Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin on k 1 a = = = 1. x 1 Suoran b kulmakerroin on k b = 0. y Suoran c kulmakerroin on k c = = =. x 1 Vastaus k a = 1, k b = 0, k c =

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 111 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Pystysuoralla suoralla ei ole kulmakerrointa. y Suoran p kulmakerroin on k 1 p = =. x 4 y Suoran q kulmakerroin on k 5 5 q = = =. x Suoran r kulmakerroin k r ei ole määritelty. Vastaus k 1 p =, k 5 q =, k r ei ole määritelty 4

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 11 a) Suora kulkee pisteiden (5,) ja (7,11) kautta. k = y x y Sijoitetaan y = 11, y1 =, x x = 7 ja x = 5. 1 1 = 11 = 8 = 4 7 5 1 b) Suora kulkee pisteiden (,) ja (4, 9) kautta. y y Sijoitetaan y 1 = 9, y1 =, k = x x1 x = 4 ja x1 =. = 9 4 ( ) = 1 4+ = 1 = 6

c) Suora kulkee pisteiden (5,7) ja (8,) kautta. y y Sijoitetaan y 1 =, y1 = 7, k = x x x = 8 ja x = 5. 1 1 = 7 8 5 = 4 = 4 Vastaus a) 4 b) c) 4

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 11 a) Suora kulkee pisteiden ( 4, ) ja ( 1,5) kautta. y y Sijoitetaan y 1 = 5, y1 =, k = x x1 x = 1 ja x1 = 4. 5 ( ) = 1 ( 4) = 5 + = 7 1+ 4 Kulmakerroin on positiivinen, joten suora on nouseva. b) Suora kulkee pisteiden ( 8,4) ja ( 8, ) kautta. y y Sijoitetaan y 1 =, y1 = 4, k = x x1 x = 8 ja x1 = 8. = 4 8 ( 8) = 7 8 + 8 = 7 Ei määritelty 0 Koska nollalla ei voi jakaa, ei suoralla ole kulmakerrointa. Suora on siis pystysuora.

c) Suora kulkee pisteiden (6, 5) ja (5, 5) kautta. y y Sijoitetaan y 1 = 5, y1 = 5, k = x x x = 5 ja x = 6. 1 1 5 ( 5) = 5 6 = 5+ 5 1 = 0 = 0 1 Kulmakerroin on nolla, joten suora on vaakasuora. Vastaus a) 7, nouseva b) Ei kulmakerrointa, pystysuora c) 0, vaakasuora

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 114 a) Pisteet A (,), B(1, ) ja C( 14,11) ovat samalla suoralla, jos suorien AB ja AC kulmakertoimet ovat samat. Lasketaan kulmakertoimet. kab kac = = 1 1 = 11 = 8 = 1 14 16 Kulmakertoimet ovat samat, joten piste C on suoralla AB. b) Pisteet A (,), B(1, ) ja D(165, 78) ovat samalla suoralla, jos suorien AB ja AD kulmakertoimet ovat samat. Lasketaan kulmakertoimet. k 1 AB = k 78 81 AD = = 165 16 Kulmakertoimet eivät ole samat, joten piste D ei ole suoralla AB. Vastaus a) On b) Ei ole

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 115 Pisteet A (,9), B (7,7) ja C(17, b ) ovat samalla suoralla, jos suorien AB ja AC kulmakertoimet ovat samat. Lasketaan kulmakertoimet. k 7 9 1 AB = = = 7 4 k 9 9 AC = b = b 17 14 On oltava kab = k. Muodostetaan yhtälö. AC b 9 = 1 14 b 9 = 1 14 b 9= 7 b = Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. Vastaus b =

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 116 Huomaa: Suorien suuntakulmat voi mitata myös geometriaohjelmalla. a) Määritetään suoran kulmakerroin. 4 ( ) k = = ( 5) 4 Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tan a= k. 1 a= tan ( ) = 6,869... 6,9 4

b) Määritetään suoran kulmakerroin. k = 7 = 9 4 ( ) 7 Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tan a= k. 1 9 a= tan ( ) = 5,15... 5,1 7

c) Määritetään suoran kulmakerroin. k = 0 5 = 5 Ei määritelty 0 Koska nollalla ei voi jakaa, suoralla ei ole kulmakerrointa. Suora on siis pystysuora ja sen suuntakulma on α= 90.

d) Määritetään suoran kulmakerroin. k = = 0 = 0 0 ( 4) 4 Koska suoran kulmakerroin on nolla, se on vaakasuora. Tällöin suuntakulma on α= 0. Vastaus a) 6,9 b) 5,1 c) 90 d) 0

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 117 a) Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tana = k. tana = 6 a = tan 1(6) = 80,57... 81 b) Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tana = k. tana = 5 1 a = tan 1( 5 ) =,619... 1 c) Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tana = k. 4 tana = 7 1 4 a = tan ( ) = 68,749... 69 7 Vastaus a) 81 b) c) 69

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 118 a) Ratkaistaan kulmakerroin yhtälöstä k = tana. k = tan17 = 0,057... 0,06 b) Ratkaistaan kulmakerroin yhtälöstä k = tana. k = tan( 65 ) =,1445...,14 c) Ratkaistaan kulmakerroin yhtälöstä k = tana. k 4 4 = tan( 0,0 ) =, 4906 10..., 49 10 = 0,00049 Vastaus a) 0,06 b),14 c) 0,00049

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 119 Lasketaan pisteiden ( a,4) ja (6, a ) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. k = = y x y x 1 1 a 4 6 a 0 eli 6 a a 6 Toisaalta kulmakerroin voidaan ratkaista yhtälöstä k = tana. k = tan 45 k = 1 Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan vakio a. a 4 = 1 6 a a 4= 6 a a = 10 a = 10 = 1 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. Ratkaisu kelpaa, koska a = 1 6. Vastaus a = 10 = 1

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 10 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla ja pystysuoralla suoralla ei ole kulmakerrointa. y Suoran s kulmakerroin on k 1 1 s = = =. x 5 5 y Suoran t kulmakerroin on k 6 t = = =. x Suoran u kulmakerroin on k u = 0. Suoran v kulmakerrointa k v ei ole määritelty. Vastaus k 1 s =, k t =, k u = 0, k v ei ole määritelty 5

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 11 a) Suora kulkee pisteiden (0,0) ja (, 5 ) kautta. 6 k = y x y x 1 1 5 0 = 6 = 5 : 0 6 = 5 = 5 6 4 Sijoitetaan y = 5, y1 = 0, 6 x = ja x1 = 0. Kulmakerroin on negatiivinen, joten suora on laskeva.

b) Suora kulkee pisteiden ( 1, 1) 4 9 ja ( 1, 1 ) 9 kautta. Sijoitetaan y = 1, y1 = 1, y y1 9 9 k = x x1 x = 1 ja x 1 1 =. 4 1 1 = 9 9 = 0 = 0 1 ( 1) 1 + 1 4 4 Kulmakerroin on nolla, joten suora on vaakasuora.

c) Suora kulkee pisteiden ( aa, ) ja (8 a,4 a ) kautta. k = y x y x 1 1 Sijoitetaan y = 4 a, y = a, 1 x = 8a j a x = a. = 4a a 8a a = a a 0 6a = 6 = 1 Kulmakerroin on positiivinen, joten suora on nouseva. 1 Vastaus a) 5, laskeva 4 b) 0, vaakasuora c) 1, nouseva

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 1 Pisteet A(9, a ), B (, 1) ja C(, 1 ) ovat samalla suoralla, jos 4 6 suorien AB ja BC kulmakertoimet ovat samat. Lasketaan kulmakertoimet. 1 1 a y y a 1 k 1 4 1 4 AB = = = = a = a x x1 9 99 4 4 k BC 1 1 1 1 y y 1 = = 6 = 6 6 = = x x1 1 9 9 4 4 4 4 On oltava kab = kbc. 1a 4 = Yhtälö voidaan ratkaista myös laskimella. 99 9 1a 4 = 99 9 1a 4 = 1a = 18 a = 18 = 1 Vastaus a =

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 1 Pisteet A(, b), B(1, b ) ja C (4,) ovat samalla suoralla, jos suorien AC ja BC kulmakertoimet ovat samat. Lasketaan kulmakertoimet. k AC y y b b x x 4 ( ) 6 1 = = = 1 k BC y y b b x x 4 1 1 = = = 1 On oltava kac = kbc. b b = 6 6 b= 6 b 6 0 b b+ = = b b 0 Ratkaistaan saatu. asteen yhtälö laskimella tai ratkaisukaavalla. b= 1 tai b= Vastaus b = 1 tai b =

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 14 a) Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tana = k. tana = 1 a = tan ( ) = 71,565... 7 b) Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tana = k. tana = 5 a = tan 1( 5) = 59,06... 59 c) Ratkaistaan suuntakulma yhtälöstä tana = k. tana = 1 a = tan 1( 1 ) = 0 Vastaus a) 7 b) 59 c) 0

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 15 Lasketaan pisteiden (, a + 1) ja (4, a ) välinen kulmakerroin. y y1 a ( a+ 1) k = = = a 1 = a 1 = a 1 x x 4 1 Toisaalta kulmakerroin voidaan ratkaista yhtälöstä k = tana. k = tan( 60 ) k = Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan vakio a. a 1 = a = + 1 Vastaus a = + 1

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 16 a) Määritetään kuvan janojen kulmakertoimet. k AB k BC k CD k DE k FE k GF (40 0) km = = 80 km/h (0,5 0) h (0 40) km = = 80 km/h (1 0,5) h (100 0) km = = 100 km/h ( 1) h (100 100) km = = 0 km/h (,5 ) h (160 100) km = = 60 km/h (,5,5)h (160 160) km = = 0 km/h (4,5,5)h

b) Kulmakerroin kertoo, kuinka monta kilometriä tunnissa auto etenee positiivisen y-akselin suuntaan. Kyseessä on siis auton nopeus (eli vauhti ja etenemissuunta). c) AB: edetään vakionopeudella 80 km/h kohti mökkiä (positiivisen y-akselin suuntaan). BC: palataan vakionopeudella 80 km/h mökistä poispäin lähtöpisteeseen (negatiivisen y-akselin suuntaan). CD: edetään kohti mökkiä vakionopeudella 100 km/h DE: puolen tunnin tauko. Auto ei liiku, eli se on parkissa. EF: jatketaan matkaa vakionopeudella 60 km/h. FG: ollaan perillä, auto parkissa. Vastaus a) k AB = 80 km/h k BC = 80 km/h k CD = 100 km/h k DE = 0 km/h k = 60 km/h k = 0 km/h EF FG b) auton nopeuden, eli vauhdin ja etenemissuunnan c) AB: edetään vakionopeudella 80 km/h kohti mökkiä. BC: palataan takaisin lähtöpisteeseen vakionopeudella 80 km/h CD: edetään kohti mökkiä vakionopeudella 100 km/h CD: puolen tunnin tauko, auto parkissa DE: jatketaan matkaa vakionopeudella 60km/h. EF: ollaan perillä mökillä, auto parkissa

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 17 Kuvataan Eeliksen ja Aapon etenemistä koordinaatistossa, jossa x- akselilla on aika tunteina ja y-akselilla etäisyys kotoa kilometreinä. Koti sijaitsee kohdassa y = 0 ja ajanhetken x = 0 sovitaan olevan Eeliksen lähtöhetki. Eelis lähtee siis kotoa ajanhetkellä 0 h nopeudella 0 km/h. Tällöin Eeliksen etenemistä kuvaava suora kulkee koordinaatistossa pisteen (0,0) kautta ja sen kulmakerroin on 0. Aapo lähtee kotoa ajanhetkellä 1,5 h nopeudella 40 km/h. Aapon etenemistä kuvaava suora kulkee koordinaatistossa pisteen (1,5; 0) kautta ja sen kulmakerroin on 40.

