Ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälö

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Viivi Seppälä Ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälö Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 204

Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SEPPÄLÄ, VIIVI: Ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälö Pro gradu -tutkielma, 50 s Matematiikka Huhtikuu 204 Tiivistelmä Tässä tutkielmassa tarkastellaan äärellisiä ja äärettömiä ketjumurtolukuja, sekä niiden yhtä sovellusta, Pellin yhtälöä Ensimmäinen luku liittyy äärellisiin ketjumurtolukuihin Luvussa esitellään äärelliisiin ketjumurtolukuihin liittyviä määritelmiä, sekä niiden ominaisuuksia Luvussa todistetaan esimerkiksi äärellisten ketjumurtolukujen ja rationaalilukujen välinen yhteys Lisäksi ensimmäisessä luvussa käsitellään hieman ketjumurtolukujen konvergentteja Toisessa luvussa käsitellään äärettömiä ketjumurtolukuja, ja osoitetaan esimerkiksi äärettömien ketjumurtolukujen ja irrationaalilukujen välinen yhteys Osoitetaan, että jokainen yksinkertainen ääretön ketjumurtoluku vastaa irrationaalilukua ja vastaavasti jokainen irrationaaliluku voidaan esittää yksikäsitteisesti yksinkertaisena äärettömänä ketjumurtolukuna Kolmas luku keskittyy jaksollisiin ketjumurtolukuihin Siinä käsitellään kvadraattisia irrationaalilukuja ja niiden ominaisuuksia sekä tutustutaan redusoituihin kvadraattisiin irrationaalilukuihin Osoitetaan kvadraattisten irrationaalilukujen ja jaksollisten ketjumurtolukujen välinen yhteys, sekä redusoitujen kvadraattisten irrationaalilukujen ja täysin jaksollisten ketjumurtolukujen välinen yhteys Lopuksi tutkitaan luvun d ketjumurtolukuesitystä silloin, kun luku d on positiivinen kokonaisluku eikä se ole täydellinen neliö Tutkielman neljännessä luvussa käsitellään Diofantoksen yhtälöiden erityistapausta, Pellin yhtälöä, joka on muotoa x 2 dy 2 = Tarkastellaan, miten luvun d jaksollisen ketjumurtolukuesityksen konvergentit ja Pellin yhtälön ratkaisut liittyvät toisiinsa Lopuksi tutkitaan vielä, miten Pellin yhtälön kaikki ratkaisut muodostuvat Tutkielmassa on käytetty päälähteenä Kenneth H Rosenin kirjaa Elementary Number Theory and Its Applications Sivulähteitä ovat Calvin T Longin kirja Elementary introduction to Number Theory sekä David M Burtonin kirja Elementary Number Theory 2

Sisältö Johdanto 4 Johdanto 4 2 Äärelliset ketjumurtoluvut 5 2 Äärellisten ketjumurtolukujen peruskäsitteitä 5 22 Äärelliset ketjumurtoluvut ja rationaaliluvut 6 23 Konvergentit 0 3 Äärettömät ketjumurtoluvut 6 3 Äärettömien ketjumurtolukujen peruskäsitteitä 6 32 Äärettömät ketjumurtoluvut ja irrationaaliluvut 6 4 Jaksolliset ketjumurtoluvut 28 4 Kvadraattiset irrationaaliluvut 28 42 Täysin jaksollisten ketjumurtolukujen ominaisuuksia 39 5 Pellin yhtälö 44 Lähteet 50 3

Johdanto Tämän tutkielma käsittelee äärellisiä ja äärettömiä ketjumurtolukuja, sekä niiden yhtä sovellusta, Pellin yhtälöä Tutkielman pääpaino on yksinkertaisissa ketjumurtoluvuissa Ensimmäinen luku liittyy äärellisiin ketjumurtolukuihin Luvussa esitellään äärelliisiin ketjumurtolukuihin liittyviä määritelmiä, sekä niiden ominaisuuksia Luvussa todistetaan esimerkiksi äärellisten ketjumurtolukujen ja rationaalilukujen välinen yhteys, eli kuinka jokainen yksinkertainen äärellinen ketjumurtoluku esittä rationaalilukua, ja jokainen rationaaliluku vastaa yksinkertaista äärellistä ketjumurtolukua Lisäksi ensimmäisessä luvussa käsitellään hieman ketjumurtolukujen konvergentteja, ja niiden tärkeimpiä ominaisuuksia Toisessa luvussa käsittellään äärettömiä ketjumurtolukuja, ja osoitetaan esimerkiksi äärettömien ketjumurtolukujen ja irrationaalilukujen välinen yhteys Osoitetaan, että jokainen yksinkertainen ääretön ketjumurtoluku vastaa irrationaalilukua ja vastaavasti jokainen irrationaaliluku voidaan esittää yksikäsitteisesti yksinkertaisena äärettömänä ketjumurtolukuna Kolmas luku keskittyy jaksollisiin ketjumurtolukuihin Siinä käsitellään kvadraattisia irrationaalilukuja ja niiden ominaisuuksia Tutustutaan myös redusoituihin kvadraattisiin irrationaalilukuihin Osoitetaan kvadraattisten irrationaalilukujen ja jaksollisten ketjumurtolukujen välinen yhteys, sekä redusoitujen kvadraattisten irrationaalilukujen ja täysin jaksollisten ketjumurtolukujen välinen yhteys Lopuksi tarkastellaan hieman luvun d ketjumurtolukuesitystä sellaisessa tapauksessa, kun luku d on positiivinen kokonaisluku eikä se ole täydellinen neliö Tutkielman neljännessä luvussa käsitellään Diofantoksen yhtälöiden erityistapausta, Pellin yhtälöä Pellin yhtälö on muotoa x 2 dy 2 = Tarkastellaan, miten luvun d jaksollisen ketjumurtolukuesityksen konvergentit ja Pellin yhtälön ratkaisut liittyvät toisiinsa Lopuksi tutkitaan vielä Pellin yhtälön kaikkien ratkaisuiden muodostamista luvun d jaksollisen ketjumurtolukuesityksen konvergenttien ja jakson pituuden avulla Tutkielmassa on käytetty päälähteenä Kenneth H Rosenin kirjaa Elementary Number Theory and Its Applications Sivulähteitä ovat Calvin T Longin kirja Elementary introduction to Number Theory sekä David M Burtonin kirja Elementary Number Theory 4

2 Äärelliset ketjumurtoluvut 2 Äärellisten ketjumurtolukujen peruskäsitteitä Tässä pykälässä esitämme muutamia määritelmiä, jotka koskevat äärellisiä ketjumurtolukuja Eukleideen algoritmin avulla on mahdollista esittää rationaaliluvut ketjumurtolukuina Esimerkiksi Eukleideen algoritmi tuottaa seuraavanlaisen yhtälöiden jonon: 23 = 9 2 + 5 9 = 5 + 4 5 = 4 + 4 = 4 + 0 Kun jaamme yhtälön molemmat puolet kyseisen yhtälön jakajalla, saamme 9 23 = 0 + 9 23 = 0 + 23/9 23 = 2 + 5 9 9 = 2 + 9/5 9 5 = + 4 5 = + 5/4 5 4 = + 4 Yhdistämällä edellä esitellyt yhtälöt, huomaamme, että saamme alkuperäisen murtoluvun 9 23 ilmaistua muiden murtolukujen avulla seuraavasti: 9 23 = 23/9 = = = = 2 + 5 9 2 + 9/5 2 + + 4/5 2 + + 5/4 5

= 2 + + + 4 Edellä esitettyjen yhtälöiden ketjun lopullinen muoto on ketjumurtolukuesitys äärelliselle murtoluvulle 9 23 Seuraavaksi esitämme määritelmän ketjumurtoluvuille Määritelmä 2 Äärellisellä ketjumurtoluvulla tarkoitetaan esitystä a 0 + a + a 2 + + a n +, a n missä a 0, a, a 2,, a n ovat reaalilukuja siten, että a, a 2, a 3,, a n ovat positiivisia Reaalilukuja a, a 2, a 3,, a n kutsutaan ketjumurtoluvun osanimittäjiksi Ketjumurtolukua kutsutaan yksinkertaiseksi, jos reaaliluvut a 0, a, a 2,, a n ovat kaikki kokonaislukuja Koska ketjumurtolukujen kirjoittaminen kokonaan auki murtolukumuodossa on monimutkaista, otamme käyttöön notaation [a 0 ; a, a 2,, a n ] esittämään ketjumurtolukua äärellisten ketjumurtolukujen tapauksessa 22 Äärelliset ketjumurtoluvut ja rationaaliluvut Seuraavaksi tarkastelemme äärellisten ketjumurtolukujen ja rationaalilukujen välistä yhteyttä Tulemme näyttämään, että jokainen yksinkertainen ketjumurtoluku edustaa jotakin rationaalilukua Myöhemmin tulemme todistamaan myös, että jokainen rationaaliluku voidaan esittää yksinkertaisena äärellisenä ketjumurtolukuna Lause 2 Jokainen yksinkertainen äärellinen ketjumurtoluku edustaa rationaalilukua Todistus (Vrt [4, s 443]) Todistamme lauseen käyttämällä matemaattista induktiota Kun n =, ketjumurtolukuesitys on muotoa [a 0 ; a ] = a 0 + a = a 0a + a, joka on rationaalinen Seuraavaksi tehdään induktio-oletus, että yksinkertainen ketjumurtoluku [a 0 ; a, a 2,, a k ] on rationaalinen, kun n = k ja kun a 0, a,, a k 6

