Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 11

Samankaltaiset tiedostot
Jos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on. p(0) = p(s) = 0.

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle.

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ

[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin. g(y(t), ẏ(t),...

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi

k = 1,...,r. L(x 1 (t), x

9 Singulaariset ratkaisut

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1

v AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = =

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 3

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

Amazon.com: $130,00. Osia, jaetaan opetusmonisteissa

Harjoitus 7: vastausvihjeet

Insinöörimatematiikka D

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

1 Rajoitettu optimointi I

Insinöörimatematiikka D

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

1 UUSIUTUMATTOMAT LUONNONVARAT

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta

y + 4y = 0 (1) λ = 0

12 Jatkuva-aikaisten tehtävien numeerinen ratkaiseminen

(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Y (z) = z-muunnos on lineaarinen kuten Laplace-muunnoskin

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

Projektin arvon aleneminen

1 Rajoittamaton optimointi

2. Uusiutuvat luonnonvarat: Kalastuksen taloustiede

Säätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla

Matematiikan tukikurssi

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

Talousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät

Projektin arvon määritys

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Insinöörimatematiikka D

OPTIMAALINEN INVESTOINTIPÄÄTÖS

8. kierros. 1. Lähipäivä

Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Harjoitus 6: Symbolinen laskenta II (Mathematica)

Harjoitus 6: Symbolinen laskenta II (Mathematica)

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki = 16 3 =

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.

Laplace-muunnos: määritelmä

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Matematiikan tukikurssi

f (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

1 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Kulutus. Kulutus. Antti Ripatti. Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki Antti Ripatti (HECER) Kulutus

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) = = 21 tosi

Transkriptio:

Mat-.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 11 1. Olkoon tehtaan tuotanto x(t) ajan hetkellä t ja investoitava osuus tuotannosta u(t). Tehdasta kuvaa systeemiyhtälö ẋ(t) = u(t)x(t) x() = c > u(t) 1, t [, T ], T kiinteä, ja tavoite on maksimoida tuotto Hamiltonin funktio on T [1 u(t)]x(t) dt. H (x, u, p) = (1 u)x + pux = (p 1)ux + x. Koska x() > niin x(t) > kaikilla t. Silloin Hamiltonin funktion maksimoiva ohjaus on { 1, p > 1 u(t) =, p < 1. Liittotilayhtälö on ṗ(t) = (p(t) 1)u(t) 1, p(t ) =. (1) Jos p = 1 niin ohjauksella voi olla singulaariväli. Kytkentäfunktio on ja σ(t) = [p(t) 1]x(t) σ(t) = ṗ(t)x(t) + [p(t) 1]ẋ(t) = [p(t) 1]u(t)x(t) x(t) + [p(t) 1]u(t)x(t) = x(t), joten singulaarivälejä ei voi olla. Koska p(t ) =, niin jostakin ajan hetkestä t s eteenpäin p(t) < 1, u(t) = t (t s, T ]. Tällöin liittotilayhtälön ratkaisu välillä (t s, T ] on p(t) = T t, t (t s, T ] () 1

ja tuotannolle pätee x(t) = x(t s ), t (t s, T ]. Kytkentäajanhetki saadaan yhtälöstä () asettamalla p(t s ) = 1: t s = T 1, mikäli pätee T 1. Aikavälillä [, t s ) ei kytkentää voi tapahtua, koska silloin yhtälöstä (1) p(t) = e T t 1, ja tämä on vähenevä funktio. Jos taas T < 1, ei kytkentää myöskään tapahdu, vaan käytetään koko ajan nollaohjausta. Ratkaisut ovat siis seuraavat: (a) Jos T 1, niin myydään kaikki tuotanto koko suunnitteluvälin ajan, u =. (b) Jos T > 1, niin investoidaan kaikki, u = 1, ajan hetkeen t = T 1 asti, jonka jälkeen myydään kaikki, u =. Kyseessä on bang-bangohjaus.. Uusiutuvan luonnovaran yhtälö: missä ẋ(t) = F [x(t)] h(t), x() = x, x(t) varannon koko ajan hetkellä t F (x) kasvufunktio, konkaavi ja kasvava h(t) sadonkorjuunopeus ajan hetkellä t c(x) yksikkökorjuukustannus, c (x) < p(t) tuotteen hinta ajan hetkellä t δ diskonttauskerroin. Yritetään maksimoida tuottovirtaa rajoitteilla T e δt [p(t) c(x)]h(t) dt h(t) h.

