Mat-.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 11 1. Olkoon tehtaan tuotanto x(t) ajan hetkellä t ja investoitava osuus tuotannosta u(t). Tehdasta kuvaa systeemiyhtälö ẋ(t) = u(t)x(t) x() = c > u(t) 1, t [, T ], T kiinteä, ja tavoite on maksimoida tuotto Hamiltonin funktio on T [1 u(t)]x(t) dt. H (x, u, p) = (1 u)x + pux = (p 1)ux + x. Koska x() > niin x(t) > kaikilla t. Silloin Hamiltonin funktion maksimoiva ohjaus on { 1, p > 1 u(t) =, p < 1. Liittotilayhtälö on ṗ(t) = (p(t) 1)u(t) 1, p(t ) =. (1) Jos p = 1 niin ohjauksella voi olla singulaariväli. Kytkentäfunktio on ja σ(t) = [p(t) 1]x(t) σ(t) = ṗ(t)x(t) + [p(t) 1]ẋ(t) = [p(t) 1]u(t)x(t) x(t) + [p(t) 1]u(t)x(t) = x(t), joten singulaarivälejä ei voi olla. Koska p(t ) =, niin jostakin ajan hetkestä t s eteenpäin p(t) < 1, u(t) = t (t s, T ]. Tällöin liittotilayhtälön ratkaisu välillä (t s, T ] on p(t) = T t, t (t s, T ] () 1
ja tuotannolle pätee x(t) = x(t s ), t (t s, T ]. Kytkentäajanhetki saadaan yhtälöstä () asettamalla p(t s ) = 1: t s = T 1, mikäli pätee T 1. Aikavälillä [, t s ) ei kytkentää voi tapahtua, koska silloin yhtälöstä (1) p(t) = e T t 1, ja tämä on vähenevä funktio. Jos taas T < 1, ei kytkentää myöskään tapahdu, vaan käytetään koko ajan nollaohjausta. Ratkaisut ovat siis seuraavat: (a) Jos T 1, niin myydään kaikki tuotanto koko suunnitteluvälin ajan, u =. (b) Jos T > 1, niin investoidaan kaikki, u = 1, ajan hetkeen t = T 1 asti, jonka jälkeen myydään kaikki, u =. Kyseessä on bang-bangohjaus.. Uusiutuvan luonnovaran yhtälö: missä ẋ(t) = F [x(t)] h(t), x() = x, x(t) varannon koko ajan hetkellä t F (x) kasvufunktio, konkaavi ja kasvava h(t) sadonkorjuunopeus ajan hetkellä t c(x) yksikkökorjuukustannus, c (x) < p(t) tuotteen hinta ajan hetkellä t δ diskonttauskerroin. Yritetään maksimoida tuottovirtaa rajoitteilla T e δt [p(t) c(x)]h(t) dt h(t) h.
Hamiltonin funktio: H = e δt [p c(x)]h + λ[f (x) h]. Hamiltonin funktio on lineaarinen ohjauksen suhteen. Kytkentäfunktio: Etsitään singulaariset kaaret: σ(t) = e δt [p(t) c(x)] λ(t). σ(t) = λ(t) = e δt [p(t) c(x)] (3) σ = λ = e δt [ṗ c (x)ẋ + δc δp]. (4) Toisaalta liittotilayhtälön mukaan λ(t) = e δt c (x)h(t) λ(t)f (x) (5) ja yhdistämällä yhtälöt (3), (4) ja (5) ja sieventämällä saadaan liittotila eliminoitua: F (x) c (x)f (x) p(t) c(x) = δ ṗ(t) p(t) c(x). Tämä on siis yhtälö, joka singulaarisen ratkaisun x (t) tulee toteuttaa. Oletetaan lisäksi, että markkinahinta p on vakio. Silloin yhtälö redusoituu muotoon F (x) c (x)f (x) p c(x) = δ. Koska F ja c eivät eksplisiittisesti riipu ajasta, oletetaan että on olemassa optimaalinen tasapainovaranto x s joka toteuttaa tämän yhtälön. Koska tehtävän loppuaika on kiinteä mutta lopputila vapaa, on voimassa transversaalisuusehto λ(t ) =. Tällöin siis p(t ) = c(x(t )), joten singulaarikaarelta täytyy poistua ennen ajan hetkeä T. Singulaarikaarelta päästään bang-bang-ohjauksella h = h kun t [t 1, T ]. Vastaavasti alussa tulee alkutilasta x ensin päästä singulaarikaarelle; jos x > x s niin ohjataan h = h ja mikäli x < x s niin ohjataan h = kunnes päästään singulaarikaarelle x. Saadaan ratkaisu, joka muistuttaa nopeimman lähestymisen polkua singulaarikaarelle, mutta ennen loppua singulaarikaarelta poistutaan. 3