ovat positiivisia kokonaislukuja Olkoot a 0, a,, a k+ positiivisia kokonaislukuja Huomataan, että [a 0 ; a, a 2,, a k+ ] = a 0 + [a ; a 2,, a k, a k+ ] Induktio-oletuksen nojalla [a ; a 2,, a k, a k+ ] on rationaalinen; on siis olemassa sellaiset kokonaisluvut r ja s, s 0, että ketjumurtoluku [a ; a 2,, a k, a k+ ] on yhtäsuuri kuin r/s Nyt siis [a 0 ; a,, a k, a k+ ] = a 0 + r/s = a 0r + s, r joka on edelleen rationaaliluku Induktioperiaatteen mukaan väite on siis tosi Huomautus 2 Ks [4, s443] Lähdeteoksessa lauseen 27 todistuksessa (vrt tutkielman lauseen 2 todistus) yhtälön tilalla pitäisi olla yhtälö [a 0 ; a ] = a 0 + a = a 0a + a 0 [a 0 ; a ] = a 0 + a = a 0a + a Seuraavaksi näytämme Eukleideen algoritmin avulla, että jokainen rationaaliluku voidaan esittää äärellisenä yksinkertaisena ketjumurtolukuna Lause 22 Jokainen rationaaliluku voidaan esittää äärellisenä yksinkertaisena ketjumurtolukuna Todistus (Vrt [4, s 444] Olkoon x = a/b, missä a ja b ovat kokonaislukuja ja b > 0 Asetetaan r 0 = a ja r = b Nyt Eukleideen algoritmi tuottaa seuraavanlaisen yhtälöiden jonon: r 0 = r q + r 2, 0 < r 2 < r, r = r 2 q 2 + r 3, 0 < r 3 < r 2, r 2 = r 3 q 3 + r 4, 0 < r 4 < r 3, r n 3 = r n 2 q n 2 + r n, 0 < r n < r n 2, r n 2 = r n q n + r n, 0 < r n < r n, r n = r n q n Näissä yhtälöissä termit q,q 2,,q n ovat positiivisia kokonaislukuja Kun nämä 7

yhtälöt kirjoitetaan murtolukumuotoon, saadaan yhtälöt a b = r 0 = q + r 2 = q +, r r r /r 2 r = q 2 + r 3 = q 2 +, r 2 r 2 r 2 /r 3 r 2 = q 3 + r 4 = q 3 +, r 3 r 3 r 3 /r 4 r n 3 = q n 2 + r n = q n 2 +, r n 2 r n 2 r n 2 /r n r n 2 = q n + r n = q n + r n r n r n = q n r n r n /r n, Sijoittamalla murtoluvun r /r 2 arvo toisesta yhtälöstä ensimmäiseen yhtälöön, saamme yhtälön a b = q + q 2 + r 2 /r 3 Samalla tavalla voimme sijoittaa murtoluvun r 2 /r 3 arvon kolmannesta yhtälöstä edellä esitettyyn yhtälöön, jolloin yhtälö tulee muotoon a b = q + q 2 + q 3 + r 3 /r 4 Jatkamalla tätä menettelyä huomaamme, että a b = q + q 2 + q 3 + +q n + q n Siis a b = [q ; q 2,,q n ] On siis osoitettu, että jokainen rationaaliluku voidaan esittää äärellisenä yksinkertaisena kutjumurtolukuna Huomautus 22 Ks [4, s 444] Lähdeteksen lauseessa 28 (vrt tämän tutkielman lause 22) esiintyneiden termien r + 0, r + ja r + 2 tilalla pitäisi olla termit r 0, r ja r 2 8

Huomaamme, että rationaalilukujen ketjumurtolukuesitykset eivät ole yksikäsitteisiä, vaan ketjumurtoluvun viimeistä termiä voidaan muuttaa Jos a n >, voidaan viimeinen termi kirjoittaa muodossa a n = (a n ) + = (a n ) + Tätä yhtälöä käyttämällä voidaan edelleen merkitä, että [a 0 ; a, a 2,, a n, a n ] = [a 0 ; a, a 2,, a n, a n,] Jos a n =, silloin a n + a n = a n + = a n + Näin ollen [a 0 ; a, a 2,, a n, a n ] = [a 0 ; a, a 2,, a n 2, a n + ] Jokaisella rationaaliluvulla on siis kaksi ketjumurtolukuesitystä siten, että toisessa on parillinen määrä ja toisessa pariton määrä termejä (Vrt [, s 285]) Esimerkki 2 Tarkastellaan murtolukua 7 Muodostetaan tekijöiden avulla seuraavat yhtälöt: 7 = 0 + 7 = 0 + /7, = + 4 7 7 = + 7/4, 7 4 = + 3 4 = + 4/3, 4 3 = + 3 = + 3/ Nämä yhtälöt yhdistämällä huomaamme, että 7 = 0 + + + + 3 Tämä ketjumurtolukuesitys voidaan kirjoittaa lyhyemmin muodossa [0;,,, 3] Kuten edellä totesimme, ketjumurtolukuesitykset eivät ole yksikäsitteisiä, joten muroluku 7 voidaan ilmoittaa myös toisenlaisena ketjumurtolukuna Edellä totesimme, että jos [a 0 ; a, a 2,, a n, a n ] on jonkin luvun ketjumurolukuesitys, niin [a 0 ; a, a 2,, a n, a n,] on myös sellainen Tämä tarkoittaa, että 7 voidaan 9

esittää myös muodossa: 7 = 0 + + + +, 2 + joka on lyhemmin ilmaistuna [0;,,,2,] Nyt siis on voimassa 23 Konvergentit 7 = [0;,,,3] = [0;,,,2,] Tässä luvussa tarkastelemme lukuja, jotka on saatu äärellisestä ketjumurtoluvusta katkaisemalla esitys halutusta kohdasta Määritelmä 22 Ketjumurtolukua [a 0 ; a, a 2,, a k ], missä 0 k n, sanotaan ketjumurtoluvun [a 0 ; a, a,, a n ] k konvergentiksi Tätä konvergenttia merkitään symbolilla C k Käymme seuraavaksi läpi menetelmän, jolla ketjumurtolukujen konvergentteja voidaan muodostaa Lause 23 Olkoot a 0, a, a 2,, a n reaalilukuja siten, että a, a 2,, a n ovat positiivisia Määritellään jonot p 0, p,, p n ja q 0,q,,q n rekursiivisesti yhtälöillä ja p 0 = a 0, q 0 =, p = a 0 a +, q = a p k = a k p k + p k 2, q k = a k q k + q k 2, kun k = 2,3,,n Silloin k konvergentti C k = [a 0 ; a, a 2,, a n ] toteuttaa yhtälön C k = p k q k Todistus (Vrt [4, s 445-446]) Todistamme tämän lauseen matemaattisella induktiolla Kun k = 0, niin C 0 = [a 0 ] = a 0 = p 0 q 0 Kun k =, huomaamme, että Väite on siis tosi, kun k = 0 ja k = C = [a 0 ; a ] = a 0 + a = a 0a + a = p q 0

Seuraavaksi oletamme, että väite on tosi positiivisella kokonaisluvulla k silloin, kun 2 k < n Tämä tarkoittaa, että C k = [a 0 ; a,, a k ] = p k q k = a k p k + p k 2 a k q k + q k 2 Rekursioyhtälöiden perusteella havaitaan, että reaaliluvut p k, p k 2,q k 2 riippuvat ainoastaan luvuista a 0, a,, a k Näin ollen reaaliluku a k voidaan korvata luvulla a k + /a k+, jolloin huomaamme, että [ C k+ = [a 0 ; a,, a k, a k+ ] = a o ; a,, a k, a k + ] a k+ = (a k + a k+ )p k + p k 2 (a k + a k+ )q k + q k 2 = a k p k + p k a k+ + p k 2 a k q k + q k a k+ + q k 2 = a k+a k p k + p k + a k+ p k 2 a k+ a k q k + a k+ q k 2 = a k+(a k p k + p k 2 ) + p k a k+ (a k q k + q k ) + q k = a k+p k + p k a k+ q k + q k = p k+ q k+ Väite on siis tosi arvolla k +, joten induktioperiaatteen mukaan alkuperäinen väite on todistettu todeksi Huomautus 23 Luvut p k ja q k voidaan määritellä myös yhtälöillä ja kun 0 k n (vrt [3, s 24]) p 2 = 0, q 2 =, p =, q = 0 p k = a k p k + p k 2, q k = a k q k + q k 2, Seuraavaksi havainnollistamme konvergenttien muodostamista esimerkin avulla Esimerkki 22 Tarkastellaan lukua 57/3 Sen ketjumurtolukuesitys on [4; 2,,, 2] Kyseisen ketjumurtolukuesityksen kaikki konvergentit on mahdollista määrittää edellä esitettyjen rekursioyhtälöiden avulla Tällöin p 0 = 4, q 0 =, p = 4 2 + = 9, q = 2, p 2 = 9 + 4 = 3, q 2 = 2 + = 3, p 3 = 3 + 9 = 22, q 3 = 3 + 2 = 5, p 4 = 2 22 + 3 = 57, q 4 = 2 5 + 3 = 3

