II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa = keräyjen pulssien määrä ja = miaukseen käyey aika. Laskenaaajuuden laauna on siis pulssi/aikayksikkö (s -1, cpm, cps). Havaiusa bruolaskenaaajuudesa (b) äyyy kuienkin vähenää miausyseemin anama ausasa aiheuunee pulssi () joa saaaisiin vain näyeesä aiheuunu neolaskenaaajuus (n) b n = [II.II] b Akiivisuus laskeaan neolaskenaaajuudesa joko veraamalla rinnakkaisessa miauksessa sandardisa saaua neolaskenaaajuua (s) (edellyäen eä unemaon näye ja sandardi miaaan äysin samoissa oloissa), s ( ) A = A [II.III] s ai jos miaussyseemin laskenaehokkuus (E(%)) unneaan, jakamalla sillä A = ( E /100)) [II.IV] Miä virheiä näihin laskuihin liiyy ja mien virhee ulee laskea ja esiää, käsiellään seuraavassa. Sysemaaise ja saunnaise virhee Kaikissa miauksissa, ei vain radioakiivisuuden miauksissa, on kahdenlaisa virheä: Sysemaainen virhe aiheuuu miausmeneelmän virheellisyydesä ja se vaikuaa aina 8
samaan suunaan. Jos esim. sandardin akiivisuus ei ole se mikä sen piäisi olla, ai laieiden aseukse muuuva kesken miauksen, aiheuuu näisä sysemaaisa virheä. Vaikka samasa näyeesä saaaisiinkin oiseavia uloksia, eivä ne ole arkkoja, mikäli miauksessa on sysemaaisa virheä. Saunnaise eli saisise virhee johuva joko miausmeneelmäsä ai ise miaavasa ilmiösä: - saunnaisuus esiinyy miausmeneelmässä, vaikka miaavalla suureella on arkka arvo - saunnaisuus esiinyy ise ilmiössä; radioakiivinen hajoaminen on juuri ällaisa Saunnaisvirheen, joa kuvaa ermi oiseavuus, ominaisuus on, eä se pienenee kun rinnakkaismiausen lukumäärä kasvaa. Alla käsiellään radioakiivisen hajoamisen saisisesa luoneesa johuvaa miausuloksen saisisa virheä. Poissonin jakauma - normaalijakauma Poissonin jakauma kuvaa radioakiivisa hajoamisa, kuen kaikkia muiakin saunnaisia ilmiöiä, joiden esiinymisodennäköisyyde ova pieniä ja pysyvä vakioina. Tämä merkisee siä, eä radioakiivisen läheen synnyämän hiukkasvuon vaihelu on eräs läheen fysikaalinen ominaisuus, joa voidaan kuvaa vain odennäköisyyslaskenaa apuna käyäen (vaihelulla ei ässä arkoiea siä, eä keskimääräinen hiukkasvuo heikkenee akiivisuuden pieneessä). Jos siis arkasellaan suura joukkoa radioakiivisia aomeja, niin siinä ieyssä ajassa apahuu vaiheleva lukumäärä hajoamisia, joka jakauuva säännöllisesi määräyn keskiarvon ympärille ja noudaava Poissonin yhälöä P m =! m e [II.V] jossa P = odennäköisyys sille, eä havaiaan hajoamisa ieynä aikavälinä, = hajoamisen lukumäärä ieynä aikavälinä (vain kokonaislukuarvoja), m = hajoamisen odennäköisin lukumäärä. Koska hajoamisen lukumäärä voi olla vain kokonaisluku, on Poissonin jakauma pylväsdiagrammi eli hisogrammi (kuva II.1.). Poissonin jakauman kuvaaja ei ole symmerinen, vaan hieman oispuoleinen. Aproksimaaiona älle kuvaajalle voidaan esiää normaalijakauumana, joka puolesaan on symmerinen (kuva II.1). Kuvaaja esiää siis 83
