ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2016 Harjoitusten 4 ja 5 ratkaisuehdotuksia 4 Harjoitukset Harjoitustehtävä 4.1 Tarkastelemme esimerkin 4.1.3 leipuri Pullaa. Kuinka monta pullaa tulee leipuri Pullan paistaa aamuisin, kun hän on riskineutraali, ja uskoo että (potentiaalisesti) myytyjen pullien lukumäärä lounastauolla on (a) binomijakautunut parametrein n = 10 ja p = 0,5, (b) Poisson-jakautunut parametrilla 5, (c) Pearson Tukey-jakautunut fraktiiliparametrein 1, 5, 10? Ratkaisuehdotus: (a) Leipuri Pullan arvotukset vaihtoehdoille i = 0, 1,..., 10 ovat V (a i ) = E(a i ) = 10 j=0 (min(i, j) 0,2i) ( ) 10 0,5 10. j Siten, esimerkiksi ja, esimerkiksi V (a 0 ) = 0,0000 V (a 1 ) = = = 10 j=0 10 j=0 10 j=0 (selvästi ilman laskujakin) (min(1, j) 0,2) (1 0,2) ( 10 0,8 j = 0,79902. ( ) 10 0,5 10 j ) 0,5 10 ( ) 10 0,5 10 j Laskemalla samalla tavalla saamme V (a 2 ) = 1,58828, V (a 3 ) = 2,33359, V (a 4 ) = 2,96172, V (a 5 ) = 3,38477, V (a 6 ) = 3,56172, V (a 7 ) = 3,53359, V (a 8 ) = 3,38828, V (a 9 ) = 3,19902, V (a 10 ) = 3,00000. Optimaalinen ratkaisu on siis paistaa 6 pullaa. 1
(b) Leipuri Pullan arvotukset vaihtoehdoille i = 0, 1,... ovat V (a i ) = E(a i ) = 5 5j (min(i, j) 0,2i) e j!. j=0 Laskemalla yllä olevan kaavan mukaan (esim. tietokoneella, korvaamalla riittävän isolla luvulla) saamme V (a 0 ) = 0,00000, V (a 1 ) = 0,76092, V (a 2 ) = 1,43762, V (a 3 ) = 1,97394, V (a 4 ) = 2,33479, V (a 5 ) = 2,52018, V (a 6 ) = 2,55934, V (a 7 ) = 2,49406, V (a 8 ) = 2,36350, V (a 9 ) = 2,19668, V (a 10 ) = 2,01172, V (a 11 ) = 1,81852, V (a 12 ) = 1,62189, V (a 13 ) = 1,42393. Selvästikään ei tarvitse laskea suurempia i:n arvoja. Itse asiassa i = 7 näytti jo kuvion. Optimaalinen ratkaisu on siis paistaa 6 pullaa. (c) Nyt arvotukset ovat ( ) V (a i ) = min(i, 1) 0,2i 0,185 ( ) + min(i, 5) 0,2i 0,630 ( ) + min(i, 10) 0,2i 0,185. Saamme V (a 0 ) = 0,00000, V (a 1 ) = 0,80000, V (a 2 ) = 1,41500, V (a 3 ) = 2,03000, V (a 4 ) = 2,64500, V (a 5 ) = 3,26000, V (a 6 ) = 3,24500, V (a 7 ) = 3,23000, V (a 8 ) = 3,21500, V (a 9 ) = 3,20000, V (a 10 ) = 3,18500. Näemme, että nyt kannattaa paistaa 5 pullaa. Harjoitustehtävä 4.2 Tarkastelemme esimerkin 4.1.3 leipuri Pullaa. Oletamme, että leipuri Pullalla on vain lokakuun 2009 data käytettävissään. Oletamme lisäksi, että leipuri Pulla on riskineutraali päätöksenteossaan. Kuinka monta pullaa leipuri Pullan tulee paistaa aamuisin, kun hän estimoi pullanmyyntitodennäköisyydet (a) suhteellisten frekvenssien menetelmällä, (b) binomimallilla käyttäen suurimman uskottavuuden periaatetta, (c) Poisson-mallilla käyttäen suurimman uskottavuuden periaatetta, (d) Pearson Tukey-menetelmällä? (Tässä malliratkaisussa ei piilotella sitä, että laskuissa on käytetty GNU Oc- Ratkaisuehdotus: tavea.) (a) Lokakuun 2009 data on 2