Konvergentit C k (k = 0,,,4) ovat siis C 0 = p 0 /q 0 = 4/ = 4, C = p /q = 9/2, C 2 = p 2 /q 2 = 3/3, C 3 = p 3 /q 3 = 22/5, C 4 = p 4 /q 4 = 57/3 Seuraavaksi esitämme ja todistamme toisen tärkeän ketjumurtolukujen konvergentteihin liittyvän ominaisuuden Lause 24 Olkoon C k = p k /q k ketjumurtoluvun [a 0 ; a, a 2,, a n ] k konvergentti ja k n Tällöin p k q k p k q k = ( ) k Todistus (Vrt [4, s 447]) Todistamme lauseen matemaattisen induktion avulla Kun k =, lauseen 23 rekursioyhtälöiden perusteella saamme p q 0 p 0 q = (a 0 a + ) a 0 a = = ( ) k, joten väite on tosi kun k = Oletetaan sitten, että väite on tosi luvun k positiivisilla kokonaislukuarvoilla, joilla on voimassa k n Nyt siis p k q k p k q k = ( ) k Rekursioyhtälöiden sekä induktio-oletuksen avulla saadaan yhtälöketju p k+ q k p k q k+ = (a k+ p k + p k )q k p k (a k+ q k + q k ) = a k+ p k q k + p k q k a k+ p k q k p k q k = p k q k p k q k = (p k q k p k q k ) = ( ) k = ( ) k, joten väite on tosi arvolla k + Näin ollen alkuperäinen väite on induktioperiaatteen mukaan tosi Seuraavaksi havainnollistamme tätä lausetta esimerkin 22 avulla, jolla havainnollistimme myös lausetta 23 Esimerkki 23 Luvun 57/3 ketjumurtolukuesitys on [4; 2,,, 2] Edellisen lauseen perusteella on voimassa p 0 q p q 0 = 4 2 9 = p q 2 p 2 q = 9 3 3 2 = p 2 q 3 p 3 q 2 = 3 5 22 3 = 2

Seuraavaksi esitämme seuraksen, joka osoittaa, että yksinkertaisen ketjumurtoluvun konvergentit ovat supistetussa muodossa, kun k =, 2, Seuraus 2 Olkoon C k = p k /q k yksinkertaisen ketjumurtoluvun [a 0 ; a, a 2,, a n ] k konvergentti Lisäksi p k ja q k ovat kokonaislukuja ja ne on määritelty kuten lauseessa 23 Tällöin kyseiset kokonaisluvut p k ja q k ovat suhteellisia alkulukuja Todistus (Vrt [4, s 447-448]) Olkoon d = (p k,q k ) Lauseen 24 perusteella tiedämme, että p k q k p k q k = ( ) k Näin ollen tiedämme myös, että d ( ) k, jolloin siis on voimassa sekä d ja d ( ) Tästä seuraa, että d = Koska d = (p k,q k ) =, niin lukujen p k ja q k on oltava keskenään jaottomia, ja väite siis pätee Seuraus 22 Olkoon C k = p k /q k yksinkertaisen ketjumurtoluvun [a 0 ; a, a 2,, a n ] k konvergentti Tällöin C k C k = ( )k q k q k kaikilla kokonaisluvuilla k, missä k n Lisäksi seuraava yhtälö on voimassa C k C k 2 = a k ( ) k q k q k 2 kaikilla kokonaisluvuilla k, missä 2 k n Todistus (Vrt [4, s 448]) Lauseen 24 perusteella tiedämme, että p k q k p k q k = ( ) k Kun jaamme tämän yhtälön puolittain luvulla q k q k, saamme yhtälön C k C k = ( )k q k q k Näin ollen ensimmäinen yhtälö on siis voimassa Seuraavaksi tarkastelemme erotusta C k C k 2 Huomaamme, että C k C k 2 = p k q k p k 2 q k 2 = p kq k 2 p k 2 q k q k q k 2 Lauseen 23 rekursioyhtälöiden avulla tiedetään, että p k = a k p k + p k 2 ja q k = a k q k + q k+2 Lisäksi tiedämme lauseen 24 perusteella, että p k q k 2 p k 2 q k = ( ) k 2 Näiden tietojen avulla saamme erotuksen C k C k 2 oikeanpuoleisen lausekkeen osoittajan muotoon p k q k 2 p k 2 q k = (a k p k + p k 2 )q k 2 p k 2 (a k q k + q k 2 ) = a k p k q k 2 + p k 2 q k 2 p k 2 a k q k p k 2 q k 2 = a k (p k q k 2 p k 2 q k ) = a k ( ) k 2 3

Nyt huomaamme, että C k C k 2 = a k ( ) k 2 q k q k 2 Näin ollen toinenkin yhtälö on voimassa = a h( ) k q k q k 2 Huomautus 24 Ks [4, s 448] Lähdeteoksen seurauksessa 23 (vrt tämän tutkielman seuraus 22) esiintyneen yksinkertaisen ketjumurtoluvun [a 0 ; a, a 2,, a k ] tilalla pitäisi olla ketjumurtoluku [a 0 ; a, a 2,, a n ] Lause 25 Olkoon C k yksinkertaisen ketjumurtoluvun [a 0 ; a, a 2,, a n ] k konvergentti Tällöin C > C 3 > C 5 >, C 0 < C 2 < C 4 <, ja jokainen parittomasti indeksöity konvergentti C 2j+, j = 0,,2, on jokaista parillisesti indeksöityä konvergenttia C 2j, j = 0,,2, suurempi Todistus (Vrt [4, s 449]) Seurauksen 22 mukaan kun k = 2, 3,, n, niin C k C k 2 = a k ( ) k q k q k Kun luku k on pariton, edellä esitetyn yhtälön oikea puoli on negatiivinen Tiedämme siis, että silloin C k < C k 2 on voimassa Parittomasti indeksöidyt konvergentit muodostavat siis aidosti vähenevän jonon Vastaavasti jos luku k on parillinen, on edellä esitetyn yhtälön oikea puoli positiivinen, jolloin saamme epäyhtälön C k > C k 2 Parillisesti indeksöidyt konvergentit muodostavat siis aidosti kasvavan jonon Toisin sanoen tiedämme, että C > C 3 > C 5 > Lisäksi tiedämme, että C 0 < C 2 < C 4 < On vielä osoitettava, että jokainen parittomasti indeksöity konvergentti on jokaista parillisesti indeksöityä konvergenttia suurempi Seurauksen 22 mukaan tiedämme, että C 2m C 2m = ( )2m q 2m q 2m < 0 Tämän perusteella siis C 2m > C 2m Kun vertailemme konvergentteja C 2k ja C 2j, huomaamme, että C 2j > C 2j+2k > C 2j+2k > C 2k Näin ollen siis jokainen parittomasti indeksöity konvergentti on jokaista parillisesti indeksöityä konvergenttia suurempi 4

Esimerkki 24 Tarkastellaan vielä aiemmin esitetyn esimerkin 22 ketjumurtoluvun [4; 2,,,2] konvergentteja Esitämme konvergentit murtolukumuodossa: C 0 = 4, C = 9 2 = 4,5, C 2 = 3 3 = 4,3333, C 3 = 22 5 = 4,4, C 4 = 57 3 = 4,3846 Huomaamme, että lauseen 25 mukaisesti on voimassa C 0 = 4 < C 2 = 4,333 < C 4 = 4,3846 < C 3 = 4,4 < C = 4,5 5

3 Äärettömät ketjumurtoluvut Tässä luvussa perehdymme hieman äärettömiin ketjumurtolukuihin ja tarkastelemme niiden ominaisuuksia aiemmin esitettyjen tulosten avulla 3 Äärettömien ketjumurtolukujen peruskäsitteitä Aluksi esitämme kaksi määritelmää äärettömiin ketjumurtolukuihin liittyen Määritelmä 3 Äärettömällä ketjumurtoluvulla tarkoitamme lauseketta a 0 + a + a 2 + b b 2 b 3 a 3 + b 4, missä a 0, a, a 2, ja b, b 2, b 3, ovat reaalilukuja Määritelmä 32 Yksinkertaisella äärettömällä ketjumurtoluvulla tarkoitamme lauseketta a 0 +, a + a 2 + a 3 + missä a 0 on kokonaisluku ja a, a 2, a 3, ovat positiivisia kokonaislukuja Tässä luvussa käsittelemme yksinkertaisia äärettömiä ketjumurtolukuja Näiden ketjumurtolukujen termejä a, a 2, kutsutaan osanimittäjiksi, kuten äärellistenkin ketjumurtolukujen tapauksessa Yksinkertaiselle ketjumurtoluvulle otamme käyttöön samankaltaisen notaation kuin äärellisille ketjumurtoluvuille, eli merkitsemme niitä [a 0 ; a, a 2, ] 32 Äärettömät ketjumurtoluvut ja irrationaaliluvut Äärellisten ketjumurtolukujen tapauksessa tutkimme niiden ja rationaalilukujen välistä yhteyttä Tässä pykälässä tutkimme vastaavasti äärettömien ketjumurtolukujen ja irrationaalilukujen välistä yhteyttä Lause 3 Olkoon a 0, a, a 2, ääretön jono kokonaislukuja siten, että a, a 2, ovat positiivisia kokonaislukuja Olkoon lisäksi C k = [a 0 ; a, a 2,, a k ] Tällöin konvergentit C k lähestyvät raja-arvoa α, toisin sanoen lim C k = α k 6

