Preference Programming viitekehys: epätäydellisen preferenssi-informaation elisitointi ja mallintaminen, dominanssi Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari 9.2.2011 Lähteet: Salo, A. & Hämäläinen, R. P., 2010. Preference Programming - Multicriteria Weighting Models under Incomplete Information. Salo, A. & Hämäläinen, R. P., 1992. Preference Assessment by Imprecise Ratio Statements. Salo, A. & Hämäläinen, R. P., 2001. Preference Ratios in Multiattribute Evaluation (PRIME) Elicitation and Decision Procedures under Incomplete Information. Liesiö, J. & Punkka, A., 2010. Päätöksenteko ja ongelmanratkaisu kurssin oppimateriaali
Esityksen rakenne Johdanto Epätäydellisen preferenssi-informaation mallintaminen Preferenssi-informaation elisitointi Dominanssi Numeerinen esimerkki Päätössäännöt Kotitehtävä
Johdanto 1/2 Aikaisemmissa esityksissä tarkasteltu tilanteita, joissa pisteet v i ja attribuuttien painot w i tunnettu tarkasti Käytännössä näin tarkan tuntemuksen saavuttaminen voi olla hankalaa Etukäteen voi olla lähes mahdotonta arvioida eri vaihtoehtojen täsmällisiä pisteitä tai attribuuttien painoja Vaikka täysin tarkan tuntemuksen hankkiminen olisikin periaatteessa mahdollista, se saattaa olla hyvin kallista Motivaatio tutkia, millaisia johtopäätöksiä voidaan tehdä ilman täysin tarkkaa parametrien arvojen tuntemusta
Johdanto 2/2 Esimerkki: Alihankkijan valinta kolmesta vaihtoehdosta Alihankkija Epätäydellinen preferenssi-informaatio Vaihtoehtojen pisteet: Firma 1 Firma 2 Firma 3 Työn laatu (a 1 ) Kustannus (a 2 ) Täsmällisyys (a 3 ) Työn laatu [0.7,0.9] [0.5,0.7] [0.5,0.7] Kustannus 0.8 [0.4,0.6] 0.6 Täsmällisyys [0.8,1.0] [0.0,0.2] 0.6 Suuri firma (x 1 ) Keskikokoinen firma (x 2 ) Pieni yrittäjä (x 3 ) Tiedot attribuuteista: Työn laatu ja kustannus vähintään yhtä tärkeitä attribuutteja kuin täsmällisyys S w = {w R 3 w 1 + w 2 + w 3 = 1, w 1 w 3, w 2 w 3, w i 0}
Epätäydellisen preferenssiinformaation mallintaminen 1/2 Epätäydellisellä preferenssi-informaatiolla tarkoitetaan mallin parametreja (pisteitä ja attribuuttikohtaisia painoja) koskevaa epätäydellistä informaatiota Epätäydellinen preferenssi-informaatio mallinnetaan siten, että attribuuttien painot w i esitetään tarkkojen lukujen sijaan osajoukkona S w S0 w = {w R n n w i = 1, w i 0 i=1 } pisteet esitetään tarkkojen lukujen sijaan osajoukkona S v S v 0 = {v R m n 0 v 1} Preferenssi-informaatio on joukko S = S w S v
Epätäydellisen preferenssiinformaation mallintaminen 2/2 Jos päätöksentekijän preferenssilausumat ovat johdonmukaisia, preferenssi-informaatio S on ei-tyhjä joukko Mitä informatiivisempia päätöksentekijän preferenssilausumat ovat, sitä pienempi on vastaavasti preferenssi-informaatio S Oleellista kerätä päätöksentekijältä helposti hyödynnettävissä olevaa ja korkealaatuista preferenssi-informaatiota
