ÓÒ Ò Ø ÓÒ Òº Î Ð Ø Ó Ø ÓÐ Ò ÝØØÒÝØ ÓÒ Ö Ð ØÓ ØÙ Ø ÔÓ Ò Ø Ð ÝØÝÝ ÑÝ ÑÙÙ ÐØ º À Ø Ú ÒØ ØÓ ØÙ ÓÐ Ô Ø ÐÐ ØÓ ØÙ Ò ÝØ Ñ Ò Ó Ø ÓÐÐÙØ ÙÓÖ Ò Ø ÖÖÓØØÙ ÑÙØØ ØÓ ÐØ Ò ÝØØ ÑÝ Ý Ò ÖØ ØÓ ØÙ ÙØ Ò ÖØÓ Ò ÚÙÐÐ ØÓ Ø Ñ Ø Ó Ò Ñ Ð Ò ÙÓÖ Ò ÙÚ Ò ÚÙÐÐ Ù Ò ØÓ ØÙ Ø Ò º Ø Ò Ð Ñ Ø Ö Ð ØÝ Ò ÝÐÐØÝ Ò ÙÒ ÙÓÑ Ò ØØ ÁعËÙÓÑ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐ ÙÙÖ Ò Ø ØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ø ÓØ ØØ Ð ÚØ ÈÝØ Ó¹ Ö Ò Ð Ù ØØ Ø ÈÝØ ÓÖ Ò ÓÐÑ Ó Ø º ÌÙÒØÙÙ Ó Ð Ò Ú Ò Ò ÐØ Ú ÓÚ Ø Ó ÑÙÙØ Ø Ú Ò Ñ Ð Ò ÒØÓ ÑÔ ÇÑ Ø Ñ Ð ØÒ ÈÝØ Ó¹ Ö Ò Ð Ù ÓÐ Ú Ò Ò Ò Ò ÐÐ ÙÙ Ö Ð ØÓ ØÙ Ð Ý ØÒ ÑÝ ÒÝ Ý Ò Ñ Ö Ñ Ò Ð ÝØÑ ØÓ ØÙ ÓÒ Ú Ò ÑÙÙØ Ñ Ò ÚÙÓ Ò Ú Ò º ÔÙÓÐ Ø Ò ÓÐ ØÝÐ ÐÐ ÈÝØ ÓÖ Ò Ð Ù ÓÒ Ý ØÙÒÒ ØÙ ÑÑ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ò ÚÓ Ø ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ ÝØØ Ö ÐÑ º ¾

Î ØØ Ø ½ Þ Ð º º ÖÑ Ø³Ò Ø ÓÖ Ñ º ÏËÇ À Ð Ò º ½ ¾ Ò Ð Ò Ïº ˺ Í Ò ÈÝØ ÓÖ Ò ÌÖ Ò Ð ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ð º Å ÎÓк ½ µ ÆÖÓº º ¼¹ ½ Ó ÓÑÓÐÒÝ º ÈÝØ ÓÖ Ò Ì ÓÖ Ñ Ò Ø Ñ ÒÝ ÔÖÓÓ º ¾¼½¾ ØØÔ»»ÛÛÛºÙØ¹Ø ¹ ÒÓغÓÖ»ÔÝØ ÓÖ» Ò Üº ØÑÐ ÐÙ ØØÙ º º¾¼½¾ ÙÖØÓÒ º ź Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÆÙÑ Ö Ì ÓÖݺ Å Ö Û¹À ÐÐ Æ Û ÓÖ º ¾¼½½ Ð Û ÐÐ º ú ÈÖÓÓ Ó ÖÑ Ø³ Ä ØØÐ Ì ÓÖ Ñº ½ ØØÔ»»ÔÖ Ñ ºÙØѺ Ù»ÒÓØ»ÔÖÓÓ» ÖÑ Ø Ä ØØÐ Ì ÓÖ Ñº ØÑÐ ÐÙ ØØÙ ¼º º¾¼½¾ ÙÒ Ñ Ïº Ì Å Ø Ñ Ø Ð ÍÒ Ú Ö Ò ÐÔ Ø Ð ÂÓÙÖÒ Ý Ì ÖÓÙ Ø Ö Ø ÈÖÓÓ ÈÖÓ Ð Ñ Ò È Ö ÓÒ Ð Ø º Ï Ð Ý Æ Û ÓÖ º ¹½¼½º ½ ÒÝÐÓÔ Ö Ø ÒÒ º Ì Ø Ò ÉÙÖÖ º ÒÝÐÓÔ Ö Ø ÒÒ ÇÒÐ Ò Ñ Ø ÓÒº ÒÝÐÓÔ Ö Ø ÒÒ ÁÒº ¾¼½¾º ÃÓÖ ÓÒ Ò Àº Å Ø Ñ Ø Ò ØÓÖ Ò Ò Ð ÑÓ º Å Ã ¹ Ù Ø ÒÒÙ ÇÖ Ñ ØØ Ð»Ä Ø º ½ ÃÓ Ý Ìº Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÆÙÑ Ö Ì ÓÖÝ Û Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ º Ñ ÈÖ Ñ Ø Ö Ñ º ¹ ¾ º ¾¼¼ ½¼ ÄÓÓÑ º ˺ Ì ÈÝØ ÓÖ Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÁØ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ò ¹ ÐÝÞ Ò Ð Ò Ð Ó Ö Ô Ý Ó ËÓÙÖ ÓÖ Ø Ó Ø ÓÙÖ Ã Ò Ó ÈÖÓÓ º Æ ÌÅ Ï Ò ØÓÒ º º ½ ¾ ½½ ÄÓÓÑ º ˺ ÒÓØ Ö ÈÖÓÓ Ó Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ì ÓÖ Ñº Å ÎÓк ½ ¼½µ ÆÖÓº ½½ º ¾ ½¾ Å Ø Ð Ö Ø ÓÒº Ì Ì ÓÖ Ñ Ó ÈÝØ ÓÖ º Ô ÚÝ Øº ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø Ð Ö Ø ÓÒºÓÑ»ÔÝØ Ó ÓÖ Ò ØÖ ÔÐ º ØÑÐ Ð٠ع ØÙ º½¼º¾¼½¾

½ Å Ø Ï Ö ÓÙ º ÈÖÓÚ Ò ÌÖ Ò Ð ÓÒ ÖÙ ÒØ Û Ø ËËË Ë Ë Ë ÀÝÔÓØ ÒÙ Ä Ò ÇØ Ö Ì ÓÖ º Ô ÚÝ Øº ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø Û Ö ÓÙ ºÓÑ» ÓÑ ØÖÝ»ÓÒ ÖÙ ÒØ ØÖ Ò Ð» ÐÙ ØØÙ º º¾¼½¾ ½ Ñ Âº ÇÒ Ø ÈÓ Ð ØÝ Ó ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÈÖÓÓ Ó Ø ÈÝØ ÓÖ Ò Ì ÓÖ Ñº ÓÖÙÑ ÓÑ ØÖ ÓÖÙÑ ÆÖÓº ¾¼¼ µ º ¾ ¹¾

2024 © DocPlayer.fi Yksityisyyskäytäntö | Palveluehdot | Palaute