Ennen kuin todistamme lauseen 3, määrittelemme, että α = [a 0 ; a, a 2, ] Eli α on yksinkertaisen äärettömän ketjumurtoluvun arvo Jotta saamme lauseen 3 todistettua, näytämme, että parillisesti indeksöityjen konvergenttien ääretön jono on kasvava ja sillä on yläraja Lisäksi näytämme, että parittomasti indeksöityjen konvergenttien ääretön jono on vähenevä ja sillä on olemassa alaraja Tämän jälkeen osoitamme, että näiden kahden jonon raja-arvot ovat samat Todistus (Vrt [4, s 452-453]) Olkoon m positiivinen parillinen kokonaisluku Lauseen 25 perusteella tiedämme, että C > C 3 > C 5 > > C m, C 0 < C 2 < C 4 < < C m, ja C 2j < C 2k+ aina, kun 2j m ja 2k + < m Kun tarkastelemme kaikki mahdolliset arvot jotka m voi saada, huomaamme, että C > C 3 > C 5 > > C 2n > C 2n+ >, C 0 < C 2 < C 4 < < C 2n 2 < C 2n < ja C 2j < C 2k+ kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla j ja k Parittomasti indeksöidyt konvergentit C,C 3,C 5, muodostavat alhaalta rajoitetun aidosti vähenevän jonon, joka lähestyy raja-arvoa α Parillisesti indeksöidyt konvergentit C 0,C 2,C 4, vastaavasti muodostavat ylhäältä rajoitetun aidosti kasvavan jonon, joka lähestyy raja-arvoa α 2 Näin ollen lim 2n+ n = α, lim 2n n = α 2 Tarkoituksenamme on nyt osoittaa näiden kahden raja-arvon yhtäsuuruus Seurauksen 22 mukaan on voimassa C 2n+ C 2n = p 2n+ q 2n+ p 2n q 2n = ( )(2n+) q 2n+ q 2n = q 2n+ q 2n Koska q k > k kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla k, saamme epäyhtälön q 2n+ q 2n < (2n + )(2n), ja näin ollen C 2n+ C 2n = lähestyy nollaa Tämä tarkoittaa, että q 2n+ q 2n lim (C 2n+ C 2n ) = 0 n 7

Nyt siis tiedämme, että lim (C 2n+ C 2n ) = lim C 2n+ lim C 2n = 0, n n n eli jonoilla C,C 3,C 5, ja C 0,C 2,C 4, on sama raja-arvo Olemme siis osoittaneet, että α = α 2, ja voimme siis päätellä, että kaikki konvergentit lähestyvät rajaarvoa α = α = α 2 Näin ollen väite on siis todistettu Huomautus 3 Ks [4, s 478] Lähdeteoksessa lauseen 23 todistuksessa (vrt tämän tutkielman lauseen 3 todistus) epäyhtälön C 2j > C 2k+ tilalla pitäisi olla epäyhtälö C 2j < C 2k+ Aiemmin osoitimme jo, että jokaisella rationaaliluvulla on olemassa äärellinen yksinkertainen ketjumurtolukuesitys Seuraavaksi osoitamme, että jokaisen äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvo on irrationaaliluku Lause 32 Olkoon a 0, a, a 2, kokonaislukuja siten, että a, a 2, ovat positiivisia Tällöin [a 0 ; a, a 2, ] on irrationaalinen Todistus (Vrt [3, s 222]) Lauseen 3 perusteella tiedämme, että luku α on aidosti kasvavan jonon C 2n ja aidosti vähenevän jonon C 2n+ yhteinen raja-arvo, kun n on positiivinen kokonaisluku Näin ollen luku α sijaitsee siis konvergenttien C n ja C n+ (n = 0,,2, ) välissä Tämän tiedon ja seurauksen 22 perusteella on voimassa p n+ 0 < α C n < C n+ C n = p n ( ) n = q n+ q n = q n+ q n q n+ q n Seuraavaksi teemme vastaoletuksen, että α olisikin rationaaliluku Merkitsemme, että α = a/b, missä a ja b ovat kokonaislukuja, ja lisäksi b > 0 Tällöin saamme 0 < a b C n = a b p n < q n q n q n+ Kun kerromme tämän epäyhtälön puolittain luvulla bq n (> 0), saamme edelleen Koska q n+ n +, niin 0 < aq n bp n < b q n+ 0 < aq n bp n < b q n+ Valitsemalla kokonaisluku n, joka on b, saadaan 0 < aq n bp n < b q n+ b n + b n + < Tämä on mahdotonta, koska aq n bp n on kokonaisluku Näin ollen vastaoletus on väärä ja alkuperinen väite tosi Luku α on siis irrationaalinen 8

Nyt olemme siis osoittaneet, että jokainen yksinkertainen ääretön ketjumurtoluku vastaa irrationaalilukua Seuraavaksi tarkastelemme irrationaalilukujen esittämistä yksinkertaisten äärettömien ketjumurtolukujen avulla Lause 33 Olkoon α irrationaaliluku ja merkitään lisäksi, että α = α 0 Määritellään jono a 0, a, a 2, rekursiivisesti yhtälöillä a k = [α k ] α k+ = α k a k, kun k 0 Tällöin α on yksinkertaisen äärettömän ketjumurtoluvun [a 0 ; a, a 2, ] arvo Todistus (Vrt [4, s 454-455]) Rekursiivisen määritelmän perusteella tiedämme, että a k on kokonaisluku kaikilla luvun k arvoilla Lisäksi matemaattisen induktion avulla voimme osoittaa, että luku α k on irrationaalinen aina, kun k on epänegatiivinen, ja että tämän seurauksena luku α k+ on olemassa Oletuksen perusteella tiedämme, että α 0 = α on irrationaalinen, joten α 0 a 0 = [α 0 ] Lisäksi rekursiivisen määritelmän perusteella tiedämme, että luku α = α 0 a 0 on olemassa Oletamme seuraavaksi, että α k on irrationaalinen Näin ollen luku α k+ on olemassa Voimme havaita helposti luvun α k+ olevan myös irrationaalinen, nimittäin yhtälöstä α k+ = α k a k seuraa, että α k = a k + α k+ Jos α k+ olisi rationaaliluku niin myös α k olisi rationaaliluku Koska α k on irrationaaliluku ja a k on kokonaisluku, niin tiedämme, että α k a k Tällöin tiedämme, että a k < α k < a k + Kun vähennämme tästä epäyhtälöstä puolittain luvun a k, saamme 0 < α k a k < Nyt edellä esitetyn perusteella on voimassa α k+ = α k a k >, 9

joten tästä seuraa, että a k+ = [α k+ ], kun k 0Tämä tarkoittaa, että kaikki kokonaisluvut a, a 2, ovat positiiviisia Kun käytämme toistuvasti kaavaa huomaamme, että α = α 0 = a 0 + α = [a 0 ; α ] α k = a k + α k+, = a 0 + a + α 2 = [a 0 ; a,α 2 ] = a 0 + a + a 2 + = [a 0 ; a, a 2,, a k,α k+ ] +a k + α k+ Seuraavaksi osoitamme, että ketjumurtoluvun [a 0 ; a, a 2,, a k,α k+ ] arvo lähestyy lukua α, kun luku k kasvaa rajatta Lauseen 23 todistuksen perusteella tiedämme, että α = [a 0 ; a, a 2,, a k,α k+ ] = α k+p k + p k+ α k+ q k + q k+, missä C j = p j /q j on ketjumurtoluvun j konvergentti Tällöin siis α C k = α k+p k + p k α k+ q k + q k p k q k = α k+p k q k + p k q k α k+ p k q k p k q k (α k+ q k + q k )q k = (p kq k p k q k ) (α k+ q k + q k )q k ( ) k =, (α k+ q k + q k )q k missä osoittaja (p k q k p k q k ) on sievennetty käyttämällä lausetta 24 Koska α k+ q k + q k > a k+ q k + q k = q k+, 20