Aapo saavuttaa Eeliksen pisteessä (,60). Tällöin Aapo on ajanut h 1,5 h = 1,5 h. Pojat ovat 60 km 0 km = 60 km päässä kotoa. Vastaus Aapo saavuttaa Eeliksen 1,5 h ajon jälkeen 60 km päässä kotoa.

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 18 Suora on laskeva, jos sen kulmakerroin on negatiivinen. On siis osoitettava, että pisteiden (, a ) ja ( 4, + a ) kautta kulkevan suoran kulmakerroin on negatiivinen kaikilla vakion a arvoilla. Määritetään suoran kulmakerroin k. k = y x y x 1 1 = + a a 4 = a a+ 6 a = + a + 6 6 6 1 1 1 = a + a 6 Ratkaistaan kulmakertoimen lausekkeen nollakohdat. 1a 1 a 1 0 6 + = 6 a + a = 0 ± 4 ( 1) ( ) a = ( 1) = ± 9 1 = ±

ei ole määritelty, joten kulmakerroin ei saa arvoa nolla. Kuvaaja k = 1a + 1a 1 on alaspäin aukeava paraabeli 6 (. asteen termin kerroin 1 < 0). 6 Koska paraabeli k = 1a + 1a 1 on alaspäin aukeava, eikä sillä 6 ole nollakohtia, kulmakertoimen arvo on aina negatiivinen. Siis osoitettiin, että k < 0 kaikilla vakion a arvoilla.

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 19 Merkitään janan OA keskipistettä C ja janan OB keskipistettä D. Kaksi janaa ovat yhdensuuntaiset, kun niiden kulmakertoimet ovat samat. On siis osoitettava, että janan CD kulmakerroin on sama kuin kolmion kolmannen sivun AB kulmakerroin. Määritetään janan AB kulmakerroin. k AB = y x y x 1 1 Määritetään janojen OA ja OB keskipisteet C ja D. x1+ 0 y1+ 0 x1 y1 C = (, ) = (, ) x + 0 y + 0 x y D = (, ) = (, )

Määritetään janan CD kulmakerroin. k CD y y1 1 1 1 ( ) = = = = x x 1 x 1 x 1 ( x x ) x x y y1 y y1 y y1 1 1 1 1 Huomataan, että kcd = kab. Siis osoitettiin, että kolmion sivujen OA ja OB keskipisteitä yhdistävä jana CD on janan AB suuntainen.

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 10 1) Suora AB kulkee pisteen K kautta, jos suoran AB kulmakerroin on sama kuin suoran AK kulmakerroin. Määritetään kulmakertoimet. y y1 kab = x x 1 k AK = = = = = y1+ y y1 x1+ x x1 1 y + 1 y y 1 x + 1 x x 1 y 1 y1 1 x 1 x1 1 ( y ) y1 1 ( x ) x1 y y1 x x 1 1 1 1 1 Siis kab kak =, eli osoitettiin, että K on suoralla AB.

) Ratkaistaan etäisyydet AK ja KB. 1+ 1+ 1 1 y y x x AK = y + x 1 ( y 1 1 y y 1 1) ( x 1 1 x x1 ) 1 ( y 1 1 1 y1) ( x x1) = + = + + + y1+ y x1+ x KB = y + x ( y 1 y 1 1 y) ( x 1 x 1 1 x ) 1 ( y 1 1 1 y1) ( x x1) AK = + = + = Siis osoitettiin, että etäisyydet AK ja KB ovat yhtä suuret. Kohtien 1 ja mukaan piste K on suoralla AB ja yhtä etäällä pisteistä A ja B. Siis piste K on pisteitä A ja B yhdistävän janan keskipiste.

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 11 ya a: 1 xa = Ei määritelty = 0 = 0 x 0 y 1 a yb b: x = xb y = b yc c: 1 x = xc y = 1 = c yd d: 0 xd = = 0 = 1 Ei määritelty x 1 y 0 d y Huomataan, että suhde on sitä suurempi, mitä jyrkempi suora x on. Siksi on luontevaa valita se suoran kulmakertoimeksi. a b c d

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 1 a) Sijoitetaan pisteen (,1) koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y0 = k( x x0 ) Sijoitetaan y0 = 1, x0 =, k = y 1 = ( x ) y 1= x 4 y = x 4+ 1 y = x x y = 0 b) Sijoitetaan pisteen (,1) koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y0 = k( x x ) y 1 = ( x ) y 1= x+ 6 y = x+ 6+ 1 y = x+ 7 x+ y 7 = 0 Sijoitetaan y = 1, x =, k = 0 0 0 Vastaus a) y = x eli x y = 0 b) y = x+ 7 eli x+ y = 0

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 1 a) Sijoitetaan pisteen (,6) koordinaatit ja kulmakerroin 5 suoran yhtälön kaavaan. y y0 = k( x x ) y 6 = 5( x ( )) y 6 = 5( x+ ) y 6 = 5x+ 15 y = 5x+ 15 + 6 y = 5x+ 1 Sijoitetaan y = 6, x =, k = 5 0 0 0 b) Jos suora leikkaa x-akselin kohdassa 7, niin suora kulkee pisteen (7,0) kautta. Sijoitetaan pisteen (7,0) koordinaatit ja kulmakerroin 4 suoran yhtälön kaavaan. y y = k x x y 0 = 4( x 7) y = 4x + 8 0 ( 0) Sijoitetaan 0 0, 0 7, 4 y = x = k =

c) Jos suora on vaakasuora, niin sen kulmakerroin on nolla. Sijoitetaan pisteen ( 1, ) koordinaatit ja kulmakerroin 0 suoran yhtälön kaavaan. y y0 = k( x x ) Sijoitetaan y y = 0( x ( 1)) y = 0 y = =, x = 1, 0 0 0 k = 0 Vastaus a) y = 5x+ 1 b) y = 4x+ 8 c) y =

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 14 a) Suora kulkee pisteiden (,5) ja (9,1) kautta. Määritetään suoran kulmakerroin. y y k = = 1 5 = x 9 1 x1 Pisteeksi ( x0, y 0) voidaan valita kumpi tahansa annetuista pisteistä. Valitaan piste (,5) ja sijoitetaan pisteen koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y = k( x x ) 0 y 5 = ( x ) y = x+ 7 Sijoitetaan 0 0 0 y = 5, x =, k =

b) Sijoitetaan pisteen (4, 1) koordinaatit a-kohdassa ratkaistuun suoran yhtälöön. 1 = 4 + 7 1 = 1 0= 0 tosi Siis piste (4, 1) on suoralla. Vastaus a) y = x+ 7 b) Piste on suoralla.

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 15 a) Suora kulkee pisteiden (,7) ja (7, ) kautta. Määritetään suoran kulmakerroin. y y k = = 7 = 10 = x 7 5 1 x1 Pisteeksi ( x0, y 0) voidaan valita kumpi tahansa annetuista pisteistä. Valitaan piste (,7) ja sijoitetaan pisteen koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y = k x x y 7 = ( x ) y 7= x+ 4 y = x+ 11 y = x =, k = 0 ( 0) Sijoitetaan 0 7, 0

b) Suora kulkee pisteiden (4,) ja ( 9,) kautta. Määritetään suoran kulmakerroin. y y k = = = 0 = 0 x 9 4 1 1 x1 Pisteeksi ( x0, y 0) voidaan valita kumpi tahansa annetuista pisteistä. Valitaan piste (4,) ja sijoitetaan pisteen koordinaatit ja kulmakerroin 0 suoran yhtälön kaavaan. y y = k x x y = x y = 0( x 4) y = 0 y = = k = 0 ( 0) Sijoitetaan 0, 0 4, 0

c) Suora kulkee pisteiden ( 8, 15) ja ( 5, 6) kautta. Määritetään suoran kulmakerroin. y y 6 ( 15) k = = = 6 + 15 = 9 = x 5 ( 8) 5 + 8 1 x1 Pisteeksi ( x0, y 0) voidaan valita kumpi tahansa annetuista pisteistä. Valitaan piste ( 8, 15) ja sijoitetaan pisteen koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y0 = k( x x0) y0 = 15, x0 = 8, k = y ( 15) = ( x ( 8)) y+ 15 = ( x+ 8) y+ 15 = x+ 4 y = x+ 4 15 y = x+ 9

d) Suora kulkee pisteiden (,1) ja (, 6) kautta. Määritetään suoran kulmakerroin. y y k = = 6 1 = 18 = 18 x ( ) + 0 1 x1 Kulmakerrointa ei ole määritelty. Tällöin suora on pystysuora ja suoran yhtälö muotoa x = x0. Pisteeksi ( x0, y 0) voidaan valita kumpi tahansa annetuista pisteistä. Valitaan piste (,1) ja sijoitetaan pisteen y- koordinaatti pystysuoran yhtälön kaavaan. x = x y = x = 0 0 Vastaus a) y = x+ 11 b) y = c) y = x+ 9 d) x =

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 16 a) Sievennetään suoran yhtälö ratkaistuun muotoon ja määritetään suoran kulmakerroin ja vakiotermi. x+ y = 0 y = x+ Koska suoran kulmakerroin 1 on negatiivinen, suora on laskeva. Koska vakiotermi on, niin suora leikkaa y-akselin pisteessä (0,). x-akselin leikkauspisteessä y-koordinaatti on 0. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. 0= x + x = x-akselin leikkauspiste on siis (,0).

b) Sievennetään suoran yhtälö ratkaistuun muotoon ja määritetään suoran kulmakerroin ja vakiotermi. 5y 7= 0 5y = 7 y = 7 5 Suoran jokaisen pisteen y-koordinaatti on 7, joten suora on 5 vaakasuora. Suora ei leikkaa x-akselia ja se leikkaa y-akselin pisteessä (0, 7 ) 5.

c) Sievennetään suoran yhtälö ratkaistuun muotoon ja määritetään suoran kulmakerroin ja vakiotermi. 4x 1 y+ 5 = 0 1 y = 4x 5 y = 4 x+ 5 1 1 y = 1 x+ 5 1 Koska suoran kulmakerroin 1 nouseva. on positiivinen, suora on Koska vakiotermi on 5, niin suora leikkaa y-akselin pisteessä 1 (0, 5 ). 1 x-akselin leikkauspisteessä y-koordinaatti on 0. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. 0 = 1 x + 5 1 1 x = 5 1 x = 5 ( ) 1 x = 5 4 x-akselin leikkauspiste on siis ( 5,0). 4

d) Sievennetään suoran yhtälö ratkaistuun muotoon ja määritetään suoran kulmakerroin ja vakiotermi. x 4y = 0 4y = x y = x 4 Koska suoran kulmakerroin on negatiivinen, suora on 4 laskeva. Koska vakiotermi on 0, niin suora leikkaa y-akselin pisteessä (0,0). x-akselin leikkauspisteessä y-koordinaatti on 0. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. 0 = x 4 x = 0 x-akselin leikkauspiste on siis (0,0).

