Mat-2.340 Lieaarie ohjelmoiti 20.9.2007 Lueto 2 Lieaarialgebraa ja geometriaa (kirja.5, 2.) S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 /
Lieaarialgebraa Notaatiota Kääteismatriisi Luetoruko Aliavaruudet ja kaat Geometriaa Moitahokas Koveksi joukko S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 2
S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 3 Lieaarialgebraa: Lieaarialgebraa: Notaatiota (/5) Notaatiota (/5) Matriisit: = = = m m m m m a' a' A A A a a a a a a a a a A M L L M M M L L 2 2 2 22 2 2 [ ] ij ij a A =
Vektorit: Lieaarialgebraa: Notaatiota (2/5) x = ( x x L x )' 2 Sisätulo: x' y = y' x = i= Jos sisätulo o 0, x ja y ovat ortogoaalisia (eli kohtisuorassa toisiaa vastaa). x i y i Schwarzi epäyhtälö: x' y x y x = x' x S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 4
Matriisitulo: Lieaarialgebraa: Notaatiota (3/5) Pätee (AB)C=A(BC) muttei välttämättä AB=BA Pätee (AB) =B A [ AB ] ij = [ A] il[ B] lj = a ' B i j l= Järjestys päivastaiseksi myös useamma matriisi tapauksessa: (ABCD) =((AB)(CD)) =(CD) (AB) =D C B A S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 5
Lieaarialgebraa: Notaatiota (4/5) e i i:s yksikkövektori sellaie jossa i:s elemetti o ja muut ollia e i = ( 0, 0,...,... 0)' Tällöi pätee Ae = ja, jote i A i x = i= x i e i Ax = A i= e x i i = i= Ae x i i = i= A i x i S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 6
Lieaarialgebraa: Notaatiota (5/5) Neliömatriisi: yhtä mota riviä ja saraketta Yksikkömatriisi I: eliömatriisi, joka diagoaalialkiot ykkösiä ja muut ollia 0 I = M 0 0 M 0 Pätee: AI=A, IB=B kaikilla matriiseilla A ja B, joilla yhteesopivat dimesiot I: kassa L L O L 0 0 M S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 7
Lieaarialgebraa: Kääteismatriisi (/3) Olk. A eliömatriisi. Jos o olemassa eliömatriisi B site että AB=BA=I, o A käätyvä/epäsigulaarie ja B se kääteismatriisi; B= A. Pätee: ( A' ) = ( A )' Jos A ja B ovat käätyviä matriiseja (sopivi dimesioi), o myös AB käätyvä ja AB = B A (vrt. matriisitulo traspoosi) ( ) S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 8
Lieaarialgebraa: Kääteismatriisi (2/3) k Vektoreide x,...,x R saotaa oleva lieaarisesti riippumattomia, jos pätee: K k= k a x = 0 a = 0 k =,...,K k k Ts. lieaarisesti riipumattomia vektoreita ei voi esittää toistesa lieaarikombiaatioia S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 9
Lieaarialgebraa: Kääteismatriisi (3/3) Seuraavat väittämät ovat ekvivaletit eliömatriisille A (Teoreema.2): a) A o käätyvä b) A o käätyvä c) A: determiatti ei ole 0 d) A: rivit ovat lieaarisesti riippumattomat e) A: sarakkeet ovat lieaarisesti riippumattomat f) Yhtälöryhmällä Ax=b o -käs. ratkaisu kaikilla b g) O olemassa vektori b s.e yhtälöryhmällä Ax=b o -käs. ratkaisu S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 0
R Lieaarialgebraa: Aliavaruudet ja kaat (/6) : osajoukko S o aliavaruus, jos pätee: x,y S ax+ by S a, b R Esim. origo kautta kulkevat suorat, tasot... Origo sisältyy jokaisee aliavaruutee! K Vektoreide x,...,x R spa (viritelmä) o kaikkie iide lieaarikombiaatioide muodostama R : aliavaruus: K K { } k spa x,...,x = y R y= a x,a R k k k k= S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 /
Lieaarialgebraa: Aliavaruudet ja kaat (2/6) Aliavaruude S kata = kokoelma lieaarisesti riippumattomia vektoreita, jotka virittävät S: (eli joide spa o S). Kata ei ole -käs, mutta sama aliavaruude kaikissa kaoissa o yhtä mota vektoria Kaa vektorie lukumäärä o S: dimesio Suora virittää vektori Taso virittää 2 vektoria... S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 2