tiedämme, että α C k = = < = ( ) k (α k+ q k + q k )q k (α k+ q k + q k )q k (α k+ q k + q k )q k q k q k+ Koska q k k, tiedämme, että lauseke q k q k+ lähestyy arvoa 0, kun luku k kasvaa rajatta eli lähestyy ääretöntä Näin ollen siis lim k C k = α, eli luku α on yksinkertaisen äärettömän ketjumurtoluvun [a 0 ; a, a 2, ] arvo Huomautus 32 Ks [4, s455] Lähdeteoksessa lauseen 25 todistuksessa (vrt tämän tutkielman lauseen 33 todistus) yksinkertaisen ketjumurtoluvun [a 0 ; a, a 2 ] tilalla pitäisi olla ketjumurtoluku [a 0, a,α 2 ] Huomautus 33 Ks [4, s 456] Lähdeteoksessa lauseen 25 todistuksen (vrt tämän tutkielman lauseen 33 todistus) lopussa on viitattu ehtoon q k > k Viittauksen pitäisi olla ehtoon q k k Lause 34 Jos kaksi yksinkertaista ääretöntä ketjumurtolukua [a 0 ; a, a 2, ] ja [b 0 ; b, b 2, ] esittävät samaa irrationaalilukua, niin a k = b k, kun k = 0,,2, Todistus (Vrt [4, s 456-457]) Oletetaan, että α = [a 0 ; a, a 2, ] Koska C 0 = a 0 ja C = a 0 + a, lauseen 3 perusteella tiedämme, että a 0 < α < a 0 + a Tiedämme, että kokonaisluku a, joten saamme epäyhtälön muotoon a 0 < α < a 0 + Täten on siis voimassa a 0 = [α] Lisäksi tiedämme, että sillä [a 0 ; a, a 2, ] = a 0 + [a ; a 2, a 3, ], α = [a 0 ; a, 2, ] = lim [a 0 ; a, a 2,, a k ] k ( ) = lim a 0 + k [a ; a 2, a 3,, a k ] = a 0 + lim k [a ; a 2,, a k ] = a 0 + [a ; a 2, a 3, ] 2

Oletamme, että [a 0 ; a, a 2, ] = [b 0 ; b, b 2, ] Tämän oletuksen ja käyttämiemme merkintöjen perusteella huomaamme, että ja a 0 + Näin ollen on siis voimassa, että a 0 = b 0 = [α] [a ; a 2, ] = b 0 + [b ; b 2, ] [a ; a 2, ] = [b ; b 2, ] Oletetaan seuraavaksi, että a k = b k ja [a k+ ; a k+2, ] = [b k+ ; b k+2, ] Käytämme samaa päättelyä kuin edellä, ja havaitsemme, että Lisäksi havaitsemme, että Tästä seuraa, että a k+ + a k+ = b k+ [a k+2 ; a k+3, ] = b k+ + [b k+2 ; b k+3, ] [a k+2 ; a k+3, ] = [b k+2 ; b k+3, ] Olemme siis osoittaneet matemaattisen induktion avulla, että a k = b k, kun k 0 Huomautus 34 Ks [4, s 456-457] Lähdeteoksessa lauseen 26 todistuksessa (vrt tämän tutkielman lauseeseen 34 todistus) on viitattu lähdeteoksen lauseen 2 (vrt tutkielman lause 25) Viitauksen pitäisi olla lähdeteoksen lauseeseen 23 (vrt tämän tutkielman lause 3) Lisäksi lähdeteoksen lauseen 26 todistuksessa (vrt tämän tutkielman lauseen 34 todistus) pitäisi yhtälön tilalla olla yhtälö a k+ + a k+ + [a k+2 ; a k+3, ] = b k+ + [b k+ ; b k+3, ] [a k+2 ; a k+3, ] = b k+ + [b k+2 ; b k+3, ] Lauseiden 33 ja 34 perusteella tiedämme nyt, että jokainen irrationaaliluku on mahdollista esittää yksinkertaisena äärettömänä ketjumurtolukuna 22

Esimerkki 3 Olkoon α = 39 Seuraavaksi muodostamme tämän irrationaaliluvun ketjumurtolukuesityksen käyttämällä lauseen 33 rekursioyhtälöitä Tällöin a 0 = [ 39 ] = 6, α = a = α 2 = 39 6 = 39 + 6 3 = 4, = 39 + 6 4 3 a 2 = [ 39 + 6 ] = 2, α 3 = 39 + 6 2 = 39 + 6 39 36 = 39 6 3 39 + 6, 3 = 39 6 = 3 = 3( 39 + 6) 39 6 39 36 39 + 6 39 36 = Koska α 3 = α, niin a 3 = a, a 4 = a 2, ja näin saamme 39 = [6; 4,2,4,2,4,2, ] 39 + 6 3 = 39 + 6, Tämä ketjumurtoluku sisältää osanimittäjien jakson, joka toistuu jatkuvasti Tämän vuoksi sitä kutsutaan jaksolliseksi ketjumurtoluvuksi Irrationaaliluvun ketjumurtolukukehitelmän konvergentit ovat hyviä approksimaatioita luvulle α Itse asiassa, jos p k /q k on tämän ketjumurtolukuesityksen k konvergentti, niin lauseen 33 todistuksen perusteella tiedämme, että joten tästä seuraa, että α p k /q k < /(q k q k+ ), α p k /q k < /q k 2, koska q k < q k+ Seuraava lause ja seurauslause osoittavat, että irrationaaliluvun α ketjumurtolukukehitelmän konvergentit ovat luvun α parhaita rationaalisia approksimaatioita Parhaalla rationaalisella aprroksimaatiolla tarkoitamme, että konvergentti p k /q k on lähin sellaisista luvun α ratiolaalisista approksimaatioista, joiden nimittäjä ei ole suurempi kuin kyseessä olevan konvergentin nimittäjä Ennen kuin käsittelemme edellä mainitun lauseen ja seurauslauseen, esitämme apulauseen, jota tulemme tarvitsemaan lauseen 35 todistuksessa Apulause 3 Jos a, b ja c ovat sellaisia positiivisia kokonaislukuja, että (a,b)= ja a bc, niin a c Todistus Ks [4, s 97] 23

Lause 35 Olkoon α irrationaaliluku ja olkoot p j /q j ( j =,2, ) luvun α yksinkertaisen äärettömän ketjumurtolukuesityksen konvergentteja Jos r ja s ovat kokonaislukuja ja s > 0 ja jos k on sellainen positiivinen kokonaisluku, että niin s q k+ sα r < q k α p k, Todistus (Vrt [4, s 458-459]) Ensin teemme vastaoletuksen, että sα r < q k α p k, mutta s < q k+ Tarkastelemme yhtälöryhmää p k x + p k+ y = r q k x + q k+ y = s Kerromme ensimmäisen yhtälön puolittain luvulla q k ja toisen yhtälön vastaavasti luvulla p k Tämän jälkeen vähennämme toisen yhtälön ensimmäisestä puolittain Tällöin saamme (p k+ q k p k q k+ )y = rq k sp k Lauseen 24 perusteella tiedämme, että p k+ q k p k q k+ = ( ) k Tämän perusteella tiedämme, että y = ( ) k (rq k sp k ) Tämän jälkeen kerromme ensimmäisen yhtälön luvulla q k+, ja toisen yhtälön luvulla p k+, ja vähennämme ensimmäisen yhtälön toisesta Nyt saamme (p k+ q k p k q k+ )x = sp k+ rq k+ Kun käytämme edelleen lauseen 24 tulosta, saamme yhtälön x = ( ) k (sp k+ rq k+ ) Seuraavaksi osoitamme, että x 0 ja y 0 Jos olisi x = 0, silloin olisi voimassa sp k+ = rq k+ Koska (p k+,q k+ ) =, apulauseen 3 perusteella q k+ s Tästä seuraa, että q k+ s, mikä on ristiriita Näin ollen x 0 Jos taas y = 0, niin tällöin on voimassa seuraavat yhtälöt r = p k x ja s = q k x Näiden yhtälöiden, sekä ehdon x nojalla saamme sα r = q k xα p k x = x(q k α p k ) = x q k α p k q k α p k Tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa, joten on siis voimassa, että y 0 Osoitamme seuraavaksi että luvut x ja y ovat erimerkkisiä Ensin oletamme, että y < 0 Tiedämme, että q k x = s q k+ y Tästä seuraa, että x > 0, koska q k x > 0 ja q k > 0 Jos taas oletamme, että y > 0, niin epäyhtälöketjun q k+ y q k+ > s perusteella tiedämme, että q k x = s q k+ y < 0 Tästä seuraa siis, että x < 0, sillä q k > 0 24

