Mekaniikka, osa 2 Perttu Lantto Luentokalvot perustuvat kirjaan: University physics, 13 th International Edition H. D. Young & R. A. Freedman (Pearson, 2012) 16. tammikuuta 2017
Mekaniikka, osa 2 Mekaniikka -kurssin 2. osa käsittelee seuraavia asioita (numerointi kirjan lukujen mukaan): 9 Jäykän kappaleen pyöriminen (Rotation of Rigid Bodies) 10 Pyörimisliikkeen dynamiikka (Dynamics of Rotational Motion) 11 Tasapaino ja elastisuus (Equilibrium and Elasticity) 12 Gravitaatio (Graviation) 13 Jaksollinen liike (Periodic motion) 14 Nesteiden mekaniikka (Fluid mechanics)
Osa I Luku 9: Jäykän kappaleen pyöriminen
Jäykän kappaleen pyöriminen Luku 9 käsittelee pyörimistä jäykkille kappaleille, joiden muoto ei muutu. 9.1 Kulmanopeus ja -kiihtyvyys -kappaleessa objektin pyörimistä kuvataan kulmakoordinaatin avulla ja määritellään liikesuureet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys. -kappaleessa esitellään objektin pyörimisen liikeyhtälöt, kun pyöriminen kiihtyy tasaisesti. -kappale esittelee objektin suoraviivaiseen ja pyörimisliikkeeseen liittyvien vauhtien ja kiihtyvyyksien suhteen. -kappaleessa esitellään objektin kulmanopeuden ja kineettisen energian välinen yhteys uuden suuruen, objektin hitausmomentin, avulla. 9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema (Steinerin sääntö) -kappaleessa esitetään hitausmomentti mielivaltaisen pyörimisakselin suhteen, joka on samansuuntainen massakeskipisteen kautta kulkevan pyörimisakselin kanssa. 9.6 Hitausmomenttilaskut -kappale antaa yleiset integraaliyhtälöt hitausmomentin laskemiseksi mielivaltaisen muotoiselle kappaleelle.
Useissa käytännön ilmiöissä (tuulivoimala, CD-levy, jne.) esiintyy pyörimistä, jota ei voida, tai se on ainakin hyvin monimutkasita, esittää liikkuvalla pisteellä karteesisessa koordinaatistossa. Siksi on järkevää tarkastella kappaleen pyörimistä jonkin akselin suhteen, joka kulkee kappaleen mukana eli on levossa inertiaalikoordinaatistossa. Pyörimistä, rotaatiota, esiintyy atomien rakenneosasista (elektronit ja muut perushiukkaset) aina galaksien mittakaavaan, joten sen käsittelyyn tarvitaan yleiset työkalut. Helpointa on aloittaa pysyvän kokoisten ja muotoisten kappaleiden käsittelystä, jotka voivat olla sekä rotaatio- että translaatioliikkeessä. Tällaisessa liikkeessä todelliset kappaleet kokevat voimia, jotka muokkaavat niiden muotoa. Ensimmäinen approksimaatio on kuitenkin unohtaa muodonmuutokset ja tarkastella ideaalista jäykkää kappaletta (rigid body), joka säilyttää muotonsa ja kokonsa. Tuulivoimalan siiven kaikki osat liikkuvat samalla kulmanopeudella. Mikä on siiven eri osien lineaaristen vauhtien ja radiaalisten kiihtyvyyksien erot?
Jäykän kappaleen (moottorin akseli, karuselli, jne.) pyörimistä on järkevää tarkastella inertiaalikoordinaatistossa, jonka suhteen kiinnitetty pyörimisakseli on levossa. Kuvan 9.1 mukaisesti pyörimisakseli voidaan asettaa referenssikoordinaatiston origoon ja se on kohtisuorassa pyorimistasoon nähden, joka voidaan valita esim xy-tasoksi. Ei ole järkevää tarkastella tietyn pisteen P x ja y koordinaattien arvoja vaan sen sijaan OP -janan rotaatiota kappaleen mukana. Tällöin tarvitaan vain yksi suure, pyörimiskoordinaatti, joka on OP -janan ja +x-akselin välinen kulma θ. Kuten suoraviivaisellekin liikkeelle, on kulmakoordinaatille θ tärkeää määritellä positiivinen ja negatiivinen suunta joko vasta- tai myötäpäivään. 9.1 Mittarin neula pyörii origon kautta kulkevan pyörimisakselin suhteen vastapäivään.
Kulmanopeus Asteen ( ) sijasta rotaatiokulman θ luonnollisin yksikkö on radiaani (rad), joka on yksi (1 rad) kun kulma θ piirtää ympyrän säteen (r) pituisen ympyräkaaren s eli s = r (Kuva 9.2a). Kulman arvo radiaaneina on siis (Kuva 9.2b): θ = s r eli s = rθ (9.1) Radiaani on siis puhdas, dimensioton, luku ja rad-merkintää käytetään vain erottamaan se muista yksiköistä (, jne.) Yhdessä kierroksessa (360 ) ympyrän ympäri on siis 2π 6.283 radiaania, joten 1 rad = 360 2π = 57.6, 180 = π rad, 90 = π 2 rad, jne. 9.2 Kulman mitta radiaaneina.