3. Olkoon maaston korkeus y(s) derivoituva funktio ja etsitään tien pro- ilia x(s). Päätösmuuttuja on tien jyrkkyys u(s) dx ds = u(s), a u(s) a ja pyritään minimoimaan tien ja maaston korkeuden neliövirhettä min S [x(s) y(s)] ds, kun tien korkeus alussa x() ja lopussa x(s) ovat kummatkin vapaat. Jos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on ja liittotilayhtälö H = (x y) + pu ṗ(s) = [x(s) y(s)]. Vapaista alku- ja loppuehdoista seuraa transversaalisuusehdot Silloin ja p(s) = S p() = p(s) =. s [x(τ) y(τ)] dτ [x(τ) y(τ)] dτ =. Havaitaan kolmenlaisia ratkaisuvälejä: p(s) > : u(s) = a, p(s) = : u(s) = ẏ(s), p(s) < : u(s) = +a, Singulaariväleillä p(s) = siis ehto s s s [x(τ) y(τ)] dτ < ; [x(τ) y(τ)] dτ = ; [x(τ) y(τ)] dτ >. (x y) min! x(s) = y(s) kiinnittää ohjauksen, kun oletus y(s) derivoituva on voimassa. Tällöin edellä esitetty ratkaisu u(s):lle on yksikäsitteinen ja antaa minimin. 4
4. Kalapopulaation kasvua kuvaava systeemiyhtälö: Ṅ(t) = an(t) bn (t) c(t), a, b >. (6) Jos ei kalasteta (c = ), niin steady-state tila N s on = an s bn s N s = a/b = N(). Alussa siis populaatio on tasapainotilassa. Etsi kalastusnopeus c(t) s.e. hyödyn nykyarvo maksimoituu e rt U[c(t)] dt, Muistetaan aikaisem- missä U on konkaavi ja kasvava hyötyfunktio. mista laskareista nykyarvo-hamiltonin käsite: Ĥ = e rt H = U(c) + p [ an bn c ]. Välttämätön optimaalisuusehto on Ĥ c = U (c) p = p = U (c). Koska Ĥ = U (c) <, c on kyseessä maksimi. Nykyarvo-liittotilan yhtälöksi saadaan vastaavasti harjoituksen 9 tehtävässä 3 näytettiin, että eli Toisaalta p(t) = r p(t) Ĥ x, p(t) = r p(t) [ a bn(t) ] p(t). p(t) = U [c(t)], p(t) = U [c(t)]c (t), joten nykyarvoliittotila voidaan eliminoida ja päästään yhtälöön U [c(t)]c (t) = [ r a + bn(t) ] U [c(t)] eli c (t) = [ r a + bn(t) ] U [c(t)]. (7) U [c(t)] }{{} < 5
Yhdessä tilayhtälön (6) kanssa nämä muodostavat dierentiaaliyhtälösysteemin, joka kuvaa välttämättömiä ehtoja populaation muutokselle optimikalastuksella. Riippuen siitä, mistä alkutilasta (N(), c()) lähdetään liikkeelle, saadaan eri ratkaisuja. Näistä yksi (tai useampia) ovat optimiratkaisuja. Tarkastellaan optimisysteemiä vaihetasossa. Ensin tarvitaan systeemin tasapainopiste: ċ(t) = N s = a r b (a r)(a + r) Ṅ(t) = c s = 4b kun siis a > r. Nämä eivät ole siis samoja tasapainopisteitä kuin edellä, vaan esittävät systeemin ainoaa steady-state tilaa. Hypoteesi on, että optimiratkaisu on nimenomaan se ratkaisu, joka päätyy steady-state tilaan. Nyt tasapainopisteen laadun määrittämiseksi voitaisiin laskea Jakobin matriisin ominaisarvot tasapainopisteessä, mutta näistä tulee varsin monimutkainen juurilauseke, jossa esiintyy termiä U (c s ). Tyydytään siis tarkastelemaan isokliinejä sekä systeemin käyttäytymistä niiden rajaamissa alueissa. Paraabeli an bn = c jakaa tason kahtia, sen yläpuolella on dn < dt ja alapuolella dn >. Vastaavasti, kun valitaan U(c) = c, niin silloin suora N = (a r)/(b) jakaa tason kahtia, ja sen vasemmalla dt puolella dc dc > ja oikealla puolella <. Kuvassa 1 on esitetty systeemin isokliinit sekä gradienttikenttä, jota ratkaisutrajektorin tangentit dt dt pyrkivät noudattamaan. Alkutilassa ollaan kuvan oikeassa reunassa, N() = 15. Mikäli alussa kalastetaan jonkin verran nopeammin kuin tasapainotilassa, c() > c s, niin silloin on mahdollista päätyä lopulta optimaaliseen steady-state ratkaisuun, jossa sitten pysytään. 5. Osoitettava, että tehtävällä tilayhtälöllä e rt( u (t) + x(t)u(t) x (t)) dt, r > 1 ẋ(t) = u(t), x() = x ei ole optimaalista steady-state ratkaisua. Nykyarvo-Hamilton on Ĥ = u (t) + x(t)u(t) x (t) 6 + pu.