x = 2 0 3 7 10 4 0 7 5 10 6 4 4 5 6 10 2 8 6 5 6 2 Suhteelliset frekvenssit eri pullanmyynneille ovat p_emp = histc(x,0:10); p_emp = p_emp/sum(p_emp) = 0.09091 0.00000 0.13636 0.04545 0.13636 0.13636 0.18182 0.09091 0.04545 0.00000 0.13636 Palkkiomatriisi (indeksöinti alkaa luvusta 1 eikä luvusta 0) muodostetaan vaikkapa parilla sisäkkäiselle silmukalla näin: for i=1:11 for j=1:11 R(i,j) = min(i-1,j-i) - 0.2*(i-1); endfor endfor Tällöin riskineutraalit arvostukset eri pullanpaistomäärille saadaan kaavalla (R*p_emp ) = 0.00000 0.70909 1.41818 1.99091 2.51818 2.90909 3.16364 3.23636 3.21818 3.15455 3.09091 Näemme, että kannattaa paistaa 7 pullaa. (b) Lokakuun 2009 datassa on 22 havaintoa ja yhteensä 112 myytyä pullaa. Siten pullia myytiin 5,09 pullan päivävauhtia. päivittäinen pullanmyynti on siis binomijakautunut parametrein 10 ja 0,509. Näin ollen todennäköisyydet ovat p_bin = binopdf(0:10, 10, 0.509) = 8.1436e-04 8.4421e-03 3.9382e-02 1.0887e-01 1.9751e-01 2.4570e-01 2.1225e-01 1.2573e-01 4.8878e-02 1.1260e-02 1.1673e-03 Tällöin riskineutraalit arvostukset eri pullanpaistomäärille saadaan kaavalla (R*p_bin ) = 0.00000 0.79904 1.58848 2.33449 2.96425 3.38975 3.56917 3.54269 3.39808 3.20900 3.01000 Näemme, että kannattaa paistaa 6 pullaa. (c) Poisson-mallissa ensimmäiset 11 pistetodennäköisyytta ovat 3
p_poi = poisspdf(0:10, 5.09) = 0.0061580 0.0313443 0.0797713 0.1353453 0.1722269 0.1753270 0.1487357 0.1081521 0.0688118 0.0389169 0.0198087 Tämä sisältää jo 98,46% todennäköisyysmassasta, mikä lienee riittävästi. Emme siis laajenna palkkiomatriisia R yli 10 pullan. Tällöin riskineutraalit arvostukset eri pullanpaistomäärille saadaan kaavalla (R*p_poi ) = 0.00000 0.78152 1.53170 2.20210 2.73716 3.09999 3.28750 3.32627 3.25689 3.11869 2.94158 Näemme, että kannattaa paistaa 6 pullaa. (d) Datapisteitä on 22. Siten 0,05-fraktiili on pienin arvo, mikä on 0. Vastaavasti 0,95-fraktiili on suurin arvo, mikä on 10. Mediaani on 11 suurin arvo, mikä on 5. Siten p_pt = [ 0.185 0 0 0 0 0.630 0 0 0 0 0.185]; ja (R*p_pt ) = 0.00000 0.61500 1.23000 1.84500 2.46000 3.07500 3.06000 3.04500 3.03000 3.01500 3.00000 Kannattaa siis paistaa 5 pullaa. Harjoitustehtävä 4.3 Satunnaismuuttuja X on geometrisesti jakautunut parametrilla θ, jos P(X = n) = (1 θ) n θ, n = 0, 1, 2,.... (a) Millaista tilannetta geometrisesti jakautunut satunnaismuuttuja kuvaa? (b) Johda parametrin θ suurimman uskottavuuden estimaattori. Ratkaisuehdotus: (a) Geometrinen jakauma on dikotomisen (onnistuminen/epäonnistuminen) riippumattoman toistokokeen ensimmäistä onnistunutta koetta edeltävien epäonnistuneiden kokeiden lukumäärän jakauma. (b) Log-uskottavuus on (kun on havaittu n epäonnistumista ennen onnistumista) l(θ) = ln(1 θ) n θ = n ln(1 θ) + ln θ. 4
