MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla voit ratkaista ongelmia likimain, kun tarkennat laskimen näyttöä. Lukujärjestelmät Kymmenjärjestelmän luku 1206=1 10 3 +2 10 2 +0 10 1 +6 10 0 Kymmenjärjestelmässä käytetään lukuja 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9. Samoin esim. seitsenjärjestelmän luku 1206=1 7 3 +2 7 2 +0 7 1 +6 7 0 447 (edellinen lauseke syötetty laskimeen). Seitsenjärjestelmässä käytetään vain lukuja 0, 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. eli kymmenjärjestelmässä Polynomien jakolasku Esim. 1. Jaa jakokulmassa ( 3 5 2 + 7 42) : ( 2) Jaettava = osamäärä jakaja + jakojäännös
Polynomien jaollisuus Kun polynomi jaetaan binomilla a, (a on vakio) ja jako menee tasan, on a polynomin tekijä. Tämä taas tarkoittaa, että = a on polynomin nollakohta. Jos siis tiedät polynomin nollakohdaksi esim. = 2, tiedät myös, että polynomi on jaollinen luvulla 2 eli 2 on polynomin tekijä. Korkeamman asteen yhtälöt Kun haluat ratkaista korkeamman asteen yhtälön, etsi esim. laskimen avulla nollakohta ja selvitä sen avulla tekijä kuten yllä. Kun jaat korkeamman asteen yhtälön jakokulmassa, saat astetta alemman yhtälön. Toista tarvittaessa ja käytä lopuksi esim. 2. asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Sovella tulon nollasääntöä aina, kun mahdollista. Esim. 2. Ratkaise yhtälö ( 3 5 2 + 7 42)( 2 1) = 0 Ratkaisu: Tulon nollasääntö: ( 3 5 2 + 7 42) = 0 tai ( 2 1) = 0 3 5 2 + 7 42 = 0 Siis 3 5 2 + 7 42 = 0 ( 2 + 7 + 21)( 2) = 0 ( 2) = 0 tai ( 2 + 7 + 21) = 0 = 2 ei nollakohtia Vastaus: = 2 tai = -1 tai = 1 Virhe Piirretään kuvaaja laskimella ja löydetään nollakohta = 2. Päätellään, että 2 on polynomin tekijä. Jaetaan jakokulmassa ( 3 5 2 + 7 42) : ( 2) ja saadaan osamääräksi 2 + 7 + 21 (ks. esim. 1.) Tulon nollasääntö (laskin tai ratkaisukaava) 2 1 = 0 2 = 1 = -1 tai = 1 Absoluuttinen virhe = oikea arvo virheellinen arvo oikea arvo virheellinen arvo Suhteellinen virhe = oikea arvo Pyöristyksen kertaus: Luvuissa 0,0000334 113 204 000 1,24 42,0 3,24 10 27 0,00 20,0 0,0100 on kolme merkitsevää numeroa. Luvun lopussa olevat nollat ovat merkitseviä ainoastaan, jos ainakin niistä viimeinen on pilkun oikealla puolella. Pyöristä vastauksesi joko pyydettyyn tarkkuuteen tai tehtävässä esiintyvien lukujen tarkkuusasteeseen.