Vastaus a) laskeva, x-akselin leikkauspiste (,0), y-akselin leikkauspiste (0,) b) vaakasuora, x-akselin leikkauspistettä ei ole, y-akselin leikkauspiste (0, 7 ) 5 c) nouseva, x-akselin leikkauspiste ( 5,0), 4 y-akselin leikkauspiste (0, 5 ) 1 d) laskeva, x-akselin leikkauspiste (0,0), y-akselin leikkauspiste (0,0)

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 17 a) Piirretään suora kulmakertoimen ja y-akselin leikkauskohdan avulla. Suora y = 4x leikkaa y-akselin pisteessä (0, ). Suoran kulmakerroin on 4: kun x-koordinaatti kasvaa yhden yksikön, niin y-koordinaatti kasvaa neljä yksikköä.

b) y = 4 Suoran jokaisen pisteen y-koordinaatti on 4, joten suora on vaakasuora ja kulkee pisteen (0,4) kautta.

c) Ratkaistaan suoran yhtälöstä y. 6x+ 9 y 18 = 0 9 y = 6x+ 18 y = 6 x+ 18 9 9 y = x+ Suora y = x+ leikkaa y-akselin pisteessä (0,). Suoran kulmakerroin on : kun x-koordinaatti kasvaa kolme yksikköä, niin y-koordinaatti pienenee kaksi yksikköä.

d) Ratkaistaan suoran yhtälöstä x. 5x + 0 = 0 5x = 0 x = 0 5 x = 4 Suoran jokaisen pisteen x-koordinaatti on 4, joten suora on pystysuora ja kulkee pisteen (4,0) kautta.

Vastaus

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 18 Vastaus

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 19 Suoran yhtälön ratkaistu muoto on y = kx + s. Määritetään kuvasta kunkin suoran vakiotermi s ja kulmakerroin k. Suora a leikkaa y-akselin pisteessä (0,1), jolloin suoran vakiotermi on 1. y Suoran a kulmakerroin on k 1 a = = = 1. x 1 Muodostetaan suoran a yhtälö. y = x+ 1 x y+ 1= 0

Suora b leikkaa y-akselin pisteessä (0,), jolloin suoran vakiotermi on. Suora b on vaakasuora, jolloin sen kulmakerroin on 0. Muodostetaan suoran b yhtälö. y = 0 x+ y = y = 0 Suora c leikkaa y-akselin pisteessä (0,5), jolloin suoran vakiotermi on 5. y Suoran c kulmakerroin on k c = = =. x 1 Muodostetaan suoran c yhtälö. y = x+ 5 x+ y 5= 0 Vastaus a) y = x+ 1 eli x y+ 1= 0 b) y = eli y = 0 c) y = x+ 5 eli x+ y 5= 0

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 140 Määritetään suoran x y = 0 kulmakerroin k 1. x y = 0 y = x y = x Siis k 1 =. Määritetään kulmakerrointa k 1 vastaava suuntakulma α 1 yhtälöstä tan a = k. 1 1 tan a 1 = a 1 1 = tan ( ) =,690... Määritetään suoran x+ y 7= 0 kulmakerroin k. x+ y 7= 0 y = x+ 7 y = 1 x+ 7 Siis k 1 =. Määritetään kulmakerrointa k vastaava suuntakulma α yhtälöstä tan a = k.

tan a 1 = a 1 1 1 = tan ( ) = 6,565... Suora x y = 0 on nouseva ja suora x+ y 7= 0 laskeva. Lasketaan suorien välinen kulma.,690... + 6,565... = 60,55... 60 Saatu arvo kelpaa suorien väliseksi kulmaksi, sillä 0 α 90. Vastaus 60

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 141 a) Annetuista tiedoista saadaan kaksi koordinaatiston pistettä (10, 7 1 ) ja (8 1, ). Lasketaan suoran kulmakerroin. 1 y y 7 1 k = = = x x1 8 1 10 Suoran yhtälö saadaan sijoittamalla kulmakerroin ja pisteen (10, 7 1 ) koordinaatit suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y 7 1 = ( x 10) y 7 1 = x 0 y = x,5 b) Sijoitetaan suoran yhtälöön kengännumero y = 6 ja ratkaistaan jalan pituus x. 6 = x,5 x = 9 1 Yhtälön voi ratkaista laskimella. Siis kengännumeroa 6 vastaa jalan pituus 1 9 tuumaa.

c) Sijoitetaan suoran yhtälöön jalan pituus x = 7 1 ja lasketaan kengännumero y. y = (7 1 ),5 y = 0 Siis jalan pituutta 1 7 tuumaa vastaa kengännumero 0. Vastaus a) y = x,5 b) 9 1 tuumaa c) 0

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 14 a) Sijoitetaan pisteen (5, ) koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y0 = k( x x0) Sijoitetaan y =, x y ( ) = ( x 5) y + = x + 15 y = x + 15 y = x + 1 0 0 = 5, k = b) Pystysuoralla suoralla ei ole kulmakerrointa ja sen yhtälö on muotoa x = x0. Sijoitetaan pisteen (4, 5) x-koordinaatti. x = x Sijoitetaan x = 4 x = 4 0 0

c) Suora kulkee pisteiden (,7) ja (, 8) kautta. Määritetään suoran kulmakerroin. k = 8 7 = 15 = 5 Pisteeksi ( x0, y 0) voidaan valita kumpi tahansa annetuista pisteistä. Valitaan piste (,7) ja sijoitetaan pisteen koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y = k( x x ) y 7 = ( x ) y 7= x 6 y = x 6+ 7 y = x+ 1 Sijoitetaan 0 0 0 0 y = 7, x =, k = Vastaus a) y = x+ 1 b) x = 4 c) y = x+ 1

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 14 a) Suora kulkee pisteiden ( 1, ) 6 4 ja (, 1 ) kautta. 8 Määritetään suoran kulmakerroin. 1 y y 1 k = = 4 = x x1 ( 1 ) 8 6 Pisteeksi ( x0, y 0) voidaan valita kumpi tahansa annetuista pisteistä. Valitaan piste ( 1, ) ja sijoitetaan pisteen 6 4 koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan. y y0 = k( x x0) Sijoitetaan y 1 0 =, x0 =, k = 4 6 y = ( x ( 1 )) 4 6 y = x+ 5 1

b) Sijoitetaan pisteen ( 1, 5) koordinaatit a-kohdassa 1 ratkaistuun suoran yhtälöön. 5 = 1 + 5 1 1 5 = 7 4 1 = 0 1 epätosi Siis piste ( 1, 5) ei ole suoralla. 1 Vastaus a) y = x+ 5 1 b) ei ole

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 144 a) Sievennetään suoran yhtälö ratkaistuun muotoon ja määritetään suoran kulmakerroin ja vakiotermi. x y+ 1 = 0 y = x 1 : ( ) y = x 1 y = x+ 4 Koska suoran kulmakerroin on positiivinen, suora on nouseva. Koska vakiotermi on 4, niin suora leikkaa y-akselin pisteessä (0,4). x-akselin leikkauspisteessä y-koordinaatti on 0. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. 0= x + 4 x = 4 x = 4 x = 6 x-akselin leikkauspiste on siis ( 6,0)

b) Sievennetään suoran yhtälö ratkaistuun muotoon ja määritetään suoran kulmakerroin ja vakiotermi. 8x+ 5y 4= 0 5y = 8x+ 4 :5 y = 8 x+ 4 5 5 Koska suoran kulmakerroin 8 on negatiivinen, suora on 5 laskeva. Koska vakiotermi on 4, niin suora leikkaa y-akselin pisteessä 5 (0, 4 ) 5. x-akselin leikkauspisteessä y-koordinaatti on 0. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. 0 = 8 x + 4 5 5 8 x = 4 5 5 5 8 x = 4 5 5 8 x = 1 x-akselin leikkauspiste on siis ( 1,0).

Vastaus a) nouseva, x-akselin leikkauspiste ( 6,0), y-akselin leikkauspiste (0,4) b) laskeva, x-akselin leikkauspiste ( 1,0), y-akselin leikkauspiste (0, 4 ) 5

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 145 Määritetään suoran ja koordinaattiakselien leikkauspisteet. x-akselin leikkauspisteessä y = 0. 4x 0 + 8= 0 x = Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. Siis kolmion kanta a = =.

y-akselin leikkauspisteessä x = 0. 4 0 y + 8= 0 y = 8 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. Siis kolmion korkeus h = 8 = 8. Lasketaan kolmion pinta-ala. A = 1 ah. A = 1 8 = 8 Vastaus 8

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 146 a) Piirretään suora kulmakertoimen ja y-akselin leikkauskohdan avulla. Suora y = x leikkaa y-akselin pisteessä (0, ). Suoran 4 kulmakerroin on : kun x-koordinaatti kasvaa neljä yksikköä, 4 niin y-koordinaatti kasvaa kolme yksikköä.

b) y + 6= 0 y = 6 Suoran jokaisen pisteen y-koordinaatti on 6, joten suora on vaakasuora ja kulkee pisteen (0, 6) kautta.

c) Ratkaistaan suoran yhtälöstä y. x y+ 9= 0 y = x+ 9 y = 1 x+ 9 y = 1 x+ Suora y = 1 x+ leikkaa y-akselin pisteessä (0,). Suoran kulmakerroin on 1 : kun x-koordinaatti kasvaa kolme yksikköä, niin y-koordinaatti kasvaa yhden yksikön.

d) Ratkaistaan suoran yhtälöstä x. 4x 8= 0 4x = 8 x = x = 8 4 Suoran jokaisen pisteen x-koordinaatti on, joten suora on pystysuora ja kulkee pisteen (,0) kautta.

Vastaus

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 147 Vastaus

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 148 Suoran yhtälön ratkaistu muoto on y = kx + s. Määritetään kuvasta kunkin suoran vakiotermi s ja kulmakerroin k. Suora p leikkaa y-akselin pisteessä (0, 1), jolloin suoran vakiotermi on 1. y Suoran p kulmakerroin on k p = =. x Muodostetaan suoran p yhtälö. y = x 1 x y 1= 0 x y = 0

Suora q leikkaa y-akselin pisteessä (0,), jolloin suoran vakiotermi on. y Suoran q kulmakerroin on k 5 5 q = = =. x Muodostetaan suoran q yhtälö. y = 5 x+ 5 x+ y = 0 5x+ y 9= 0 Suora r leikkaa x-akselin pisteessä (,0). Suora r on pystysuora, jolloin sillä ei ole kulmakerrointa ja sen x-koordinaatti on sama kaikissa pisteissä. Muodostetaan suoran r yhtälö. x = x = 0 Vastaus p : x y = 0, q : 5x+ y 9= 0, r : x = 0

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 149 a) Celsiusasteiden y riippuvuutta fahrenheitasteista x kuvaa suora, koska riippuvuus on lineaarinen. Tiedetään, että celsiusasteikolla veden sulamispiste on 0 C ja kiehumispiste 100 C. Annetuista tiedoista saadaan kaksi koordinaatiston pistettä: (,0) ja (1,100). Lasketaan suoran kulmakerroin. y y k = = 100 0 = 5 x 1 9 1 x1 Suoran yhtälö saadaan sijoittamalla kulmakerroin 5 ja pisteen 9 (,0) koordinaatit suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y 0 = 5 ( x ) 9 y = 5 x 160 9 9

b) Herkon ruumiinlämpö celsiusasteina saadaan sijoittamalla a- kohdassa muodostettuun yhtälöön Herkon ruumiinlämpö fahrenheitasteina x = 10. y = 5 10 160 = 50 8,9 C 9 9 9 c) Lämpötilat näyttävät samaa lukemaa, kun y = x. Sijoitetaan suoran yhtälöön muuttujan y paikalle muuttuja x. x = 5 x 160 9 9 4 x = 160 9 9 x = 40 Yhtälön voi ratkaista laskimella. Siis y = x = 40, eli 40 F = 40 C. Vastaus a) y = 5 x 160 9 9 b) 8,9 C c) 40 F = 40 C