Siten dl dθ (θ) = n d dθ ln(1 θ) + d dθ ln θ = n 1 θ + 1 θ = 1 θ nθ (1 θ)θ = 1 (n 1)θ (1 θ)θ = 0, kun θ = ˆθ = 1 n 1. Harjoitustehtävä 4.5 Sijoittaja S.:llä on 10.000=C sijoitettavaa. Hän ei halua hajauttaa sijoitustaan, vaan haluaa sijoittaa joko Riskiin, Varmaan, tai Säästöön. Säästö antaa varmasti 1% tuoton. Hillosanomista sijoittaja S. on lukenut, että Varman ja Riskin odotetut tuotot (µ) ja tuottojen volatiliteetit (σ) ovat µ Varma = 3%, σ Varma = 10%, µ Riski = 5%, σ Riski = 20%. Sijoittaja S. on antanut itselleen kertoa, että tämä tarkoittaa sitä, että tuotto on normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja odotusarvolla µ ja varianssilla σ 2. Mihin kohteeseen tulisi sijoittaja S.:n sijoittaa rahansa, kun hän on (a) riskineutraali, (b) hyödyn maksimoija hyötyfunktiolla u(r) = ln r. Käytä analyysissäsi laajennettua Pearson Tukey-menetelmää, ja vertaa sitä todelliseen normaalijakaumaan. Ratkaisuehdotus: Määrittelemme aluksi fraktiilit. Tuotot ovat normaalijakautuneita. Siten normeeratut tuotot ovat standardinormaalijakautuneita. Olkoon X normaalisti jakautunut parametrein µ ja σ. Tällöin (X µ)/σ on standradinormaalisti jakautunut ja sen x-fraktiilit saadaan lausekkeesta q = P (X x) ( X µ = P x µ ) σ σ ( ) x µ = Φ σ 5
Siis mistä saamme Tarvitsemme tiedot seuraavista fraktiileista q: Φ 1 (q) = x µ σ, x = µ + σφ 1 (q). Φ 1 (0,05) = 1,64, Φ 1 (0,50) = 0, Φ 1 (0,95) = 1,64. Siten Pearson Tukey-approksimaatio normaalijakautuneille tuotoille r = [r 1, r 2, r 3 ] parametrein µ ja σ on r 1 = µ σ 1,64, r 2 = µ, r 3 = µ + σ 1,64. (a) Yltä näemme riskineutraalit varmuusvastineet 10.000 (1 + r 1 ) 0,185 + 10.000 (1 + r 2 ) 0,630 + 10.000 (1 + r 3 ) 0,185 = 10.000 (1 + µ σ 1,64) 0,185 + 10.000 (1 + µ) 0,630 + 10.000 (1 + µ + σ 1,64) 0,185 Sijoittamalla µ ja σ Varmalle ja Riskille (sekä Säästölle) saamme Säästö: 10.100 Varma: 10.003 Riski: 10.500 Siten riskineutraali päätöksentekijä valitsee Riskin Peason Tukey-approksimaatiossa. Jos Pearson Tukey-approksimaatio korvataan todellisella normaalijakaumalla, niin tällöin varmuusvastineet ovat 10.000 (1 + µ σr)φ(r) dr [ = 10.000 φ(r) dr + µ = 10.000 [1 + µ]. ] φ(r) dr + σ rφ(r) dr Tämä lauseke on sitä suurempi, mitä suurempi µ on taysin riippumatta parametrin σ arvosta. Siten päätös on edelleen Riski. (b) Logaritmisen utiliteetin tapauksessa Pearson Tukey-approksimaation varmuusvastineet ovat ln (10.000 (1 + µ σ 1,64)) 0,185 + ln (10.000 (1 + µ)) 0,630 + ln (10.000 (1 + µ + σ 1,64)) 0,185 6
Sijoittamalla µ ja σ Varmalle ja Riskille (sekä Säästölle) saamme Säästö: 9,2203 Varma: 9,2351 Riski: 9,2401 Siten logaritminen päätöksentekijä valitsee myös Riskin Peason Tukey-approksimaatiossa. Jos Pearson Tukey-approksimaatio korvataan todellisella normaalijakaumalla, niin tällöin logaritmiset varmuusvastineet ovat ln (10.000 (1 + µ σr)) φ(r) dr. Tämä lauseke on formaalisti (tai kompleksinen), jos σ > 0. Siten log-päättäjä valitsee Säästön. (Muutkin tulkinnat ovat toki mahdollisia. Jos esim. tulkitaan, että loppuvarallisuus ei voi olla negatiivinen, niin tällöin valinta on edelleen Riski). 