Preferenssi-informaation elisitointi 1/2 Preferenssi-informaation elisitoinnilla tarkoitetaan kysymyksiä, joilla päätöksentekijältä saadaan preferenssi-informaatiota Preferenssi-informaation elisitointiin on olemassa lukuisia menetelmiä ARIADNE, HOPIE, PAIRS, PRIME, RICH, SMART/SWING, RPM, Yleisesti ottaen menetelmissä pyritään elisitoimaan sellaista preferenssi-informaatiota, josta saadaan helposti muotoiltua parametreille lineaarisia rajoitteita
Preferenssi-informaation elisitointi 2/2 Attribuuttipainojen epätäydellisen preferenssiinformaation jaottelu 1. Heikko järjestys w i w j 2. Vahva järjestys w i w j α 3. Monikertajärjestys w i αw j 4. Välijärjestys α w i α + ε 5. Erotusjärjestys w i w j w k w l Kuvassa pätee 1 w 3 / w 2 3 2 w 3 / w 1 4
Dominanssi 1/4 Epätäydellisen informaation tapauksessa vaihtoehtoja voidaan vertailla esimerkiksi dominanssi-käsitteen avulla Vaihtoehto x k dominoi vaihtoehtoa x j preferenssiinformaatiolla S, mikäli pätee n V x k = w i v i k i=1 n i=1 w i v i j = V x j kaikilla w, v S Eli vaihtoehdon x k arvo vähintään yhtä suuri kuin vaihtoehdon x j arvo kaikilla käyvillä pisteiden ja attribuuttien painojen arvoilla Ei-dominoidut vaihtoehdot hyviä vaihtoehtoja
Dominanssi 2/4 Esimerkki kahden attribuutin ja kolmen vaihtoehdon tapauksessa Tiedetään, että 0.4 w 1 0.7 Vaihtoehtojen pisteet tunnetaan tarkasti Kuvan perusteella: Vaihtoehto x 1 dominoi vaihtoehtoa x 2 Vaihtoehdot x 1 ja x 3 ovat eidominoituja vaihtoehtoja
Dominanssi 3/4 Koska vaihtoehdon x k arvo V x k n k = i=1 w i v i on lineaarinen parametrien w ja v suhteen, pätee V x k min w ext S w n w i i=1 v i k, max w ext S w w i v i k Merkintä ext(s w ) tarkoittaa joukon S w ääriarvopisteitä Siten dominanssin laskenta voidaan perustaa seuraavaan tulokseen: n i=1 Vaihtoehto x k dominoi vaihtoehtoa x j preferenssiinformaatiolla S, jos pätee min w ext(s w ) n i=1 w i v i k n i=1 w i v i j 0
Dominanssi 4/4 Lisäinformaation (eli parametreille w ja v asetettavien lisärajoitusten) vaikutus: 1. Preferenssi-informaatio pienenee alkuperäisen preferenssiinformaation osajoukoksi 2. Dominoitujen vaihtoehtojen määrä pysyy vähintään samana (ja yleensä kasvaa) 3. Ei-dominoitujen vaihtoehtojen määrä ei kasva (ja yleensä vähenee) Jos jokin vaihtoehto on dominoitu jollain preferenssi-informaatiolla S, se on dominoitu myös tätä tarkemmalla preferenssi-informaatiolla S S
Numeerinen esimerkki 1/3 Esimerkki: Alihankkijan valinta kolmesta vaihtoehdosta Alihankkija Epätäydellinen preferenssi-informaatio Vaihtoehtojen pisteet: Firma 1 Firma 2 Firma 3 Työn laatu (a 1 ) Kustannus (a 2 ) Täsmällisyys (a 3 ) Työn laatu [0.7,0.9] [0.5,0.7] [0.5,0.7] Kustannus 0.8 [0.4,0.6] 0.6 Täsmällisyys [0.8,1.0] [0.0,0.2] 0.6 Suuri firma (x 1 ) Keskikokoinen firma (x 2 ) Pieni yrittäjä (x 3 ) Tiedot attribuuteista: Työn laatu ja kustannus vähintään yhtä tärkeitä attribuutteja kuin täsmällisyys S w = {w R 3 w 1 + w 2 + w 3 = 1, w 1 w 3, w 2 w 3, w i 0}
Numeerinen esimerkki 2/3 Työn laatu ja kustannus ovat vähintään yhtä tärkeitä attribuutteja kuin täsmällisyys Attribuuttipainojen joukko: S w = {w R 3 w 1 + w 2 + w 3 = 1, w 1 w 3, w 2 w 3, w i 0} Joukon S w ääriarvopisteet: ext(s w ) = {w 1 = (1,0,0), w 2 = (0,1,0), w 3 = (1/2,1/2,0), w 4 = (1/3,1/3,1/3)}
