Mat Optimointiopin seminaari

Transkriptio

1 reference rogramming portfoliopäätösanalyysissa: Robust ortfolio Modeling (RM) -menetelmä Lähteet: Mat Optimointiopin seminaari Liesiö, J., Mild,., Salo, A., reference programming for robust portfolio modeling and proect selection, European Journal of Operational Research 181/3, s Mild,., Monitavoiteoptimointi siltoen korausohelman laatimisessa - RMmenetelmän soveltaminen, Tiehallinnon selvityksiä 2006.

2 Esityksen rakenne Johdanto RM-tehtävän määrittely Epätäydellinen informaatio Dominanssi Ei-dominoituen portfolioiden laskeminen Ydinluku äätössäännöt RM-tehtävissä RM: yhteenveto Sovellus Kotitehtävä

3 Johdanto 1/3 Viime viikolla reference rogramming viitekehys Epätäydellinen scoreinformaatio Epätäydellinen painoinformaatio Lasketaan ei-dominoidut vaihtoehdot Elisitoidaan mahdollisesti lisäinformaatiota Valitaan lopulta yksi eidominoiduista vaihtoehdoista päätössäännöillä (esim. Maximin) C 1 = alkka C 2 = C 3 = Mielenkiintoisuus Lomamäärä Tutkia [0.5, 0.7] [0.6, 0.9] [0.4, 0.6] Konsultti [0.8, 1.0] [0.5, 0.8] [0.2, 0.5] Opettaa [0.4, 0.6] [0.3, 0.7] [0.4, 0.7] S w ={w R 3 w 1 + w 2 + w 3 = 1, w 2 w 1, w 1 w 3, [w 1 w 2 w 3 ] 0}

4 Johdanto 2/3 Tänään RM (Robust ortfolio Modeling) Ulottaa reference rogrammingin periaatteet proektiportfolion valitsemiseen C 1 = Tuotto C 2 = Mielenkiintoisuus C 3 = Maineen kasvu roekti 1 [0.5, 0.7] [0.6, 0.9] [0.4, 0.6] roekti 2 [0.8, 1.0] [0.5, 0.8] [0.2, 0.5] roekti m [0.4, 0.6] [0.3, 0.7] [0.4, 0.7] S w ={w R 3 w1 + w2 + w3 = 1, w 1 w 3, w 3 w 2, [w 1 w 2 w 3 ] 0}

5 RM:n toimintaperiaate Johdanto 3/3

6 RM-tehtävän määrittely 1/2 roektit X={x 1,..., x m } Score-matriisi v ={v i [0, 1], =1,...,m, i=1,...,n} ainot w S ortfolio p X n 0 w w R n wi 0, wi 1 i 1 C 1... C n w 1... w n x 1 v v 1n x m v m1... v mn ortfolion kokonaisarvo V(p, w, v) x p V(x ) x n p i 1 w v i i

7 RM-tehtävän määrittely 2/2 Budettivektori B = [B 1,..., B q ] R q roektin kustannukset C(x ) = [c 1,..., c q ] ortfolion kustannukset Käypät portfoliot F = {p C(p) B} x + C(p) C(x p ) C 1... C n w 1... w n x 1 v v 1n x m v m1... v mn Jos olisi täydellinen paino- a scoreinformaatio, niin paras portfolio löytyisi ratkaisemalla tehtävä max p F x n pi 1 w v i i max z 1,...,z m m 1 z i n 1 w v i i m 1 z C(x ) B, z {0,1}

8 Epätäydellinen informaatio 1/2 ainoinformaatio S w epäyhtälöraoituksin 0 S w Score-informaatio intervallein S v {v R m n v i [v i,v i ]} w Kuva: Salo, A. A., Hämäläinen, R.., reference Assessment by Imprecise Ratio Statements, Operations Research 40/6, s Informaatiooukko S S w S v

9 Epätäydellinen informaatio 2/2 Jokaiselle w S w, v S v pätee V(p, w, v) [min V(p, w), max V(p, w)], w S w w S w C 1... C n w 1... w n x 1 v v 1n missä V(p, w) x n pi 1 w i v i, x m v m1... v mn V(p, w) x n pi 1 w v i i.