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 150 a) Hinnan y riippuvuutta painosta x kuvaa suora, koska riippuvuus on lineaarinen. Annetuista tiedoista saadaan kaksi koordinaatiston pistettä: (50; 4,50) ja (75; 1,75). Lasketaan suoran kulmakerroin. 1,75 4,50 k = = 0,9 75 50 Suoran yhtälö saadaan sijoittamalla kulmakerroin 0,9 ja pisteen (50; 4,50) koordinaatit suoran yhtälöön y y = k( x x ). 0 0 y 4,50 = 0, 9( x 50) y = 0, 9x+ 10 Yhtälön voi ratkaista laskimella. b) Sijoitetaan a-kohdassa ratkaistuun yhtälöön hinta y = 100. 100 = 0, 9x + 10 0, 9x = 90 x = 10,44... x 10 Yhtälön voi ratkaista laskimella. Siis sadalla eurolla saa 10 kg perunoita.

c) Suureet x ja y ovat suoraan verrannolliset, kun y x = k eli y = kx. Siis a-kohdan yhtälön y = 0,9x+ 10 mukaan perunaerän hinta y ja paino x eivät ole suoraan verrannolliset. Vastaus a) y = 0, 9x+ 10 b) 10 kg c) eivät ole

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 151 Määritetään suoran x y+ = 0 kulmakerroin k 1. x y+ = 0 y = x+ Siis k 1 =. Määritetään kulmakerrointa k 1 vastaava suuntakulma α 1 yhtälöstä tan a = k. 1 1 1 tan a = 1 1 a = tan () = 71,565... Määritetään suoran 4x+ y 1= 0 kulmakerroin k. 4x+ y 1= 0 y = 4x+ 1 y = x+ 1 Siis k =.

Määritetään kulmakerrointa k vastaava suuntakulma α yhtälöstä tan a = k. tan a = 1 1 a = tan ( ) = 6,44... Suora x y+ = 0 on nouseva ja suora 4x+ y 1= 0 laskeva. Lasketaan suorien välinen kulma. Suorien välinen kulma α toteuttaa aina ehdon 0 α 90. Suorien väliseksi kulmaksi saadaan α = 180 71,565... 6,44... α = 45 Vastaus 45

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 15 Määritetään suoran x+ y+ 1= 0 kulmakerroin k 1. x+ y+ 1= 0 y = x 1 y = 1 x 1 Siis k 1 1 =. Määritetään kulmakerrointa k 1 vastaava suuntakulma α 1 yhtälöstä tan a = k. 1 1 tan a 1 1 = a 1 1 1 = tan ( ) = 6,565... Määritetään suoran 4x+ y+ = 0 kulmakerroin k. 4x+ y+ = 0 y = 4x Siis k = 4.

Määritetään kulmakerrointa k vastaava suuntakulma α yhtälöstä tan a = k. tan a = 4 1 1 a = tan ( 4) = 75,96... Suorat x+ y+ 1= 0 ja 4x+ y+ = 0 ovat laskevia. Lasketaan suorien välinen kulma. Suorien välinen kulma α toteuttaa aina ehdon 0 α 90. α = 75,96... 6,565... = 49,98... 49 Vastaus 49

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 15 Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. y = a x 4x 5 y = ( a 4) x 5 Suoran kulmakerroin on k = a 4. a) Suora on vaakasuora, kun sen kulmakerroin on nolla. k = 0 a 4= 0 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. a = tai a =

b) Suora on laskeva, kun sen kulmakerroin on negatiivinen. a k < 0 4< 0 Polynomin a 4 nollakohdat a = ± ratkaistiin a-kohdassa. Polynomin. asteen termin kerroin on positiivinen, joten paraabeli aukeaa ylöspäin. Kulmakerroin a 4< 0 eli suora on laskeva, kun < a <. Vastaus a) a = tai a = b) < a <

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 154 a) Sijoitetaan yhtälöön vakiolle a arvoja. a = 0 : (0 1) x+ y 0 = 0 x+ y = 0 x y = 0 a = 1 (1 1) x+ y 1 = 0 y = 0 a = ( 1) x+ y = 0 x+ y 6= 0 Piirretään geometriaohjelmalla suorat x y = 0, y = 0 ja x+ y 6= 0. Huomataan, että suorat kulkevat pisteen (, ) kautta.

b) Osoitetaan, että kaikki suoraparven suorien pisteet kulkevat pisteen (, ) kautta sijoittamalla pisteen koordinaatit x = ja y = suoraparven yhtälöön. ( a 1) x+ y a = 0 ( a 1) + a = 0 a + a = 0 0= 0 tosi Siis piste (, ) toteuttaa suoraparven yhtälön riippumatta vakion a arvosta. Vastaus a) Suorat kulkevat pisteen (, ) kautta.

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 155 Merkitään suoran ja y-akselin leikkauspistettä (0, s) ja suoran ja x-akselin leikkauspistettä (a, 0). Kysytyn suoran yhtälö on muotoa y = kx + s (oltava k > 0, koska suora on nouseva). Piste (9, 4) on suoralla, joten tämä piste toteuttaa suoran yhtälön. y = kx + s Sijoitetaan y = 4, x = 9. 4 = k 9 + s Ratkaistaan s. s = 4 9k Suoran yhtälö on siis y = kx + 4 9k.

Määritetään x-akselin leikkauskohta a sijoittamalla y = 0. y = kx + 4 9k 0= k a+ 4 9k k a = 4 9k a = 4 9k k Muodostetaan yhtälö kolmion pinta-alan avulla. A =, joten a s = a s = 6 9k 4 4 9 k = 6 Ratkaistaan yhtälö laskimella. k 8 k > 0, molemmat k = tai k = 7 ratkaisut kelpaavat Kun k =, niin s = 4 9 =. Kun k = 8, niin s = 4 9 8 = 4. 7 7 Saatiin kaksi mahdollista suoraa. Muodostetaan suorien yhtälöt sijoittamalla saadut k:n ja s:n arvot yhtälöön y = kx + s. y = x tai y = 8 + 4 7 Vastaus y = 8 x+ 4 tai y = x 7

Huomaa: Saatu yhtälö voidaan ratkaista myös ilman laskinta. 9k 4 4 9 k = 6 k 9k 4 4 9 k = 6 k k 9k 4 4 9k = 6 k (9k 4)(4 9 k) = 6k 4 9 k (9 k) 4 4+ 4 9k = 6k 81k + 7k 16 = 6k 81k + 7k 16 = 6k tai 81k + 7k 16 = 6k 81k + 66k 16 = 0 tai 81k + 78k 16 = 0 ei ratkaisua tai k = tai k = 8 7 Molemmat saadut k:n arvot kelpaavat, koska ne ovat positiivisia. Kun k =, niin s = 4 9 =. Kun k = 8, niin s = 4 9 8 = 4. 7 7 Muodostetaan suorien yhtälöt sijoittamalla saadut k:n ja s:n arvot yhtälöön y = kx + s. y = x tai y = 8 + 4 7

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 156 Lasketaan suorien kulmakertoimet. Suora s 1 kulkee pisteiden (7,1) ja (15, 4) kautta. k 1 = 4 1 = 6 = 9 15 7 8 a) Suora s kulkee pisteiden (, 6) ja (4, 1) kautta. k 1 ( 6) = = 1 + 6 = 7 4 Koska kulmakertoimet k 1 ja k eivät ole yhtä suuret, suorat s 1 ja s eivät ole yhdensuuntaiset. b) Suora s kulkee pisteiden ( 1, 45) ja ( 1, 9) kautta. k 9 ( 45) = = 9 + 45 = 6 = 9 1 ( 1) 1+ 1 8 Koska kulmakertoimet k 1 ja k ovat yhtä suuret, suorat s 1 ja s ovat yhdensuuntaiset. Vastaus a) eivät ole b) ovat

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 157 Muokataan suoran 6x y+ 7= 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 6x y+ 7= 0 y = 6x+ 7 y = 6 x+ 7 y = x+ 7 Suoran 6x y+ 7= 0 kulmakerroin on siis. a) Suoran y = x 11 kulmakerroin on myös. Koska kulmakertoimet ovat yhtä suuret, suora y = x 11 on yhdensuuntainen suoran 6x y+ 7= 0 kanssa. b) Lasketaan pisteiden (4, ) ja (8,6) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. 6 ( ) k = = 6+ = 8 = 8 4 8 4 4 Koska kulmakertoimet ovat yhtä suuret, pisteiden (4, ) ja (8,6) kautta kulkeva suora on yhdensuuntainen suoran 6x y+ 7= 0 kanssa. Vastaus a) on b) on

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 158 Muokataan suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon ja tunnistetaan kulmakerroin k. a) y = x 1 Kulmakerroin on k a =. b) x+ y+ 6= 0 y = x 6 Kulmakerroin on k b =. c) y 4= 0 y = 4 Kyseessä on vaakasuora suora, kulmakerroin on k c = 0. d) 4x y = 0 y = 4x y = 4 x y = x Kulmakerroin on k d =.

e) 8x 4y = 0 4y = 8x y = 8 x 4 y = x Kulmakerroin on k e =. f) 7x+ 14 y = 0 14 y = 7x+ y = 7 x+ 14 14 y = 1 x+ 1 7 Kulmakerroin on k 1 f =. Huomataan, että suorilla a, d ja e on sama kulmakerroin. Ne ovat siis keskenään yhdensuuntaiset. Muilla suorilla ei ole keskenään samoja kulmakertoimia. Vastaus a, d ja e

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 159 Muokataan suoran 1x+ y 1 = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 1x+ y 1 = 0 y = 1x+ 1 y = 4x+ 1 Suoran 1x+ y 1 = 0 kulmakerroin on k 1 = 4. Määritetään pisteiden (8, ) ja ( 4, a) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. k y y1 a ( ) = = = a + x x 4 8 1 1 Suorat ovat yhdensuuntaiset, joten niiden kulmakertoimet ovat yhtäsuuret. k = k1 a + = 4 ( 1) 1 a + = 48 a = 46 Vastaus a = 46

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 160 a) Suoran y = x kulmakerroin on k 1 = ja suoran y = 1 x kulmakerroin k 1 =. Tutkitaan, toteuttavatko kulmakertoimet kohtisuoruusehdon. kk = 1 1 1 = 1 1= 1 = 0 epätosi. Siis suorat eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

b) Suoran y = 4x+ kulmakerroin on k 1 = 4. Muokataan suoran x+ 4y 4= 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. x+ 4y 4= 0 4y = x 4 y = x 4 4 4 y = 1 x+ 1 4 Suoran x+ 4y 4= 0 kulmakerroin on k 1 =. 4 Tutkitaan, toteuttavatko kulmakertoimet kohtisuoruusehdon. kk = 1 1 4 ( 1 ) = 1 4 1= 1 0= 0 tosi. Siis suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) Eivät ole b) Ovat

