Determinoiruvuuden aksiooma

Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta ylinumeroituva valintaaksiooma on tahan valttamaton: korvaamalla valinta-aksiooma determinoituvuuden aksioomalla voidaan todistaa numeroituva valinta-aksiooma Leb(R) = P(R). 1. Peleista Tassa esitelmassa peli G(A; W ) on pari (A; W ), missa A on mika tahansa joukko ja W A N = ff j f : N! Ag on voittojoukko. Pelin siirrolla n pelaaja I valitsee ensin jonkun alkion a n 2 A ja sitten pelaaja II valitsee alkion b n 2 A. Pelaaja II voittaa pelin G(A; W ) jos jono (a 0 ; b 0 ; a 1 ; b 1 ; : : : ) on voittojoukossa W. Muuten pelaaja I voittaa. Pelaajan II strategia on funktio, joka saa arvokseen joukon A alkioita ja jonka argumentteja ovat aarelliset joukon A jonot (pelaajaan I tekemat siirtosarjat): : [ 1 n=1 A n! A: Vastaavasti pelaajan I strategia on funktio : [ 1 A n! A: Strategia on voittostrategia mikali pelaaja voittaa pelin aina noudattamalla tata strategiaa. Peli on determinoitu jos jommalla kummalla pelaajalla on voittostrategia. 1.1. Esimerkki. Olkoon W 0 [0; 1] R, A = f0; 1; : : : 9g ja W = f(a n ) 1 j 0; a 0 a 1 a 2 2 W 0 g: Pelaajat siis valitsevat vuorotellen reaaliluvun desimaaleja. Pelaaja II pyrkii osumaan joukkoon W 0 ja pelaaja I puolestaan joukkoon [0; 1] n W 0. Nyt

2. ZF, ZFC JA ZF+AD 2 Jos [0; 1] n W 0 sisaltaa avoimen valin (1=10; 2=10), niin pelaajalla I on helppo voittostrategia: jokaisella siirrolla han pelaa luvun 1. Lopullinen luku on talloin vaistamatta valin (1=10; 2=10) sisalla. Eli (x) = 1 kaikilla x 2 [ n A n on pelaajan I voittostrategia. Jos [0; 1] n W 0 on numeroituva, niin pelaajalla II on voittostrategia: Han numeroi taman joukon [0; 1] n W 0 = fq i j i 2 Ng ja diagonalisoi: siirrolla n valitsee luvun q n n:n desimaalin. Talla tavalla valittu luku ei voi olla mikaan naista q n. Huom: tassa ei kaytetty valinta-aksioomaa joukon numeroimiseksi, silla oletuksena oli, etta joukko on numeroituva, eli on olemassa bijektio f : N! [0; 1]nW 0. Samoin jos W 0 on numeroituva, niin I:lla on voittostrategia. Kehittamalla naita argumentteja nahdaan esimerkiksi, etta jos W 0 on avoin ja W 0 = [0; 1], niin pelaajalla II on voittostrategia (esim. Cantorin joukon komplementti). Oletetaan, etta on joku joukko W 0 [0; 1] siten, etta tama peli ei ole determinoitu. Ylla olevasta seuraa mm. etta talloin kumpikaan joukoista W 0 ja [0; 1] n W 0 ei voi olla numeroituva eika edes laiha (tihean avoimen komplementti). Itse asiassa sellainen joukko ei voi olla edes Lebesgue-mitallinen. Voiko tama peli olla ei determinoitu? Vastaus alla. Seuraavassa merkitaan N = N N Yleistetaan hieman esimerkin 1.1 pelia: Olkoon A = N ja W N = N N. Jos varustetaan N tulotopologialla, niin siita on helppo konstruoida jatkuva bijektio reaalilukuihin b: N! R, mika kaytannossa tarkoittaa reaalilukujen esttamista paattymattomana desimaalilukuna, jonka desimaalit saavat olla mita tahansa luonnollisia lukuja (vrt. ketjumurtoluku). Topologista avaruutta N = N N kutsutaan Bairen avaruudeksi (the Baire space - eri asia kuin a Baire space, joka on mika tahansa avaruus, jossa patee Bairen lause). Determinoituvuuden aksiooma (AD). Peli G(N; W ) on determinoitu kaikilla W N. 2. ZF, ZFC ja ZF+AD Ei ole tarkoitus perehtya ZF:n aksioomiin kunnolla, tassa ne kuitenkin ovat kokonaisuuden vuoksi: Aksioomajoukko ZF: (i) 8x8y(8z(z 2 x, z 2 y) ) x = y) (ii) 8x[9y(y 2 x) ) 9y(y 2 x ^ :9z(z 2 y ^ z 2 x))]