5 Harjoitukset Harjoitustehtävä 5.4 Pekka Päättäjä on päättänyt itselleen seuraavat indifferenssit: L(1, 10) 0,5L(1, 0) + 0,5L(1, 20), L(1, 12) 0,4L(1, 10) + 0,6L(1, 20), L(1, 15) 0,2L(1, 10) + 0,8L(1, 20). (a) Mitä pystyt sanomaan Pekka Päättäjän hyötyfunktiosta? (b) Onko Pekka Päättäjä riskinrakastaja vai riskinkaihtaja? Ratkaisuehdotus: Pekka Päättäjä arvottamissa arpajaisissa esiintyy palkkiot 0, 10, 12, 15 ja 20. Saamme siis tietoa Pekan hyötyfunktiosta näissä pisteissä, yleisemmin välillä [0, 20]. (a) Normeeraamalla voimme sanoa, että u(20) = 1 ja u(0) = 0. Indifferenssistä seuraa, että Huomioimalla tämä indifferenssistä seuraa, että L(1, 10) 0,5 L(1, 0) + 0,5 L(1, 20) u(10) = 0,5 0 + 0, 1 = 0,5. L(1, 12) 0,4L(1, 10) + 0,6L(1, 20) u(12) = 0,4 0,5 + 0,6 = 0,8. 7
Lopuksi, huomioimalla edelliset, indifferenssistä L(1, 15) 0,2L(1, 10) + 0,8L(1, 20) seuraa, että u(15) = 0,2 0,5 + 0,8 = 0,9. Hyötyfunktio on siis jotakuinkin seuraavan kuvan esittämän kaltainen: 1 0.9 0.8 0.7 0.6 u 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 r (b) Ei kumpaakaan, kuten (a)-kohdan kuvasta näkyy (hyötyfunktio ei ole konkaavi eikä konveksi). Harjoitustehtävä 5.5 Oiva Opiskelijan on päätettävä osallistuako kurssille Operaatioanalyysi vai Johdatus tilastotieteeseen. Oiva arvioi, että jos hän osallistuu kurssille Operaatioanalyysi, niin todennäköisyydellä 10% hän saa arvosanan 5, todennäköisyydellä 40% arvosanan 4 ja todennäköisyydellä 50% arvosanan 3. Samoin Oiva arvelee, että jos hän osallistuu kurssille Johdatus tilastotieteeseen, niin todennäköisyydet arvosanoille ovat: 70% arvosanalle 4, 25% arvosanalle 3 ja 5% arvosanalle 2. Oiva on indifferentti arpajaisten L(1, 3) ja L(0,25, 5 ; 0,75, 2) suhteen, sekä arpajaisten L(1, 4) ja L(0,70, 5 ; 0,30, 2) suhteen. Jos Oiva Opiskelija haluaa optimoida arvosanasta saadun keskimääräisen (eli odotetun) hyödyn, niin kumman kursseista Operaatioanalyysi vai Tilastotieteen johdantokurssi hän valitsee? 8
Ratkaisuehdotus: Huomaamme aluksi, että Oiva Opiskelija tarkastelee vain arvosanoja 5, 4, 3 ja 2. Hän siis ei pidä mahdollisena arvosanoja 1 tai hylätty. Rakennamme Oivan hyötyfunktion. Ääriarvoissa asetamme u(5) = 1 ja u(2) = 0. Indifferessistä L(1, 3) L(0,25, 5 ; 0,75, 2) päättelemme, että u(3) = 0,25. Samoin indifferenssistä L(1, 4) L(0,7, 5 ; 0,3, 2) päättelemme, että u(4) = 0,7. Kuvallisesti voimme hahmotella (joskaan se ei ole tarpeen) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 u 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 2 3 4 5 r Nyt hyötyfunktio on tiedossamme. Voimme siis laskea odotetut hyödyt arpajaisille L OR ja L IS : E ( u ( L OR )) = u(5) 0,1 + u(4) 0,4 + u(3) 0,5 = 1 0,1 + 0,7 0,4 + 0,25 0,5 = 0,505, E ( u ( L IS )) = u(4) 0,7 + u(3) 0,25 + u(2) 0,05 = 0,7 0,7 + 0,25 0,25 + 0 0,05 = 0,5525. 9