Kulmanopeus Koska θ antaa jäykän kappaleen orientaation tiettynä ajanhetkenä, kappaleen rotaatioliikettä voidaan kuvata θ:n muutosnopeudella. Kuvassa 9.3a kahdella eri ajanhetkellä t 1 ja t 2 havaittujen kulmien θ 1 ja θ 2 avulla voidaan määritellä keskimääräinen kulmanopeus ω av z kulman muutoksen θ = θ 2 θ 1 suuruutena aikavälillä t = t 2 t 1 Hetkellinen kulmanopeus ω z (angular velocity) saadaan, kun aikaväli t lähestyy nollaa eli derivaattana ajan t suhteen θ ω z = lim t 0 t = dθ dt (kulmanopeus) (9.3) ω av z = θ 2 θ 1 t 2 t 1 = θ t (9.2) missä z alaindeksi merkitsee, että pyöriminen tapahtuu xy tasoa vastaa kohtisuoran z akselin suhteen (Huom! Ei siis ole z suuntaista liikettä, kuten v z!). 9.3 (a) Pyörivän kappaleen kulman muutos (b) Jäykän kappaleen kaikki osat pyörivät samalla keskimääräisellä kulmanopeudella θ/ t.
Kulmanopeus Kuvan 9.4 mukaisesti kulmanopeus ω z voi olla positiivinen ω z > 0, kun θ kasvaa (vastapäivään) tai negatiivinen ω z < 0, kun θ pienenee (myötäpäivään eli muuttuu negatiiviseen suuntaan). Kulmavauhti (angular speed) on kulmanopeuden magnitudi ω ja kuten lineaarinenkin vauhti, se ei voi olla negatiivinen. Kappaleen eri osat kulkevat eri suuruisen matkan samassa ajassa riippuen niiden etäisyydestä pyörimisakselilta. Jäykän kappaleen jokainen osa kuitenkin pyörii samalla kulmanopeudella pyörimisakselin suhteen eli saman kulman tietyssä ajassa. 9.4 Jäykän kappaleen keskimääräinen (tässä) ja hetkellinen kulmanopeus voivat saada negatiivisia ja positiivisia arvoja.
Kulmanopeus Kun kulma mitataan radiaaneissa, kulmanopeuden yksiköksi tulee rad/s, joka on noin 10 kierrosta minuutissa (rpm, revolutions per minute, rev/min). Kuten z akselin suuntainen kulmanopeus ω z antaa ymmärtää, kulmanopeus on yleisesti vektorisuure, kulmanopeusvektori ω. Suuruuden lisäksi se sisältää tiedon pyörimissuunnasta oikean käden säännön (right-hand rule) mukaisesti (kuvan 9.5a). 9.5 (a) Kulmanopeusvektorin ω suunnan oikean käden sääntö. (b) ω z etumerkki xy tason rotaatiossa.
Kulmanopeus Esimerkki 9.1: Halkaisijaltaan d = 0.36 m vauhtipyörän kulma riippuu ajasta yhtälön θ = (2.0 rad/s 3 )t 3 mukaisesti. (a) Kulma θ ilmoitettuna radiaaneina ja kulmina on ajanhetkellä t 1 = 2.0 s : θ 1 = (2.0 rad/s 3 )(2.0 s) 3 = 16 rad = 16 360 2π = 920 ja ajanhetkellä t 2 = 5.0 s : θ 2 = (2.0 rad/s 3 )(5.0 s) 3 = 250 rad = 250 360 2π = 14000 (b) Vauhtipyörän reunalla olevan hiukkasen tekemä matka aikavälillä t = t 2 t 1 = 3.0 s saadaan sen aikana tapahtuneesta kulman muutoksesta θ = θ 2 θ 1 = (250 16) rad = 234 rad s = rθ 2 rθ 1 = r θ = d θ = (0.18 m)(234 rad) = 42 m 2 (c) Keskimääräiseksi kulmanopeudeksi saadaan yhtälön (9.2) mukaisesti: ω av z = θ 234 rad = = 78 rad/s = t 3.0 s ( 78 rad s ) ( 60 s 2π rad ) = 744.8... kierrosta min 740 rpm (d) Yhtälön (9.3) mukaan kulmanopeus saadaan derivoimalla kulman yhtälöä ω z = dθ dt = d { dt (2.0 rad/s 3 )t 3} = (2.0 rad/s 3 ) ( 3t 2) = (6.0 rad/s 3 )t 2, joka antaa ajanhetkellä t 1 = 2.0 s : ω 1z = (6.0 rad/s 3 )(2.0 s) 2 = 24 rad/s ja ajanhetkellä t 2 = 5.0 s : ω 2z = (6.0 rad/s 3 )(5.0 s) 2 = 150 rad/s Kulmanopeus siis kasvaa ajan kuluessa neliöllisesti ( t 2 ).