3 (iii) Olkoon ' kaava, jossa vapaina esiintyvat vain x; z; w 1 ; : : : ; w n. Talloin seuraava on aksiooma: 8z8w 1 : : : w n 9y8x(x 2 y, (x 2 z ^ ')) (iv) 8x8y9z(x 2 z ^ y 2 z) (v) 8F 9A 8Y 8x(x 2 Y ^ Y 2 F ) x 2 A) (vi) Olkoon ' kaava, jossa vapaina esiintyvat vain x; z; w 1 ; : : : ; w n. Talloin seuraava on aksiooma: 8A 8w 1 ; : : : ; w n [(8x 2 A9!y') ) 9Y 8x 2 A9y 2 Y ']: (vii) 9X (? 2 X and 8y(y 2 X ) S(y) 2 X)) (viii) 8x9y8z(z x ) z 2 y) Naista aksioomista voi johtaa jo hyvin paljon matematiikkaa. Muun muassa on helppo konstruoida taydellinen jarjestetty kunta. Yleensa kuitenkin kaytossa on hieman laajempi aksioomajoukko, nimittain ZFC = ZF + Valinta-aksiooma. Valinta-aksiooma (AC). Jokainen joukko voidaan hyvinjarjestaa, t.s. jokaista joukkoa A kohti on olemassa R A A, joka maarittelee joukkoon A lineaarijarjestyksen s.e. jokaisella A:n osajoukolla on R-pienin alkio (hyvin jarjestys). Tama on ekvivalenttia sen kanssa, etta mielivaltaisella joukkoperheella (X i ) i2i on valintafunktio f : I! [ i2i X i f(i) 2 X i ja sen kanssa, etta mielivaltaisella joukkoperheella kuten ylla, tulojoukko i2i X i on epatyhja. Myos tunnetusti ekvivalenttia Zornin lemman ja Tychonovin lauseen kanssa. Seuraavassa on joitain faktoja. Jos T on aksioomajoukko, niin merkitaan Con(T) lausetta, joka sanoo, etta T on ristiriidaton. Godel: mistaan ristiriidattomasta aksioomajoukosta ei voi todistaa, etta se askioomajoukko itse on ristiriidaton, eli T! Con(T ) () T on ristiriitainen Tasta huolimatta voidaan todistaa: Con(ZF)!Con(ZFC) ja Con(ZF)!Con(ZF+:AC) AD! :AC, mutta AD implikoi AC:n numeroituville joukoille. Con(ZF+AD)!Con(ZFC) Viimeinen implikoi, etta AD:ta ei voi todistaa ZFC:sta eika ZF:sta (miakali nama ovat ristiriidattomia). Toiseksi viimeinen on helppo todistaa diagonalisoimalla: 2.1. Lause. Valinta-aksioomasta seuraa, etta G(N; W ) voi olla epadeterminoitu. Seuraavassa lukijalta oletetaan hieman tiatamysta ordinaaleista.

3. ZF + AD ) Leb(R) = P(R) 4 Todistus. Kaikkia pelaajan I strategioita on yhta paljon kuin funktioita : 1[ n=1 (N) n! N; eli kontiinumin verran: 2!. Valinta-aksiooman nojalla kaikki pelaajan I strategiat voidaan laittaa hyvinjarjestykseen: f j < 2! g ja myos pelaajan II strategiat: f j < 2! g. Nyt joukkoa A voi rakentaa diagonalisoimalla induktiolla. Oletetaan, etta vaiheessa on valittu joukot fx 2 N j < g ja fy 2 N j < g. Seuraavaksi otetaan strategia ja valitaan joku y siten etta y on siirtosarja, jossa pelaaja I on pelannut siirtoja (b 0 ; b 1 ; :::) ja II on kayttanyt strategiaa. (Tarvittava y aina loytyy, silla siirtosarjoja on 2 @ 0 kappaletta.) Seuraavaksi taas valitaan x silla tavalla, etta se on siirtosarja, joka tulee pelatuksi jos II pelaa (a 0 ; a 1 ; a 2 ; :::) ja I on kayttanyt strategiaa. Selvasti joukot Y = fy j < 2! g ja X = fx j < 2! g ovat erilliset ja jokaista I:n strategiaa kohti loytyy b = fb 0 ; b 1 ; :::g siten etta pelissa, jossa II pelaa (b 0 ; b 1 ; :::) strategiaa vastaan, niin lopullinen jono on joukossa Y ja pain vastoin. Siis G(N; X) ei voi olla determinoitu. 2.2. Lause. Determinoituvuuden aksioomasta seuraa numeroituva valinta-aksiooma, eli etta jokaisella numeroituvalla perheella reaalilukujoukkoja on valintafunktio. Todistus. Olkoon P = fx 0 ; X 1 ; X 2 ; : : : g numeroituva kokoelma reaalilukujen osajoukkoja. Voidaan olettaa, etta ne on valin (0; 1) osajoukkoja. Osoitamme, etta loytyy valintafunktio f : N! P, f(i) 2 X i kaikilla i. Pelataan seuraavaa pelia G(N; W ): pelaaja I valitsee jonon (a 0 ; a 1 ; a 2 ; : : : ) lukuja a i 2 f0; 1g ja pelaaja II valitsee (b 0 ; b 1 ; b 2 ; : : : ) myos s.e. b i 2 f0; 1g ja II voittaa jos ja vain jos reaaliluku 0; b 0 b 1 b 2 : : : (binaariluku) on joukossa X a0. Selvastikaan pelaajalla I ei ole voittostrategiaa: kun han on pelannut a 0, II voi valita reaaliluvun b 2 X a0 ja pelata sen desimaaleja. Koska peli on determinoitu AD:n nojalla, niin pelaajalla II on voittostrategia. Jos tama voittostrategia on, voidaan valintafunktio maaritella f(n) = reaaliluku, jonka m:s desimaali on (n; 0; : : : ; 0): {z } m 1kpl 3. ZF + AD ) Leb(R) = P(R) Jos x 2 N, merkitaan x n = x f0; : : : ; n 1g ja O xn = fy 2 N j y n = x ng. Joukot O xn ovat avoimia ja muodostavat avaruuden N topologialle numeroituvan kannan ja samalla jokaiselle x 2 N numeroituvan ymparistokannan.

