Kompleksilukujen kunnan konstruointi

Samankaltaiset tiedostot
Kompleksilukujen kunnan konstruointi

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta

Johdatus matematiikkaan

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita

Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

VII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Lineaarialgebra a, kevät 2019 Harjoitus 6 (ratkaisuja Maple-dokumenttina) > restart; with(linalg): # toteuta ihan aluksi!

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

Opiskelijan pikaopas STACK-tehtäviin. Lassi Korhonen, Oulun yliopisto

Algebra I, harjoitus 5,

Harjoitus 1 -- Ratkaisut

Jäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

a b 1 c b n c n

MAT Algebra 1(s)

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

Kompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

3.3 Funktion raja-arvo

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012

Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.

Funktiot ja raja-arvo P, 5op

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

Johdatus matematiikkaan

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?

Pistetulo eli skalaaritulo

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

ja jäännösluokkien joukkoa

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Demo 7 ( ) Antti-Juhani Kaijanaho. 9. joulukuuta 2005

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

Harjoitus 4 -- Ratkaisut

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet

Tämän vuoksi kannattaa ottaa käytännöksi aina kirjoittaa uuden funktion tyyppi näkyviin, ennen kuin alkaa sen määritemää kirjoittamaan.

Matemaattisen analyysin tukikurssi

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Harjoitus 1 -- Ratkaisut

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

plot(f(x), x=-5..5, y= )

Ydin-Haskell Tiivismoniste

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Kokonaislukuoptimointi

Transkriptio:

Kompleksilukujen kunnan konstruointi Seuraava esitys osoittaa, miten kompleksilukujoukko voidaan määritellä tunnetuista reaalisista käsitteistä lähtien. Määrittelyjen jälkeen on helppoa osoittaa Mathematican laskentamahdollisuuksia käyttäen, että tulos on algebralliselta rakenteeltaan kunta. Laskutoimistusten määrittely joukkoon Lähtökohtana on xy-taso, ts. joukko, jonka alkioiden välille määritellään yhteen- ja kertolasku. Alkiot ovat lukupareja, Mathematican terminologialla kaksialkioisia listoja. Määrittelyä varten muodostetaan aluksi testi, joka tarkistaa, että funkion argumentit ovat sallittua tyyppiä: In[1]:= ctest z_ : Head z List && Length z Laskutoimitukset ovat kahden argumentin funktioita, joiden arvona on argumenttien summa ja tulo siten kuin ne kompleksiluvuille määritellään: In[]:= In[3]:= summa z_?ctest, w_?ctest : z 1 w 1, z w tulo z_?ctest, w_?ctest : z 1 w 1 z w, z 1 w z w 1 Merkintä z k viittaa listan z k:nteen alkioon. Jotta päästään luonnollisempiin summan ja tulon merkintöihin, asetetaan Mathematicassa valmiiksi määritelty (mutta merkitystä vailla oleva) funktio CirclePlus tarkoittamaan funktiota summa, vastaavasti CircleTimes tarkoittamaan funktiota tulo. Tällöin laskutoimitusten symboleina voidaan käyttää renkaan sisässä olevia plus- ja kertomerkkejä (vinoristiä). In[4]:= In[5]:= CirclePlus summa; CircleTimes tulo; Tämän jälkeen laskutoimitukset toimivat normaaliin tapaan: In[6]:= Out[6]= In[7]:= Out[7]= 1, 3, 4 4, 6 1, 3, 4 5, 10 Nolla, ykkönen ja imaginaariyksikkö ovat erikoisasemassa olevia kompleksilukuja ja näille annetaan omat nimet: In[8]:= Out[8]= In[9]:= Out[9]= o 0, 0 0, 0 e 1, 0 1, 0

ckunta.nb In[10]:= Out[10]= i 0, 1 0, 1 Tälöin pätee In[11]:= Out[11]= i i e Tuloksena on saatu yhteen- ja kertolaskulla varustettu kompleksilukujen joukko. Kuntastruktuuri Joukko voidaan osoittaa kunnaksi tarkistamalla kunta-aksioomien voimassaolo. Näissä esiintyy kolme mielivaltaisesti valittua kompleksilukua, joten luodaan kolme symbolista kaksialkioista listaa: In[1]:= a Α 1, Α ; b Β 1, Β ; c Γ 1, Γ ; Näitä käyttäen tarkistetaan kunta-aksioomien voimassaolo yksi kerrallaan. Yhteenlaskun vaihdannaisuus: In[13]:= Out[13]= a b b a Yhteenlaskun liitännäisyys: In[14]:= Out[14]= a b c a b c Yhteenlaskun neutraalialkio on nolla-alkio o: In[15]:= Out[15]= a o a Alkion a Α 1, Α vasta-alkio löydetään ratkaisemalla yhtälö: In[16]:= In[17]:= Out[17]= In[18]:= Out[18]= x Ξ 1, Ξ ; Solve a x o, x Ξ 1 Α 1, Ξ Α x. 1 Α 1, Α Kertolaskun vaihdannaisuus: In[19]:= Out[19]= a b b a Kertolaskun liitännäisyys, missä tarvitaan eksplisiittinen sievennyskäsky:

