17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima riippuu paikasta, F( r) F( x, y, z), täytyy integroida: W dw F dr ( F iˆ F ˆj F kˆ) ( dxiˆ dyj ˆ dzkˆ) = ( F dx F dy F dz). A 15.4 Tämä on esimerkki vektorikentän viivaintegraalista. Tässä integroinnissa parametrina on matka s ja käyränä, jonka pisteiden paikkavektori on r. Olkoon Fr ( ) yleisemmin jokin vektorikenttä ja r jonkin käyrän pisteiden paikkavektori. Integraalia F dr kutsutaan vektorin F käyräintegraaliksi yli käyrän.
18 Huomaa, että oikeastaan tässä lasketaan vektorin F käyrän tangentin suuntaisen komponentin F Fcos käyräintegraali eli F dr F Tdr. Perimmältään siis tässäkin on kyse skalaarikentän käyräintegraalista. T Kun käyrä esitetään parametrimuodossa eli r r() t, on integraali saatettava sellaiseen muotoon, jossa integroiminen tapahtuu parametrin t suhteen jonkin välin a t b yli. Käytetään ketjusääntöä, esim. dx dx, jolloin saadaan b dr F( r ) dr ( ) F r a b dx dy x( ( ), ( ), ( )) y( ( ), ( ), ( )) a F x t y t z t F x t y t z t dz + Fz ( x( t), y( t), z( t)). Lyhyemmin kirjoitettuna: b dx dy dz F( r) dr Fx Fy + Fz. a
19 Esimerkki. Lasketaan vektorikentän F( x, y, z) xiˆ yj ˆ zkˆ käyräintegraali yli käyrän (ruuviviiva) r( t) ( x( t), y( t), z( t)) (sin t,cos t, t), 0 t 2. Sovelletaan äskeistä kaavaa. Koska x'( t) cos t, y'( t) sint ja zt ( ) 1, saadaan b dr F( r ) dr F a 2 = sin t iˆ cost ˆj t kˆ cost iˆ sint ˆj kˆ 0 2 2 1 = sin t cost sint cost t t t 0 0 2 2 = 2. 0
20 A 15.2&15.4 3.5 Käyräintegraali ja vektorikentän konservatiivisuus Tarkastellaan vektorikentän käyräintegraalia pitkin suljettua käyrää eli integroinnin alku- ja loppupiste ovat samat, r( a) r( b). Merkitään tätä integraalia F ( r ) dr. On helppo uskoa, että integraali voi olla nolla, jos käyrä vaan sattuu olemaan sopivanlainen. On kuitenkin olemassa sellaisia vektorikenttiä, joille tämä integraali on nolla kaikille suljetuille käyrille, F ( r ) dr 0 kaikille suljetuille Niitä sanotaan konservatiivisiksi kentiksi. Mekaniikasta ovat tuttuja konservatiiviset voimat; ne ovat konservatiivisia vektorikenttiä. On helppo nähdä, että konservatiivisen kentän käyräintegraali kahden pisteen välillä on reitistä riippumaton. Olkoon 1 ja 2 kaksi eri käyrää pisteestä P 0 pisteeseen P. Ne voidaan yhdistää suljetuksi käyräksi, jossa ensin mennään P 0 pisteeseen P käyrää 1 pitkin ja palataan takaisin käyrää 2 väärään suuntaan eli käyrää 2. Silloin (huomaa, että reiteillä 2 ja - 2 käyrädifferentiaalilla dr on vastakkainen merkki, koska ne osoittavat vastakkaiseen suuntaan) joten 0 F dr F dr F dr, 1 2 2 F dr F dr F dr. 1 2
21 Konservatiivinen vektorikenttä Fr ( ) voidaan aina esittää jonkin skalaarikentän () r avulla seuraavasti: ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ( ) r F r i r j r k ˆ. F F F x y z Tämä on konservatiivisen kentän määritelmä. Kaava voidaan kirjoittaa lyhyemmin määrittelemällä derivointioperaattori eli nabla: ˆ ˆ i j kˆ. Silloin F. Nabla hyvin tulee tutuksi jatkossa. [Huom. Fysiikassa usein valitaan potentiaalin etumerkki niin, että F.] Integrandi saadaan skalaarikentän avulla muotoon ˆ F dr i ˆ j kˆ dxiˆ dyj ˆ dzkˆ dx dy dz d. Jos reitillä on parametriesitys r( t) ( a t b), on konservatiivisen kentän käyräintegraali (analyysin päälauseen mukaan) b bd( r ( t)) F dr d( r ( t)) ( r ( b)) ( r ( a)), a a eli käyräintegraalin arvon määräävät potentiaalifunktion arvot käyrän päätepisteissä. Kun käyrä on suljettu, r( a) r( b) ja käyräintegraali häviää.