Lauseen 3 perusteella tiedämme, että joko epäyhtälö p k /q k < α < p k+ q k+ tai epäyhtälö p k+ q k+ < α < p k q k on voimassa Kummassakin tapauksessa huomaamme, että luvut q k α p k ja q k+ α p k+ ovat erimerkkisiä Todistuksen alussa esitetyn yhtälöryhmän perusteella tiedämme, että sα r = (q k x + q k+ y)α (p k x + p k+ y) = x(q k α p k ) + y(q k+ α p k+ ) Edellisissä kappaleissa esitettyjen päätelmien perusteella tiedämme, että luvut x(q k α p k ) ja y(q k+ α p k+ ) ovat samanmerkkisiä Näin ollen niiden summan itseisarvo on sama kuin itseisarvojen summa, eli sα r = x q k α p k + y q k+ α p k+ x q k α p k q k α p k, koska x Tästä seuraa ristiriita oletuksemme kanssa Olemme siis osoittaneet, että vastaoletus on väärä ja alkuperäinen väite on tosi Huomautus 35 Ks [4, s 458] Lähdeteoksessa lauseen 27 todistuksessa (vrt tutkielman lauseen 35 todistus) on tehty oletukset s 0 ja y 0 Oletusten kuuluisi olla muotoa x 0 ja y 0 Lisäksi todistuksen loppuosassa on viitattu lähdeteoksen lauseeseen 2 (vrt tämän tutkielman lause 25) Viittauksen pitäisi olla lauseeseen 23 (vrt tämän tutkielman lause 3) Seuraus 3 Olkoon α irrationaaliluku, ja olkoot p j /q j, j =,2,, luvun α yksinkertaisen äärettömän ketjumurtolukuesityksen konvergentteja Jos r/s on rationaaliluku, missä r ja s ovat kokonaislukuja ja s > 0, ja jos k on sellainen positiivinen kokonaisluku, että α r s < α p k, q k niin tällöin s > q k Todistus (Vrt [4, s 459]) Ensin teemme vastaoletuksen, että s q k ja α r s < α p k q k Kun kerromme epäyhtälön puolittain luvulla s ja otamme lisäksi huomioon ehdon s q k, huomaamme, että s α r s < q k α p k q k Koska s,q k > 0, niin edellä esitetyn perusteella tiedämme, että sα r < q k α p k, mikä vastaavasti on ristiriidassa lauseen 35 päätelmän kanssa Näin ollen vastaoletuksemme on väärä ja alkuperäinen väite tosi 25

Lopuksi tarkastelemme vielä, millä ehdolla irrationaaliluvun rationaalinen approksimaatio on kyseisen irrationaaliluvun yksinkertaisen äärettömän ketjumurtolukuesityksen konvergentti Lause 36 Olkoon α irrationaaliluku Jos r/s on rationaaliluku, missä r ja s ovat kokonaislukuja ja lisäksi s > 0 ja (r, s) = ja epäyhtälö α r s < 2s 2 on voimassa, niin r/s on luvun α yksinkertaisen ketjumurtoukusityksen konvergentti Todistus (Vrt [4, s 460]) Ensin teemme vastaoletuksen, että r/s ei ole luvun α yksinkertaisen ketjumurtolukuesityksen konvergentti Näin ollen on olemassa sellaiset konvergentit p k /q k ja p k+ /q k+, että q k s < q k+ Lauseen 35 perusteella tiedämme, että q k α p k sα r = s α r s < 2s Seuraavaksi jaamme epäyhtälön q k α p k < 2s puolittain luvulla q k (> 0), jolloin saamme α p k < q k 2sq k Tiedämme, että sp k rq k (koska tiedämme, että r/s p k /q k, jolloin sp k rq k on nollasta eroava kokonaisluku) Tästä seuraa (kolmioepäyhtälön avulla), että sp k rq k sq k sq k sp k rq k = sq k p k = r q k s p k = α + α r q k s p k α q k + α r s = α p k + q α r k s < + 2sq k 2s 2 26

Näin ollen saamme, että Lopulta on siis voimassa 2sq k < 2s 2 2sq k > 2s 2, mistä seraa, että q k > s Tämä on ristiriidassa ehdon q k s < q k+ kanssa, joten vastaoletus on väärä ja alkuperäinen väite on tosi 27

4 Jaksolliset ketjumurtoluvut Kutsumme ääretöntä yksinkertaista ketjumurtolukua [a 0 ; a, a 2, ] jaksolliseksi, jos on olemassa positiiviset kokonaisluvut N ja k siten, että a n = a n+k kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n N Käytämme notaatiota [a 0 ; a, a 2,, a N, a N, a N+, a N+k ], kuvaamaan jaksollista ääretöntä ketjumurtolukua [a 0 ; a, a 2,, a N, a N, a N+,, a N+k, a N, a N+, ] Esimerkiksi merkinnällä [2; 3,, 2] tarkoitamme yksinkertaista ääretöntä ketjumurtolukua [2; 3,,2,,2,,2, ] Luvussa 3 sivusimme erään esimerkin yhteydessä äärettömiä yksinkertaisia ketjumutolukuesityksiä, joissa jakso termejä toistuu Tässä luvussa käsittelemme tarkemmin jaksollisten ketjumurtolukuesitysten ominaisuuksia 4 Kvadraattiset irrationaaliluvut Määritelmä 4 Reaalilukua α sanotaan kvadraattiseksi irrationaaliluvuksi, jos α on irrationaalinen ja kokonaislukukertoimisen toisen asteen yhtälön juuri, eli siis Aα 2 + Bα + C = 0, missä A, B ja C ovat kokonaislukuja ja A 0 Seuraavaksi esitämme kaksi apulausetta ilman todistuksia Nämä apulauseet helpottavat jaksollisten ketjumurtolukujen ominaisuuksien tutkimista Apulause 4 Kahden rationaaliluvun summa ja tulo ovat rationaalisia Todistus Ks [4, s 4, harjoitustehtävä 3] Apulause 42 Olkoon luku α kokonaislukukertoimisen polynomin x n + c n x n + + c x + c 0 juuri Silloin α on joko kokonaisluku tai irrationaaliluku Todistus Ks [4, s 03, lause 37] Lause 4 Reaaliluku α on kvadraattinen irrationaaliluku, jos ja vain jos on olemassa kokonaisluvut a, b ja c, joille on voimassa b > 0 ja c 0 siten, että luku b ei ole täydellinen neliö ja α = a + b c 28

Todistus (Vrt [4, s 463-464]) Jos α on kvadraattinen irrationaaliluku, niin se on selvästi irrationaalinen, ja tällöin on olemassa kokonaisluvut A, B ja C siten, että Aα 2 + Bα + C = 0 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan perusteella tiedämme, että α = B ± B 2 4AC 2A Koska α on reaaliluku, tiedämme, että B 2 4AC > 0 Koska α on irrationaalinen, niin B 2 4AC ei ole täydellinen neliö ja A 0 Merkitsemällä joko a = B, b = B 2 4AC ja c = 2A tai a = B, b = B 2 4AC ja c = 2A, saamme luvulle α halutun esityksen Oletamme seuraavaksi, että luku α on muotoa α = a + b, c missä a, b ja c ovat kokonaislukuja siten, että b > 0, c 0 ja b ei ole täydellinen neliö Apulauseiden 4 ja 42 perusteella havaitsemme, että α on irrationaaliluku Koska α = a + b c αc = a + b αc a = b α 2 c 2 + a 2 2acα = b c 2 α 2 2acα + (a 2 b) = 0, on α kvadraattinen rationaaliluku Huomautus 4 Lähdeteoksessa lemman 2 muotoilussa (vrt tämän tutkielman lauseen 4 muotoilu) esitetään ehto α (a + b)/c Ehdon pitäisi olla α = (a + b)/c Lause 42 Jos α on kvadraattinen irrationaaliluku ja jos r, s,t ja u ovat kokonaislukuja, niin osamäärä (rα + s)/(tα + u) on joko rationaaliluku tai kvadraattinen irrationaaliluku Todistus (Vrt [4, s 464-465]) Oletamme, että α on kvadraattinen rrationaaliluku Tällöin lauseen 4 perusteella on olemassa sellaiset kokonaisluvut a, b ja c (b > 0 ja c 0), että luku b ei ole täydellinen neliö ja α = (a + b)/c 29

Tällöin saamme, että / rα + s tα + u = r(a + b) + s t(a + b) c + u c = r(a + b) + cs c c t(a + b) + cu = ar + r b + cs at + t b + cu = (ar + cs) + r b (at + cu) + t b = [(ar + cs) + r b][(at + cu) t b] [(at + cu) + t b][(at + cu) t b] = [(ar + cs)(at + cu) rtb] + [r(at + cu) t(ar + cs)] b (at + cu) 2 t 2 b Näin ollen lauseen 4 perusteella (rα + s)/(tα + u) on kvadraattinen irrationaaliluku Poikkeuksena on tilanne, jossa luvun b kerroin on nolla, koska tällöin kyseinen osamäärä on rationaaliluku Määritelmä 42 Olkoon α = a + b kvadraattinen irrationaaliluku Tällöin luvun c α konjugaatti α määritellään seuraavasti α = a b c Lause 43 Jos kvadraattinen irrationaaliluku α on yhtälön Ax 2 + Bx +C = 0 juuri, niin yhtälön toinen juuri on luku α, eli luvun α konjugaatti Todistus (Vrt [4, s 465]) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan mukaan yhtälöllä Ax 2 + Bx + C = 0 on kaksi juurta ja ne ovat muotoa α = B ± B 2 4AC 2A Jos luku α on toinen näistä kahdesta juuresta, niin konjugaatti α on toinen, sillä juurilausekkeen B 2 4AC etumerkki vaihdetaan muodostettaessa luvusta α lukua α Lause 44 Jos α = (a + b d)/c ja α 2 = (a 2 + b 2 d)/c2 rationaalilukuja tai kvadraattisia irrationaalilukuja, seuraavat ominaisuudet ovat voimassa (i) (α + α 2 ) = α + α 2, (ii) (α α 2 ) = α α 2, (iii) (α α 2 ) = α α 2, (iv) (α /α 2 ) = α /α 2 30