Hamiltonin funktio: H = e δt [p c(x)]h + λ[f (x) h]. Hamiltonin funktio on lineaarinen ohjauksen suhteen. Kytkentäfunktio: Etsitään singulaariset kaaret: σ(t) = e δt [p(t) c(x)] λ(t). σ(t) = λ(t) = e δt [p(t) c(x)] (3) σ = λ = e δt [ṗ c (x)ẋ + δc δp]. (4) Toisaalta liittotilayhtälön mukaan λ(t) = e δt c (x)h(t) λ(t)f (x) (5) ja yhdistämällä yhtälöt (3), (4) ja (5) ja sieventämällä saadaan liittotila eliminoitua: F (x) c (x)f (x) p(t) c(x) = δ ṗ(t) p(t) c(x). Tämä on siis yhtälö, joka singulaarisen ratkaisun x (t) tulee toteuttaa. Oletetaan lisäksi, että markkinahinta p on vakio. Silloin yhtälö redusoituu muotoon F (x) c (x)f (x) p c(x) = δ. Koska F ja c eivät eksplisiittisesti riipu ajasta, oletetaan että on olemassa optimaalinen tasapainovaranto x s joka toteuttaa tämän yhtälön. Koska tehtävän loppuaika on kiinteä mutta lopputila vapaa, on voimassa transversaalisuusehto λ(t ) =. Tällöin siis p(t ) = c(x(t )), joten singulaarikaarelta täytyy poistua ennen ajan hetkeä T. Singulaarikaarelta päästään bang-bang-ohjauksella h = h kun t [t 1, T ]. Vastaavasti alussa tulee alkutilasta x ensin päästä singulaarikaarelle; jos x > x s niin ohjataan h = h ja mikäli x < x s niin ohjataan h = kunnes päästään singulaarikaarelle x. Saadaan ratkaisu, joka muistuttaa nopeimman lähestymisen polkua singulaarikaarelle, mutta ennen loppua singulaarikaarelta poistutaan. 3

3. Olkoon maaston korkeus y(s) derivoituva funktio ja etsitään tien pro- ilia x(s). Päätösmuuttuja on tien jyrkkyys u(s) dx ds = u(s), a u(s) a ja pyritään minimoimaan tien ja maaston korkeuden neliövirhettä min S [x(s) y(s)] ds, kun tien korkeus alussa x() ja lopussa x(s) ovat kummatkin vapaat. Jos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on ja liittotilayhtälö H = (x y) + pu ṗ(s) = [x(s) y(s)]. Vapaista alku- ja loppuehdoista seuraa transversaalisuusehdot Silloin ja p(s) = S p() = p(s) =. s [x(τ) y(τ)] dτ [x(τ) y(τ)] dτ =. Havaitaan kolmenlaisia ratkaisuvälejä: p(s) > : u(s) = a, p(s) = : u(s) = ẏ(s), p(s) < : u(s) = +a, Singulaariväleillä p(s) = siis ehto s s s [x(τ) y(τ)] dτ < ; [x(τ) y(τ)] dτ = ; [x(τ) y(τ)] dτ >. (x y) min! x(s) = y(s) kiinnittää ohjauksen, kun oletus y(s) derivoituva on voimassa. Tällöin edellä esitetty ratkaisu u(s):lle on yksikäsitteinen ja antaa minimin. 4

4. Kalapopulaation kasvua kuvaava systeemiyhtälö: Ṅ(t) = an(t) bn (t) c(t), a, b >. (6) Jos ei kalasteta (c = ), niin steady-state tila N s on = an s bn s N s = a/b = N(). Alussa siis populaatio on tasapainotilassa. Etsi kalastusnopeus c(t) s.e. hyödyn nykyarvo maksimoituu e rt U[c(t)] dt, Muistetaan aikaisem- missä U on konkaavi ja kasvava hyötyfunktio. mista laskareista nykyarvo-hamiltonin käsite: Ĥ = e rt H = U(c) + p [ an bn c ]. Välttämätön optimaalisuusehto on Ĥ c = U (c) p = p = U (c). Koska Ĥ = U (c) <, c on kyseessä maksimi. Nykyarvo-liittotilan yhtälöksi saadaan vastaavasti harjoituksen 9 tehtävässä 3 näytettiin, että eli Toisaalta p(t) = r p(t) Ĥ x, p(t) = r p(t) [ a bn(t) ] p(t). p(t) = U [c(t)], p(t) = U [c(t)]c (t), joten nykyarvoliittotila voidaan eliminoida ja päästään yhtälöön U [c(t)]c (t) = [ r a + bn(t) ] U [c(t)] eli c (t) = [ r a + bn(t) ] U [c(t)]. (7) U [c(t)] }{{} < 5