ckunta.nb 3 In[0]:= Out[0]= In[1]:= Out[1]= a b c a b c Α 1 Β 1 Α Β Γ 1 Α Β 1 Α 1 Β Γ, Α Β 1 Α 1 Β Γ 1 Α 1 Β 1 Α Β Γ Α Β Γ 1 Β 1 Γ Α 1 Β 1 Γ 1 Β Γ, Α 1 Β Γ 1 Β 1 Γ Α Β 1 Γ 1 Β Γ Simplify Kertolaskun neutraalialkio on ykkösalkio e: In[]:= Out[]= a e a Alkion a Α 1, Α käänteisalkio löydetään ratkaisemalla yhtälö: In[3]:= Out[3]= In[4]:= Out[4]= Solve a x e, x Ξ 1 x. 1 Α 1 Α 1 Α 1 Α, Ξ Α Α 1 Α Α 1 Α, Α Α 1 Α Osittelulaki: In[5]:= Out[5]= In[6]:= Out[6]= a b c a b a c Α 1 Β 1 Γ 1 Α Β Γ, Α Β 1 Γ 1 Α 1 Β Γ Α 1 Β 1 Α Β Α 1 Γ 1 Α Γ, Α Β 1 Α 1 Β Α Γ 1 Α 1 Γ Simplify Koska kaikki kunta-aksioomat ovat voimassa, joukko varustettuna edellä määritellyillä laskutoimituksilla on todellakin kunta. Lisäyksiä laskutoimitusten määrittelyyn Koska sekä summa että tulo ovat liitännäisiä, olisi luontevaa sallia sulkujen poisjättäminen useamman termin summassa ja useamman tekijän tulossa. Ilman lisämäärittelyjä tämä ei kuitenkaan onnistu, koska funktiot summa ja tulo on edellä määritelty vain kahden argumentin tapauksessa. In[7]:= Out[7]= a b c summa Α 1, Α, Β 1, Β, Γ 1, Γ Tarvittavat lisämäärittelyt ovat seuraavat: In[8]:= In[9]:= summa z_?ctest : z summa z?ctest, w?ctest : summa summa z, summa w

4 ckunta.nb In[30]:= In[31]:= tulo z_?ctest : z tulo z?ctest, w?ctest : tulo tulo z, tulo w Tämän jälkeen sulkujen poisjättäminen tai mielivaltainen ryhmittely toimii: In[3]:= Out[3]= In[33]:= Out[33]= In[34]:= Out[34]= In[35]:= Out[35]= In[36]:= Out[36]= In[37]:= Out[37]= a b c Α 1 Β 1 Γ 1, Α Β Γ a b c a b c a 3 Α 1 Β 1 Γ 1, 3 Α Β Γ a a a Α 1 Α Α 1 Α 1 Α, Α 1 Α Α Α 1 Α lasku1 a a a b c a Α Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α 1 Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α Γ 1 Α 1 Γ Α 1 Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α 1 Γ 1 Α Γ, Α 1 Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α Γ 1 Α 1 Γ Α Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α 1 Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α 1 Γ 1 Α Γ lasku a a a b c a Α 1 Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α Γ 1 Α 1 Γ Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α 1 Γ 1 Α Γ Α Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α Γ 1 Α 1 Γ Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α 1 Γ 1 Α Γ, Α Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α Γ 1 Α 1 Γ Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α 1 Γ 1 Α Γ Α 1 Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α Γ 1 Α 1 Γ Α 1 Α Β 1 Α 1 Α Β Α 1 Γ 1 Α Γ lasku1 lasku Simplify 0, 0 Summan ja tulon laskujärjestystä ei tarvitse erikseen määritellä, sillä Mathematicassa on valmiina määrittely, jonka mukaan lasketaan ensin ja sen jälkeen: In[38]:= Out[38]= a b a c a b a c Myös ei-negatiivinen kokonaislukupotenssi voidaan määritellä: In[39]:= In[40]:= pottest n_ : IntegerQ n && NonNegative n z_?ctest n_?pottest : Nest z &, e, n Huomaa, että symbolina ei ole tavallinen hattumerkki,vaan pieni vinoneliö! In[41]:= Out[41]= a ExpandAll Α 1 Α, Α 1 Α