havaiujen hajoamisen määrää eri miauskeroina. Kuva II.1. Havaiujen radioakiivisen hajoamisen määrä esieynä Poissonin jakauman ja normaalijakauman avulla. Normaalijakaumaa kuvaa lauseke: ( m) 1 σ = [II.VI] P e σ π missä P on ieyn havainouloksen (ässä apauksessa hajoamisen lukumäärän) esiinymisodennäköisyys, m on miaavan suureen odellinen arvo ja σ on keskihajona eli sandardipoikkeama. Keskihajona eli sandardipoikkeama Normaalijakaumalle päee se, eä jos on ehy useia perääisiä saman suureen (ässä apauksessa ydinhajoamisen) miauksia ja laskeu niisä keskiarvo, on yksiäisen miauksen uloksella 68.3%:n odennäköisyys osua välille välille ± σ, 95.5%:n odennäköisyys ± σ ja 99.7%:n odennäköisyys välille ± 3σ. Tämä on havainnolliseu alla 84
olevassa kuvassa. Kuva II.. Normaalijakauma ja keskihajonojen anama odennäköisyysraja. adioakiivisuusmiausen saisisena virheenä käyeään Poissonin jakaumalle päevää yhälöä σ = m [II.VII] jossa m on siis hajoamisen odennäköinen lukumäärä. Yksiäisä laskenaaajuusmiausa ehäessä, m:n arvoa ei unnea ja sen sijasa käyeään ässä miauksessa havaiua arvoa esim.laskeujen pulssien määrää eli σ = [II.VIII] myös näin johdeulle sandardipoikkeamalle päevä yllä esiey odennäköisyysraja eli 68.3%:n odennäköisyydellä kyseinen miaus osui välille odennäköisyydellä välille ± σ oikeasa arvosa, 95.5%:n ± σ ja 99.7%:n odennäköisyydellä välille ± 3σ. Siis miaaessa esim.100 pulssia on σ:n arvo 100 = 10 ja miau arvo poikkeaa 68.3%:n odennäköisyydellä oikeasa arvosa 10%, 95.5%:n odennäköisyydellä 0% ja 99.7%:n odennäköisyydellä 30%. Jos sen sijaan keräään 10000 pulssia on σ:n arvo 10000 = 100 ja miau arvo poikkeaa 68.3%:n odennäköisyydellä oikeasa arvosa 1%, 95.5%:n 85
odennäköisyydellä % ja 99.7%:n odennäköisyydellä 3%. Siis miä arkempi ulos haluaan, siä enemmän pulsseja ulee kerää. Kun esieään lopullinen ulos, ulee sen yheyeen ilmoiaa virhe ja se kuinka monen σ:n arkkuudella virhe ilmoieaan. Esim. näin: akiivisuus on 1030 ± 70 (σ) Bq. Laskenaaajuuden virhe Käyeäessä 68,3%:n odennäköisyysrajoja bruolaskenaaajuus saisisine virherajoineen ilmoieaan siis seuraavasi: ± ± σ = [II.I] Laskenaaajuuden virheen laau on siis pulssi/aikayksikkö. Tausavähennyksen vaikuus summan/erouksen virhe Kun ausa määrieään erillisellä miauksella, aiheuuu myös äsä oma virheensä, joka on oeava huomioon kun laskeaan neolaskenaajuuden kokonaisvirheä. Sekä bruolaskenaajuudelle eä ausan aiheuamalle laskenaaajudelle laskeaan erikseen oma virheensä edellä esieyllä avalla ja niiden yhdessä neolaskenaaajuudelle aiheuama virhe laskeaan summan ja erouksen sandardipoikkeaman yhälösä b σ n = σ b + σ [II.] eli σ = + n [II.I] b Akiivisuuden kokonaisvirhe Kun laskeaan unemaoman näyeen akiivisuus sen neolaskenaaajuudesa (n) veraamalla siä sandardisa samoissa oloissa saauun neolaskenaaajuueen (s), jouduaan oamaan huomioon ulosa/osamääräsä aiheuuva kokonaisvirhe samoin kuin kaikissa muissakin apauksissa, joissa jouduaan keromaan ai jakamaan laskenaajuuksia lopullisen uloksen saamiseksi. Akiivisuuden (A) suheellinen kokonaisvirhe (σa) laskeaan alla 86
olevalla ulon/osamäärän suheellisen sandardipoikkeaman lausekkeesa. σ A A = σ n n σ + s s [II.II] 87