161 Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 Muokataan suoran 7x y+ 4= 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 7x y+ 4= 0 y = 7x 4 y = 7 x+ 4 Suoran 7x y+ 4= 0 kulmakerroin on k 7 1 =. a) Muokataan suoran 1x+ 8y 9 = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 1x+ 8y 9 = 0 8y = 1x+ 9 y = 1 x+ 9 8 8 y = x+ 9 7 8 Suoran 1x+ 8y 9 = 0 kulmakerroin on k =. 7 Tutkitaan, toteuttavatko suorien kulmakertoimet kohtisuoruusehdon. kk = 1 1 7 ( ) = 1 7 1= 1 tosi Siis suora 7x y+ 4= 0 on kohtisuorassa suoraa 1x+ 8y 9 = 0 vastaan.

b) Lasketaan pisteiden (5, 4) ja (, 1) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. k y y1 1 ( 4) = = = 1+ 4 = = x x 5 5 7 7 1 Tutkitaan, toteuttavatko suorien kulmakertoimet kohtisuoruusehdon. kk = 1 1 7 ( ) = 1 7 1= 1 tosi Siis suora 7x y+ 4= 0 on kohtisuorassa pisteiden (5, 4) ja (, 1) kautta kulkevaa suoraa vastaan. Vastaus a) on b) on

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 16 Muokataan suoran x 5y 10 = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. x 5y 10 = 0 5y = x+ 10 y = 1 x 5 Suoran x 5y 10 = 0 kulmakerroin on 1 5. Merkitään kysytyn suoran kulmakerrointa k. Kysytty suora on kohtisuorassa suoraa x 5y 10 = 0 vastaan, jolloin kohtisuoruusehdon mukaan k 1 = 1 5 k = 5. Kysytty suora kulkee pisteen (4, ) kautta. Sijoitetaan koordinaatit x 0 = 4 ja y 0 = sekä kulmakerroin k = 5 suoran yhtälöön. y y0 = k( x x0) y ( ) = 5( x 4) y+ = 5x+ 0 5x+ y 17 = 0 Vastaus 5x+ y 17 = 0

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 16 Lasketaan pisteiden (, 7) ja (,1) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. k 1 1 ( 7) = = 4 Ratkaistaan normaalin kulmakerroin k kohtisuoruusehdosta kk 1 = 1. 4 k = 1 k 1 = 4 Normaali kulkee pisteen (5,8) kautta. Sijoitetaan koordinaatit x 0 = 5 ja y 0 = 8 sekä kulmakerroin k suoran yhtälöön. y y0 = k( x x0) y 8 = 1 ( x 5) 4 y = 1 x+ 7 4 4 1 x y+ 7 = 4 4 0 4 x 4 y+ 7 = 0 Vastaus x 4 y+ 7 = 0 eli y = 1 x+ 7 4 4

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 164 Määritetään kysyttyjen suorien yhtälöt geometriaohjelman avulla. a) Yhdensuuntaisen suoran yhtälö on x y = 5 eli x y+ 5= 0 eli y = 1 x+ 5. b) Normaalin yhtälö on x+ y = 5 eli x+ y 5= 0 eli y = x+ 5. Vastaus a) y = 1 x+ 5 eli x y+ 5= 0 b) y = x+ 5 eli x+ y 5= 0

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 165 Normaalin yhtälö on muotoa y = kx + s. Normaali leikkaa koordinaattiakselit pisteissä (0, s) ja (a, 0). Muokataan suoran x+ y = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. x+ y = 0 y = x+ Suoran x+ y = 0 kulmakerroin k 1 =. Normaalin kulmakerroin k saadaan kohtisuoruusehdosta. kk 1 = 1 k = 1 k 1 =

Normaalin yhtälö on siis y = 1 x+ s Normaalin ja x-akselin leikkauspisteessä y = 0. 0 = 1 a+ s 1 a = s a = s Muodostetaan yhtälö kolmion pinta-alan avulla. A = 16 a s = 16 s s = 16 s s = s s = s = s = 16 s = ± 16 s = ± 4

Saadaan kaksi eri vaihtoehto normaalin yhtälöksi. Kun k = 1 ja s = 4, normaali on y = 1 x+ 4 (eli x y+ 8 = 0). Kun k 1 = ja s = 4, normaali on y = 1 x 4 (eli x y 8 = 0). Vastaus y = 1 x+ 4 tai y = 1 x 4 (eli x y+ 8= 0 tai x y 8= 0)

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 166 Lasketaan suorien kulmakertoimet. Suora s 1 kulkee pisteiden (4, ) ja (,1) kautta. k 1 1 ( ) = = 1+ = 4 = 4 6 6 a) Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. x y = 0 y = x+ y = x Suoran s kulmakerroin on k =. Koska kulmakertoimet k 1 ja k eivät ole yhtä suuret, suorat s 1 ja s eivät ole yhdensuuntaiset.

b) Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. x+ y = 0 y = x y = x Suoran s kulmakerroin on k =. Koska kulmakertoimet k 1 ja k ovat yhtä suuret, suorat s 1 ja s ovat yhdensuuntaiset. c) Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. 8x 1 y+ 1 = 0 1 y = 8x 1 y = 8 x+ 1 1 1 y = x+ 1 1 Suoran s kulmakerroin on k =. Koska kulmakertoimet k 1 ja k ovat yhtä suuret, suorat s 1 ja s ovat yhdensuuntaiset.

d) Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. 1 x+ 1 y = 0 1 y = 1 x+ y = x+ 4 Suoran s kulmakerroin on k =. Koska kulmakertoimet k 1 ja k ovat yhtä suuret, suorat s 1 ja s ovat yhdensuuntaiset. Vastaus a) eivät ole b) ovat c) ovat d) ovat

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 167 Lasketaan pisteiden ( 5,) ja (4, 8) kautta kulkevan suoran s 1 kulmakerroin. k 8 11 1 = = 4 ( 5) 9 Määritetään pisteiden (7, c ) ja ( c,) kautta kulkevan suoran s kulmakerroin. k = c, c 7 0 eli c 7 c 7 Suorat ovat yhdensuuntaiset, joten niiden kulmakertoimet ovat yhtäsuuret. k = k 1 c = 11 c 7 9 9 ( c) = ( 11) ( c 7) 7 9c = 11c+ 77 11c 9c = 77 7 c = 50 c = 5 Kerrotaan ristiin Vastaus c = 5

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 168 Lasketaan pisteiden (5, c ) ja ( 8, c) kautta kulkevan suoran t kulmakerroin. k t = c c = c 8 5 1 Suoran s kulmakerroin on k = c+. s Suorat ovat yhdensuuntaiset, kun niiden kulmakertoimet ovat yhtäsuuret. ks = kt c + = c ( 1) 1 1c 6 = c 1c c = 6 14c = 6 : ( 14) c = 6 14 c = 1 7 Vastaus c = 1 7

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 169 Muokataan suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon ja tunnistetaan kulmakerroin k. a) x+ y = 0 y = x+ Kulmakerroin on k a =. b) x + 7= 0 x = 7 x = 7 Kyseessä on pystysuora suora, jolla ei ole kulmakerrointa. c) 4x 8y+ = 0 8y = 4x y = 4 x+ 8 8 y = 1 x+ 8 Kulmakerroin on k 1 c =.

d) x+ 6y+ = 0 6y = x y = x 6 6 y = 1 x 1 Kulmakerroin on k 1 d =. e) y = 0 y = y = Kyseessä on vaakasuora suora, kulmakerroin k e = 0. f) x+ y = 0 y = x+ y = x+ y = x+ Kulmakerroin on k f = 1.

g) 10x 5y = 0 5y = 10x+ y = 10 x 5 5 y = x 5 Kulmakerroin on k g =. h) x 6y+ 5= 0 6y = x 5 y = x+ 5 6 6 y = 1 x+ 5 6 Kulmakerroin on k 1 f =. Vaakasuora suora b ja pystysuora suora e ovat kohtisuorassa. Huomataan, että kk 1 a c = = 1. Siis suorat a ja c ovat kohtisuorassa. Huomataan myös, että k 1 dk g = = 1. Siis suorat d ja g ovat kohtisuorassa. Vastaus b ja e, a ja c, d ja g

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 170 a) Muokataan suoran x 5y+ = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. x 5y+ = 0 5y = x y = x+ 5 5 Suoran x 5y+ = 0 kulmakerroin on siis 5. Kysytty suora kulkee pisteen ( 4, 7) kautta ja on suoran x 5y+ = 0 suuntainen, eli sen kulmakerroin on 5. Sijoitetaan suoran yhtälöön y y0 = k( x x0) pisteen koordinaatit x 0 = 4 ja 0 7 y y0 = k( x x0) y ( 7) = ( x ( 4)) 5 y+ 7 = ( x+ 4) 5 5 5y+ 5 = x+ 8 x 5y 7 = 0 y = sekä kulmakerroin k =. 5

b) Muokataan suoran 4x+ y 9= 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 4x+ y 9= 0 y = 4x+ 9 y = 4 x+ Suoran 4x+ y 9= 0 kulmakerroin on siis k 4 1 =. Kysytty suora on tämän suoran normaali, eli sen kulmakerroin k toteuttaa kohtisuoruusehdon. 4 k = 1 4 k = 1 4 k = 4 Kysytty suora kulkee pisteen ( 4, 7) kautta. Sijoitetaan suoran yhtälöön y y0 = k( x x0) pisteen koordinaatit x 0 = 4 ja y 0 = 7 sekä kulmakerroin k = k =. 4 y y0 = k( x x0) y ( 7) = ( x ( 4)) 4 y+ 7 = ( x+ 4) 4 4 4 y+ 8 = x+ 1 x 4 y 16 = 0

Vastaus a) x 5y 7 = 0 b) x 4 y 16 = 0

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 171 Lasketaan pisteiden (, 4) 7 ja ( 5, 7 ) kautta kulkevan suoran 4 kulmakerroin k 1. k 1 7 4 = 7 = 4 5 ( ) 161 4 Suoran normaalin kulmakerroin k voidaan määrittää kohtisuoruusehdosta kk 1 = 1. 4 k = 1 161 k 161 = 4 Kysytty normaali kulkee pisteen (5,9) kautta. Sijoitetaan pisteen koordinaatit x 0 = 5 ja y 0 = 9 sekä ratkaistu kulmakerroin k suoran yhtälöön. y y0 = k( x x0) y 9 = 161 ( x 5) Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. 4 161x 4 y+ 7 = 0 Vastaus 161x 4 y+ 7 = 0

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 17 Lasketaan pisteiden (, 6) ja ( 5, 1) kautta kulkevan suoran kulmakerroin k 1. k 1 1 ( 6) = = 5 5 7 Määritetään pisteiden ( 1, a) ja (, a + 1) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. k 1 1 = a+ a = a+ ( 1) 4 Suorat ovat yhdensuuntaiset. k = k1 a + 1 = 5 4 7 a = 7 7 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. Vastaus a = 7 7

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 17 Muokataan suoran ( k + 1) x 7 y+ = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. ( k + 1) x 7 y+ = 0 7 y = ( k + 1) x y = k + 1 x+ 7 7 Suoran kulmakerroin on k k 1 1 = +. 7 a) Muokataan suoran 5x+ 4y = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 5x+ 4y = 0 4y = 5x+ y = 5 x+ 1 4 Suoran kulmakerroin k 5 =. 4 Jos suoran ( k + 1) x 7 y+ = 0 normaali on 5x+ 4y = 0, niin niiden kulmakertoimet toteuttavat kohtisuoruusehdon. k k = k k 1 1 Sijoitetaan 1 ja. k + 1 ( 5) = 1 7 4 k = 5 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella.

b) Muokataan suoran kx + 6y + 7= 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. kx + 6y + 7= 0 6y = kx 7 y = k x 7 6 6 Suoran kulmakerroin k k =. 6 Jos suoran ( k + 1) x 7 y+ = 0 normaali on kx + 6y + 7= 0, niin niiden kulmakertoimet toteuttavat kohtisuoruusehdon. kk 1 = 1 Sijoitetaan k1 ja k. 1 ( k ) 1 k + = 7 6 k = 7 tai k = 6 Vastaus a) k = 5 b) k = 7 tai k = 6 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella.