5 3.1. Lemma. Jokaiselle A R loytyy sellainen mitallinen B R, etta B A ja jos Z B n A on mitallinen, niin m(z) = 0. Todistus. Jos A on rajoitettu, niin tama on selvaa, valitaan vain Borel joukko B s.e. m(b) = m(a). Jos A on rajoittamaton, niin A on numeroituva yhdiste rajoitettuja A = [ n C n, jolloin jokaiselle C n voidaan valita tallainen joukko B n. Jos nyt Z [ n B n na on mitallinen, niin se on numeroituva yhdiste mitallisista B n nc n ja joikaisen naista mitta on nolla. 3.2. Lemma. Olkoon f : N! R jatkuva. Talloin Rng f = f[n ] on Lebesguemitallinen. Todistus. Tahan todistukseen ei tarvita valinta- eika determinoituvuuden aksioomaa. Olkoon A = f[n ] Jatkuvuuden nojalla kaikilla a 2 N patee ff(a)g = \ n2n f[o an] = \ n2n f[o an] (Kaikilla " loytyy n s.e. f[o an] B(f(a); ") jne..) Tasta seuraa A = [ 1\ a2n f[o an] = [ 1\ a2n f[o an]: Merkitaan A s = f[o s ], missa s = x n joillain x ja n (eli s on aarellinen jono). Ylla olevan lemman nojalla jokaista A s kohti loytyy mitallinen B s A s siten etta jos Z B s n A s on mitallinen, niin sen mitta on nolla. A:n mitallisuuden toteamiseksi riittaa osoittaa, etta m (B n A) = 0, missa B = B?, eli B A ja B kuten ylla olevassa lemmassa. Koska A s on mitallinen, voidaan valita niin, etta A s B s A s. Talloin saadaan ja B n A = B n [ A = 1\ a2n [ 1\ a2n B an [ B s s2seq B s n 1[ B s_k! : F Tarkistetaan viela viimeinen kuuluvuus: jos x 2 B, mutta x =2 S s2seq (B s n S 1 B s_k ), niin kaikilla aarellisilla jonoilla x =2 (B s n S 1 B s_k ), eli mm. x =2 B n S 1 B hki eli loytyy k 0 s.e. x 2 B hk0 i jatkamalla induktiivisesti huomataan, etta kaikilla n loytyy k n s.e. x 2 B hk0 ;k 1 ;:::;kni, eli x 2 T 1 B hk0 ;k 1 ;:::;kni, mika on ristiriita sen kanssa, etta x =2 B n S a2n T 1 B an. Toisaalta kaikilla s Z s = B s n 1[ B s_k B s n 1[ A s_k ;