Kulmakiihtyvyys Jäykän kappaleen pyörimisnopeuden muuttuessa sillä on kulmakiihtyvyys (esim. pyörän kiihdytys ja jarrutus). Kun ω 1z ja ω 2z ovat kulmanopeudet ajanhetkillä t 1 ja t 2, keskimääräinen kulmakiihtyvyys (yksikkö rad/s 2 ) määritellään kulmanopeuden muutoksena kyseisellä aikavälillä (Kuva 9.6) α av z = ω 2z ω 1z t 2 t 1 = ωz t (9.4) Koska ω z = dθ/dt, voidaan kulmakiihtyvyys esittää myös kulmakoordinaatin toisena aikaderivaattana α z = dωz dt = d dθ dt dt = d2 θ dt 2 (9.6) eli kuten lineaariselle liikkeelle, pyörimisellekin nopeus on paikan ja kiihtyvyys nopeuden muutosvauhti eli aikaderivaatta. Hetkellisen kulmakiihtyvyyden α z (angular acceleration), määritelmä saadaan raja-arvona, kun t 0 ω z α z = lim = dωz (9.5) t 0 t dt 9.6 Jäykän kappaleen keskimääräisen kulmakiihtyvyyden laskeminen.
Kulmakiihtyvyys Jos rotaatiossa kulmakiihtyvyys on positiivinen (α z > 0), kulmanopeus ω z kasvaa. Vastaavasti ω z pienenee (muuttuu negatiiviseen suuntaan), kun kulmakiihtyvyys on negatiivinen (α z < 0). Kuten lineaarisellekin liikkeelle, pyörimisvauhti kasvaa, jos α z ja ω z ovat samanmerkkisiä ja vastaavasti pienenee, jos ne ovat erimerkkisiä. Kuten kulmanopeudellekin ( ω) yleisessä tapauksessa kannattaa käsitellä kulmakiihtyvyysvektoria, joka on kulmanopeusvektorin aikaderivaatta α = d ω dt Jos objektin pyörimisakseli pysyy z suunnassa, α:lla kuten ω:llakin on vain z komponentti eli α z ja ω z. Tällöin rotaatiovauhti kasvaa, kun α on samansuuntainen ω:n kanssa ja pienenee, kun suunnat ovat vastakkaiset (kuva 9.7). 9.7 Kun pyörimisakseli on kiinnitetty, sekä kulmanopeus että -kiihtyvyys ovat yhdensuuntaisia akselin kanssa.
Kulmakiihtyvyys Esimerkki 9.2: Halkaisijaltaan d = 0.36 m vauhtipyörän kulma riippuu ajasta: θ = (2.0 rad/s 3 )t 3 (kts. esimerkki 9.1). (a) Laskemalla esimerkissä 1 laskettujen kulmanopeuksien ero ω z = ω 2z ω 1z = (150 24) rad/s = 126 rad/s ajanhetkillä t 1 = 2.0 s ja t 2 = 5.0 s, saadaan keskimääräiseksi kulmakiihtyvyydeksi tällä aikavälillä ( t = t 2 t 1 = 3.0 s) yhtälön (9.4) mukaan: α av z = ωz 126 rad/s = = 42 rad/s t 3.0 s 2 (b) Yhtälön (9.5) mukaisesti (hetkellinen) kulmakiihtyvyys saadaan derivoimalla kulmanopeuden yhtälöä kerran ajan suhteen α z = dω dt = d { dt (6.0 rad/s 3 )t 2} = (6.0 rad/s 3 ) (2t) = (12.0 rad/s 3 )t, joka antaa ajanhetkillä t 1 = 2.0 s : α 1z = (12.0 rad/s 3 )(2.0 s) = 24 rad/s 2 t 2 = 5.0 s : α 2z = (12.0 rad/s 3 )(5.0 s) = 60 rad/s 2 Kulmakiihtyvyys ei siis ole vakio vaan riippuu ajasta α z(t). Kulmanopeus ω z kasvaa jatkuvasti, sillä α z on aina positiivinen. Lisäksi kulmanopeuden kasvu kiihtyy, koska kulmakiihtyvyys kasvaa koko ajan.
Kuten lineaarinen liike niin myös rotaatio kiinnitetyn akselin suhteen yksinkertaistuu, kun kiihtyvyys on vakio. Tällöin saadaan kirjoitettua yhtälöt sekä kulmanopeudelle että kulman arvolle, jotka vastaavat muodoltaa lineaarisen liikkeen vastaavia muuttujien vaihdolla: x θ, v x ω z ja a x α z. Aloitetaan merkitsemällä ω 0z kulmanopeudeksi ajanhetkellä t = 0 ja ω z on kulmanopeus millä tahansa myöhemmällä ajanhetkellä t. Koska nyt α z on vakio eli sama kaikilla aikaväleillä saadaan: α z = ωz ω 0z t 0 ω z = ω 0z + α zt (9.7) eli koska α zt on kulmanopeuden kokonaismuutos tällä aikavälillä saadaan kulmanopeudeksi lopussa (ω z(t) = ω z) lisäämällä alkukulmanopeus ω 0z. Koska vakiokulmakiihtyvyydellä kulmanopeus muuttuu tasaisesti, sen keskiarvo välillä 0 t saadaan keskiarvona lähtö- ja loppukulmanopeudesta: ω av z = ω 0z + ω z 2 (9.8)
Keskimääräinen kulmanopeus ω av z saadaan myös kulman muutoksesta tällä aikavälillä: ω av z = θ θ 0 t 0 (9.9) Yhtälöt (9.8) ja (9.9) yhdistämällä voidaan kirjoittaa kulman muutos ajassa: θ θ 0 = 1 2 (ω 0z + ω z) t (9.10) Jotta kulman arvo saadaan ilmaistua vain alkukulman (θ 0 ), alkukulmanopeuden (ω 0z ) sekä vakiokulmakiihtyvyyden (α z) avulla, korvataan ω z kaavalla (9.7): θ θ 0 = 1 2 [ω 0z + (ω 0z + α zt)] t θ = θ 0 + ω 0z t + 1 2 αzt2 (9.10) Ainoastaan kolmas termi ( 1 2 αzt2 ) ottaa huomioon muuttuvan kulmanopeuden, mikä on tärkeää lisätä alkuperäiseen kulmaan (θ 0 ) ja vakio(alku)kulmanopeuden termiin aikaintervallin yli (ω 0z t), jotta lopullinen kulma θ tulee oikein.
