Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa! Kirjoita selvästi jokaiseen paperiin minkä kokeen suoritat. Tentin tehtävät ovat 5 tehtävää tehtävistä 2, 3, 5, 7, 10 ja 11. Uusintavälikokeiden tehtävät ovat 1. vk: 1 4 2. vk: 5 8 3. vk: 9 12 1. Jos Fourier-muunnos määritellään kaavalla ˆf(ω) = d e i2πω x f(x) dx (esimerkiksi kun f on jatkuva funktio, joka on identtisesti nolla jonkin rajoitetun joukon ulkopuolella, jolloin integraaliin määrittelyssä ei ole ongelmia) niin pätee d ˆf(ω) 2 dω = d f(x) 2 dx. Jos sen sijaan määritellään g(ω) = d e iω x f(x) dx on olemassa vakio c siten, että d g(ω) 2 dω = c d f(x) 2 dx. Määritä edellä olevien tietojen perusteella vakioc. atkaisu: Määritelmistä seuraa, että g(ω) = ˆf ( 1 ω). 2π Näin ollen saadaan muuttujan vaihdolla ω = 2πξ g(ω) 2 dω = ˆf ( 1 ω) 2 d d 2π dω = (2π) d ˆf(ξ) 2 dξ = (2π) d f(x) 2 dx. d d Tästä päätellään, että c = (2π) d. 2. Määritä funktion f(t) = te t Fourier-muunnos. Voit käyttää hyväksi tietoa, että funktion g(t) = e t 2 Fourier-muunnos onĝ(ω) =. 4π 2 ω 2 +1 atkaisu: Annetun tuloksen mukaan e i2πωt e t 2 dt = 4π 2 ω 2 +1. Jos nyt derivoidaan ω:n suhteen (mikä on sallittua integraalin sisäpuolella koska e t suppenee riittävän nopeasti kohti 0 kun t ) niin saadaan i2π e i2πωt te t dt = 16π2 ω (4π 2 ω 2 +1) 2,
josta seuraa, että kysytty Fourier-muunnos on e i2πωt te t i8πω dt = (4π 2 ω 2 +1) 2. 3. Funktio f(t) = 2,t määrittää vaimennetun distribuution. Mikä on tämän vaimennetun distribuution Fourier-muunnos? (Perustele!) atkaisu: Kyseessä oleva vaimennettu distribuutio onf D (ϕ) = f(t)ϕ(t) dt = 2 ϕ(t) dt, missä ϕ S(). Määritelmän mukaan pätee silloin f D (ϕ) = f D (ˆϕ) = 2 ˆϕ(ω) dω. Fourier-muunnoksen kääntesikaavan nojalla pätee ˆϕ(ω) dω = ϕ(0) joten f D (ϕ) = 2ϕ(0) eli f D = 2δ 0. 4. Tunnetusti funktio u on harmoninen avoimessa joukossa Ω d jos u on jatkuva Ω:ssa ja jokaisella x 0 Ω on olemassa jono r n 0+ siten, että kun n on riittävän iso niin u(x 0 ) on keskiarvo funktion u arvoista r n - säteisen,x 0 -keskisen pallon pinnalla. Osoita tämän tuloksen avulla, että jos u on harmoninen joukossa (x,y) : y > 0}, jatkuva joukossa (x,y) : y 0} ja u(x,0) = 0 ja jos v(x,y) = u(x,y) kun y 0 ja v(x,y) = u(x, y) kuny < 0 niin v on harmoninen 2 :ssa. atkaisu: Koska u on jatkuva joukossa (x,y) : y 0} ja u(x,0) = 0 niin funktio v(x,y) on jatkuva joukossa 2. Tunnetusti pätee myös, että jos u on harmoinen joukossa Ω d niin u(x 0 ) on keskiarvo funktion u arvoista r-säteisen, x 0 -keskisen pallon pinnalla mikäli r on niin