Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta seuraa että ei voi olla bijektiota f : {1,, n} {1,, m} kun n m. c) että b) kohdasta seuraa, ei voi olla A n ja A m jos m n. a) Todistetaan induktiolla luvun n suhteen. Kun n 1, tilanne on selvä. Tehdään induktio-oletus: jollakin n ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m} millekään m > n. Tehdään antiteesi, että olisi olemassa l > n + 1 ja surjektio f : {1,, n + 1} {1,, l}. Merkitään f(n + 1) j ja tutkitaan kuvausta F : {1,, n} {1,, l} \ {j}, F (i) f(i), jonka on nyt oltava myös surjektio. Yhdistetään tähän vielä kuvaus g : {1,, l} \ {j} {1,, l 1}, g(i) i, kun i < l ja g(i) i 1 kun i > l (tämä on selvästi bijektio). Nyt g F : {1,, n} {1,, l} on surjektio edellisten demojen perusteella, mikä on vastoin induktio-oletusta ja siis ristiriita, joten antiteesi on väärin. Siis surjektiota ei ole olemassa ja induktio saatettu loppuun. b) Kyseinen bijektio olisi siis myös surjektio, joten a) kohdan nojalla tämä on mahdotonta. c) A n tarkoittaa että on olemassa bijektio f : {1,, n} A ja vastaavasti A n on olemassa bijektio g : {1,, m} A. Nämä yhdistämällä olisi siis f 1 g : {1,, m} {1,, n}, mikä on siis b)-kohdan mukaan mahdotonta. 2. Osoita, että äärellisille joukoille A ja B pätee: Jos A B ja B A niin A B Oletuksen mukaan on siis olemassa injektiot f : B A ja g : A B. Tällöin edellisten demojen perusteella myös yhdistetty kuvaus g f : B B on injektio. Jos tämä ei olisi surjektio, niin olisi olemassa a A siten, että g f : A g(f(a)) A \ {a} olisi bijektio. Tehtävän 1 nojalla tämä olisi ristiriita, joten yhdistetty kuvaus on myös surjektio. Eritoten edellisten demojen nojalla g on surjektio. Siis bijektio. 3. Olkoot n N ja A 1,..., A n äärellisiä joukkoja. Osoita, että A 1 A n A 1 A n. Jos A j 0 (eli A j ) jollakin j {1,..., n}, niin A 1 A n ja siten A 1 A n 0 A 1 A n. Siten voimme olettaa, että kaikki joukot
2 ovat epätyhjiä. Todistetaan kaava induktiolla epätyhjien ja äärellisten joukkojen lukumäärän n suhteen. Perustapaus n 1 on selvä. Olkoon sitten n > 1 ja tehdään induktio-oletus: A 1 A n 1 A 1 A n 1 aina kun A 1,..., A n 1 ovat äärellisiä ja epätyhjiä joukkoja. Jos A n on äärellinen, niin A 1 A n a A n A 1 A n 1 {a}. Yhdisteen tekijät ovat pareittain erillisiä joukkoja, ja induktio-oletuksen nojalla kullekin niistä pätee A 1 A n 1 {a} A 1 A n 1 A 1 A n 1, missä siis a A n. Summaperiaatteen (Lause 2.2) nojalla A 1 A n a A n A 1 A n 1 {a} A 1 A n. 4. Juhlissa osa vieraista on kätellyt toisiansa. Osoita, että on vähintään kaksi vierasta, jotka kättelivät yhtä monta kertaa. 1 Vieraita on äärellinen määrä. Koska osa vieraista on kätellyt toisiansa (ja kättely on antirefleksiivinen relaatio), vieraita on oltava vähintään kaksi. Oletetaan, että vieraita on n kappaletta v 1,..., v n, n 2, ja että vieras v i on kätellyt f(v i ) kertaa; huomaa, että vieras v i ei ole voinut kätellä itsensä kanssa antirefleksiivisyyden perusteella. Siten kättelyiden lukumäärä on rajoitettu luvulla n 1 eli, toisin sanoen, f(v i ) {0,..., n 1}. Havaitaan seuraavaksi, että f ei voi olla surjektio {v 1,..., v n } {0,..., n 1}; muuten nimittäin f(v i ) 0 ja f(v j ) n 1 joillakin indekseillä i j. Tämä on kuitenkin ristiriita, sillä v j ei ole voinut kätellä v i :n kanssa ja siten f(v j ) < n 1 (muista, että kättely oletetaan symmetriseksi relaatioksi). Koska f ei ole surjektio, niin pätee f({v 1,..., v n }) < {0,..., n 1} n {v 1,..., v n }. Tulkittaessa f kuvauksena {v 1,..., v n } f({v 1,..., v n }) voimme soveltaa kyyhkyslakkaperiaatetta (Lause 2.4), jonka nojalla on olemassa kaksi henkilöä v i ja v j, i j, siten, että f(v i ) f(v j ) kuten haluttiin. 1 Kätteleminen ajatellaan antirefleksiiviseksi ja symmetriseksi relaatioksi.