Kuten lineaariselle liikkeelle, myös rotaatiolle aika (t) voidaan eliminoida tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöistä (kotitehtävä 9.12), jolloin lopullisen kulman (θ) ja kulmanopeuden (ω z) välille saadaan yhteys: ω 2 z = ω 2 0z + 2α z (θ θ 0 ) (9.11) Huom! Edellä esitetyt rotaatiota kuvaavat yhtälöt kuten myös lineaarisen liikkeen vastaavat (Taulukko 9.1) pätevät vain kun kiihtyvyydet α z tai a x ovat vakioita. Niitä ei siis pidä käyttää, kun kiihtyvyydet ovat ajasta riippuvia eli α z = α z(t) tai a x = a x(t) eivät ole vakioita.
Esimerkki 9.3: Sammuessaan Blu-ray -levy hidastuu lopulta paikoilleen. Aluksi (t = 0) levyn pinnan P Q-viiva on +x akselilla (katso kuva). ω 0z = 27.5 rad/s ja α z = 10 rad/s 2 on vakio, joten yhtälöitä (9.7) (9.12) voi käyttää. (a) Levyn kulmanopeudeksi ajanhetkellä t = 0.300 s saadaan yhtälöstä (9.7): ω z = ω 0z + α zt = 27.5 rad/s + ( 10.0 rad/s 2 )(0.300 s) = 24.5 rad/s mikä on pienempi kuin alussa, kuten pitääkin. (b) P Q-viiva tekee tällöin +x akselin suhteen kulman, joka yhtälöstä (9.11) on: θ = θ 0 + ω 0z t + 1 2 αzt2 = 0 + (27.5 rad/s)(0.300 s) + 1 2 ( 10.0 rad/s2 )(0.300 s) 2 ( ) kierrosta = 7.80 rad = 7.80 rad 1.24 kierrosta 2π rad Tarkistetaan käyttämällä (a)-kohdan tulosta yhtälössä (9.12): ( ω ωz 2 = ω0z 2 2 + 2α z(θ θ 0 ) θ = θ 0 + z ω0z 2 ) 2α z = 0 + (24.5 rad/s)2 (27.5 rad/s) 2 2( 10.0 rad/s 2 = 7.80 rad )
Lineaarinen vauhti rotaatiossa Usein on tarpeen tuntea lineaarinen vauhti ja kiihtyvyys pyörivän kappaleen osalle. Jäykän pyörivän kappaleen jokainen hiukkanen (pisteessä P kuvassa 9.9) liikkuu ympyrärataa pyörimisakselin ympäri jollain etäisyydellä r. Mitä nopeammin kappale pyörii sitä suurempi sen jokaisen hiukkasen (osan) vauhti on. Vakiosäteisellä radalla on aina s = rθ ja sen aikaderivaatan itseisarvo on ds dt = r dθ dt, Lineaarinen nopeusvektori v on aina ympyrän tangentin suuntainen. Mitä kauempana hiukkanen on pyörimisakselilta sitä suurempi sen lineaarinen vauhti. Kuva 9.9 Jäykkä kappale pyörii kiinteän akselin ympäri. missä vasemmalla on hetkellinen vauhti v ja oikealla hetkellinen kulmavauhti dθ/dt = ω eli hetkellisen kulmanopeusvektorin magnitudi (rad/s). Tällöin v = rω (9.13)
Lineaarinen kiihtyvyys rotaatiossa Kuten aiemmin kappaleessa 3.4 esitettiin, ympyräliikkeessä olevan hiukkasen kiihtyvyys voidaan jakaa radiaalisuuntaiseen keskeiskiihtyvyyteen (keskihakuinen, centripetal) a rad ja tangentiaaliseen a tan komponenttiin (Kuva 9.10). Koska kiihtyvyyden tangentiaalikomponentti a tan on samansuuntainen hetkellisen tangentiaalisen vauhdin kanssa, on se vastuussa hiukkasen nopeuden magnitudin eli vauhdin muutoksesta. Ottamalla aikaderivaatta saadaan Kuva 9.10 Kiihtyvässä pyörimisliikkeessä oleva jäykkä kappale. a tan = dv dt = r dω = rα (9.14) dt Huomaa, että α = dω/dt tarkoittaa kulmavauhdin muutosnopeutta eli se ei ole sama kuin kulmanopeuden muutosnopeus eli kulmakiihtyvyys α z = dω z/dt.