3. ZF + AD ) Leb(R) = P(R) 6 jolloin B s :n maaritelman nojalla m(z s ) = 0 (Z s on selvasti mitallinen Borel-joukko). Mutta F:n nojalla B na S s2seq Z s, joka on numeroituva yhdiste! Siis m (B na) = 0. 3.3. Lause. Determinoituvuuden aksioomasta seuraa, etta kaikki reaalilukujen osajoukot ovat Lebesgue mitallisia. Todistus. Lemman 3.1 nojalla riittaa osoittaa, etta jos S R on sellainen, etta kaikilla mitallisilla Z S m(z) = 0, niin m (S) = 0. Olkoon siis S sellainen, etta kaikilla mitallisilla Z S mitta on nolla. Kiinnitetaan " ja osoitetaan, etta m (S) < ". Koska " on m.v., tasta lopulta seuraa, etta m (S) = 0. Jokaista n 2 N kohti maaritellaan kokoelma avoimia joukkoja K n seuraavasti: Jos G 2 K n, niin G on aarellinen yhdiste avoimia valeja, joiden paatepisteet ovat rationaalilukuja. m(g) "=2 2n+1. Jokainen K n on numeroituva, joten voidaan kirjoittaa K n = fg n 0 ; Gn 1 ; Gn 2 ; Gn 3 ; : : : g. (Tassa on kaytetty numeroituvaa valintaa). Maaritellaan peli G(N; W ) seuraavasti. Pelaaja I valitsee lukuja 0 ja 1 ja yrittaa muodostaa binaariluvun a 2 S ja II pulestaan valitsee joukkoja H n 2 K n siten etta a 2 S 1 H n. Tarkemmin pelaaja I voittaa siirtosarjalla (a 0 ; b 0 ; a 1 ; b 1 ; a 2 ; : : : ) jos ja vain jos a n 2 f0; 1g a 2 S (missa a on binaariluku a = 0; a 0 a 1 a 2 : : : ) a =2 G n bn. Pelaajan II voittojoukko W siis muodostuu niista jonoista jotka eivat toteuta jotain ehdoista (i) (iii). Osoitamme ensin, etta pelaajalla I ei ole voittostrategiaa. Vastaoletus: on pelaajan I voittostrategia. Maaritellaan kuvaus f : N! R seuraavasti. Jos b = (b 0 ; b 1 ; : : : ), niin olkoon a = (a 0 ; a 1 ; a 2 : : : ) jono niita luonnollisia lukuja, joilla strategiaa vastaa kun pelaaja II pelaa lukuja b 0 ; b 1 ; : : :. Asetetaan f(b) = a, missa a on reaaliluku a = 0; a 0 a 1 a 2 : : :. Vaite on etta f on jatkuva. Olkoon b 2 N ja " > 0. Olkoon k s.e. 2 k < ". Silloin jos a = 0; a 0 a 1 a 2 2 (f(b) "; f(b)+"), niin jonon a ja f(b) binaaridesimaalit eroavat aikaisintaan desimaalissa k, eli jos otetaan kaikki sellaiset jonot b 0, jotka eroavat jonosta (b 0 ; b 1 ; :::) aikaisintaan desimaalissa k, saadaan avoin joukko avaruudessa N, jonka kuva sisaltyy f(b):n "-ymparistoon. Toisaalta, koska oli voittostrategia, niin f(b) 2 S, eli f[n ] = Z S. Lemman 3.2 nojalla Z on mitallinen ja S:n maaritelman nojalla m(z) = 0. Mutta jos se on nollamittainen, niin taatusti loytyy jokin jono joukkoja H n 2 K n s.e. S S n H n. Siis II pystyisi

7 nyt voittamaan pelin pelaamalla jokaisella siirolla talla tavalla valitun H n :n, mika on ristiriita sen kanssa, etta olisi voittostrategia pelaajalle I. Determinoituvuuden aksiooman nojalla tasta seuraa, etta pelaajalla II on voittostrategia. Olkoon tama strategia. Jokaista aarellista jonoa s = (a 0 ; a 1 ; : : : ; a n ) kohti valitaan G n s, joka on strategian antama siirto sen jalkeen kun I on pelannut jonon s. Koska on S voittostrategia, S niin kaikilla jonoilla (a 0 ; a 1 ; :::), joilla a = 1 0; a 0 a 1 ; ::: 2 S patee a 2 G n an = fg s j s = (a 0 ; : : : ; a n ); n 2 Ng, joten 1[ [ S n=1 s2f0;1g n G s : Jos s 2 f0; 1g n, niin G s 2 K n maaritelman mukaan, eli m(g s ) "=2 2(n+1), joten ottamalla huomioon, etta jonoja s f0; 1g n on 2 n kappaletta saadaan [ 1 [ 1X [ m(s) m G s m G s n=1 s2f0;1g n s2f0;1g n 1X 1X X s2f0;1g n m(g s ) 2 n " 2 2n+1 = 1X 1X X s2f0;1g n " 2 2n+1 " = ": 2n+1 Siis m(s) < " mielivaltaisella ", mika riittaa todistukseksi.

8 Kirjallisuutta [Jech] Jech, T., Set Theory. ISBN-10 3-540-44085-7 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York.