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 174 a) Janan AB päätepisteet ovat A(4, 4) ja B (7, ). Määritetään janan keskipiste C sijoittamalla pisteiden koordinaatit kaavaan x1+ x y1+ y (, ). C = ( 4+ 7, 4 + ) = ( 11, 1) Lasketaan janan AB kulmakerroin päätepisteiden A(4, 4) ja B (7,) avulla. k 1 ( 4) = = 7 4. Ratkaistaan keskinormaalin kulmakerroin k kohtisuoruusehdosta kk 1 = 1. k = 1 k 1 =

Keskinormaali kulkee pisteen C( 11, 1) kautta ja sen kulmakerroin on 1. Sijoitetaan pisteen koordinaatit x 0 = ja y 0 = 1 sekä kulmakerroin k 1 = suoran yhtälöön y y = k( x x ). 0 0 y ( 1) = 1 ( x 11) Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. x+ 4y 7= 0 b) Keskinormaali leikkaa y-akselin kun x = 0. Sijoitetaan tämä keskinormaalin yhtälöön. 0+ 4y 7= 0 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. y = 7 4 Siis keskinormaali leikkaa y-akselin pisteessä (0, 7 ) 4. Keskinormaali leikkaa x-akselin kun y = 0. Sijoitetaan tämä keskinormaalin yhtälöön. x + 4 0 7= 0 Yhtälö voidaan ratkaista laskimel la. x = 7 Siis keskinormaali leikkaa x-akselin pisteessä ( 7,0). 11 Vastaus a) x+ 4y 7= 0 b) ( 7,0) ja (0, 7 ) 4

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 175 Yhtä etäällä pisteistä A (,) ja B(6, 1) ovat janan AB keskinormaalin pisteet. Määritetään janan AB keskipiste C sijoittamalla pisteiden x1+ x y1+ y koordinaatit kaavaan (, ). C = ( + 6, 1) = (4,1) Lasketaan janan AB kulmakerroin päätepisteiden A (,) ja B(6, 1) avulla. k 1 = 1 = 1 6

Ratkaistaan keskinormaalin kulmakerroin k kohtisuoruusehdosta kk 1 = 1. k k = 1 = 1 Siis keskinormaali kulkee pisteen (4,1) kautta ja sen kulmakerroin on 1. Sijoitetaan pisteen koordinaatit x 0 = 4 ja y 0 = 1 sekä kulmakerroin suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y 1 = 1( x 4) y = x Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. Siis suoran y = x pisteet ovat yhtä kaukana pisteistä A ja B. Vastaus suoran y = x

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 176 Merkitään risteyksen pistettä y-akselilla P(0, y ). a) Määritetään janojen PA ja PB pituudet. PA = ( 0) + (1 y) = 4 + (1 y) PB = (5 0) + (8 y) = 5 + (8 y) Maantien ja mökkiteiden risteys P on yhtä kaukana kummastakin mökistä. PA = PB 4 + (1 y) = 5 + ( 8 y) Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. y = 6 Siis maantien ja mökkiteiden risteys tulee pisteeseen (0,6).

b) Sijoitetaan y = 6 janan PA pituuden lausekkeeseen. PA = 4 + (1 y) = 4 + (1 6) = 9 Koska etäisyydet ovat yhtä pitkät, PB = PA = 9. Lasketaan teiden PA ja PB rakentamisen hinta, kun yhden koordinaatiston yksikön 100m rakentaminen maksaa 500. 500 ( PA + PB ) = 500 ( 9 + 9 ) = 7696,15... 7700 Siis molemmat tiet maksavat yhteensä noin 7 700. Vastaus a) (0,6) b) Tiet maksavat yhteensä noin 7 700.

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 177 Muokataan suoran 7x+ 9 y 5 = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 7x+ 9 y 5 = 0 9 y = 7x+ 5 y = x+ 5 9 Suoran 7x+ 9 y 5 = 0 sekä sen kanssa yhdensuuntaisen suoran kulmakerroin on. Kysytyn suoran yhtälö on y = x + s. Kysytyn suoran ja y-akselin leikkauspiste on (0, s).

Lasketaan suoran ja x-akselin leikkauspiste (a, 0), sijoittamalla suoran yhtälöön y = 0. 0= a+ s a = s a = s Muodostetaan yhtälö kolmion pinta-alan avulla. A = a s = a s = 4 s s = 4 s = 4 s = 1 s = ± 1 = ± Kysytyn suoran yhtälö on y = x+ tai y = x. Vastaus y = x+ tai y = x

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 178 a) Annetaan vakiolle a arvoja ja ratkaistaan niitä vastaavat suorat suoraparvista. a ( a + 1) x y 9 = 0 x+ ( a + 1) y+ ( a + 1) = 0 0 s 1 : x y 9= 0 t 1 :x+ = 0 1 s :x y 9= 0 t :x+ y+ 6= 0 s :5x y 9= 0 t : x+ 5y+ 15 0 Huomataan, että kaikki suorat kulkevat pisteen (0, ) kautta. Huomataan myös, että jokaista vakion a arvoa vastaavat suoraparvien suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

b) Sijoitetaan x = 0 ja y = molempiin suoraparvien yhtälöihin. ( a + 1) x y 9 = 0 ( a + 1) 0 ( ) 9 = 0 0= 0 tosi x+ ( a + 1) y+ ( a + 1) = 0 0 + ( a + 1) ( ) + ( a + 1) = 0 0= 0 tosi Siis kaikki suoraparvien suorat toteuttavat pisteen (0, ) koordinaatit kaikilla vakion a arvoilla. Muokataan suoraparvien yhtälöt ratkaistuun muotoon. ( a + 1) x y 9 = 0 y = ( a + 1) x 9 a y = + 1 x x+ ( a + 1) y+ ( a + 1) = 0 ( a + 1) y = x ( a + 1) : ( a + 1) y = x a + 1

Tutkitaan, toteuttavatko suoraparvien kulmakertoimet k a 1 1 = + ja k = a + 1 kohtisuoruusehdon. a kk 1 + a + 1 = 1 1 = 1 0= 0 tosi Siis suoraparvien kulmakertoimet toteuttavat kohtisuoruusehdon, eli suoraparvien suorat ovat kohtisuorassa kaikilla vakion a arvoilla. Vastaus a) Kaikki suorat kulkevat pisteen (0, ) kautta. Jokaisella vakion a arvolla suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 179 Olkoon neljäkkään sivun pituus a ja korkeus y. Sijoitetaan neljäkäs koordinaatistoon niin, että yksi kärki on origossa ja toinen positiivisella x-akselilla. Kuvan merkinnöillä kärkipisteiden koordinaatit ovat A (0,0), Ba (,0), Cx ( + a, y) ja Dxy. (, ) Määritetään lävistäjien AC ja DB kulmakertoimet. Kumpikaan lävistäjistä ei voi olla pystysuora, koska kyseessä on neljäkäs: neljäkkään korkeus y > 0, joten x a ja x + a 0. Siis lävistäjien kulmakertoimet ovat aina olemassa. k k AC DB y 0 y = = x+ a 0 x+ a 0 y y y = = = a x a x x a

Tutkitaan lävistäjien kulmakerrointen tuloa kac kdb. k AC y y kdb = x+ a x a y = ( x+ a)( x a) = = x x = 1 y a y ( x + y ) y = y ( a + b)( a b) = a b Pythagoras: a = x + y Siis osoitettiin, että neljäkkään lävistäjien kulmakertoimille pätee kohtisuoruusehto kack DB = 1, joten neljäkkään lävistäjät AC ja DB ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 180 a) Suoran yhtälö 6x+ 8y+ 11 = 0 on yleisessä muodossa, joten ax0 + by0 + c voidaan käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b Sijoitetaan kertoimet a = 6, b = 8 ja c = 11 sekä pisteen (4,) koordinaatit x 0 = 4 ja y 0 =. ax0 + by0 + c d = a + b 6 4 + 8 + 11 = 6 + 8 = 59 10 = 5 9 1 0 Käytetään laskint a.

b) Suoran yhtälö 7x+ 4 y 61 = 0 on yleisessä muodossa, joten ax0 + by0 + c voidaan käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b Sijoitetaan kertoimet a = 7, b = 4 ja c = 61 sekä pisteen (4,) koordinaatit x 0 = 4 ja y 0 =. d ax0 + by0 + c = a + b 7 4 + 4 61 = ( 7) + 4 = 17 5 Käytetään laskinta. Vastaus a) 9 5 10 b) 17 5

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 181 Muokataan suoran y = x+ 1 yhtälö yleiseen muotoon, jotta 4 4 ax0 + by0 + c voidaan käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b y = x+ 1 4 4 4 4y = x+ 1 x 4y+ 1= 0 a) Sijoitetaan kertoimet a =, b = 4 ja c = 1 sekä pisteen (1, ) koordinaatit x 0 = 1 ja y 0 = etäisyyden kaavaan. ax0 + by0 + c d = a + b 1 4 + 1 = + ( 4) = 4 5

b) Sijoitetaan kertoimet a =, b = 4 ja c = 1 sekä pisteen (, 1) koordinaatit x 0 = ja y 0 = 1 etäisyyden kaavaan. d ax0 + by0 + c = a + b 4 ( 1) + 1 = + ( 4) = 14 5 = 4 5 c) Sijoitetaan kertoimet a =, b = 4 ja c = 1 sekä pisteen (,4) koordinaatit x 0 = ja y 0 = 4 etäisyyden kaavaan. d ax0 + by0 + c = a + b ( ) 4 4 + 1 = + ( 4) = 1 5 = 4 1 5 Vastaus a) 4 5 b) 4 5 c) 1 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 18 a) Piirretään koordinaatistoon suora x y+ = 0 ja piste P(, 5). Piirretään pisteen P kautta normaali suoralle. Merkitään normaalin ja suoran leikkauspiste. Leikkauspiste on A = ( 1,1). Mitataan pisteiden A ja P välinen etäisyys. Etäisyys on AP = 6,71 6,7

b) Piirretään koordinaatistoon suora y = 5x+ 18 ja piste P(, 5). Piirretään pisteen P kautta normaali suoralle. Merkitään normaalin ja suoran leikkauspiste. Leikkauspiste on A = (4,5; 4,5). Mitataan pisteiden A ja P välinen etäisyys. Etäisyys on AP =,55,6