Raja-arvon määrittäminen numeerisesti ( 2 +3 +5 ) Esim. 3. Määritä raja-arvo lim 1 3 1 numeerisesti. 3 Laske funktion arvoja lähellä :n arvoa 1 3, lähestyen niitä sekä oikealta että vasemmalta. f () 0,3-179,7... 0,33-1829,67... 0,333-18329,7... 0,3333... 0,33333 f () 0,4 95,4... 0,34 920,34... 0,334 9170,33... 0,3334......... Jos arvot lähestyvät samaa lukua sekä oikealta että vasemmalta, raja-arvo on luku, jota funktion arvot lähestyvät. Jos arvot lähestyvät eri lukuja, ei raja-arvoa ole. Tässä tapauksessa kummankin puolen arvot hajaantuvat, joten raja-arvoa ei ole. Vastaus: raja-arvoa ei ole. Newtonin menetelmä Soveltuu nollakohtien likiarvojen määrittämiseen. Newtonin menetelmällä et voi todistaa, että nollakohta on olemassa, ainoastaan selvittää likiarvon nollakohdalle, jonka olemassaolo on Bolzanon lauseen perusteella todistettu. Vaatimus: Funktion pitää olla derivoituva! Alkuarvaus syötetään lausekkeeseen f () f ' ( ) :n paikalle, jolloin saadaan uusi arvaus, joka jälleen syötetään lausekkeeseen. Tässä käytetään apuna laskimen Ans -toimintoa ja näpytetään enteriä. Jokainen alkuarvaus ei johda suppenevaan jonoon kohti nollakohtaa. Funktion eri nollakohdat voit löytää eri alkuarvausten avulla. Newtonin menetelmä ei löydä aina kaikkia nollakohtia. Iterointi Etsitään funktion ja suoran g () = leikkauspistettä. Alkuarvaus syötetään funktion lausekkeeseen :n paikalle, jolloin saadaan uusi arvaus, joka jälleen syötetään lausekkeeseen. Tässä käytetään apuna laskimen Ans -toimintoa ja näpytetään enteriä. Funktion nollakohtia voit ratkaista iteroimalla siten, että ratkaiset :n yhtälöstä f () = 0 ja iteroit sopivalla alkuarvauksella yhtälön oikealla puolella olevaa lauseketta.
Funktion nollakohdat Bolzanon lause: Jos jatkuvan funktion arvot ovat välin [a, b] päätepisteissä erimerkkiset, funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ]a, b[. Loput päätelmät nollakohtien määrästä voidaan selvittää funktion kulkua tutkimalla. Kun olet löytänyt välin, jolla nollakohta on, voit pienentää väliä laskemalla funktion arvon välin puolivälissä ja valita uudeksi väliksi sen puoliskon, jolle nollakohta osuu. Toinen vaihtoehto on etsiä nollakohtaa haarukoimalla. Esim. 4. Osoita, että funktiolla f () = 2 1 on tasan yksi nollakohta välillä ]0,9;1,9[ f (0,9) = 0,9 2 1 = - 0,19 < 0 f (1,9) = 1,9 2 1 = 2,61 > 0 Bolzanon lauseen nojalla funktiolla on nollakohta välillä ]0,9 ;1,9[. Tutkitaan funktion kulkua: f () = 2 1 f '() = 2 = 0 => = 0 f '(-1) = 2(-1) = -2 < 0 f '(1) = 2(1) = 2 > 0 0 f () f '() - + Derivoidaan. Selvitetään derivaatan nollakohta. Lasketaan derivaatan arvo kohdissa, jotka sijoittuvat nollakohdan molemmin puolin. Koska funktio f on kasvava, kun > 0 eli myös välillä ]0,9 ;1,9[, saa funktio kunkin arvonsa vain kerran, myös arvon f () = 0. Numeerinen derivaatta Funktion f derivaatan arvo kohdassa = a lasketaan numeerisesti tutkimalla lausekkeen f (a+h) f (a h) f ' (a) arvoja, kun h 0. 2 h Käytännössä tämä tapahtuu niin, että sijoitat a:n paikalle tehtävänannossa sanotun luvun, funktioksi tehtävässä annetun funktion sekä h:n paikalle arvoja, jotka lähestyvät nollaa, esim. h= 0,1, h= 0,01, h= 0,001 jne. Derivaattaa voit selvittää numeerisesti myös käyttämällä erotusosamäärän raja-arvoa (katso MAOLista), jonka selvität numeerisesti esimerkin 3 esittämällä tavalla.
Seuraavat kaavat sinulla on kokeessa käytettävissäsi koepaperissa: f ' (a) f (a+h) f (a h) 2 h f () f ' ( ) A s = d 3 ( y 0 +4 y 1 +2 y 2 +4 y 3 +...+2 y n 2 +4 y n 1 + y n ) A p =d ( y 0 2 + y 1 + y 2 +...+ y n 1 + y n 2 ) A K =d ( y 1 + y 2 +...+ y n ) Sinun tulee tietää itse, mikä kaava sopii mihinkin ja millaisia arvoja kaavan kirjainten paikalle sijoitetaan. Lisäksi käytössäsi on MAOLista löytyvät kaavat.