pieni, että B(x o,r) Ω. Olkoon (x 0,y 0 ) 2 mielivaltainen. Jos y 0 > 0 niin koska u on oletuksen mukaan harmoninen joukossa (x,y) : y > 0} ja v(x,y) = u(x,y) tässä joukossa niin v(x 0.y 0 ) = u(x 0,y 0 ) = 1 2πr (x x 0 ) 2 +(y y 0 u(x,y) ds = ) 2 =r 2 (x x 0 ) 2 +(y y 0 v(x,y) ds missä r < y ) 2 =r 2 0. Samoin jos y 0 < 0 niin v(x 0.y 0 ) = u(x 0, y 0 ) = 1 u(x,y) ds 2πr (x x 0 ) 2 +(y+y 0 ) 2 =r 2 = 1 2πr 1 2πr v(x, y) ds (x x 0 ) 2 +(y+y 0 ) 2 =r 2 = 1 2πr (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 =r 2 v(x,y) ds,
missä r < y 0. Jos lopuksi y 0 = 0 niin (x x 0 ) 2 +y 2 =r 2 v(x,y) ds = 0 kaikilla r koska v saa vastakkaismerkkiset arvot ympyrän x-akselin ylä- ja alapuolella olevilla osilla ja määritelmän mukaan v(x 0,0) = 0. Näin ollen u on joka pisteessä keskiarvo funktion arvoista ympyrän kehällä kunhan ympyrän säde on riittävän pieni eli siten myös kun säde onr n missär n 0+. Näin ollen v on harmoninen annetun tuloksen perusteella. 5. Olkoon Ω = (x,y) 2 : x = rcos(θ), y = rsin(θ), 0 < r < 1, 0 < θ < 5π } ja olkoon u(rcos(θ),rsin(θ)) = r 4 5 sin( 4 θ). Onko u harmoninen joukossa Ω? Onko u:n osittaisderivaatoilla raja-arvot kun 4 5 (x, y) Ω? (Perustele!) Vihje: Napakoordinaateilla Laplace-operaattori on 2 + 1 r 2 r + 1 2. Jos r r 2 θ 2 u C 1 (Ω) funktiolla r u(rcos(θ),rsin(θ)) olisi derivaatta, jolla olisi raja-arvo kun r 0 jokaisella θ (0, 5π 4 ). atkaisu: Jos merkitään v(r,θ) = u(rcos(θ),rsin(θ)) niin u on harmoninen jos ja vain jos v rr (r,θ)+ 1 r v r(r,θ)+ 1 r 2v θθ(r,θ) = 0 Tässä tapauksessa v r = 4 5 r 1 5 sin( 4θ), v 5 rr = 4 25 r 6 5 sin( 4θ) ja v 5 θθ = ( ) 4 2r 4 5 sin( 4 θ), joten 5 5 v rr (r,θ)+ 1 r v r(r,θ)+ 1 ( r 2v θθ(r,θ) = r 6 5 sin(θ) 4 25 + 4 5 16 ) = 0. 25 Kun y = 0 ja x [0,1] ja kun x = 0 ja y [ 1,0] niin u(x,y) = 0 (koska θ = 0 ja vastaavasti 5π jolloin 4 sin(4θ) = 0). Kun 5 x2 + y 2 = 1 ja (x,y) = (rcos(θ),rsin(θ)) niin u = sin( 4 θ) josta nähdään, ettei reunaarvojen sileydessä ole mitään ongelmia ja on jopa olemassa äärettömän 5 monta kertaa jatkuvasti derivoituva funktio joka saa samat arvot kuin u reunalla Ω. Jos valitaan θ = 5π niin 8 sin(4θ) = 5 sin(π) = 1 ja v 2 r(r,θ) = 4 5 r 1 5 kun r 0 jotenu / C 1 (Ω). 6. Olkoon Ω d avoin ja rajoitettu. Selitä miten lämpöyhtälön maksimiperiaatteen avulla voidaan osoittaa, että on olemassa korkeintaan yksi funktio u C (2,1) (Ω (0,T)) C(Ω [0,T)), joka on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa Ω (0,T) ja sellainen, että u(x,0) = g(x) kun x Ω ja u(x,t) = h(x,t) kunx Ω ja t (0,T).