Vastaus a) ( 1,1), 6,7 b) (4,5; 4,5),,6

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 18 a) Suoran 6x 4y+ 7= 0 yhtälö on yleisessä muodossa, joten ax0 + by0 + c voidaan käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b Sijoitetaan kertoimet a = 6, b = 4 ja c = 7 sekä pisteen ( 6, 9) koordinaatit x 0 = 6 ja y 0 = 9 kaavaan. ax0 + by0 + c d = a + b 6 ( 6) 4 ( 9) + 7 = 6 + ( 4) = 1) 7 1 = 7 1 1 1 = 7 1 6

b) Muokataan suoran y = x yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa y = x x y = 0 d = ax0 + by0 + c. a + b Sijoitetaan kertoimet a = 1, b = 1 ja c = 0 sekä pisteen ( 6, 9) koordinaatit x 0 = 6 ja y 0 = 9 kaavaan. ax0 + by0 + c d = a + b 1( 6) 1( 9) + 0 = 1 + ( 1) = = = )

c) Muokataan suoran y = yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa y = y + = 0 d = ax0 + by0 + c. a + b Sijoitetaan kertoimet a = 0, b = 1 ja c = sekä pisteen ( 6, 9) koordinaatit x 0 = 6 ja y 0 = 9 kaavaan. d ax0 + by0 + c = a + b 0 ( 6) + 1 ( 9) + = 0 + 1 = 6 d) x-akselilla y = 0. Tämä suoran yhtälö on yleisessä muodossa, ax0 + by0 + c joten voidaan käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b Sijoitetaan kertoimet a = 0, b = 1 ja c = 0 sekä pisteen ( 6, 9) koordinaatit x 0 = 6 ja y 0 = 9 kaavaan. d = = = 9 ax + by + c 0 0 a + b 0 ( 6) + 1 ( 9) + 0 0 + 1

Vastaus a) 7 1 = 7 1 6 b) = c) 6 d) 9

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 184 Lasketaan pisteiden ( 1, ) ja (4, 5) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. k = 5 = 8 4 ( 1) 5 Sijoitetaan kulmakerroin ja pisteen ( 1, ) koordinaatit x 0 = 1 ja y 0 = suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y y0 = k( x x0) y = 8 ( x ( 1)) 5 5 5y 15 = 8x 8 8x+ 5y 7= 0

Lasketaan pisteen (7,) etäisyys suorasta 8x+ 5y 7= 0 ax0 + by0 + c etäisyyden kaavalla d =. Sijoitetaan kertoimet a = 8 a + b, b = 5 ja c = 7 sekä pisteen koordinaatit x 0 = 7 ja y 0 =. d = = = = = ax + by + c 89 ) 0 0 a + b 87 + 5 7 8 + 5 59 89 59 89 89 89 59 89 89 Vastaus 59 89 = 59 89 89

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 185 Muodostetaan lauseke pisteen (1, 4) etäisyydelle suorasta x+ 4y+ k = 0. d 1 a x0 + b y0 + c 1+ 4 4 + k 19 + k = = = a + a + 4 5 Muodostetaan lauseke pisteen (1, 4) etäisyydelle suorasta 1x+ 9 y 11 = 0. d 1 a x0 + b y0 + c 1 1+ 9 4 11 = = = 1 a + a ( 1) + 9 15 Etäisyydet ovat yhtä suuret. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. d1 = d 19 + k = 1 5 15 19 + k = 1 19 + k = 1 k = 44 Yhtälö voidaan ratkaista laskimella. tai 19 + k = 1 k = 70 Vastaus k = 44 tai k = 70

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 186 Muodostetaan lauseke pisteen ( b,5) etäisyydelle suorasta x + y 9b = 0. d 1 ax0 + by0 + c b + 1 5 9b 5 6b = = = a + b + 1 10 Muodostetaan lauseke pisteen ( b,5) etäisyydelle suorasta x 6y 7= 0. d ax0 + by0 + c b 6 5 7 b 7 = = = a + b + ( 6) 10 Etäisyydet ovat yhtä suuret. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. d = d 1 5 6b b 7 Yhtälö voidaan = 10 10 10 ratkaista laskimella. 5 6b = b 7 (5 6 b) = (b 7) b = 7 10 tai (5 6 b) = b 7 b = 47 14 Vastaus b = 7 tai b = 47 10 14

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 187 Etsityn suoran jokaisen pisteen ( xy, ) etäisyys suorasta 6x y+ 4= 0 on 5. Muodostetaan etäisyyden yhtälö ja sijoitetaan a = 6, b =, c = 4, x0 = x, y0 = y ja d = 5. ax + by + c 0 0 a + b 6x y+ 4 6 + ( ) = d = 5 Sievennetään suoran yhtälöksi. 6x y+ 4 = 5 45 45 6x y+ 4 = 15 6x y+ 4 = 15 6x y 11 = 0 tai 6x y+ 4 = 15 6x y+ 19 = 0 Vastaus 6x y 11 = 0 tai 6x y+ 19 = 0

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 188 Muokataan suoran yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. y = 7 x 1 4 4 4 y = 7x 4 7x 4 y 4 = 0 Pistejoukon kaikkien pisteiden ( xy, ) etäisyys suorasta 7x 4 y 4 = 0 on 5. Sijoitetaan etäisyyden kaavaan ax0 + by0 + c d = arvot a = 7, b = 4, c = 4, x0 a + b = y sekä d = 5. y0 7x 4 y 4 7 + ( 4) = 5 Ratkaisussa voidaan käyttää laskinta. 7x 4 y 4 5 = 5 5 7x 4 y 4 = 15 = x, 7x 4 y 4 = 15 7x 4 y 149 = 0 tai 7x 4 y 4 = 15 7x 4 y+ 101 = 0 Vastaus 7x 4 y 149 = 0 tai 7x 4 y+ 101 = 0

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 189 Kulmanpuolittajan jokainen piste ( xy, ) on yhtä kaukana kummastakin suorasta. Muodostetaan lausekkeet pisteen ( xy, ) etäisyyksille annetuista suorista. Etäisyys suorasta x y 1= 0 on d 1 x 1 y 1 x y 1 = = + ( 1) 5 Etäisyys suorasta 4x+ y+ 1= 0 on d 4 x+ y+ 1 4x+ y+ 1 = = 4 + 5 Etäisyyksien tulee olla yhtä suuret.

Muodostetaan etäisyyksistä yhtälö ja sievennetään se suoran yhtälöksi. d1 = d x y 1 4x+ y+ 1 = 5 5 5 x y 1= 4x+ y+ 1 (x y 1) = 4x+ y+ 1 (x y 1) = 4x+ y+ 1 4x y = 4x+ y+ 1 4y = y = 4 tai (x y 1) = (4x+ y+ 1) 4x y = 4x y 1 8x = 1 x = 1 8 Vastaus Kulmanpuolittajat ovat y = ja x = 1. 4 8

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 190 Muokataan suorien yhtälöt yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää pisteen etäisyyden kaavaa. y = x+ y = x+ 6 x y+ 6= 0 y = x+ y = x+ 6 x y+ 6= 0 Kulmanpuolittajan jokainen piste ( xy, ) on yhtä kaukana kummastakin suorasta. Muodostetaan lausekkeet pisteen ( xy, ) etäisyydelle suorista. Etäisyys suorasta x y+ 6= 0 on d 1 x y+ 6 x y+ 6 = = + ( ) 1 Etäisyys suorasta x y+ 6= 0 on d x y+ 6 x y+ 6 = = + ( ) 1

Etäisyyksien tulee olla yhtä suuret. Muodostetaan etäisyyksistä yhtälö ja sievennetään se suoran yhtälöksi. d = d 1 x y+ 6 x y+ 6 = 1 1 x y+ 6 = x y+ 6 1 x y+ 6= x y+ 6 y = x tai x y+ 6 = (x y+ 6) x y+ 6= x+ y 6 5y = 5x+ 1 y = x+ 1 5 Saatiin kaksi suoraa, joista suoralla y = x on negatiivinen kulmakerroin 1, eli se on laskeva suora. Vastaus y = x

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 191 Suorat ovat yhdensuuntaiset, jolloin niiden välinen etäisyys on kaikkialla sama. Valitaan suoralta 4x y+ 5= 0 jokin piste sijoittamalla esimerkiksi x = 0 yhtälöön. 4 0 y + 5= 0 y = 5 y = 5 Siis (0, 5) on suoran 4x y+ 5= 0 piste. Lasketaan pisteen (0, 5) etäisyys suorasta 8x 6y+ 5= 0. d 80 6 5 + 5 5 = = = 5 = 1 8 + ( 6) 100 10 Vastaus 1

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 19 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Muokataan suoran yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. y = x+ 7 4 4 4 y = x+ 8 x 4 y+ 8 = 0

Merkitään etäisyyttä hakkuuaukean reunalta tielle a. Hakkuaukean keskipisteen A(, 6) etäisyys suorasta x 4 y+ 8 = 0 on a + 5. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan kysytty etäisyys a. 4 ( 6) + 8 a + 5 = + ( 4) a + 5 = 58 5 a = 5 Koordinaatiston yksikkönä on 10 m, joten matka hakkuuaukean reunalta tielle on 10m 66m 5 =. Vastaus 66 m

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 19 a) Muokataan suoran yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan ax0 + by0 + c käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b y = x+ 5 x+ y 5= 0 Sijoitetaan etäisyyden kaavaan kertoimet a =, b = 1 ja c = 5 sekä pisteen (,7) koordinaatit x 0 = ja y 0 = 7. ax0 + by0 + c d = a + b ( ) + 1 7 5 = + 1 = = = = 10 ) 4 10 4 10 10 10 4 10 10 10 5 Ratkaistaan laskimella.

b) Muokataan suoran yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan ax0 + by0 + c käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b y = 5 x 1 1 1 y = 5x 4 5x 1 y 4 = 0 Sijoitetaan kertoimet a = 5, b = 1 ja c = 4 sekä pisteen (,7) koordinaatit x 0 = ja y 0 = 7. d ax0 + by0 + c = a + b 5 ( ) 1 7 4 = 5 + ( 1) = 118 1 = 9 1 1 Ratkaistaan laskimella. Vastaus a) 4 10 10 = 5 b) 118 ( = 9 1 ) 1 1

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 194 Lasketaan pisteiden (, 1) 5 kulmakerroin. ja (, 1) kautta kulkevan suoran 1 1 k = 5 = 9 10 Sijoitetaan kulmakerroin ja pisteen (, 1) koordinaatit x 0 = ja 5 y 1 0 = suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). 5 y y = k( x x ) 0 0 y 1 = 9 ( x ) 10 5 10 10y = 9( x ) 10y = 9x 18 9x 10y 16 = 0 Voidaansieventää laskimella.