18 16 14 1 Kalastusnopeus c 1 8 6 4 4 6 8 1 1 14 16 Kalapopulaatio N Kuva 1: Kalastustehtävän välttämättömät ehdot karakterisoivan yhtälön gradienttikenttä. Tehtävän optimitrajektori on se, jolla päädytään lopulta steady state -tasapainotilaan. Välttämätön ehto optimiohjaukselle on Ĥ u = u + x + p = u (t) = x(t) + p. Kuten aikaisemminkin, nykyarvoliittotilayhtälö on p(t) = r p(t) u(t) + x(t). Sijoittamalla saadaan ohjaus eliminoitua ja välttämättömät ehdot kirjoitettua systeeminä ẋ(t) = x(t) + p(t) (8) p(t) = (r 1) p(t). (9) Tämä on lineaarinen systeemi, jonka ominaisarvot ovat λ 1 = 1, λ = r 1. Jos nyt r > 1, niin tehtävän ominaisarvot ovat positiiviset ja kyseessä on epästabiili napa. Tällöin ei steady-state ratkaisua ole olemassa. 7
Ratkaisemalla yhtälöstä (9) saadaan p(t) = p e (r 1)t. Sijoittamalla optimiohjaus kustannusfunktionaalin saadaan 1 = 1 = 1 p e rt[ u(t) x(t) ] dt e rt p (t) dt e rt e (r 1)t dt, jonka arvo maksimoituu, kun p = (koska integraalin arvo on positiivinen). Silloin p(t), x(t) = x e t, u(t) = x e t. Tämä ei siis selvästikään lähesty mitään tasapainotilaa. 6. Olkoon c kulutus, c(t) ja kulutusta kuvaava yhtälö on k pääoma, k() = k, k(t) c(t) = f[k(t)] k(t), (1) missä f() =, f on kasvava ja konkaavi tuotantofunktio. Maksimoidaan hyödyn odotusarvoa e rt U [ f[k(t)] k(t) ] dt, missä hyötyfunktio U on kasvava ja konkaavi. Eulerin yhtälö: e rt U c f (k) + d dt[ e rt U c ] = eli U cc (c) ċ = r f (k). (11) U c (c) }{{} < 8
Optimaalinen ratkaisu toteuttaa nyt välttämättömät ehdot (1) ja (11). Ratkaistaan isokliinit vaihetasossa: ċ = f (k) = r. Olkoon f (k s ) = r. Jos nyt k > k s, niin koska f on vähenevä niin silloin ċ <. Vastaavasti jos k < k s, niin silloin ċ >. k = c = f(k). Tämä on siis jokin origon kautta kulkeva käyrä. Kun ollaan sen yläpuolella, niin k < ja jos ollaan sen alapuolella niin k >. Kuvaan on piirretty tuotantofunktion f(k) = k tilannetta esittävä vaihetason gradienttikenttä. Isokliinit jakavat vaihetason neljään "kvandranttiin". Alussa ollaan suoralla k = k. Mikäli k < k s tulee valita c() < c s sopivasti niin, että lopuksi trajektori päätyy steady state -tilaan. Vastaavasti jos k > k s tulee valita c() > c s. Joka tapauksessa steady state -tila on olemassa kaikilla alkuarvoilla k. 1 9 8 7 Kulutus c 6 5 4 3 1 5 1 15 5 3 35 4 45 5 Pääoma k Kuva : Kulutustehtävän välttämättömät ehdot karakterisoivan yhtälön gradienttikenttä. Vain kaksi neljästä kvadrantista johtaa steady-state tasapainotilaan. 9