Lineaarinen kiihtyvyys rotaatiossa Aina rotaatioakselia kohtisuorassa oleva hiukkasen kiihtyvyyskomponentti, radiaalinen keskeiskiihtyvyys a rad liittyy hiukkasen nopeuden suunnanmuutokseen (kts. kappale 3.4) ja se voidaan kirjoittaa yhtälön (9.13) mukaan ω:n avulla: Kuva 9.11 Käytä aina radiaaneja lineaaristen ja kulmamuuttujien yhtälöissä. a rad = v2 r = ω2 r, (9.15) mikä pätee vaikka ω ja v eivät olisi vakioita. Kiihtyvyyskomponenttien a tan ja a rad vektorisummana saadaan pyörivän kappaleen hiukkasen lineaarinen kiihtyvyysvektori a. Yhtälöt (9.1), (9.13) ja (9.14) pätevät myös hiukkasille, joilla on sama tangentiaalinen nopeus kuin jäykän kappaleen pisteellä (esim. sylinterin ympärille pyöritetty köysi, joka purkautuu lipsumatta ja venymättä). Yhtälö (9.15) pätee tällaisessa tapauksessa vain kohdissa, joissa köysi on kytketty sylinteriin.
Esimerkki 9.4: Urheilija pyörittää kiekkoa r = 80.0 cm säteistä ympyrää (Kuva 9.12a). Tietyllä hetkellä urheilija pyörii kulmavauhdilla ω = 10.0 rad/s ja pyöriminen kiihtyy eli kulmakiihtyvyyden magnitudi on α = 50.0 rad/s 2. Määritä kiekon lineaarinen kiihtyvyys ja sen komponentit tällä ajanhetkelle. Tätä voidaan käsitellä ympyräliikkeenä, jolloin tangentiaalinen ja radiaalinen sentripetaalikiihtyvyys sekä kokonaiskiihtyvyyden magnitudi voidaan laskea yhtälöistä (9.14) ja (9.15) sekä Pythagoraan teoreemasta (Kuva 9.12b): a tan = rα = (0.800 m)(50.0 rad/s 2 ) = 40.0 m/s 2 a rad = ω 2 r = (10.0 rad/s) 2 (0.800 m) = 80.0 m/s 2 a = a 2 tan + a2 rad 89.4 m/s2 Kuva 9.12 (a) Kiekko ympyräradalla. (b) Kiekon kiihtyvyyden komponentit.
Esimerkki 9.5: Suunniteltavana olevan lentokoneen potkurin (Kuva 9.13a) pitäisi pyöriä 2400 rpm (kierrosta minuutissa). Lentokoneen ilmalentovauhti eteenpäin pitäisi olla 75 m/s mutta potkurin siipien kärkien vauhti ei pitäisi ylittää 270 m/s (Mikä on n. 80% äänennopeudesta ilmassa. Jos vauhti olisi tätä suurempi, siivet tuottaisivat huomattavan kovaa ääntä.). (a) Mikä on potkurin säteen maksimipituus? (b) Mikä on tällöin potkurin siiven pään kiihtyvyys? (a) Muutetaan kulmanopeuden yksikkö: ) ( 2π rad 1 rev ω = 2400 rpm = ( 2400 rev min Kuvan 9.13b ja kaavan (9.13) avulla saadaan: v 2 tip = v2 plane + v2 tan = v2 plane + r2 ω 2, joten v 2 tip v2 plane ) ( 1 min ) 60s = 251 rad/s (270 m/s) 2 (75.0 m/s) 2 251 rad/s = 1.03 m r 2 = v2 tip v2 plane ω 2 r = = ω (b) Koska potkurin kulmavauhti on vakio, siiven kärjellä ei ole tangentiaalikiihtyvyyttä vaan ainoastaan radiaalinen keskeiskiihtyvyys: a rad = ω 2 r = (251 rad/s) 2 (1.03 m) = 6.5 10 4 m/s 2 ( 6600 g) Kuva 9.13 (a) Potkurilentokone lennossa. (b) Potkurin kärjen nopeuden komponentit.
9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema 9.6 Hitausmomenttilaskut Koska pyörivässä kappaleessa massa on liikkeessä, kappaleella on liike- eli kineettistä energiaa. Kappale voidaan ajatella koostuvan hiukkasista (indeksi i), joiden massa on m i ja r i niiden kohtisuora etäisyys pyörimisakselilta. Koska tällöin i-hiukkasen vauhti on v i = r i ω (kulmavauhti on sama kaikille hiukkasille), sen kineettinen energia on: 1 2 m iv 2 i = 1 2 m ir 2 i ω2 Kappaleen kineettinen kokonaisenergia saadaan kaikkien hiukkasten kineettisten energioiden summana: K = 1 2 m 1r 2 1 ω2 + 1 2 m 2r 2 2 ω2 + = i 1 2 m ir 2 i ω2. Sen kaikilla termeillä on yhteinen tekijä ω 2 /2, joten: K = 1 ( m1 r 2 1 2ω2 + 1 2 m 2r2 2ω2 +... ) = 1 ( 2 i m iri 2 ) ω 2. Suluissa oleva suure, eli massa kertaa etäisyyden neliö summattuna yli kaikkien hiukkasten, on kappaleen hitausmomentti (moment of inertia, inertiamomentti) kyseisen akselin suhteen I = m 1 r 2 1 + m 2r 2 2 + = i m i r 2 i (9.16) Selvästikin hitausmomentin [SI: [I] = (kg m 2 )] suuruus on riippuvainen massan jakautumisesta suhteessa valittuun pyörimisakseliin.