Yhdessä tilayhtälön (6) kanssa nämä muodostavat dierentiaaliyhtälösysteemin, joka kuvaa välttämättömiä ehtoja populaation muutokselle optimikalastuksella. Riippuen siitä, mistä alkutilasta (N(), c()) lähdetään liikkeelle, saadaan eri ratkaisuja. Näistä yksi (tai useampia) ovat optimiratkaisuja. Tarkastellaan optimisysteemiä vaihetasossa. Ensin tarvitaan systeemin tasapainopiste: ċ(t) = N s = a r b (a r)(a + r) Ṅ(t) = c s = 4b kun siis a > r. Nämä eivät ole siis samoja tasapainopisteitä kuin edellä, vaan esittävät systeemin ainoaa steady-state tilaa. Hypoteesi on, että optimiratkaisu on nimenomaan se ratkaisu, joka päätyy steady-state tilaan. Nyt tasapainopisteen laadun määrittämiseksi voitaisiin laskea Jakobin matriisin ominaisarvot tasapainopisteessä, mutta näistä tulee varsin monimutkainen juurilauseke, jossa esiintyy termiä U (c s ). Tyydytään siis tarkastelemaan isokliinejä sekä systeemin käyttäytymistä niiden rajaamissa alueissa. Paraabeli an bn = c jakaa tason kahtia, sen yläpuolella on dn < dt ja alapuolella dn >. Vastaavasti, kun valitaan U(c) = c, niin silloin suora N = (a r)/(b) jakaa tason kahtia, ja sen vasemmalla dt puolella dc dc > ja oikealla puolella <. Kuvassa 1 on esitetty systeemin isokliinit sekä gradienttikenttä, jota ratkaisutrajektorin tangentit dt dt pyrkivät noudattamaan. Alkutilassa ollaan kuvan oikeassa reunassa, N() = 15. Mikäli alussa kalastetaan jonkin verran nopeammin kuin tasapainotilassa, c() > c s, niin silloin on mahdollista päätyä lopulta optimaaliseen steady-state ratkaisuun, jossa sitten pysytään. 5. Osoitettava, että tehtävällä tilayhtälöllä e rt( u (t) + x(t)u(t) x (t)) dt, r > 1 ẋ(t) = u(t), x() = x ei ole optimaalista steady-state ratkaisua. Nykyarvo-Hamilton on Ĥ = u (t) + x(t)u(t) x (t) 6 + pu.

18 16 14 1 Kalastusnopeus c 1 8 6 4 4 6 8 1 1 14 16 Kalapopulaatio N Kuva 1: Kalastustehtävän välttämättömät ehdot karakterisoivan yhtälön gradienttikenttä. Tehtävän optimitrajektori on se, jolla päädytään lopulta steady state -tasapainotilaan. Välttämätön ehto optimiohjaukselle on Ĥ u = u + x + p = u (t) = x(t) + p. Kuten aikaisemminkin, nykyarvoliittotilayhtälö on p(t) = r p(t) u(t) + x(t). Sijoittamalla saadaan ohjaus eliminoitua ja välttämättömät ehdot kirjoitettua systeeminä ẋ(t) = x(t) + p(t) (8) p(t) = (r 1) p(t). (9) Tämä on lineaarinen systeemi, jonka ominaisarvot ovat λ 1 = 1, λ = r 1. Jos nyt r > 1, niin tehtävän ominaisarvot ovat positiiviset ja kyseessä on epästabiili napa. Tällöin ei steady-state ratkaisua ole olemassa. 7

Ratkaisemalla yhtälöstä (9) saadaan p(t) = p e (r 1)t. Sijoittamalla optimiohjaus kustannusfunktionaalin saadaan 1 = 1 = 1 p e rt[ u(t) x(t) ] dt e rt p (t) dt e rt e (r 1)t dt, jonka arvo maksimoituu, kun p = (koska integraalin arvo on positiivinen). Silloin p(t), x(t) = x e t, u(t) = x e t. Tämä ei siis selvästikään lähesty mitään tasapainotilaa. 6. Olkoon c kulutus, c(t) ja kulutusta kuvaava yhtälö on k pääoma, k() = k, k(t) c(t) = f[k(t)] k(t), (1) missä f() =, f on kasvava ja konkaavi tuotantofunktio. Maksimoidaan hyödyn odotusarvoa e rt U [ f[k(t)] k(t) ] dt, missä hyötyfunktio U on kasvava ja konkaavi. Eulerin yhtälö: e rt U c f (k) + d dt[ e rt U c ] = eli U cc (c) ċ = r f (k). (11) U c (c) }{{} < 8

Optimaalinen ratkaisu toteuttaa nyt välttämättömät ehdot (1) ja (11). Ratkaistaan isokliinit vaihetasossa: ċ = f (k) = r. Olkoon f (k s ) = r. Jos nyt k > k s, niin koska f on vähenevä niin silloin ċ <. Vastaavasti jos k < k s, niin silloin ċ >. k = c = f(k). Tämä on siis jokin origon kautta kulkeva käyrä. Kun ollaan sen yläpuolella, niin k < ja jos ollaan sen alapuolella niin k >. Kuvaan on piirretty tuotantofunktion f(k) = k tilannetta esittävä vaihetason gradienttikenttä. Isokliinit jakavat vaihetason neljään "kvandranttiin". Alussa ollaan suoralla k = k. Mikäli k < k s tulee valita c() < c s sopivasti niin, että lopuksi trajektori päätyy steady state -tilaan. Vastaavasti jos k > k s tulee valita c() > c s. Joka tapauksessa steady state -tila on olemassa kaikilla alkuarvoilla k. 1 9 8 7 Kulutus c 6 5 4 3 1 5 1 15 5 3 35 4 45 5 Pääoma k Kuva : Kulutustehtävän välttämättömät ehdot karakterisoivan yhtälön gradienttikenttä. Vain kaksi neljästä kvadrantista johtaa steady-state tasapainotilaan. 9