Todistus (Vrt [4, s 465-466]) Todistamme tuloa koskevan säännön (iii), sekä osamäärää koskevan säännön (iv) Kaksi muuta sääntöä todistetaan vastaavasti, joten sivuutamme niiden todistukset tässä Koska α = (a + b d)/c ja α 2 = (a 2 + b 2 d)/c2, saadaan tulolle yhtälö α α 2 = (a + b d) (a 2 + b 2 d) c c 2 = (a + b d)(a2 + b 2 d) c c 2 = a a 2 + a b 2 d + b d a2 + b d b2 d c c 2 = (a a 2 + b b 2 d) + (a b 2 + b a 2 ) d c c 2 Määritelmän 42 perusteella saamme tulon konjugaaatin (α α 2 ) muotoon (α α 2 ) = (a a 2 + b b 2 d) (a b 2 + b a 2 ) d c c 2 Konjugaattien tulo vastaavasti vastaa määritelmän 42 perusteella yhtälöä α α 2 = (a b d) (a 2 b 2 d) c = a a 2 a b 2 d b d a2 + b d b2 d c c 2 = (a a 2 + b b 2 d) (a b 2 + b a 2 ) d c c 2 Nyt huomaamme, että (α α 2 ) = α α 2, joten tuloa koskeva ominaisuus (iii) on tosi Koska α = (a + b d)/c ja α 2 = (a 2 + b 2 d)/c2, saadaan osamäärälle yhtälö α = (a + b d)/c α 2 (a 2 + b 2 d)/c2 = c 2(a + b d) c (a 2 + b 2 d) c 2 = c 2(a + b d)(a2 b 2 d) c (a 2 + b 2 d)(a2 b 2 d) = c 2a a 2 c 2 a b 2 d + c2 a 2 b d c2 b b 2 d c (a 2 2 b 2 2 d) = (c 2a a 2 c 2 b b 2 d) + (c 2 a 2 b c 2 a b 2 ) d c (a 2 2 b 2 2 d) Määritelmän 42 perusteella tiedämme nyt, että voimme esittää osamäärän α /α 2 konjugaatin (α /α 2 ) yhtälönä ( ) α = (c 2a a 2 c 2 b b 2 d) (c 2 a 2 b c 2 a b 2 ) d α 2 c (a 2 2 b 2 2 ) 3

Konjugaattien osamäärä α /α 2 vastaavasti vastaa määritelmän 42 perusteella yhtälöä α α 2 = (a b d)/c (a 2 b 2 d)/c2 = c 2(a b d)(a2 + b 2 d) c (a 2 b 2 d)(a2 + b 2 d) = c 2a a 2 + c 2 a b 2 d c2 a 2 b d c2 b b 2 d c (a 2 2 b 2 2 d) = (c 2a a 2 c 2 b b 2 d) (c 2 a 2 b c 2 a b 2 ) d c (a 2 2 b 2 2 d) Nyt huomaamme, että (α /α 2 ) = α /α 2, joten osamäärää koskeva sääntö (iv) on tosi Huomautus 42 Ks [4, s 465] Lähdeteoksen apulauseen 44 (vrt tämän tutkielman lause 44) toisen ehdon tulisi olla (α α 2 ) = α α 2, eikä (α +α 2 ) = α α 2 Lause 45 (Lagrangen lause) Irrationaaliluvun yksinkertainen ääretön ketjumurtolukuesitys on jaksollinen, jos ja vain jos luku on kvadraattinen irrationaaliluku Lauseen todistus on jaettu kahteen osaan Tämä on mahdollista, sillä kehäpäättelyä ei synny, vaikka todistusten osien välissä esitetäänkin lauseet 46 ja 47 todistuksineen Todistus (Vrt [4, s 466-467]) Olkoon yksinkertainen ketjumurtoluku α jaksollinen Tällöin voimme merkitä, että Lisäksi merkitsemme, että Tällöin ja lauseen 23 avulla saamme, että α = [a 0 ; a, a 2,, a N, a N, a N+,, a N+k ] β = [a N, a N+,, a N+k ] β = [a N ; a N+,, a N+k, β], β = βp k + p k βq k + q k, missä p k /q k ja p k /q k ovat ketjumurtoluvun [a N ; a N+,, a N+k ] konvergentteja Koska luvun β yksinkertainen ketjumurtolukuesitys on ääretön, niin tiedämme, että β on irrationaalilukuvoimme esittää yhtälön β = βp k + p k βq k + q k 32

muodossa q k β 2 + (q k p k ) β p k = 0, joten määritelmän 4 perusteella havaitsemme, että luku β on kvadraattinen irratinaaliluku Nyt huomaaamme, että joten lauseen 23 perusteella saamme α = [a 0 ; a, a 2,, a N, β], α = βp N + p N 2 βq N + q N 2, missä p N /q N ja p N 2 /q N 2 ovat ketjumurtoluvun [a 0 ; a, a 2,, a N ] konvergentteja Koska tiedämme,että β on kvadraattinen irrationaaliluku, niin lauseen 42 perusteella tiedämme, että myös α on kvadraattinen irrationaaliluku (tiedämme, että α on irrationaaliluku, koska yksinkertainen ketjumurtolukuesitys on ääretön) Esimerkki 4 Olkoon x = [2;,4] Lauseen 45 perusteella tiedämme, että x on kvadraattinen irrationaaliluku Merkitsemme, että x = [2; y], missä y = [; 4], kuten lauseen 45 todistuksessa Tiedämme, että y = [,4, y], joten y = + 4 + y = + 4y + y = + y 4y + = 5y + 4y + Nyt saamme muodostettua toisen asteen yhtälön 4y 2 4y = 0 Koska tiedämme, että y > 0, niin toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla saamme y = 4 + ( 4) 2 4 4 ( ) = + 2 2 4 2 Koska x = 2 +, niin saamme y 2 x = 2 + + 2 = 2 + 2( 2 2 = 2 + 2 2 2 = 2 + 2 2 2 = 2 2 Siis x = 2 2 Lauseen 45 perusteella voimme nyt selvittää jaksollisia ketjumurtolukuja vastaavat kvadraattiset irrationaaliluvut Myöhemmin tulemme esittämään lauseen, jonka avulla voimme määrittää kvadraattisia irrationaalilukuja vastaavat ketjumurtoluvut 33

Lause 46 Jos α on kvadraattinen irrationaaliluku, niin se voidaan kirjoittaa muodossa α = P + d Q, missä P,Q ja d ovat kokonaislukuja siten, että Q 0, d > 0, d ei ole täydellinen neliö ja Q (d P 2 ) Todistus (Vrt [4, s 467-468]) Koska α on kvadraattinen irrationaaliluku, lauseen 4 perusteella tiedämme, että luvulle α pätee α = a + b, c missä a, b ja c ovat kokonaislukuja, b > 0 ja c 0 Kun lavennamme tämän murtoluvun luvulla c, saamme muodon α = a c + c b c c = a c + bc 2 c c Olkoon nyt P = a c, Q = c c ja d = bc 2 Tällöin P,Q ja d ovat kokonaislukuja Lisäksi tiedämme, että Q 0, koska c 0 ja d > 0 koska b > 0 Tiedämme vielä, että luku d ei ole täydellinen neliö, koska luku b ei ole täydellinen neliö Lopulta tiedämme, että Q (d P 2 ), sillä voimme kirjoittaa luvun d P 2 muodossa d P 2 = bc 2 a 2 c 2 = c 2 (b a 2 ) = ±Q(b a 2 ) Seuraavasi esitämme menetelmän, jolla voimme määrittää kvadraattisia irrationaalilukuja vastaavat ketjumurtoluvut Lause 47 Olkoon α kvadraattinen irrationaaliluku Kirjoitetaan se muodossa α = P 0 + d Q 0, missä P 0 Q 0, d ovat kokonaislukuja siten, että Q 0 0, d > 0, d ei ole täydellinen neliö ja Q 0 (d P0 2 ) Määrittelemme rekursiivisesti, että α k = (P k + d)/q k, a k = [α k ], P k+ = a k Q k P k, Q k+ = (d P 2 k+ )/Q k, kun k = 0,,2, Silloin α = [a 0 ; a, a 2, ] Todistus (Vrt [4, s 468-469]) Todistamme ensin matemaattisella induktiolla, että luvut P k ja Q k ovat kokonaislukuja ja että Q k 0 ja Q k (d Pk 2 ) Tämä väite on oletuksen nojalla tosi, kun k = 0 Seuraavaksi oletamme, että P k ja Q k ovat kokonaislukuja, ja että Q k 0 ja Q k (d Pk 2 ) Tällöin tiedämme, että P k+ = a k Q k P k 34

on kokonaisluku Luvun Q k+ voimme kirjoittaa edellä esitettyjen rekursiokaavojen avulla seuraavasti Q k+ = d P2 k+ Q k = d (a kq k P k ) 2 Q k = d a2 k Q2 k + 2a kq k P k P 2 k Q k = d P2 k Q k + (2a k Q k P k a 2 k Q k) Induktio-oletuksen perusteella tiedämme, että Q k (d P 2 k ) Tästä seuraa, että Q k+ on kokonaisluku Tiedämme, että d ei ole täydellinen neliö, joten d P 2 k+ Tästä seuraa, että Q k+ = (d P 2 k+ )/Q k 0 Koska Q k = d P2 k+ Q k+, tiedämme, että Q k+ (d Pk+ 2 ) Tämä päättää induktiotodistuksen Seuraavaksi todistamme lauseen 33 avulla, että kokonaisluvut a 0, a, a 2, vastaavat luvun α ketjumurtolukukehitelmän [a 0 ; a, a 2, ] termejä Jos voimme osoittaa, että α k+ =, α k a k kun k = 0,,2,, niin silloin tiedämme, että α = [a 0 ; a, a 2, ] Lauseen muotoilussa esitettyjen rekursiokaavojen perusteella saamme yhtälön α k a k = P k + d = = Q k a k d (ak Q k P k ) Q k d Pk+ Q k = ( d P k+ )( d + P k+ ) Q k ( d + P k+ ) = = = = d Pk+ 2 Q k ( d + P k+ ) Q k Q k+ Q k ( d + P k+ ) Q k+ d + Pk+ α k+ 35

Olemme siis osoittaneet, että α k+ = /(α k a k ) Näin ollen α = [a 0 ; a, a 2, ] Huomautus 43 Ks [4, s 468] Lähdeteoksessa lauseen 220 induktiotodistuksen (vrt tämän tutkielman lauseen 47 todistus) lopussa on käytetty ehtoa d P 2 k Ehdon pitäisi olla d P 2 k+ Lisäksi ehdon α k+ = /(α k a k ) todistuksessa tulisi yhtälöketjussa olla lausekkeen tilalla lauseke ( d P k+ )( d + P k+ )/Q k ( d + P k+ ) ( d P k+ )( d + P k+ )/(Q k ( d + P k+ )) Esimerkki 42 Määritämme kvadraattisen irrationaaliluvun α = (3 + 5)/2 ketjumurtolukuesityksen käyttämällä lauseen 47 rekursioyhtälöitä Ensin muodostamme aloitusarvot P 0,Q 0, d ja a 0 Nyt 5 3 2 = 4 Selvästi 2 jakaa luvun 4 Aloitusarvot ovat siis P 0 = 3,Q 0 = 2, d = 5, a 0 = [α] = 3 + 5 2 = 2 Näiden arvojen ja rekursioyhtälöiden avulla saamme P = a 0 Q 0 P 0 = 2 2 3 =, α = P + d = + 5, Q 2 Q = d P2 = 5 2 = 2, a = [α ] = + 5 Q 0 2 2 =, P 2 = a Q P = 2 =, α 2 = P 2 + d = + 5, Q 2 2 Q 2 = d P2 2 = 5 2 = 2, a 2 = [α 2 ] = + 5 Q 2 2 =, P 3 = a 2 Q 2 P 2 = 2 =, α 3 = P 3 + d = + 5, Q 3 2 Q 3 = d P2 3 = 5 2 = 2, a 3 = [α 3 ] = + 5 Q 2 2 2 = Huomaamme, että P = P 2 ja Q = Q 2, joten algoritmi alkaa toistaa itseään Näin ollen 3 + 5 = [2;,,,,, ] = [2; ] 2 Todistus (Vrt [4, s 470-47]) Lauseen 45 todistus jatkuu Olkoon α kvadraattinen irrationaaliluku Silloin sen yksinkertainen ääretön ketjumurtolukuesitys on jaksollinen Lauseen 46 perusteella voimme kirjoittaa luvun α muodossa α = P 0 + d Q 0 36

Lisäksi lauseen 47 perusteella on voimassa yhtälö α = [a 0 ; a, a 2, ], sekä rekursiokaavat α k = (P k + d)/q k, a k = [α k ], P k+ = a k Q k P k, Q k+ = (d P 2 k+ )/Q k, kun k = 0,,2, Tiedämme, että α = [a 0 ; a, a 2, ], joten lauseen 23 perusteella voimme kirjoittaa α = p k α k + p k 2 q k α k + q k 2 Kun otamme konjugaatit molemmin puolin yhtälöä ja käytämme lausetta 44, saamme yhtälön α = p k α k + p k 2 q k α k + q k 2 Tästä yhtälöstä voimme ratkaista konjugaatin α k, jolloin saamme α k = q k 2 q k α p k 2 q k 2 α p k q k Huomaamme, että p k 2 /q k 2 α ja p k /q k α, kun k Tästä seuraa, että ( α p ) ( k 2 / α p ) k q k 2 q k Näin ollen on siis olemassa sellainen kokonaisluku N, että α k Koska α k > 0, kun k >, niin tiedämme, että < 0, kun k N α k α k = P k + d Q k P k d = 2 d > 0, Q k Q k joten Q k > 0, kun k N Rekursiokaavojen perusteella tiedämme, että Q k Q k+ k N, niin on voimassa seuraava epäyhtälö = d Pk+ 2, joten kun Lisäksi tiedämme, että kun k N, niin 0 < Q k < Q k Q k+ = d P 2 k+ d P 2 k+ < d = P2 k+ + Q kq k+, minkä perusteella saamme d < P k+ < d 37

Ehdoista 0 < Q k d ja d < P k+ < d, jotka ovat voimassa kun k N havaitsemme, että on olemassa vain äärellinen määrä mahdollisia arvoja kokonaislukuparille P k,q k, kun k > N Koska kokonaislukuindeksejä k on äärettömän monta (kun k N), niin on olemassa sellaiset kokonaislukuindeksit i ja j, että P i = P j ja Q i = Q j, kun i < j Rekursiokaavojen perusteella α k = (P k + d)/q k joten tästä seuraa, että α i = α j Tästä seuraa, että a i = a j, a i+ = a j+, a i+2 = a j+2, Näin ollen siis α = [a 0 ; a, a 2,, a i, a i, a i+,, a j, a i, a i+,, a j, ] = [a 0 ; a, a 2,, a i, a i, a i+,, a j ] Olemme siis osoittaneet, että luvun α yksinkertainen ketjumurtolukuesitys on jaksollinen Huomautus 44 Ks [4, s 470-47] Lähdeteoksessa lauseen 29 todistuksen jatko-osassa (vrt tämän tutkielman todistuksen lauseen 45 todistuksen jatko-osa) on viitattu teoksen lauseeseen 2 Viittauksen pitäisi olla lauseeseen 29 (vrt tämän tutkielman lause 23) Lisäksi todistuksen lopussa epäyhtälön P 2 k+ d = P 2 k+ Q kq k+ tilalla pitäisi olla epäyhtälö P 2 k+ < d = P2 k+ + Q kq k+ Vastaavasti epäyhtälön 0 Q k d tilalla pitäisi olla epäyhtälö 0 < Q k d 38

42 Täysin jaksollisten ketjumurtolukujen ominaisuuksia Tässä pykälässä tutkimme täysin jaksollisia ketjumurtolukuja Täysin jaksollisilla ketjumurtoluvuilla tarkoitamme ketjumurtolukuja, joilla toistuva jakso alkaa heti ketjumurtolukuesityksen alusta Määritelmä 43 Yksinkertainen ketjumurtoluku [a 0 ; a, a 2, ] on täysin jaksollinen, jos on olemassa kokonaisluku n siten, että a k = a n+k, kun k = 0,,2,, jolloin siis [a 0, a, a 2, ] = [a 0 ; a, a 2,, a n ] Määritelmä 44 Kvadraattista irrationaalilukua α kutsutaan redusoiduksi, jos α > ja < α < 0, missä α on luvun α konjugaatti Lause 48 Kvadraattisen irrationaaliluvun α yksinkertainen ketjumurtolukuesitys on täysin jaksollinen, jos ja vain jos α on redusoitu Edelleen jos α on redusoitu ja α = [a 0 ; a, a 2,, a n ], niin luvun /α ketjumurtolukuesitys on [a n ; a n,, a 0 ] Todistus (Vrt [4, s 47-473]) Ensin oletamme, että α on kvadraattinen irrationaaliluku Lauseen 33 perusteella tiedämme, että luvun α ketjumurtolukuesityksen termeille on voimassa seuraavaa a k = [α k ], α k+ = kun k = 0,,2, ja α 0 = α Nyt tiedämme, että α k+ = α k a k α k a k, Käyttämällä hyväksi konjugaatteja, sekä lausetta 44, saamme yhtälön α k+ = α k a k Todistamme matemaattisen induktion avulla, että < α k < 0, kun k = 0,,2, Ensin huomaamme, että koska α 0 = α on redusoitu, niin < α 0 < 0 Seuraavaksi oletamme, että < α k < 0 Nyt a k, kun k = 0,,2, (huomaa, että a 0, koska α > ) Täten < α k+ Näin ollen < α k+ < 0 ja induktioperiaatteen mukaan väite on tosi Seuraavaksi havaitsemme, että ja koska < α k a 0, tiedämme, että α k = a k + α, k+ < a k + /α k+ < 0 39