atkaisu: Jos olisi olemassa kaksi ratkaisua u 1 ja u 2 niin lineaarisuuden nojalla myös niiden erotusu = u 1 u 2 olisi lämpöyhtälön ratkaisu ja koska u 1 ja u 2 toteuttaa samat alku- ja reunaehdot, niin u(x,t) = 0 kun x Ω ja t = 0 ja kun x Ω ja t [0, T). Koska Ω on rajoitettu niin lämpöyhtälön maksimiperiaatteen mukaan pätee u(x,t) max (y,s) Γ t u(y,s), x Ω, t (0,T), missäγ t = ( Ω [0,t]) (Ω 0}). Kuten edellä todettiin päteeu(y,s) = 0 kun (y,s) Γ t josta seuraa, että u(x,t) 0 kaikilla x Ω ja t [0, T). Koska u on myös lämpöyhtälön ratkaisu saadaan samalla tavalla u(x,t) 0 joten u(x,t) = 0 eli u 1 (x,t) = u 2 (x,t) kaikilla x Ω ja t [0,T), eli on olemassa korkeintaan yksi ratkaisu. 7. atkaise aaltoyhtälö u tt (x,t) = c 2 u xx (x,t), u x (0,t) = 0, u(x,0) = g(x), u t (x,0) = h(x), x > 0, t > 0. atkaisu: Määrittele g(x) = g( x) ja h(x) = h( x) kun x < 0. Aaltoyhtälön ratkaisu kun x ja t > 0 on silloin u(x,t) = 1 2 (g(x+ct)+g())+ 1 2c Koskag ja h ovat parilliset niin u( x,t) = 1 2 (g( x+ct)+g( ))+ 1 2c = 1 2 (g()+g(x+ct))+ 1 2c = 1 2 (g(x+ct)+g())+ 1 2c x+ct x+ct x+ct x+ct h(s) ds. h(s) ds h( s) ds h(s) ds = u(x,t), eli myös u on parillinen. Koska nyt u( x,t) = u(x,t) niin u x ( x,t) = u x (x,t) joten erikoisesti u x (0,t) = u x (0,t), eliu x (0,t) = 0. Käyttämällä vielä kerran hyödyksi g:n ja h:n parillisuutta saamme u(x,t) = 1 2 (g(x+ct)+g())+ 1 2c x+ct h(s) ds, x ct,
ja u(x,t) = 1 2 (g(x+ct)+g(ct x)) + 1 2c x+ct ct x h(s) ds+ 1 c ct x 0 h(s) ds, x < ct. 8. Määritä yhtälön u(x,t)+ f(u(x,t))) = 0 ratkaisu kun t > 0 olettaen, että f(u) = u + u 3 ja u(x,0) = 2 kun x < 1 ja u(x,0) = 1 kun t x x > 1. atkaisu: Koska f (u) = 1+3u 2 niin karakteristikoiden yhtälö on ξ (t) = f (u(ξ(t),t)) = f (u(ξ(0),0)) (koska u on vakio karakteritisella suoralla). Näin ollen ξ (t) = 13 jos ξ(0) < 1 ja ξ (t) = 4 jos ξ(0) > 1 joten karakteristikat leikkaavat toisiaan ja ratkaisu on epäjakuva siten, että u(x,t) = 2 kun x < h(t) ja u(x,t) = 1 kun x > h(t). Funktio h määräytyy nakine- Hugoniotin ehdosta h (t) = f(2) f(1) 2 1 = 10 2 1 ja koska h(0) = 1 saadaan ratkaisuksi 2, x < 8t+1, u(x,t) = 1, x > 8t+1. = 8, 9. Olkoon f(x) = 1, L/2 x L/2 0, L/2 < x L. (a) Laske sen koko (reaalinen) Fourier-sarja. Onko suppeneminen tasaista tarkasteluvälillä [ L,L]? (b) Mihin sarja suppenee kun x = ±L? (c) Kuinka nopeasti σ 2 N pienenee? 10. Diskretoi (keskeis)differenssimenetelmällä Dirichlet-Neumann reunaarvotehtävä u (x)+qu(x) = f(x), x (0,1), u(0) = 0, u (1) = 0 jossaq > 0 ja f jatkuva.
11. Aaltoyhtälön u tt = c 2 u xx, 0 < x < 1, t > 0, u(0,t) = u(1,t) = 0, u(x,0) = f(x), u t (x,0) = g(x) diskretoinnissa eräällä 2-askelmenetelmällä päädyttiin systeemiin: u k+1 h = 2u k h uk 1 h +c 2 δ 2 h u h u 0 h = f h, u 1 h = (I + c2 δ 2 2 h)f h +δ Millainen stabiiliusehto δ:lle näistä johdettiin? (Vihje: h :n ominaisvektoreista alkavien ratkaisujen (energian) ei tulisi kasvaa eikä vaimeta.) 12. (a) Kirjoita tehtävälle u (x)+xu(x) = 1, x (0,1), u(0) = 0, u (1) = 1, variaatioformulaatio. (b) Muodosta vastaava Galerkin-approksimaatio-probleema funktioiden v 1 (x) = x, v 2 (x) = x 2 virittämässä aliavaruudessa. Huom: tämän tulosta ei tarvitse kuitenkaan ratkaista.