1. JOHDANTO Päätökset tehdään epävarmuuden vallitessa Tuotantojärjestelmien häiriöt voivat johtaa suuriin taloudellisiin menetyksiin Häiriöihin ja onnettomuuksiin liittyy kauaskantoisia seurauksia Tekniset tuotantojärjestelmät ovat monimutkaistuneet Uusia tuotantomenetelmiä otettu käyttöön Viranomaisvaatimuksia asetettu Systemaattiset analyysit auttavat varautumaan riskeihin
2. RISKI, EPÄVARMUUS JA TODENNÄKÖISYYS NYKYSUOMEN SANAKIRJA: RISKI = "menetyksen mahdollisuus", "tappion uhka" RISKIIN LIITTY AINA epävarmuus menetykset MENETYKSET VOIVAT OLLA MINKÄ TAHANSA ARVON MENETYKSIÄ: rahalliset arvot ympäristöarvot terveydelliset arvot yhteiskunnalliset arvot jne. MENETYKSIÄ PYRITÄÄN SAATTAMAAN YHTEISMITALLISIKSI monitavoiteoptimointi päätösanalyysi
EPÄVARMUUS JA EPÄTÄSMÄLLISYYS EI-TÄSMÄLLISYYS MONIMIELISYYS YLEISYYS EPÄTÄSMÄLLISYYS EPÄVARMUUS ONTOLOGINEN EPISTEMOLOGINEN LINGVISTINEN SYNTAKTINEN SEMANTTINEN PRAGMAATTINEN EKSTENSIONAALINEN INTENSIONAALINEN
RISKI, EPÄVARMUUS RISKIANALYYSISSA ON KYSYMYS EPÄVARMUUDESTA: menetyksiä aiheuttavat tapahtumat on täsmällisesti määritelty menetykset täsmällisesti määritelty (??) epävarmuus koskee menetysten suuruutta ja esiintymishetkeä RISKIANALYYSISSA MITATAAN EPÄVARMUUTTA LÄHES POIKKEUKSETTA TODENNÄKÖISYYDELLÄ
EPÄVARMUUDEN JA EPÄTÄSMÄLLISYYDEN MITTOJA USKOMUSFUNKTIOT ei-additiivinen todennäköisyys hankaluuksia esim. odotusarvojen määrittelyssä MAHDOLLISUUSMITAT perustuvat sumeiden joukkojen teoriaan soveltuvat epätäsmällisen päättelyn malleiksi vain vähän sovelluksia riskianalyysissa MONIARVOLOGIIKKA SYSTEEMITEOREETTISET MALLIT esim. differentiaali-inkluusiot
TODENNÄKÖISYYS EPÄVARMUUDEN MALLINA AKSIOMAATTINEN TODENNÄKÖISYYS: Kolmogorovin aksioomat todennäköisyys on numeroitavasti additiivinen, normeerattu mitta kaikki laskenta tapahtuu todennäköisyysmitan perusteella, esim. integrointeina todennäköisyydellä ei ole mitään tulkintaa KLASSINEN TODENNÄKÖISYYS: todennäköisyys = suotuisten alkeistapahtumien lkm/kaikkien alkeistapahtumien lkm indifferenssiperiaate FREKVENSSITODENNÄKÖISYYS: todennäköisyys = suhteellinen esiintymistiheys äärettömän pitkässä koesarjassa frekvenssitulkinta mahdollistaa tilastotieteen todennäköisyys on objektiivinen luonnonilmiön tai luonnon ominaisuus
TODENNÄKÖISYYS EPÄVARMUUDEN MALLINA (jatkoa) PROPENSITEETTITODENNÄKÖISYYS: todennäköisyys on ilmiöiden taipumus (l. propensiteetti) tuottaa tietynlaisia (äärettömän pitkiä) koesarjoja todennäköisyys on objektiivinen hypoteettinen propensiteettitulkinta LOOGINEN TODENNÄKÖISYYS: todennäköisyys on kahden loogisen väittämän, evidenssin ja hypoteesin välisen epätäydellisen implikaation mitta subjektiivisuus (?) vrt. moniarvologiikka, sumeat mallit
TODENNÄKÖISYYS EPÄVARMUUDEN MALLINA (jatkoa) SUBJEKTIIVINEN TODENNÄKÖISYYS: todennäköisyys on rationaalisen uskomuksen aste vedonlyöntitodennäköisyydet todennäköisyys riippuu subjektista ja hänen tietämyksestään tietyissä tilanteissa ja tietyillä oletuksilla todennäköisyydet ovat intersubjektiivisia ja lähestyvät long run -frekvenssejä normatiivinen ote: kaikki epävarmuus ilmaistava todennäköisyyksillä Bayesilainen tilastotiede KOULUKUNTAKIISTOJA OBJEKTIVISTIEN JA SUBJEKTIVISTIEN VÄLILLÄ subjektivistit voitolla (?)