5. Osoita, että missä tahansa kuuden ihmisen joukossa on kolme toisilleen tuttua tai kolme toisilleen tuntematonta ihmistä. 2 Merkitään ihmisiä symboleilla A, B, C, D, E ja F. Tarkastellaan pareja (A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (A, F ). Näiden parien joukossa on ainakin kolme sellaista jotka kuuluvat tuttuusrelaatioon tai kolme sellaista jotka eivät kuulu tuttuusrelaatioon (tämä nähdään soveltamalla kyyhkyslakkaperiaatetta kuvaukseen f ko. viideltä parilta joukolle {0, 1}; jos pari (x, y) ei kuulu relaatioon, niin f((x, y)) 0, ja muuten f((x, y)) 1). Jatkossa oletamme, että kolme pareista kuuluu tuttuusrelaatioon; se tapaus, missä kolme pareista ei kuulu tuttuusrelaatioon, käsitellaan vastaavasti. Tarvittaessa muuttamalla merkintöjä voimme olettaa, että parit (A, B), (A, C) ja (A, D) kuuluvat tuttuusrelaatioon; tarkastellaan pareja (B, C), (B, D), (C, D). Jos yksikin näistä pareista kuuluu tuttuusrelaatioon, niin olemme löytäneet kolme toisilleen tuttua henkilöä relaation symmetrisyyden nojalla. Toisaalta jos mikään näistä kolmesta parista ei kuulu tuttuusrelaatioon, olemme (symmetrisyyden nojalla) löytäneet kolme ihmistä B, C ja D, jotka eivät tunne toisiaan. 3 6. Olkoon A {1,..., 100} siten, että A 76. Osoita, että joukko A sisältää neljä peräkkäistä luonnollista lukua. Tarkastellaan joukkoja A j {4(j 1) + 1,, 4(j 1) + 4}, j 1,..., 25. Havaitaan, että joukko A sisältää neljä peräkkäistä luonnollista lukua ainakin jos jossain sen osituksen muodostuvista joukoista A j on neljä alkioita. Osoitetaan, että näin todellakin on. Määritellään kuvaus f : A {A 1,..., A 25 } asettamalla f(a) A i, missä i {1,..., 25} on valittu siten, että a A i. Nyt A 76 > 3 25 3 {A 1,..., A 25 }. Kyyhkyslakkaperiaatteen (Lause 2.4) nojalla on olemassa osituksen jäsen A i siten, että f 1 ({A i }) 3 + 1 4. Toisin sanoen, on olemassa eri luvut a, b, c ja d joukossa A siten, että f(a) f(b) f(c) f(d) A i, eli a, b, c, d A i ja siten joukossa A i on neljä alkiota. 2 Tuttuus ajatellaan refleksiiviseksi ja symmetriseksi relaatioksi.
4 7. Jos n N ja m {0,..., n}, niin osoita, että ( ) n n! m m!(n m)!. (1) Mukailemalla Lauseen 2.11 todistusta riittää osoittaa, että kaava (1) pätee kun n N, m {1,..., n 1} ja induktio-oletus ( ) n 1 (n 1)! k k!((n 1) k)!. on voimassa kaikilla k {0,..., n 1}. Pascalin kaavan (Lause 2.9) ja induktio-oletuksen nojalla ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 + m m m 1 (n 1)! m!((n 1) m)! + (n 1)! (m 1)!((n 1) (m 1))! (n 1)! m!(n m 1)! + (n 1)! (m 1)!(n m)! (n 1)!(n m) + (n 1)!m m!(n m)! (n 1)!n m!(n m)! n! m!(n m)!.