Oiva Opiskelija valitsee siis kurssin Tilastotieteen johdantokurssi. Harjoitustehtävä 6.1 Sinun on valmistauduttava possuköhän etenemiseen Suomessa. Oletetavaa on, että possuköhä tappaa 600 ihmistä. Voit valita kahdesta rokotusohjelmasta: Ohjelma I 200 ihmistä säästyy. Ohjelma II Todennäköisyydellä 1/3 600 ihmistä säästyy. Kumman rokotusohjelman valitset? Entä kumman rokotusohjelman valitset, jos vaihtoehdot ovat Ohjelma I 400 ihmistä kuolee. Ohjelma II Todennäköisyydellä 2/3 600 ihmistä kuolee. Ratkaisuehdotus: Tässä on keskeistä huomata, että ohjelmat I ja I ovat täsmälleen samoja. Myös ohjelmat II ja II ovat täsmälleen samoja. Usein ihmiset kuitenkin valitsevat ohjelman I ja ohjelman II, koska ne on muotoiltu kauniimmin. Harjoitustehtävä 6.3 Tarkastelemme Tverskyn ja Kahnemanin paradoksia. Olkoon arpajaiset tappioineen tai voittoineen L 1 = L(0,001, 5.000$ ; 0,999, 0$), L 2 = L(1, 5$), L 3 = L(0,001, 5.000$; 0,999, 0$), L 4 = L(1, 5$). Tversky ja Kahneman pyysivät 72 henkilöä valitsemaan arpajaisten L 1 ja L 2 sekä L 3 ja L 4 väliltä. Yli 75% valitsi arpajaiset L 1 mieluummin kuin arpajaiset L 2 ja arpajaiset L 4 mieluummin kuin arpajaiset L 3. (a) Miten riskineutraali päätöksentekijä arvottaisi arpajaiset? (b) Miten riskiä rakastava päätöksentekijä arvottaisi arpajaiset? (c) Miten riskiä kaihtava päätöksentekijä arvottaisi arpajaiset? (d) Miten sinä järjestäisit arpajaiset? (e) Miksi Tverskyn ja Kahnemanin koe on ristiriidassa Von Neumann Morgenstern -hyötyteorian kanssa? (f) Miten prospektiteoria tai ankkurointiefekti voi selittää Tverskyn ja Kahnemanin kokeen? Ratkaisuehdotus: (a) Riskineutraalit arvot ovat E(L 1 ) = 0,001 5.000$ + 0,999 0$ = 5$, E(L 2 ) = 5$, E(L 3 ) = 0,001 ( 5.000$) + 0,999 0$, = 5$, E(L 4 ) = 5$. 10
Riskineutraali arvotus on siis L 3 L 4 L 1 L 2. (b) Riskinrakastajan rajahyöty on aina kasvava. Toinen tapa sanoa tämä on, että hyötyfuntion derivaatta on kasvava. Kolmas tapa sanoa tämä on, että u (pr 1 + (1 p)r 2 ) pu(r 1 ) + (1 p)u(r 2 ) kaikilla p (0, 1) ja r. Valitsemalla r 1 = 0$, r 2 = 5.000$ ja p = 0,999 näemme, että E(u(L 1 )) = 0,999u(0$) + 0,001u(5.000$) u (0,999 0$ + 0,001 5.000$) = u(5$) = E(L 2 ). Siten riskinrakastajalle L 2 L 1. Samalla tavalla näemme, valitsemalla r 1 = 0$, r 2 = 5.000$ ja p = 0,999, että Siten riskinrakastajalle L 4 L 2. Lopputulos on, että riskinrakastajalle E(u(L 3 )) = 0,999u(0$) + 0,001u( 5.000$) u (0,999 0$ 0,001 5.000$) = u( 5$) = E(u(L 4 )). L 4 L 3 L 2 L 1. (c) Tämä kohta menee kuten kohta (c), mutta sillä muutoksella, että nyt u (pr 1 + (1 p)r 2 ) pu(r 1 ) + (1 p)u(r 2 ). Siten riskinkaihtajalle L 3 L 4 L 2 L 1. (d) Luennoija preferoisi seuraavasti: Tämä tekee luennoijasta epärationaalisen. L 3 L 4 L 2 L 1. (e) Epärationaalisuus tulee siitä, että tarkastelemme tappioita ja voittoja. Siten ankkurointipiste on mielivaltainen ja luennoijan tapaan epärationaalinen ihminen on riskiä rakastava voitoille ja riskiä kaihtava tappioille. Tästä seuraa, että hyötyfunktio on samanaikaisesti sekä konveksi että konkaavi (olematta kuitenkaan riskineutraali). Tämä on yksinkertaisesti mahdotonta: sellaista hyötyfunktiota ei ole! Luennoija on siis epärationaalinen Von Neumannin ja Morgensternin mielessä. (f) Paras selitys lienee ankkurointiefekti: ollaan ankkuroitu nollaan, jolloin voitot ja tappiot tuntuvat erilaisilta. Samankaltainen ilmiö tapahtui Harjoitustehtävässä 6.1. 11