9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema 9.6 Hitausmomenttilaskut Mitä kauemmaksi kappaleen massa on jakautunut pyörimisakselista sitä suurempi hitausmomentti on. Jäykälle kappaleelle hiukkasten etäisyydet r i ovat vakioita, joten I ei riipu pyörimisen luonteesta valitun akselin ympärillä. Hitausmomentin avulla kineettinen rotaatioenergia (pyörimisenergia) (rotational kinetic energy) K ([K] = J) eli jäykän pyörijän muodostamien hiukkasten kineettisten energioiden summa on ([ω] = rad/s): Kuva 9.14 Vertikaalisen pyörijän hitausmomentti ja siten se kineettinen energia riippuu punnusten horisontaalisesta paikasta. K = 1 2 Iω2 (9.17) Yhtälö antaa yksinkertaisen fysikaalisen merkityksen I:lle: Kulmavauhdilla ω pyörivän jäykän kappaleen rotaatioenergia on sitä suurempi mitä suurempi hitausmomentti I on. K vastaa kappaleen kiihdyttämiseen lepotilasta tarvittavaa työtä, joten mitä suurempi I sitä raskaampaa on saada kappale pyörimään tai pyörivä kappale pysähtymään. Tästä syystä I:tä kutsutaan myös rotationaaliseksi inertiaksi (rotational inertia) eli se on massan vastine pyörimisliikkeelle.
9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema 9.6 Hitausmomenttilaskut Esimerkki 9.6: Kuvan 9.15 mukainen koneen osa koostuu kolmesta levystä, jotka on kytketty kevyillä tukitankoilla toisiinsa. (a) Mikä on hitausmomentti A kappaleen keskiakselin suhteen? (b) Entä B ja C kappaleiden keskipisteiden kautta kulkevan akselin suhteen? (c) Mikä on kappaleen kineettinen pyörimisenergia, kun se pyörii kulmavauhdilla ω = 4.0 rad/s A akselin ympäri? Kuva 9.15 Koneen osa. Approksimoidaan tukien massa häviävän pieneksi ja levyt massahiukkasina niiden keskipisteissä. (a) Tällöin A levyn massa on pyörimisakselilla eli se ei kontribuoi hitausmomenttiin vaan ainoastaan B ja C levyt. Hitausmomentti A akselin suhteen on kaavan (9.16) mukaisesti: I A = i m ir 2 i = (0.10 kg)(0.50 m) 2 + (0.20 kg)(0.40 m) 2 = (0.025 + 0.032) kg m 2 = 0.057 kg m 2 (b) Sekä B että C levy on BC pyörimisakselilla, joten ainoastaan A levy vaikuttaa hitausmomenttiin BC akselin suhteen, joka on: I BC = (0.30 kg)(0.40 m) 2 = 0.048 kg m 2 (c) Yhtälö (9.17) antaa: K A = 1 2 I Aω 2 = 1 2 (0.057 kg m2 )(4.0 rad/s) 2 = 0.456 J 0.46 J Koska I A > I BC, on koneen osaa helpompi pyörittää BC akselin ympäri.
9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema 9.6 Hitausmomenttilaskut Yksittäisille pistemäisille massoille voidaan käyttää yhtälöä (9.16) kuten esimerkissä (9.6). Kuitenkin jatkuville kappaleille summan sijasta täytyy laskea integraali kappaleen tilavuuden yli. Taulukossa 9.2 on esitetty näin saadut hitausmomenttiyhtälöt muutamille yleisille kappaleen muodoille. Ne pätevät vain tasaisesti jakautuneelle (homogenous, uniform) materialle eli kappaleiden tiheys on kaikissa osissa sama. Huom! Yhtenäisten kappaleiden hitausmomenttia ei voi laskea massakeskipisteeseen sijoitetun kokonaismassan hitausmomenttina. Esim. taulukon 9.2 (b)-tapaus olisi tällöin I = 1 4 ML2, mikä on väärin! Taulukko 9.2 Kappaleiden hitausmomentteja.