22 Seuraavat kolme ehtoa ovat yhtäpitäviä eli seuraavat toinen toisistaan (ks. Adams puuttuvien todistusten osalta): (i) F on konservatiivinen eli on muotoa F. (ii) F ( ) 0 kaikille suljetuille käyrille. (iii) Käyräintegraali pisteestä P 0 pisteeseen P ei riipu käyrästä, jota pitkin integrointi suoritetaan eli r( P) F dr ei riipu käyrästä. r( P 0 ) Esimerkki. Tarkastellaan vektorikenttää F ( F, F, F ) ( x y, x z, y) ( x y) iˆ ( x z) ˆj ykˆ. Onko kenttä konservatiivinen? Mikä on kentän käyräintegraali F dr origosta (0,0,0) pisteeseen (0,1,1)? Yksi tapa osoittaa kenttä konservatiiviseksi on etsiä sellainen skalaarifunktio, josta se saadaan nablaamalla eli F ( / x) iˆ ( / y) ˆj ( / z) kˆ. Hetken pohtimisella näkee, että yksi sellainen on 1 2 ( x, y, z) 2 x xy yz. Esimerkiksi x x y F x. Kenttä on siis konservatiivinen. Käyräintegraalin arvoksi saadaan F dr (0,1,1) (0,0,0) 1 1 (0) 0111 (0) 00 00 1.
23 Esimerkki. Laske integraali F dr, kun on ympyrä x y 1 kierrettynä vastapäivään alku- ja loppupisteenä (1,0) ja F on vektorikenttä y x F ( Fx, Fy) (, ). x y x y Onko kenttä konservatiivinen? Laskua yksinkertaistava huomio: koska integroimiskäyrällä x y 1, on kenttä sillä F ( y, x). Parametrisoidaan käyrä kiertokulman avulla: r( ) (cos,sin ), 0 2. Silloin F ( sin,cos ) ja käyräintegraaliksi saadaan 2 2 F dr F r '( ) d ( sin,cos ) ( sin,cos )d 0 0 2 2 (sin cos ) d d 0 0 2. Koska tämä integraali yli suljetun käyrän ei häviä, kenttä ei ole konservatiivinen. Pyörteettömyysehto. Välttämätön ehto vektorikentän F F( x, y, z) konservatiivisuudelle ja siten skalaaripotentiaalin olemassaololle on myös seuraava: F F x y Fy Fz Fz Fx,,. y x z y x z
24 Tämä ehto voidaan kirjoittaa edellä annetun -operaattorin avulla yksinkertaisesti F( x, y, z) 0, sillä F( x, y, z) tarkoittaa vektoria iˆ ˆj kˆ F( x, y, z) F F F F Fy z ˆ F F x Fz ˆ y F x i j kˆ. y z z x x y Vektorikenttää F, jolle F( x, y, z) 0, sanotaan pyörteettömäksi (asiaan palataan myöhemmin). Kaksiulotteisessa tapauksessa pyörteettömyysehto on F x F y. y x Esimerkki. Edellä olleessa tehtävässä kysyttiin, onko kenttä F ( F, F, F ) ( x y, x z, y) konservatiivinen. Yllä annetut ehdot toteutuvat, F F x y Fy Fz Fz Fx 1, 1, 0, y x z y x z joten kenttä voi olla konservatiivinen. Ei välttämättä kuitenkaan ole, koska pyörteettömyys on välttämätön mutta ei riittävä ehto.
25 Esimerkki. Fysiikassa potentiaalia merkitään usein kirjaimella U ja konservatiivinen voima F esitetään muodossa U ˆ U ˆ U F U i j kˆ. Yhdessä ulottuvuudessa jousivoiman potentiaali(energia) on 1 2 U U( x) 2 kx, josta saadaan jousivoimaksi F iˆ kxiˆ. x