10 Määritelmä: Dominanssi 1/3 Olkoon p, p. Tällöin p p oss V(p,w,v) V(p,w,v) (w,v) S a S V(p,w,v) > V(p,w,v) ollakin (w,v) S. ortfolion kokonaisarvoa maksimoiva päätöksentekiä kiinnostunut vain ei-dominoiduista portfolioista

11 Lause 1: Dominanssi 2/3 Olkoon p, p a S = S w S v. Tällöin p S p' min[v(p \ p',w) w Sw max[v(p \ p',w) w S w V(p' \ V(p' \ p, w)] p, w)] 0 0 Lause 1 antaa kaavat, oilla tutkia portfolioiden välistä dominanssia käytännössä

12 Dominanssi 3/3 p S p' min[v(p \ p',w) w Sw max[v(p \ p',w) w S w V(p' \ p, w)] V(p' \ p, w)] 0 0 w Kuva: Salo, A. A., Hämäläinen, R.., reference Assessment by Imprecise Ratio Statements, Operations Research 40/6, s S w konveksi monikulmio => minimointi- a maksimointitehtävien ratkaisut löytyvät S w :n kärkipisteistä

13 Ei-dominoituen portfolioiden Määritelmä: laskeminen 1/3 Ei-dominoituen portfolioiden oukko informaatiooukon S suhteen on (S) {p F p' S p p' F }. eriaatteessa :n voisi laskea seuraavasti: 1. Listaa kaikki mahdolliset portfoliot 2. oista ei-käypät, olloin älelle ää F 3. Muodosta tekemällä F :ssä pareittaisia dominanssi-tarkistuksia Tämä on kuitenkin usein laskennallisesti liian raskas menettely

14 Ei-dominoituen portfolioiden laskeminen 2/3 Rekursiivinen algoritmi For k ~ (a) (b) k k {{ {p },{x 2,..., m do {p {p {p m 1 }} ~ F k k x 1 p' k p p' p' p, (p \{x k ~ p' 1 k s.t. p' s.t. p' m } k } k 1 )} p, C(p' ) p, C(p' ) C(p)} C(p)} Laskennallisesti tehokkaampi tapa

15 Ei-dominoituen portfolioiden laskeminen 3/3 (S):ssä on yleensä useita alkioita Ei-dominoituen portfolioiden lkm:ää voidaan koettaa pienentää elisitoimalla lisäinformaatiota Lause 2: ~ S ~ Lisää painoraotteita Sw S Kapeammat score-intervallit S, int(s) ~ S a/tai ( w ) ~ ( Sv Sv ~ ( S) (S) )

16 Ydinluku 1/3 Määritelmä: roektin x ydinluku informaatiooukon S suhteen on Ydinluvun perusteella voidaan sanoa selkeitä suosituksia yksittäisistä proekteista, vaikka ei-dominoitua portfolioita olisikin monta CI(x,S) {p (S) x (S) p}

17 Ydinluku 2/3 Määritelmä: Ydinproek tit :X Raatapausproektit Ulkoproektit :X C E ( S) :X ( S) B { x ( S) { x X { x X CI ( x X 0 CI ( x, S) 1}, CI ( x, S) 0}., S) 1}, Lauseesta 2 seuraa: ~ S ~ S, int(s) S X C (S) X C ~ ( S), X E (S) X E ~ ( S) Lisäinformaation myötä raatapausproektea saadaan siirrettyä ydin- a ulkoproekteihin äädyttyään ydin- tai ulkoproektiksi, proektin status ei tule enää muuttumaan

18 Ydinluku 3/3 Ei-dominoidut portfoliot poikkeavat toisistaan vain X B (S):n suhteen Lisäinformaation elisitoimisen pitäisi keskittyä raatapausproektien score-intervallien kapeuttamamiseen a/tai painoinformaation keräämiseen Ydin- a ulkoproektien scoreen tarkentaminen ei muuta ei-dominoituen portfolioiden oukkoa

19 äätössäännöt RM-tehtävissä 1/2 Ydinluku kuvaa yksittäisen proektin robustisuutta (herkkyyttä informaation muutoksille) Kokonaisille portfolioille tarvitaan robustisuus-mittaa erityisesti silloin, kun lisäinformaatiota ei ole tarolla, mutta pitäisi silti antaa päätössuosituksia portfolioista Tarvitsee kuitenkin tutkia vain ei-dominoitua portfolioita

20 äätössäännöt RM-tehtävissä 2/2 Absolute robustness ~ Maximin: min arg max min V(p,w) p w S w Robust deviation ~ Minimax-regret: mmr arg min max[ V(p' \ p, w) - V(p \ p',w)] p p' w, S w

21 RM: yhteenveto Interaktiivinen Läpinäkyvä Ei-dominoituen portfolioiden analysoimisessa apuna: ortfolion kriteerikohtaiset scoret ortfolion kokonaisscore-intervalli Ydinluvut proektitasolla Robustisuus-mitat portfoliotasolla

22 RM-sovellus: Siltoen korausohelman laatiminen Lähtökohta: Tarkastelussa 313 siltaa Kaakkois-Suomen tiepiiristä itäisi muodostaa portfolio kunnostettavista silloista Sovelluksessa käytetään vanhaa aineistoa, onka pohalta tiepiiri on o oikeasti tehnyt hankesuunnitelman silloista RM-tuloksia voidaan verrata vanhaan suunnitelmaan