9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema 9.6 Hitausmomenttilaskut Esimerkki 9.7, Purkautuva kaapeli I Kuvan 9.16 mukaisesti kevyt (massaton) venymätön kaapeli on pyöritetty kiinteän sylinterin (m = 50 kg, d = 0.120 m) ympärille, joka pyörii horisontaaliakselin ympäri kitkattomilla laakereilla. Lasketaan sylinterin kulmavauhti ω ja kaapelin vauhti v = Rω lopussa, kun kaapelia kiskotaan voimalla F = 9.0 N matkan s = 2.0 m. Ratkaistaan energiamenetelmällä: vain sylinterillä on K (K 1 = 0 ja K 2 = 1 2 Iω2 ). Myöskään gravitaatiopotentiaalienergia ei muutu eli voidaan valita U 1 = U 2 = 0. Kaapeli kohdistaa sylinteriin vain vetovoiman F ja koska kaapeli ei lipsu, kitkatyöhön ei kulu energiaa, joten systeemiin tehdään ainoastaan työ W = F s = (9.0 N)(2.0 m) = 18 J. Sylinterin hitausmomentti on I = mr 2 /2 = 1/2 (50 kg)(0.060 m) 2 = 0.090 kg m 2 Kuva 9.16 Kaapeli purkautuu sylinterin ympäriltä. K 1 + U 1 + W = K 2 + U 2 0 + 0 + W = 1 2 Iω2 + 0 2W 2(18 J) ω = = = 20 rad/s I 0.090 kg m2 v = Rω = (0.060 m)(20 rad/s) = 1.2 m/s
9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema 9.6 Hitausmomenttilaskut Esimerkki 9.8, Purkautuva kaapeli II: Nyt alussa paikoillaan olevaan M massaiseen R säteiseen sylinteriin on ripustettu keveällä venymättömällä kaapelilla punnus m korkeudelle h. Kehitetään yhtälöt sylinterin kulmavauhdille ω ja punnuksen vauhdille v lopputilanteessa, jossa punnus osuu lattiaan. Koska kaapeli oletetaan massattomaksi, se kohdistaa sekä sylinteriin että punnukseen samansuuruisen voiman eikä tee työtä. Tehty työ W = 0, koska ainoastaan gravitaatiopotentiaali muuttuu U 1 = mgh U 2 = 0 (valittu). Lopussa juuri ennen pysähtymistä systeemissä on kineettistä energiaa: K 2 = 1 2 mv2 + 1 2 Iω2 = 1 2 mv2 + 1 2 ( 1 2 MR2) ( v R ) 2 = 1 2 ( m + 1 2 M) v 2 Odotusten mukaisesti, kun M m, v on hyvin pieni ja toisaalta kun m M, v 2gh eli punnus putoaa lähes vapaasti. Kuva 9.17 Systeemin alku ja lopputila. K 1 + U 1 + W = K 2 + U 2 0 + mgh + 0 = 1 (m + 12 ) 2 M v 2 + 0 2gh v = 1 + M/2m Sylinterin loppukulmavauhti on ω = v/r.
9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema 9.6 Hitausmomenttilaskut Ojentuneen kappaleen gravitaatiopotentiaalienergia Jotta esimerkissä 9.8 voitaisiin ottaa huomioon pystysuorassa (y akseli) kulkevan kaapelin massa, pitää osata laskea sen gravitaatiopotentiaalienergia. Jos tällaisen M massaisen ojentuneen kappaleen kaikkiin osiin kohdistuu sama kiihtyvyys g on gravitaatiopotentiaalienergia summa massaelementteihin m i potentiaalienergioista: Kuva 9.18 Fosburyn floppi -korkeushyppytekniikassa massakeskipiste (cm) kulkee riman ali. Eli gravitaatiopotentiaalienergian [yhtälö (9.18)] tarvitsee lisääntyä vähemmän kuin aiemmassa tekniikassa, jossa massakeskipiste vietiin riman yli. U = m 1 gy 1 + m 2 gy 2 + = (m 1 y 1 + m 2 y 2 +... )g [massakeskipisteen koordinaatin avulla (8.28)] = (m 1 + m 2 +... )y cmg U = Mgy cm (9.18) Eli gravitaatiopotentiaalienergia voidaan laskea kappaleen kokonaismassalle M massakeskipisteessä (y cm, +y akseli vertikaalisesti ylöspäin gravitaatiokentässä).
9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema 9.6 Hitausmomenttilaskut 9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema (Steinerin sääntö) Kappaleella on ääretön määrä rotaatio- ja siis myös hitausmomenttiakseleita. Kuitenkin M massaisen kappaleen hitausmomenteille yhdensuuntaisten akseleiden suhteen, jotka kulkevat massakeskipisteen (I cm) ja P pisteen kautta (I P ), on voimassa yhteys eli ns. yhdensuuntaisten akseleiden teoreema (parallel-axis theorem): Kuva 9.19 Massaelementillä m i on (x i, y i ) koordinaatit massakeskipisteen (cm, origossa) ja (x i a, y i b) koordinaatit P pisteen kautta kulkevien yhdensuuntaisten rotaatioakselien suhteen. I P = I cm + Md 2 (9.19) missä d = a 2 + b 2 on P pisteen (kohdassa (x, y) = (a, b)) etäisyys origossa olevasta kappaleen massakeskipisteestä (x cm = y cm = z cm = 0).
9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema 9.6 Hitausmomenttilaskut 9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema (Steinerin sääntö) Hitausmomentti massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen voidaan kirjoittaa kappaleen viipaleelle kohdassa (x i, y i, z i ) massalementtien (hiukkasten) m i yli summana: I cm = i m i ( x 2 i + y 2 i ). Vastaavasti P pisteen kautta kulkevan akselin suhteen kaikille hiukkasille kaikissa viipaleissa z i : I P = [ m i (x i a) 2 + (y i b) 2] i = ( m i x 2 i + y 2 ) i 2a m i x i 2b m i y i i i i }{{}}{{}}{{} I cm =2aMx cm=0 =2bMy cm=0 + ( a 2 + b 2) m i = I cm + Md 2 } {{ i } Md 2 Kappale siis pyörii helpoimmin ja luonnollisimmin massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen. Kuva 9.19 Massalla m i on (x i, y i ) koordinaatit massakeskipisteen (cm, origossa) ja (x i a, y i b) koordinaatit P pisteen kautta kulkevien yhdensuuntaisten rotaatioakselien suhteen. Jäykän kappaleen hitausmomentti on cm-pisteen kautta kulkevan akselin suhteen pienempi kuin minkään muun samansuuntaisen akselin.