Numeerinen esimerkki 3/3 Vaihtoehtojen additiivisten arvofunktioiden arvot joukon S w ääriarvopisteissä: Firma 1 Firma 2 Firma 3 w 1 [0.7,0.9] [0.5,0.7] [0.5,0.7] w 2 0.8 [0.4,0.6] 0.6 w 3 [0.75,0.85] [0.45,0.65] [0.55,0.95] w 4 [0.77,0.9] [0.3,0.5] [0.57,0.63] Tämän perusteella vaihtoehto Firma 2 dominoitu ja vaihtoehdot Firma 1 ja Firma 3 ei-dominoituja
Päätössäännöt 1/4 Jos ei-dominoituja vaihtoehtoja useita, on pelkän dominanssin käsitteen avulla mahdotonta tehdä lopullista päätöstä siitä, mikä näistä vaihtoehdoista paras Tällaisissa tilanteissa voidaan soveltaa päätössääntöjä, jotka jaettavissa viiteen luokkaan 1. Edustavien parametrien valinta 2. Arvojen vaihteluväli 3. Arvojen pareittainen vertailu 4. Odotusarvon maksimointi 5. Uskottavuuden maksimointi
Päätössäännöt 2/4 1. Edustavien parametrien valinta Valitaan parametreille jotkin käyvät arvot, ja lasketaan, mikä vaihtoehdoista paras näillä parametrien arvoilla 2. Arvojen vaihteluväli Tarkastellaan, millaisia arvoja vaihtoehdot voivat saada käyvillä parametrien arvoilla Maximax-sääntö: valitaan vaihtoehto, jolla korkein pistemäärä käyvillä parametrien arvoilla Maximin-sääntö: valitaan vaihtoehto, jolla korkein minimipistemäärä käyvillä parametrien arvoilla
Päätössäännöt 3/4 3. Arvojen pareittainen vertailu Päätössäännöt, joissa verrataan eri vaihtoehtojen arvoja toisiinsa Minimax regret sääntö: valitaan vaihtoehto, jolla mahdollisia realisaatioita tarkasteltaessa pienin maksimierotus parhaimpaan mahdolliseen vaihtoehtoon verrattuna 4. Odotusarvon maksimointi Mikäli parametrien saamille arvoille voidaan arvioida todennäköisyydet, voidaan kunkin vaihtoehdon arvolle laskea odotusarvo Suositeltava vaihtoehto se, jonka odotusarvo suurin
Päätössäännöt 4/4 5. Uskottavuuden maksimointi Oletuksena jälleen, että parametrien saamille arvoille voidaan arvioida todennäköisyydet Valitaan vaihtoehto, joka tuottaa suurimman arvon todennäköisimmällä parametrien arvoilla. Tiedeyhteisössä ei vielä yksimielisyyttä siitä, mikä päätössäännöistä toimii käytännössä parhaiten
Kotitehtävä 1/2 Päätöksentekijä harkitsee auton ostamista Kunkin vaihtoehdon attribuuttikohtaiset, välille [0,1] normalisoidut pisteet on annettu alla olevassa taulukossa Päätöksentekijän mielestä polttoainekulujen nousu huonoimmalta tasolta parhaimmalle tasolle on vähintään yhtä tärkeää kuin statuksen nousu huonoimmalta tasolta parhaimmalle tasolle, mikä edelleen on vähintään yhtä tärkeää kuin hinnan nousu huonoimmalta tasolta parhaimmalle tasolle Lada Audi Mercedes-Benz Ferrari Volvo Hinta 0.9 0.5 0.1 0 0.2 Polttoainekulut [0.6,0.7] [0.4,0.5] [0.3,0.4] [0,0.1] [0.5,0.6] Status 0 0.6 0.9 1 0.6
Kotitehtävä 2/2 1. Muodosta käypien attribuuttipainojen joukko S w. Mitkä ovat joukon S w ääriarvopisteet? 2. Laske vaihtoehtojen additiivisten arvofunktioiden arvot joukon S w ääriarvopisteissä. 3. Mitkä vaihtoehdoista ovat dominoituja ja mitkä eidominoituja? Ratkaisun voi lähettää sähköpostitse osoitteeseen jari.alahuhta@aalto.fi tai palauttaa paperilla seuraavassa kokoontumisessa