TODENNÄKÖISYYSMALLIEN YLEINEN RAKENNE REAALIMAAILMA TODENNÄKÖISYYSMALLIT - alkeistapahtumat - todennäköisyysavaruuden alkiot, ω Ω - tapahtumat - todennäköisyysavaruuden osajoukot - todennäköisyydet - osajoukkojen mitat, A Ω, A F µ( A) = P( A) - tuntemattomat muuttujat - mitalliset reaaliarvoiset funktiot, X: Ω R, X ( ω )
TODENNÄKÖISYYSMALLIT SATUNNAISMUUTTUJAT JA NIIDEN JAKAUMAT: tuntemattoman muuttujan arvoa koskeva epävarmuus ilmaistaan todennäköisyysjakaumalla diskreetit ja jatkuvat jakaumat esim. normaalijakauma (keskeinen, koska se on monenlaisten prosessien rajajakauma) jakaumia voidaan karakterioida tunnusluvuilla; odotusarvot, fraktiilit, hajontamitat jakaumat on yleensä parametrisoitu, jolloin niitä on helppo estimoida havaintojen perusteella frekventistiset ja Bayesilaiset estimointimenetelmät oman epävarmuuden ilmaiseminen jakauman avulla: HARJOITELKAA
TODENNÄKÖISYYSMALLIT (jatkoa) MONIULOTTEISET SATUNNAISMUUTTUJAT JA NIIDEN JAKAUMAT: monen tuntemattoman muuttujan arvoja koskevan yhtäaikaisen kokonaisepävarmuuden malli tilastollisen riippuvuuden kuvaus tilastollinen riippuvuus: toisen muuttujan arvon tietäminen vaikuttaa toista muuttujaa koskevaan tietoon korrelaation yleistys esim. moniulotteinen normaalijakauma moniulotteiset satunnaismuuttujat ovat stokastisten prosessien erikoistapauksia moniulotteisia jakaumia l. tilastollisia riippuvuuksia voidaan kuvata graafisesti vaikutuskaavioilla (influence diagram) eli Bayesverkoilla (Bayesian network) Bayesverkot ovat erittäin havainnollisia ja käyttökelpoisia ja niille on kehitetty varsin tehokkaita laskentamenetelmiä
TODENNÄKÖISYYSMALLIT (jatkoa) ESIMERKKI BAYESVERKOSTA: (K,N) α Θ X K = virheiden lkm ohjelmassa Θ = parametri, virhetiheys X = virhetodennäköisyyteen vaikuttava tekijä, esim. jokin laatua mittaava suure α = parametri Y = parametrin α arvoa koskeva mittaus Z = tekijän X arvoa koskeva mittaus Y Z [Κ,Ν Θ] ~ bin(k,n,θ) [Θ α,x]: ln(θ/(1 Θ))=αX+ω, ω Ν(0,σ) [Y α]~ N(α,s) [Z X] ~ N(X,v)
TODENNÄKÖISYYSMALLIT (jatkoa) STOKASTISET PROSESSIT stokastinen prosessi = satunnaismuuttujien jono, X t (ω), t on esim aika tavoite määrittää X t (ω):n jakauma kullekin t:n arvolle MARKOVIN PROSESSIT esim. luotettavuusmallina JATKUVAN AJAN PROSESSIT Wiener-prosesit stokastiset differentiaaliyhtälöt lineaariset mallit; Kalman-suodatus
TODENNÄKÖISYYSMALLIT (jatkoa) PISTEPROSESSIT luotettavuusmallit vakuutusmatematiikka laskevat ajassa esiintyvien tapahtumien lukumäärää, laskuriprosessit pisteiden esiintymistä ohjaavat erilaiset (stokastiset) intensiteetit JONOPROSESSIT palvelusysteemien mallit jonoverkot nestejonot
TODENNÄKÖISYYSMALLIT (jatkoa) STOKASTINEN SUODATUS esim Kalman-suodin ennustusmallit tavoitteena tarkentaa tuntemattoman muuttujan jakaumaa havaintojen perusteella LÄHTÖKOHTA X(t), estimoitava tuntematon muuttuja, Y(t) mitattava tai havaittava muuttuja [Y(t) X(t)], Y(t):n jakauma ehdolla X(t) X(t) stokastinen liikeyhtälö, [X(t+u) X(t)], X(0):n jakauma TULOS [X(s) Y(τ), τ (0,t)] s = t, estimointi; s > t, ennustus; s < t, smoothing