23 Kriteerit C 1 = Vauriopistesumma (VS) C 2 = Koraustarveindeksi (KTI) C 3 = Toiminnalliset puutteet (TM puut.) C 4 = Liikenteellinen merkitys (KVL) C 5 = Suolattavuus (Suola) C 6 = Esteettisyys (Estets)

24 Kriteerikohtaiset scoret 1/2 Kaikissa kriteereissä käytettiin pisteytystä 1-5 Korkeammat pisteet ilmaisevat korkeampaa koraustarvetta Score-informaatio oletettiin tarkaksi (v i = v i )

25 Kriteerikohtaiset scoret 2/2 Esimerkki: VS-, KTI- a KVL kriteerien pisteytys Liikenteellinen luokka isteet Runkoverkko 5 Muut valta- kantatiet 4.2 Muut tiet KVL Muut tiet KVL Muut tiet KVL Muut tiet KVL

26 ainoinformaatio S w = {w R 6 w i =1, w 1 w 3, w 4, w 5, w 6, w 2 w 3, w 4, w 5, w 6, w 3 w 5, w 6, w 4 w 5, w 6, w 0} C 1 = Vauriopistesumma (VS) C 2 = Koraustarveindeksi (KTI) C 3 = Toiminnalliset puutteet (TM puut.) C 4 = Liikenteellinen merkitys (KVL) C 5 = Suolattavuus (Suola) C 6 = Esteettisyys (Estets)

27 Raoitusehdot 1. Budettiraoitus 9,000, ortfolioon saa kuulua korkeintaan 90 hanketta Seuraa käytettävissä olevista resursseista 3. ortfolion todellisen VS:n pitää olla vähintään 15,000 vauriopistettä Seuraa tulostavoitteesta

28 Optimoinnin tulokset Optimoinnissa löytyi 4420 ei-dominoitua portfoliota Kaikkiin sisältyy 90 proektia Budetti käytetty varsin täysimääräisesti kaikissa Todellisen VS:n vaihteluväli [15002, 19415]

29 Ydinlukuanalyysi Ydinproektien lkm X C (S) = 39 Raatapausproektien lkm X B (S) = 112 Ulkoproektien lkm X E (S) = 162 Esimerkinomaisena oukkona mukana myös proektit, oilla ydinluku suurempi kuin 0.5 äitä oli 89 kpl Yhteiskustannus 8,970,000 Myös asetettu VS-alaraa ylittyy

30 Ydinlukuanalyysi

31 Kriteereiden välinen korrelaatio 1/2 roektien kriteerikohtaisista scoreista laskettiin kriteereiden välisiä korrelaatioita VS:llä a KTI:llä = 0.71 KVL:llä a Suolalla = 0.81 Kriteerien tulisi olla preferenssiriippumattomia => kriteerien välisen positiivisen korrelaation kanssa oltava tarkkana, ottei kriteerien taustalla oleva ilmiö tule ylipainotetuksi

32 Kriteereiden välinen korrelaatio 2/2 Huolellisesti rakennetussa mallissa korrelaatiosta kuitenkin peräti hyötyä arantaa ydinlukuun perustuvien proektioukkoen erottuvuutta (enemmän varmoa ydin- a ulkohankkeita) Auttaa seulomaan kaikkien kriteerien suhteen hyviä proektea

33 RM-tulosten vertailu toteutuneeseen hankesuunnitelmaan Toteutuneessa hankesuunnitelmassa on 67 sellaista siltaa, otka mukana myös RMmallin oukossa ydinluku yli /89 75% Tulokset varsin yhdenmukaiset Toteutettu hankesuunnitelma perustui yksinomaan kahteen ensimmäiseen kriteeriin

34 Kotitehtävä 1/2 C 1 = C 2 = C 3 = Tuotto Mielenkiintoisuus Maineenkasvu roekti 1 [0.80, 1.0] [0.13, 0.33] [0.60, 0.80] roekti 2 [0.80, 1.0] [0.80, 1.0] [0.20, 0.40] roekti 3 [0.52, 0.72] [0.45, 0.65] [0.30, 0.50] roekti 4 [0.50, 0.70] [0.80, 1.0] [0.10, 0.30] roekti 5 [0.45, 0.65] [0.40, 0.60] [0.0, 0.20] roekti 6 [0.80, 1.0] [0.72, 0.92] [0.0, 0.20] S w ={w R 3 w 1 + w 2 + w 3 = 1, w 2 w 1, w 1 w 3, [w 1 w 2 w 3 ] 0}

35 Kotitehtävä 2/2 1. Määritä ei-dominoidut proektiportfoliot, kun portfolioon saa kuulua enintään 3 proektia 2. Mikä portfolio tulisi valita, os lopulta käytetään Maximin-päätössääntöä? Ratkaisut voi lähettää sähköpostitse osoitteeseen pekka.laitila@aalto.fi tai antaa ensi viikon haroituksen yhteydessä