ckunta.nb 5 In[4]:= Out[4]= pot1 a 5 b 3 ExpandAll Α 1 5 Β 1 3 10 Α 1 3 Α Β 1 3 5 Α 1 Α 4 Β 1 3 15 Α 1 4 Α Β 1 Β 30 Α 1 Α 3 Β 1 Β 3 Α 5 Β 1 Β 3 Α 1 5 Β 1 Β 30 Α 1 3 Α Β 1 Β 15 Α 1 Α 4 Β 1 Β 5 Α 1 4 Α Β 3 10 Α 1 Α 3 Β 3 Α 5 Β 3, 5 Α 1 4 Α Β 1 3 10 Α 1 Α 3 Β 1 3 Α 5 Β 1 3 3 Α 1 5 Β 1 Β 30 Α 1 3 Α Β 1 Β 15 Α 1 Α 4 Β 1 Β 15 Α 1 4 Α Β 1 Β 30 Α 1 Α 3 Β 1 Β 3 Α 5 Β 1 Β Α 1 5 Β 3 10 Α 1 3 Α Β 3 5 Α 1 Α 4 Β 3 In[43]:= Out[43]= pot a a a a a b b b ExpandAll Α 1 5 Β 1 3 10 Α 1 3 Α Β 1 3 5 Α 1 Α 4 Β 1 3 15 Α 1 4 Α Β 1 Β 30 Α 1 Α 3 Β 1 Β 3 Α 5 Β 1 Β 3 Α 1 5 Β 1 Β 30 Α 1 3 Α Β 1 Β 15 Α 1 Α 4 Β 1 Β 5 Α 1 4 Α Β 3 10 Α 1 Α 3 Β 3 Α 5 Β 3, 5 Α 1 4 Α Β 1 3 10 Α 1 Α 3 Β 1 3 Α 5 Β 1 3 3 Α 1 5 Β 1 Β 30 Α 1 3 Α Β 1 Β 15 Α 1 Α 4 Β 1 Β 15 Α 1 4 Α Β 1 Β 30 Α 1 Α 3 Β 1 Β 3 Α 5 Β 1 Β Α 1 5 Β 3 10 Α 1 3 Α Β 3 5 Α 1 Α 4 Β 3 In[44]:= Out[44]= pot1 pot Simplify 0, 0 Siirtyminen kompleksilukujen tavanomaiseen esitykseen Edellä on rakennettu kompleksilukuaritmetiikkaa Mathematicaan tarkoituksena osoittaa, miten tämä määritelmien pohjalta tulisi periaatteessa tehdä. Lopuksi on syytä katsoa, miten voidaan siirtyä kompleksilukujen tavanomaiseen esitykseen, mikä toki on Mathematicassa valmiinakin. Edellä käsitellyt kaksialkioisen listan muotoiset kompleksiluvut voidaan muuntaa normaaliin muotoon funktiolla In[45]:= normmuoto z_?ctest : z 1 z Tässä tarkoittaa imaginaariyksikköä. Esimerkiksi: In[46]:= normmuoto a Out[46]= Α 1 Α In[47]:= normmuoto a Out[47]= Α 1 Α 1 Α Α In[48]:= Out[48]= In[49]:= Out[49]= ipot Table i n, n, 0, 10 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0 Map normmuoto, ipot 1,, 1,, 1,, 1,, 1,, 1 Varsinaisesti kompleksiluvuilla laskettaessa ne syötetään Mathematicassa suoraan normaalimuodossa. Laskutoimitussymbolit ovat samoja kuin reaalisten muuttujien tapauksessa. Esimerkiksi: In[50]:= Out[50]= 3 4 5 7

6 ckunta.nb In[51]:= Out[51]= In[5]:= Out[5]= 3 4 5 3 41 41 Table ^n, n, 0, 10 1,, 1,, 1,, 1,, 1,, 1 Harjoitustehtäviä 1) Laske kompleksilukujen z 1 5 7 ja z 11 summa, tulo ja osamäärä sekä edellä olevan määritelmän mukaisella formalismilla että normaalia tapaa käyttäen. ) Laske kompleksilukujen z 1 cos φ 1 sin φ 1 ja z cos φ sin φ tulo ja osamäärä sekä luvun z 1 käänteisluku edellä olevan määritelmän mukaisesti. Sievennä tulokset. 3) Määrittele funktiot, jotka antavat reaalilukuparina esitetyn kompleksiluvun liittoluvun ja itseisarvon. Tarkista näitä käyttäen, että seuraavat yhtälöt ovat voimassa kaikille kompleksiluvuille: a) z 1 z z 1 z, b) z 1 z z 1 z, c) z z, d) z z, e) z z z, f) z 1 z z 1 z. Simo K. Kivelä 3.4.005