Lieaarialgebraa: Aliavaruudet ja kaat (3/6) Jos S: dimesio m <, o S R : aito aliavaruus Tällöi R :ssä o olemassa -m lieaarisesti riippumatota vektoria, jotka ovat ortogoaalisia (kohtisuorassa) kaikkia S: vektoreita vastaa S a y 3 R x x,y S a' x= a' y= 0 3 dim( R ) dim( S ) = 3 2 = S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 3
Lieaarialgebraa: Aliavaruudet ja kaat (4/6) Teoreema.3: x,...,x Olk. vektorie K virittämä aliavaruude S dimesio m. Tällöi: a) S:lle o olemassa kata, joka koostuu m kpl:sta vektoreita x,...,x K k m x,...,x k b) Jos ja lieaarisesti riippumattomia, voidaa k S: kata muodostaa ottamalla x,...,x ja valitsemalla m-k kpl k K vektoreista x +,...,x Ts. aliavaruude virittävistä vektoreista voidaa muodostaa kata valitsemalla iistä dimesio verra lieaarisesti riippumattomia vektoreita S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 4
Lieaarialgebraa: aliavaruudet ja kaat (5/6) m x -matriisi A sarakkeet/rivit virittävät sarakeavaruude/riviavaruude (aliavaruuksia) Rivi- ja sarakeavaruuksie dimesio (li. riippumattomie vektorie määrä) o sama; tätä kutsutaa A: asteeksi (rak). rak ( A) mi{ m,} Selvästi - jos yhtälö pätee, o A täysiasteie (full rak). Joukko { x R Ax= 0} o A: ydi (kerel, ull space) ja se dimesio o -rak(a) S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 5
Lieaarialgebraa: Aliavaruudet ja kaat (6/6) S 0 x 0 Olk. aliavaruus. Lisäämällä S : jokaisee 0 alkioo vektori saadaa affiii aliavaruus S: S = S { } 0 + x 0 = x+ x 0 x S 0 S: dimesio o sama kui :, mutta ollessaa kulkematta origo kautta se ei ole aliavaruus S S 0 x 0 S 0 S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 6
Määritelmä 2.: Geometriaa: Moitahokas (/3) Moitahokas (polyhedro) P o joukko, joka voidaa esittää äärellise moella epäyhtälöllä P = m { x R Ax b}, A R,b R Vrt. LP: yleie muoto: mi c x s.e. Ax b LP: käypä joukko o moitahokas! S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 7
Geometriaa: Moitahokas (2/3) Moitahokas voi jatkua äärettömyyte tai olla rajoitettu, jolloi se jokaise vektori pituus o eitää K jollaki äärellisellä K. K P K P S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 8
Määritelmä 2.3: Geometriaa: Moitahokas (3/3) Olkoo a ollasta poikkeava vektori :ssä ja b skalaari. { x R a' x= b} { x R a' x b} a) Joukko o hypertaso b) Joukko o puoliavaruus R Moitahokas o puoliavaruuksie leikkaus, jota hypertasot rajoittavat a kohtisuorassa hypertasoa vastaa S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu a T x= b 5 5 a T x= b a T x= b 4 4 a T x= b 2 2 a T x= b 3 3 Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 9
Määritelmä 2.4: Geometriaa: Koveksi joukko (/3) Joukko S o koveksi, jos kaikille ( ) y S λx+ λ pätee. x,y S ja λ [ 0, ] Ts. koveksi joukko sisältää kaikki pisteidesä välille piirretyt jaat S S S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Koveksi Ei koveksi Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 20
Määritelmä 2.5: x,...,x Geometriaa: Koveksi joukko (2/3) k Olkoot vektoreita k :ssä ja ykkösee summautuvia ei-egatiivisia skalaareja. k i k a) Vektori o vektorie x i = λ x i,...,x koveksi kombiaatio k b) Vektorie x,...,x koveksi kuori (covex hull) o kaikkie äide vektorie kov. kombiaatioide joukko R λ,...,λ Koveksi kuori = koveksi kombiaatio S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 2
Teoreema 2.: Geometriaa: Koveksi joukko (3/3) a) Koveksie joukkoje leikkaus o koveksi b) Jokaie moitahokas o koveksi joukko c) Koveksi kombiaatio äärellisestä määrästä koveksi jouko alkioita kuuluu myös ko. joukkoo d) Koveksi kuori äärellisestä määrästä vektoreita o koveksi joukko S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / 22