Lasketaan pisteen (16 1, 5) etäisyys tästä suorasta etäisyyden ax0 + by0 + c kaavalla d =. Sijoitetaan kertoimet a = 9, b = 10 a + b ja c = 16 sekä pisteen koordinaatit x 1 0 = 16 ja y 0 = 5 kaavaan. d ax0 + by0 + c = a + b 9 16 1 10 ( 5) 16 = 9 + ( 10) = = 181) 181 181 181 181 181 181 = 181 181 181 = 11 8 Ratkaistaan laskimella. Vastaus 181

195 Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 Piirretään koordinaatistoon suorat 6x+ 1y 8 = 0, y = 17 x 7 8 ja x+ 5y+ 1 = 0 sekä piste P(, ). Piirretään pisteen P kautta normaalit suorille. Merkitään normaalien ja suorien leikkauspisteet. Mitataan leikkauspisteiden A, B ja C, sekä pisteen P väliset etäisyydet. Saadaan PA =,94, PB =,7 ja PC =,9. Lyhin etäisyyksistä on PC =,9. Vastaus,9

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 196 Suora 8x y 18k = 0 on yleisessä muodossa, joten voidaan ax0 + by0 + c käyttää etäisyyden kaavaa d =. a + b Sijoitetaan kertoimet a = 8, b = ja c = 18k sekä pisteen ( 1, 6 k) koordinaatit x 0 = 1 ja y0 = 6k. d = = = = = ax + by + c 0 0 a + b 8 ( 1) ( 6 k) 18k 8 + ( ) 8 + 18k 18k 64 + 9 8 7 8 7 8 8 7 d = = 7 7 = ei riipu vakion k arvosta. Osoitettiin, että pisteen ( 1, 6 k) etäisyys suorasta 8x y 18k 0

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 197 Muokataan suoran y = 4x+ 5 yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. y = 4x+ 5 4x y+ 5= 0 Kolmion korkeus h saadaan pisteen (6, ) ja suoran 4x y+ 5= 0 välisenä etäisyytenä. Sijoitetaan etäisyyden kaavaan a = 4, b = 1, c = 5 sekä pisteen koordinaatit x 0 = 6 ja y 0 =. h = d ax0 + by0 + c = a + b 4 6 1 ( ) + 5 = 4 + ( 1) = 17 Nyt voidaan määrittää kolmion pinta-ala. A = 1 ah = 1 17 17 = 16 17 Vastaus 16 17

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 198 Muokataan suoran y = x+ 6 yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. y = x+ 6 x y+ 6= 0 Muodostetaan lauseke pisteen ( a,7) etäisyydelle suorasta x y+ 6= 0. a x0 + by0 + c d1 = a = 1, b= 1, c = 6, x0 = a, y0 = 7 a + b 1 a 17 + 6 = 1 + ( 1) a 1 =

Muodostetaan lauseke pisteen ( a,7) etäisyydelle suorasta x+ y 5= 0. d = = = ax + by + c 0 0 a + b' a + 7 5 + a + 9 a =, b=, c = 5, x = a, y = 7 0 0 Etäisyydet ovat yhtä suuret. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. (Yhtälön voi ratkaista myös laskimella) d1 = d a 1 a+ 9 = a 1 = a+ 9 ( a 1) = a+ 9 ( a 1) = a+ 9 a = a+ 9 0 = 11 Epätosi tai ( a 1) = (a+ 9) a = a 9 4a = 7 a = 7 4 Vastaus a = 7 4

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 199 Muokataan suoran 5x 1 y = k yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. 5x 1 y = k 5x 1 y k = 0 Muodostetaan lauseke pisteen (, k ) etäisyydelle suorasta 5x 1 y k = 0. ax0 + by0 + c d = a = 5, b= 1, c = k, x0 =, y0 = k a + b 5 1 k k = 5 + ( 1) 15 1k = 1 Etäisyys on vähintään 4. 15 1k 1 4 1 15 1k 5 15 1k 5 tai 15 1k 5 1k 7 : ( 1) 1k 67 : ( 1) k 7 1 Vastaus k 7 tai k 67 1 1 k 67 1

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 00 Muokataan suoran yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. y = x 1 14 7 14 y = 6x 7 6x 14 y 7 = 0 Pistejoukon kaikkien pisteiden ( xy, ) etäisyys suorasta 6x 14 y 7 = 0 on 58. Sijoitetaan etäisyyden kaavaan arvot a = 6, b = 14, c = 7, x0 = x, y0 = y sekä d = 58. ax0 + by0 + c a + b = d 6x 14 y 7 6 + ( 14) = 58 6x 14 y 7 58 = 58 58 6x 14 y 7 = 116 6x 14 y 7 = 116 6x 14 y 1 = 0 tai 6x 14 y 7 = 116 6x 14 y+ 109 = 0 Vastaus 6x 14 y 1 = 0 tai 6x 14 y+ 109 = 0

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 01 Kulmanpuolittajan jokainen piste ( xy, ) on yhtä kaukana kummastakin suorasta. Muodostetaan lausekkeet pisteen ( xy, ) etäisyyksille suorista. Etäisyys suorasta 6x 4y+ 1= 0 on d 1 6 x 4 y+ 1 6x 4y+ 1 = = 6 + ( 4) 1 Etäisyys suorasta x+ y+ = 0 on d x+ y+ x+ y+ = = + 1

Etäisyyksien tulee olla yhtä suuret. Muodostetaan etäisyyksistä yhtälö ja sievennetään se suoran yhtälöksi. d1 = d 6x 4y+ 1 x+ y+ = 1 1 1 6x 4y+ 1= x+ y+ 6x 4 y+ 1 = (x+ y+ ) 6x 4 y+ 1 = (x+ y+ ) 6x 4y+ 1= 6x+ 4y+ 4 8y = y = 8 tai 6x 4 y+ 1 = (x+ y+ ) 6x 4y+ 1= 6x 4y 4 1x = 5 x = 5 1 Vastaus y = tai x = 5 8 1

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 0 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Suoran x+ y 7= 0 piste, joka on lähimpänä pistettä P(1, 4), on suoran ja pisteen P kautta kulkevan normaalin leikkauspiste A. Muokataan suoran x+ y 7= 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. x+ y 7= 0 y = x+ 7 y = x+ 7 Siis suoran x+ y 7= 0 kulmakerroin k 1 =.

Määritetään suoran x+ y 7= 0 normaalin kulmakerroin k kohtisuoruusehdosta kk 1 = 1. k = 1 k = Normaali kulkee pisteen (1, 4) kautta. Sijoitetaan pisteen koordinaatit x 0 = 1 ja y 0 = 4 sekä kulmakerroin suoran yhtälöön. y y0 = k( x x0) y ( 4) = ( x 1) y+ 4 = x y = x 11 Ratkaistaan suoran ja normaalin leikkauspiste sijoittamalla normaalin yhtälö suoran yhtälöön. x+ y 7= 0 Sijoitetaan y = x 11. x+ ( x 11) 7 = 0 1 x = 47 1 x = 47 1

Ratkaistaan vielä leikkauspisteen y-koordinaatti sijoittamalla x = 47 normaalin yhtälöön. 1 y = x 11 = 47 11 1 = 1 1 Siis suoran x+ y 7= 0 piste ( 47, 1 ) on lähimpänä pistettä 1 1 (1, 4). Vastaus ( 47, 1 ) 1 1

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 0 Merkitään suoran x y = 0 pisteitä ( xy., ) Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. x y = 0 y = x Suoran pisteet ovat siis muotoa ( x, x ). Määritetään pisteiden (7, 1) ja ( x, x ) välinen etäisyys. d1 = ( x 7) + ( x ( 1)) = ( x 7) + (x+ 1) Määritetään pisteen ( x, x ) etäisyys suorasta x+ y 4 = 0. d 1 x+ x 4 10x 4 = = 1 + 10

Etäisyydet ovat yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan pisteen ( x, x ) koordinaatit. d = d 1 10x 4 ( x 7) + (x+ 1) = Ratkaistaan laskimella. 10 x = 19 100 Ratkaistaan vielä pisteen y-koordinaatti. x = 19 = 57 100 100 Siis ( x, x ) = ( 19, 57 ). Tämä suoran x y = 0 piste on yhtä 100 100 kaukana pisteestä (7, 1) ja suorasta x+ y 4 = 0. Vastaus 19 57 (, ) 100 100

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 04 Muodostetaan Rautatiekadun yhtälö ja etsitään molemmat suorat, jotka ovat puolen kilometrin etäisyydellä Rautatiekadusta. Valitaan näistä suorista se, joka kulkee Rautatiekadun eteläpuolella. Rautatiekadun kulmakerroin saadaan suoran pisteiden (0,0) ja (,) avulla. k 1 = 0 = 0 Rautatiekatua kuvaavan suoran yhtälö on y 0 = ( x 0) y = x y = x x y = 0 Olkoon piste (x, y) etsittävän suoran piste. Tämän pisteen etäisyys suorasta x y = 0 on 1.

Muodostetaan yhtälö pisteen etäisyys suorasta -kaavan avulla. x y = 1 ( ) x y = 1 1 1 x y = 1 x y = 1 tai x y = 1 y = x+ 1 tai y = x 1 y = x 1 tai y = x+ 1 4 4 Saaduista kahdesta suorasta kulkee Rautatiekadun eteläpuolella se, jonka y-akselin leikkauskohta on alempana. Koska y-akselin leikkauskohta 1 < 1, niin Kauppakatua esittää suora 4 4 y = x 1. 4 Vastaus y = x 1 (eli 6x 4 y 1 = 0 ) 4

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 05 Piirretään tietä esittävälle suoralle normaali, joka kulkee lammen keskipisteen kautta. Lammen säde on 1,5 = (km). Retkeilijän kulkema matka on kuvan merkinnöillä a + b. Etäisyys a tieltä lammen rantaan saadaan laskemalla lammen keskipisteen etäisyys tiestä ja vähentämällä siitä ympyrän säde 1,5 (km). Matka b on puolet ympyränmuotoisen lammen piiristä. Muokataan tien yhtälö normaalimuotoon. y = 1 x y = x 6 x+ y+ 6= 0

Lasketaan lammen keskipisteen (1, ) etäisyys tiestä. d = = = ax + by + c 0 0 a + b 11 + + 6 11 10 ( 1) + Lasketaan retkeilijän kulkema matka s. a = 11 1,5 s = a+ b 10 b = 1 p 1,5 = 11 1,5 + 1 p 1,5 10 = 6,69089... (pituusyksikköä) Muutetaan saatu etäisyys metreiksi. s = 6,69089 1000 m = 6690,89... m 6690 m Vastaus 6690 m

Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 06 Tutkitaan vaakasuoraa suoraa. Ratkaisua voidaan havainnollistaa piirtämällä kuva. Etäisyys pisteeseen ( x0, y 0) vaakasuoralta suoralta on lyhin siitä vaakasuoran pisteestä, jossa x-koordinaatti on x = x0. x-akselin suuntaisen suoran yhtälö on by + c = 0, b 0. by + c = 0 by = c y = c b Kaikilla vaakasuoran suoran pisteillä y-koordinaatti on siis y = c. b

Määritetään pisteiden ( xy, ) = ( x0, c ) ja ( x0, y 0) välinen b etäisyys. d = ( x 0 x0) + ( y0 ( c)) = ( y c 0 + ) = y c 0 + b b b Pisteen etäisyys suorasta -kaavalla vastaava etäisyys on d 0 x0 + b y0 + c = 0 + b by0 + c = b by0 + c = b = by0 + c b = by0 + c b b = y c 0 + b. Tulos on sama. Siis pisteen etäisyys suorasta -kaava pätee x-akselin suuntaisille suorille.

Tutkitaan pystysuoraa suoraa. Ratkaisua voidaan havainnollistaa piirtämällä kuva. Etäisyys pisteeseen ( x0, y 0) pystysuoralta suoralta on lyhin siitä pystysuoran pisteestä, jossa y-koordinaatti on y = y0. y-akselin suuntaisen suoran yhtälö on ax + c = 0, a 0. ax + c = 0 ax = c x = c a Kaikilla vaakasuoran suoran pisteillä x-koordinaatti on siis x = c. a