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Ohjaus 2, 23.9.2014 1. Osoita, että äärellisille joukoille A ja B pätee B A täsmälleen silloin, kun B A. Oletetaan, että B A. Tällöin joko A 0 tai A > 0. Jos A 0, niin A ; koska on olemassa injektio f : B (f B ), niin B A. Jos A > 0, niin A {1,..., n} ja B {1,..., m} joillakin 0 < n A B m <. Erityisesti on olemassa bijektiot f : A {1,..., n} ja g : {1,..., m} B. Lisäksi funktio h : {1,..., n} {1,..., m}, joka määritellään kaavalla h(a) a, on injektio. Siispä g h f : A B on (kolmen injektion yhdistettynä kuvauksena) injektio, eli B A. Oletetaan seuraavaksi, että B A. Jos A 0, niin pätee B 0 A ; jatkossa voimme siis olettaa, että A > 0. Jos puolestaan B 0, niin ei ole olemassa injektiota A B, eli B A ja tämä on ristiriita. Voimme siis olettaa, että myös B > 0. Erityisesti on olemassa bijektiot f : A {1,..., n}, g : B {1,..., m} joillakin n, m 1. Koska oletuksen nojalla on myös olemassa injektio h : A B, on erityisesti olemassa injektio g h f 1 : {1,..., n} {1,..., m}. Jos {1,..., n} n > m {1,..., m}, niin kyyhkyslakkaperiaatteen (Lause 2.4) nojalla g h f 1 ei voi olla injektio, joka on ristiriita. Siten B m n A kuten haluttiin. 2. Osoita, että yhtämahtavuus on ekvivalenssirelaatio. Onko järjestys? Entä osittainen järjestys? Osoitetaan, että yhtämahtavuus on ekvivalenssirelaatio. Olkoon A joukko ja määritellään f(a) a kaikilla a A. Tällöin f on bijektio A A, eli A A. Näin ollen on refleksiivinen. Oletetaan, että A B ja B C, missä A, B ja C ovat joukkoja. Tällöin on olemassa bijektiot f : A B ja g : B C. Yhdistetty funktio g f : A C on bijektio ja siten A C; olemme osoittaneet, että on transitiivinen. Oletetaan sitten, että A B, missä A ja B ovat joukkoja. Tällöin on olemassa bijektio f : A B, jonka käänteisfunktio f 1 {(b, a) B A : afb} on bijektio B A, eli B A. Siispä on symmetrinen.
6 Relaatio ei ole (osittainen) järjestys, koska se ei ole antisymmetrinen: pätee {1, 2} {2, 3} ja {2, 3} {1, 2}, mutta {1, 2} {2, 3}. (Huomautetaan, että luonnollinen valinta relaatioiden ja perusjoukoksi olisi kaikkien joukkojen joukko, joka ei kuitenkaan ole olemassa matematiikassa yleisesti hyväksyttyjen pelisääntöjen, eli aksioomien, vallitessa. Lähestymistapamme joukko-oppiin on tällä kurssilla intuitiivinen ja annettu ratkaisu on sen mukainen.) 3. Olkoot A ja B äärellisiä joukkoja siten, että A B. Osoita, että f : A B on injektio täsmälleen silloin, kun se on surjektio. Oletetaan ensin että f : A B on surjektio. Jos f ei olisi injektio, löytyisi pisteet a b siten että f(a) f(b), joilloin myös f : A \ {a} B olisi surjektio. Nyt kuitenkin A \ {a} A, joten tämä olisi ristiriita Harjoitusten 1.tehtävän b) kohdan nojalla. Oletetaan sitten, että f : A B on injektio. Jos f ei olisi surjektio, löytyisi piste b B \ f(a). Tällöin B 1 + f(a) 1 + A, (sillä injektio on bijektio kuvalleen). Tämä on kuitenkin ristiriita oletuksen A B kanssa. 4. Olkoot X äärellinen joukko, A X ja P A (X) {B P(X) : B A}. Kuinka monta alkiota on joukossa P A (X)? 5. Kuinka monta tornia voidaan sijoittaa shakkilaudan eri ruuduille siten, että ne eivät uhkaa toisiaan? 6. Eräässä ravintolassa pizzaan voi valita yhdestä neljään täytettä kahdentoista täytteen valikoimasta. Kuinka monella tavalla pizzan voi tilata? 7. Korttipakassa on neljää eri maata ja jokaisen maan kortit on numeroitu yhdestä kolmeentoista. Yhteensä kortteja on siis 52. Kuinka monella eri tavalla pakasta voidaan ottaa
7 (a) viisi korttia? (b) viisi korttia siten, että kolmella kortilla on sama numero? (c) viisi korttia siten, että kaikki kortit ovat samaa maata? (d) viisi korttia siten, että neljällä kortilla on sama numero?