3. RISKI JA SEN MITTAAMINEN RISKI = {epävarmuus, menetykset} L = menetykset L = {L 1,L 2,,L n } - eri menetyslajeja voitava mitata
3. RISKI JA SEN MITTAAMINEN (jatkoa) MENETYKSIÄ AIHEUTTAVAT TAPAHTUMAT: E = {E 1,E 2,,E k } - tapahtumat kyettävä tunnistamaan ja määrittelemään täsmällisesti - esim. laitevika, alihankinnan myöhöstyminen, jne. - on tiedettävä, millaisia menetyksiä kukin tapahtuma voi aiheuttaa - esim. laitevika aiheuttaa toimituksen myöhästymisen kahdella päivällä ja 10000 mk korjauskustannuksen, eli L(E 1 ) = {L 1 = 2 päivän myöh, L 2,= 10000 mk}
3. RISKI JA SEN MITTAAMINEN (jatkoa) TAPAHTUMIEN ESIINTYMISTODENNÄKÖISYYDET: P(E 1 ), P(E 2 ),,P(E k ) - riski on luennehdittu, kun menetysten luonne, syyt ja todennäköisyydet on tunnistettu ja määritetty RISKI: R = {(E 1,P(E 1 ),L(E 1 ), (E 2,P(E 2 ),L(E 2 ),,(E k,p(e k ),L(E k )} eli RISKI = menetysten todennäköisyysjakauma
3. RISKI JA SEN MITTAAMINEN (jatkoa) JOS ON OLEMASSA USEITA MENETYSTYYPPEJÄ, ON TARKASTELTAVA MENETYSTEN YHTEUSJAKAUMAA - havainnollistaminen vaikeaa TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAN SIJASTA VOIDAAN TARKASTELLA MENETYSTEN ODOTUSARVOJA R = E(L 1,L 2,,L n ) = E(L), eli RISKI = menetysten odotusarvo
3. RISKI JA SEN MITTAAMINEN (jatkoa) MENETYKSIÄ EI VOI AINA MITATA SUORAAN suuria menetyksiä halutaan painottaa enemmän kuin pieniä menetyslajit eivät ole yhtä tärkeitä halutaan kuvata päätöksentekijän riskiasenne MENETYSTEN ARVO (= menetetty hyöty) U(L) = U(L 1, L 2,...,L k ) U(L) on monitavoitteinen tai -attribuuttinen menetys- l. hyötyfunktio
3. RISKI JA SEN MITTAAMINEN (jatkoa) RISKI = hyödyn menetyksen odotusarvo: R = E(U(L)) HYÖTY- TAI MENETYSFUNTIOLLA ILMAISTAA PÄÄTÖKSENTEKIJÄN RISKIASENNE esim. lineaarinen hyötyfuntio <=> päätöksentekijä on riskineutraali HYÖTYFUKTIOLLA YHTEISMITALLISTETAAN ERILAISET MENETYKSET esim. additiivinen hyötyfunktio: U(L) = U(L 1,L 2,,L n ) = w 1 u 1 (L 1 ) + w 2 u 2 (L 2 )+ + w k u k (L k )
3. RISKI JA SEN MITTAAMINEN (jatkoa) JOSKUS EPÄVARMUUTTA MITATAAN TAPAHTUMAN ESIINTYMISTAAJUUDELLA AIKAYKSIKKÖÄ KOHTI => R = E(L) = fl, missä f = tapahtuman esiintymistaajuus erisuuruisia mentyksiä voidaan painottaa esim, määrittelemällä R = fl a voidaan määritellä erilaisia riskitaajuuksia (aggregoitu riskitaajuus, jne.)
3. RISKI JA SEN MITTAAMINEN (jatkoa) RISKITIHEYDET riskitiheys tai -intensiteetti, r i (x j,t) = taajuus, jolla tapahtuma E i esiintyy hetlellä t ja tuottaa tyypin j seurauksia väliltä (x j, x j +dx j ) menetys- ja aikayksikköä kohti monesti riittää, r i (x j,t) = r i (x j ) taajuus, jolla tapahtuma tuottaa tiettyä rajaa suurempia menetyksiä R ( x, t) = r ( x, t) dx i j i x j
3. RISKI JA SEN MITTAAMINEN (jatkoa) kokonaisriskitaajuudet: r( x, t) = r ( x, t) n j i j i= 1 R( x, t) = R ( x, t) n j i j i= 1
3. RISKI JA SEN MITTAAMINEN (jatkoa) kokonaisriski, eli aikana (0,T) ilmenevän tyypin j menetyksen odotusarvo T T r ( x j ) = r( x j, t) dt 0 T T R ( x j ) = R( x j, t) dt 0
3. RISKI JA SEN MITTAAMINEN (jatkoa) aggregoituriski, eli tietyn menetystyypin (k) yksiköissä laskettu riskitaajuus m r ( t) = a r ( x, t) i jk i j j= 1