9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema 9.6 Hitausmomenttilaskut 9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema (Steinerin sääntö) Esimerkki 9.9: Kuvan 9.20 mekaanisen kiinnikkeen (m = 3.6 kg) hitausmomentti on mitattu: I P = 0.132 kg m 2. Laske I cm. Yhtälöstä (9.19): I cm = I P Md 2 = 0.132 kg m 2 (3.6 kg)(0.15 m) 2 = 0.051 kg m 2 mikä on odotetusti pienempi kuin I P. Kuva 9.15 I cm:n laskeminen mitatusta I P :stä.
9.6 Hitausmomenttilaskut 9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema 9.6 Hitausmomenttilaskut Kun jäykän kappaleen massa on jatkuvasti jakautunut (pallo, sylinteri), pistemäisten massojen summan sijasta pitää integroida pienten massalementtien dm yli: I = r 2 dm (9.20) Kuva 9.20 Maan tiheys ei ole sama kaikkialla, esim. ydin on huomattavasti tiheämpi kuin pintaosat. 1D-kappaleelle (ohut sauva) dm saadaan esim. x koordinaatin avulla (dm = M dx). 3D-kappaleelle se kannattaa esittää tiheyden (ρ) ja tilavuuselementin (dv ) avulla: dm = ρdv ρ = dm/dv eli hitausmomentti riippuu ρ:n vaihtelusta: I = r 2 ρ dv Tilavuuselementin integroimismuuttujat (esim. dv = dxdydz) kannattaa valita siten että sen sisältämät pisteet ovat mahdollisimman samalla etäisyydellä pyörimisakselilta. mutta ρ = vakio homogeeniselle kappaleelle I = ρ r 2 dv (9.21) Integroimisrajat määräytyvät kappaleen muodosta ja dimensioista.
9.6 Hitausmomenttilaskut 9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema 9.6 Hitausmomenttilaskut Esimerkki 9.10. Sylinterin pyöriminen symmetria-akselinsa suhteen. Sylinterille luonnollinen massaelementti on sylinterinkuori dm = ρdv = ρ(2πrl dr): R2 I = r 2 dm = r 2 ρ (2πrL dr) R 1 R2 = 2πρL r 3 dr = 2πρL ( R 4 R 1 4 2 R1) 4 = πρl ( R 2 2 2 R1 2 ) ( R 2 2 + R1) 2 Kuva 9.22 Sylinterin hitausmomentti symmetria-akselin suhteen. Sylinterin vaipan tilavuudesta ja tiheydestä saadaan kokonaismassa: V = πl ( R2 2 R1 2 ) M = ρv = πρl ( R 2 2 R2 1), jonka avulla hitausmomentti I = 1 2 M ( R1 2 + ) R2 2 Umpinaiselle sylinterille R 2 = R ja R 1 = 0, joten hitausmomentti on I = 1 2 MR2. Jos taas sylinterin kuori on hyvin ohut eli R 2 R 1 = R hitausmomentiksi tulee I = MR 2. Sama tulos tulee suoraan, kun r = R: I = r 2 dm = R 2 dm = MR 2.
9.6 Hitausmomenttilaskut 9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema 9.6 Hitausmomenttilaskut Esimerkki 9.11. Pallon pyöriminen keskipisteen kautta kulkevan akselin ympäri. Homogeeniselle (ρ =vakio) pallolle luonnollinen massaelementti keskipisteen kautta kulkevan x akselin suhteen on sitä vastaan kohtisuorassa oleva ohut kiekko: dm = ρ dv = ρ πr 2 dx = ρ π(r 2 x 2 ) dx. Otetaan edellisen esimerkin umpinaisen sylinterin hitausmomentti, joka ohuelle r säteiselle ja dm-massaiselle kiekolle on: di = 1 2 r2 dm = 1 ( 2 R 2 x 2) [ ρ π(r 2 x 2 ) dx ] = πρ ( 2 R 2 x 2) 2 dx. Integroidaan välillä x = 0 ja x = R (puolipallo) ja kerrotaan kahdella: I = (2) πρ ( 2 R 2 x 2) 2 dx = = 8πρR 5 15 Koska pallolle V = 4πR3 3, tulee tiheydeksi: ρ = M V = 3M 4πR 3. Kuva 9.23 Pallon hitausmomentti sen keskipisteen kautta kulkevalle akselille. Pallon ( hittausmomentti ) ( ) on siis: I = 8πR 5 3M 15 4πR 3 = 2 5 MR2, mikä on pienempi kuin sylinterille (I = 1 2 MR2 ), koska pallon massa on jakautunut lähemmäksi pyörimisakselia.
9. luvun yhteenveto 9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema 9.6 Hitausmomenttilaskut Rotaatiokinematiikka: Hitausmomentti ja kineettinen pyörimisenergia: Lineaarisen ja rotaatioliikkeen yhteys: Hitausmomentin laskeminen, paralleeliakseliteoreema, jatkuvan massajakauman integrointi: